Принцип возможных перемещений сформулирован для решения задач статики методами динамики.

Определения

Связями называются все тела, ограничивающие перемещение рассматриваемого тела.

Идеальными называются связи, работа реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю.

Числом степеней свободы механической системы называется число таких независимых между собой параметров, с помощью которых однозначно определяется положение системы.

Например, шар, расположенный на плоскости имеет пять степеней свободы, а цилиндрический шарнир - одну степень свободы.

В общем случае механическая система может иметь бесконечное число степеней свободы.

Возможными перемещениями будем называть такие перемещения, которые, во-первых, допускаются наложенными связями, и, во-вторых, являются бесконечно малыми.

Кривошипно-ползунный механизм имеет одну степень свободы. В качестве возможных перемещений могут приниматься параметры -  ,  x и др.

Для любой системы число независимых друг от друга возможных перемещений равно числу степеней свободы.

Пусть некоторая система находится в равновесии и связи, наложенные на эту систему, являются идеальными. Тогда для каждой точки системы можно записать уравнение

, (102)

где
- равнодействующая активных сил, приложенных к материальной точке;

- равнодействующая реакций связей.

Умножим (102) скалярно на вектор возможного перемещения точки

,

так как связи идеальные, то всегда
, останется сумма элементарных работ активных сил, действующих на точку

. (103)

Уравнение (103) можно записать для всех материальных точек, суммируя которые получим

. (104)

Уравнение (104) выражает следующий принцип возможных перемещений.

Для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Число уравнений (104) равно числу степеней свободы данной системы, что является достоинством этого метода.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)

Принцип возможных перемещений позволяет решать задачи статики методами динамики, с драгой стороны, принцип Даламбера дает общий метод решения задач динамики методами статики. Объединяя два эти принципа можно получить общий метод решения задач механики, который называется принципом Даламбера-Лагранжа.

. (105)

При движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равно нулю.

В аналитической форме уравнение (105) имеет вид

Уравнения Лагранжа II рода

Обобщенными координатами (q ) называются такие независимые друг от друга параметры, которые однозначно определяют поведение механической системы.

Число обобщенных координат всегда равно числу степеней свободы механической системы.

В качестве обобщенных координат могут быть выбраны любые параметры, имеющие любую размерность.

Н
апример, при изучении движения математического маятника, имеющего одну степень свободы, в качестве обобщенной координатыq могут быть приняты параметры:

x (м), y (м) – координаты точки;

s (м) – длина дуги;

 (м 2) – площадь сектора;

 (рад) – угол поворота.

При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться

Уравнения (107) – это уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы

. (108)

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты.

Через обобщенные координаты могут быть выражены любые другие координаты (декартовы, полярные и др.).

Наряду с понятием обобщенной координаты вводится понятие обобщенной силы.

Под обобщенной силой понимают величину равную отношению суммы элементарных работ всех сил, действующих на систему на некотором элементарном приращении обобщенной координаты, к этому приращению

, (109)

где S – индекс обобщенной координаты.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Для нахождения уравнений движения (107) механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах используются дифференциальные уравнения в форме Лагранжа II рода

. (110)

В (110) кинетическая энергия T системы выражена через обобщенные координаты q S и обобщенные скорости .

Уравнения Лагранжа дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Вид и число уравнений не зависит от количества тел (точек), входящих в систему, а только от числа степеней свободы. При идеальных связях эти уравнения позволяют исключить все заранее неизвестные реакции связей.

1. Обобщённые координаты и число степеней свободы.

При движении механической системы, все её точки не могут перемещаться произвольно, так как они ограничены связями. Это значит, что не все координаты точек независимы. Положение точек определяется заданием только независимых координат.

обобщёнными координатами. Для голономных систем (т.е. таких, связи которых выражаются уравнениями, зависящими только от координат) число независимых обобщённых координат механической системыравно числу степеней свободы этой системы.

Примеры:

Положение всех точек однозначно определяется углом поворота

кривошипа.

Одна степень свободы.

2. Положение свободной точки в пространстве определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Поэтому три степени свободы.

3. Твёрдое вращающееся тело, положение определяется углом поворота j. Одна степень свободы.

4. Свободное твёрдое тело, движение которого определяется шестью уравнениями - шесть степеней свободы.

2. Возможные перемещения механической системы.

Идеальные связи.

Возможными перемещениями называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательной к траекториям движения точек и обозначаются dS .

dS A = dj . OA

Все силы, действующие на материальную точку, делятся на задаваемые и реакции связей.

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

3. Принцип возможных перемещений.

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Значение принципа возможных перемещений:

1. Учитываются только активные силы.

2. Даёт в общей форме условие равновесия для любой механической системы, тогда, как в статике необходимо рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности.

Задача.

Для заданного положения кривошипно-ползунного механизма при равновесии, найти зависимость между моментом и силой, если ОА = ℓ .

Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений даёт общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, можно получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей , прибавить соответствующие силы инерции , то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Применяя принцип возможных перемещений, получим:

Так как связи идеальные, то:

Это равенство представляет общее уравнение динамики.

Из него вытекает принцип Даламбера-Лагранжа – при движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Задача.

В подъёмнике к шестерне 2 веса 2G c радиусом R 2 =R приложен вращающий момент М=4GR .

Определить ускорение поднимаемого груза А весом G , пренебрегая весом верёвки и трением в осях. Барабан, на который наматывается верёвка, и жёстко скреплённая с ним шестерня 1 , имеют общий вес 4G и радиус инерции r = R . Радиус барабана R A = R и шестерни 1

R 1 =0,5R .

Изобразим все действующие силы, направление ускорений и возможные перемещения.

________________

Подставим в общее уравнение динамики

Выразим перемещение через угол поворота δφ 1

Подставим значения

δφ 1 ≠0

Выразим все ускорения через искомое а А и приравняем выражение в скобках к нулю

Подставим значения

Принцип возможных перемещений.

а = 0,15 м

b = 2а = 0,3 м

m = 1,2 Нм _________________

х В; у В; N A ; M p

Решение: Найдём реакцию подвижной опоры А для чего мысленно отбросим эту связь, заменив её действие реакцией N A

Возможным перемещением стержня АС является его поворот вокруг шарнира С на угол dj . Стержень ВС остаётся неподвижным.

Составим уравнение работ, учитывая, что работа сил при повороте тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота тела.

Для определения реакций жёсткого закрепления в опоре В сначала найдём момент реакции М р . Для этого отбросим связь, препятствующую повороту стержня ВС , заменив жёсткое закрепление шарнирно-неподвижной опорой и приложив момент М р .

Сообщим стержню возможный поворот на угол dj 1 .

Составим уравнение работ для стержня ВС :

Определим перемещения:

Для определения вертикальной составляющей реакции жёского закрепления отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки В , заменив жёсткое закрепление скользящей (невозможен поворот) и приложив реакцию :

Сообщим левой части (стержню ВС с ползуном В ) возможную скорость V B поступательного движения вниз. Стержень АС повернётся вокруг точки А.

Составим уравнение работ:

Для определения горизонтальной составляющей реакции жёсткого закрепления отбросим связь, препятствующую горизонтальному перемещению точки В заменив жёсткую заделку скользящей и приложив реакцию :

Сообщим левой части (ползуну В вместе со стержнем ВС ) возможную скорость V B поступательного движения влево. Так как опора А на катках, то и правая часть будет перемещаться поступательно с той же скоростью. Следовательно .

Составим уравнение работ для всей конструкции.

Для проверки правильности решения составим уравнения равновесия всей системы:

Условие выполнено.

Ответ: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P =3,33 Hм.

Обобщённые скорости. Обобщённые силы.

Независимые величины, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщёнными координатами. – q

Если система имеет S степеней свободы, то её положение будет определяться S обобщёнными координатами:

q 1 ; q 2 ; …; q s .

Поскольку обобщённые координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат будут также независимы:

dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .

При этом каждая из величин dq 1 ; dq 2 ; …; dq S определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

При движении системы её обобщённые координаты будут с течением времени непрерывно изменяться, закон этого движения определяется уравнениями:

, …. ,

Это уравнения движения системы в обощённых координатах.

Производные от обобщённых координат по времени называются обобщёнными скоростями системы:

Размерность зависит от размерности q .

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы F 1 , F 2 , F n . Пусть система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщёнными координатами q 1 ; q 2 ; q 3 . Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата q 1 получает приращение dq 1 , а остальные координаты не изменяются. Тогда радиус-вектор к-той точки получает элементарное приращение (dr k) 1 . Это приращение, которое получает радиус-вектор при изменении только координаты q 1 на величину dq 1 . Остальные координаты остаются неизменными. Поэтому (dr k) 1 вычисляется как частный дифференциал:

Вычислим элементарную работу всех приложенных сил:

Вынесем за скобки dq 1 , получим:

где - обобщённая сила.

Итак, обобщённая сила – это коэффициент при приращениях обобщённой координаты.

Вычисление обобщённых сил сводится к вычислению возможной элементарной работы.

Если меняются все q , то:

Согласно принципа возможных перемещений, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы SdА а к = 0 . В обобщённых координатах Q 1 . dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0 следовательно, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы обобщённые силы, соответствующие выбранным для системы возможным перемещениям, а значит и обобщённым координатам, были равны нулю.

Q 1 = 0; Q 2 = 0; … Q s = 0.

Уравнения Лагранжа.

Используя общее уравнение динамики для механической системы, можно найти уравнения движения механической системы.

4) определить кинетическую энергию системы, выразить эту энергию через обобщённые скорости и обобщённые координаты;

5) найти соответствующие частные производные от Т по и и подставить все значения в уравнение.

Теория удара.

Движение тела под действием обычных сил характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей этого тела. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно и количество движения твёрдого тела за очень маленький промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, называются ударными.

Малый промежуток времени t , в течение которого происходит удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы.

Импульсы неударных сил за время t будут величинами очень малыми и ими можно пренебречь.

Теорема об изменении количества движения точки при ударе:

где v – скорость точки в начале удара,

u – скорость точки в конце удара.

Основное уравнение теории удара.

Перемещение точек за очень малый промежуток времени, то есть за время удара, будут также малы, а следовательно, будем считать тело неподвижным.

Итак, можно сделать следующие выводы о действии ударных сил:

1) действием неударных сил за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

Рисунок 2.4

Решение

Заменим распределенную нагрузку сосредоточенной силой Q = q∙DH . Эта сила приложена в середине отрезка DH – в точке L .

Силу F разложим на составляющие, спроецировав ее на оси : горизонтальную F x cosα и вертикальную F y sinα .

Рисунок 2.5

Чтобы решить задачу с помощью принципа возможных перемещений, необходимо, чтобы конструкция могла перемещаться и при этом чтобы в уравнении работ была одна неизвестная реакция . В опоре A реакция раскладывается на составляющие X A , Y A .

Для определения X A изменим конструкцию опоры A так, чтобы точка A могла перемещаться только по горизонтали. Выразим перемещения точек конструкции через возможный поворот части CDB вокруг точки B на угол δφ 1 , часть AKC конструкции в этом случае поворачивается вокруг точки C V1 — мгновенного центра вращения (рисунок 2.5) на угол δφ 2 , и перемещения точек L и C – будут

δS L = BL∙δφ 1 ;
δS C = BC∙δφ 1 .

В то же время

δS C = CC V1 ∙δφ 2

δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1 .

Уравнение работ удобнее составить через работу моментов заданных сил , относительно центров вращений.

Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X A ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0 .

Реакция Y A работу не совершает. Преобразуя это выражение, получим

Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0 .

Сократив на δφ 1 , получим уравнение, из которого легко находится X A .

Для определения Y A конструкцию опоры A изменим так, чтобы при перемещении точки A работу совершала только сила Y A (рисунок 2.6). Примем за возможное перемещение части конструкции BDC поворот вокруг неподвижной точки B — δφ 3 .

Рисунок 2.6

Для точки C δS C = BC∙δφ 3 , мгновенным центром вращения для части конструкции AKC будет точка C V2 , и перемещение точки C выразится.

Принцип возможных перемещений позволяет решать самые разнообразные задачи на равновесие механических систем - находить неизвестные активные силы, определять реакции связей, находить положения равновесия механической системы под действием приложенной системы сил. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

Пример 1. Найти величину силы Р, удерживающей тяжелые гладкие призмы с массами в состоянии равновесия. Угол скоса призм равен (рис. 73).

Решение. Воспользуемся принципом возможных перемещений. Сообщим системе возможное перемещение и вычислим возможную работу активных сил:

Возможная работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна вектору элементарного перемещения точки приложения силы. Подставляя сюда значение и приравнивая выражение нулю, получаем:

Так как , то равно нулю выражение в скобках:

Отсюда находим

Пример 2. Однородная балка АВ длиной и весом Р, нагруженная парой сил с заданным моментом М, закреплена как показано на рис. 74 и находится в покое. Определить реакцию стержня BD, если он составляет угол а с горизонтом.

Решение. Задача отличается от предыдущей тем, что здесь требуется найти реакцию идеальной связи. Но в уравнение работ выражающее принцип возможных перемещений, реакции идеальных связей не входят. В таких случаях принцип возможных перемещений следует применять совместно с принципом освобождаемости от связей.

Мысленно отбросим стержень BD, а его реакцию S будем считать неизвестной по величине активной силой. После этого сообщим системе возможное перемещение (при условии, что данная связь совершенно отсутствует). Это будет элементарный поворот балки АВ на угол вокруг оси шарнира А в ту или другую сторону (на рис. 74 - против часовой стрелки). Элементарные перемещения точек приложения активных сил и отнесенной к ним реакции S при этом равны:

Составляем уравнение работ

Приравнивая нулю выражение в скобках, отсюда находим

Пример 3. Однородный стержень ОА весом закреплен при помощи цилиндрического шарнира О и пружины АВ (рис. 75). Определить положения, в которых стержень может находиться в равновесии, если жесткость пружины равна к, натуральная длина пружины - и точка В находится на одной вертикали с точкой О.

Решение. К стержню ОА приложены две активные силы - собственный вес и упругая сила пружины где - угол, образуемый стержнем с вертикалью ОВ. Наложенные связи - идеальные (в данном случае имеется единственная связь - шарнир О).

Сообщим системе возможное перемещение - элементарный поворот стержня вокруг оси шарнира О на угол , вычислим возможную работу активных сил и приравняем ее нулю:

Подставляя сюда выражение для силы F и значения

после простых преобразований получаем следующее тригонометрическое уравнение для определения угла (р при равновесии стержня:

Уравнение определяет три значения для угла :

Следовательно, стержень имеет три положения равновесия. Так как два первых положения равновесия существуют, если выполняется условие . Равновесие при существует всегда.

В заключение заметим, что принцип возможных перемещений можно применять и к системам с неидеальными связями. Акцент на идеальность связей делается в формулировке принципа с одной единственной целью - показать, что уравнения равновесия механических систем можно составлять, не включая в них реакции идеальных связей, упрощая этим расчеты.

Для систем с неидеальными связями принцип возможных перемещений следует переформулировать так: для равновесия механической системы с удерживающими связями, среди которых имеются неидеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы возможная работа активных сил и реакций неидеальных связей была равна нулю. Можно, однако, обойтись без переформулировки принципа, условно относя реакции неидеальных связей в число активных сил.

Вопросы для самопроверки

1. В чем основная особенность несвободной механической системы по сравнению со свободной?

2. Что называется возможным перемещением? Приведите примеры.

3. Как определяются вариации координат точек системы при ее возможном перемещении (укажите три способа)?

4. Как классифицируются связи по виду их уравнений? Приведите примеры связей удерживающих и не удерживающих, стационарных и нестационарных.

5. В каком случае связь называется идеальной? Неидеальной?

6. Приведите словесную формулировку и математическую запись принципа возможных перемещений.

7. Как формулируется принцип возможных перемещений для систем, содержащих неидеальные связи?

8. Перечислите основные типы задач, решаемые при помощи принципа возможных перемещений.

Упражнения

При помощи принципа возможных перемещений решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 46.1; 46.8; 46.17; 2.49; 4.53.

Необходимо и достаточно, чтобы сумма работ , всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Количество уравнений, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой самой механической системы.

Литература

• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учеб. для втузов.- 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986.- 416 с, ил.
• Основной курс теоретической механики (часть первая) Н. Н. Бухгольц, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 468 стр.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Принцип возможных перемещений" в других словарях:

принцип возможных перемещений

Один из вариационных принципов механики, устанавливающий общее условие равновесия механич. системы. Согласно В. п. п., для равновесия механич. системы с идеальными связями (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ dAi… … Физическая энциклопедия

Большой Энциклопедический словарь

ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при… … Энциклопедический словарь

Один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), устанавливающий общее условие равновесия механической системы. Согласно В. п. п., для равновесия механической системы с идеальными связями (см. Связи… … Большая советская энциклопедия

Виртуальных скоростей принцип, дифференциальный вариационный принцип классической механики, выражающий наиболее общие условия равновесия механических систем, стесненных идеальными связями. Согласно В. п. п. механич. система находится в равновесии … Математическая энциклопедия

Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Возможных перемещений принцип применяется при изучении условий равновесия… … Энциклопедический словарь

Для равновесия механич. системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. В. п. п. применяется при изучении условий равновесия сложных механич. систем… … Естествознание. Энциклопедический словарь

принцип виртуальных смещений - virtualiųjų poslinkių principas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. principle of virtual displacement vok. Prinzip der virtuellen Verschiebungen, n rus. принцип виртуальных смещений, m; принцип возможных перемещений, m pranc. principe des … Fizikos terminų žodynas

Один из вариационных принципов механики, согласно к рому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механич. системы действительным является то, для которого физ. величина, наз. действием, имеет наименьшее (точнее, стационарное)… … Физическая энциклопедия

Книги

• Теоретическая механика. В 4-х томах. Том 3: Динамика. Аналитичекая механика. Тексты лекций. Гриф МО РФ , Богомаз Ирина Владимировна. В учебном пособии изложены две части единого курса по теоретической механике: динамика и аналитическая механика. В первой части подробно рассматривается первая ивторая задачи динамики, также…