ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

I. Δήλωση του προβλήματος.

II. Συμβατότητα ομοιογενών και ετερογενών συστημάτων.

III. Σύστημα Τεξισώσεις με Τάγνωστος. Ο κανόνας του Cramer.

IV. Μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Μέθοδος V. Gauss.

I. Δήλωση του προβλήματος.

Ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής

ονομάζεται σύστημα Μ γραμμικές εξισώσειςΜε nάγνωστος
. Οι συντελεστές των εξισώσεων αυτού του συστήματος γράφονται με τη μορφή πίνακα

η οποία ονομάζεται μήτρα του συστήματος (1).

Σχηματίζονται οι αριθμοί στα δεξιά των εξισώσεων στήλη δωρεάν μελών {σι}:

.

Αν στήλη ( σι}={0 ), τότε καλείται το σύστημα των εξισώσεων ομοιογενής. Διαφορετικά, όταν ( σι}≠{0 ) - Σύστημα ετερογενής.

Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων (1) μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα

[ΕΝΑ]{Χ}={σι}. (2)

Εδώ - στήλη αγνώστων.

Η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων (1) σημαίνει την εύρεση του συνόλου n αριθμοί
έτσι ώστε κατά την αντικατάσταση στο σύστημα (1) αντί των αγνώστων
Κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε ταυτότητα. Αριθμοί
ονομάζονται λύση συστήματος εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να έχει μία λύση

,

μπορεί να έχει αμέτρητες λύσεις

ή δεν έχουν καθόλου λύσεις

.

Τα συστήματα εξισώσεων που δεν έχουν λύσεις ονομάζονται ασύμβατες. Εάν ένα σύστημα εξισώσεων έχει τουλάχιστον μία λύση, τότε ονομάζεται άρθρωση. Το σύστημα των εξισώσεων ονομάζεται βέβαιος, εάν έχει μια μοναδική λύση, και αβέβαιος, αν έχει άπειρες λύσεις.

II. Συμβατότητα ομοιογενών και ετερογενών συστημάτων.

Η συνθήκη συμβατότητας για το σύστημα γραμμικών εξισώσεων (1) διατυπώνεται στο Θεώρημα Kronecker-Capelli: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει τουλάχιστον μία λύση εάν και μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα:
.

Ένας εκτεταμένος πίνακας συστήματος είναι ένας πίνακας που λαμβάνεται από τον πίνακα συστήματος προσθέτοντας μια στήλη ελεύθερων όρων σε αυτόν στα δεξιά:

.

Αν Rg ΕΝΑΕΝΑ* , τότε το σύστημα των εξισώσεων είναι ασυνεπές.

Τα ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων, σύμφωνα με το θεώρημα Kronecker-Capelli, είναι πάντα συνεπή. Ας εξετάσουμε την περίπτωση ενός ομοιογενούς συστήματος στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλαδή t=p. Αν η ορίζουσα του πίνακα ενός τέτοιου συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, δηλ.
, ένα ομοιογενές σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία είναι ασήμαντη (μηδέν). Τα ομοιογενή συστήματα έχουν άπειρο αριθμό λύσεων αν ανάμεσα στις εξισώσεις του συστήματος υπάρχουν γραμμικά εξαρτημένες, δηλ.
.

Παράδειγμα.Θεωρήστε ένα ομοιογενές σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

και εξετάστε το ζήτημα του αριθμού των λύσεών του. Κάθε μία από τις εξισώσεις μπορεί να θεωρηθεί μια εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων ( ρε=0 ). Το σύστημα των εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση όταν και τα τρία επίπεδα τέμνονται σε ένα σημείο. Επιπλέον, τα κανονικά τους διανύσματα είναι μη συνεπίπεδα και, επομένως, η συνθήκη ικανοποιείται

.

Η λύση του συστήματος σε αυτή την περίπτωση Χ=0, y=0, z=0 .

Εάν τουλάχιστον δύο από τα τρία επίπεδα, για παράδειγμα, το πρώτο και το δεύτερο, είναι παράλληλα, δηλ. , τότε η ορίζουσα του πίνακα συστήματος είναι ίση με μηδέν και το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Επιπλέον, οι λύσεις θα είναι οι συντεταγμένες Χ, y, zόλα τα σημεία βρίσκονται σε μια γραμμή

Εάν και τα τρία επίπεδα συμπίπτουν, τότε το σύστημα των εξισώσεων θα μειωθεί σε μία εξίσωση

,

και η λύση θα είναι οι συντεταγμένες όλων των σημείων που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο.

Κατά τη μελέτη ανομοιογενών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, το ζήτημα της συμβατότητας λύνεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα Kronecker-Capelli. Εάν ο αριθμός των εξισώσεων σε ένα τέτοιο σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση εάν η ορίζοντή του δεν είναι ίση με μηδέν. Διαφορετικά, το σύστημα είτε είναι ασυνεπές είτε έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Παράδειγμα. Μελετάμε ένα ανομοιογενές σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους

.

Οι εξισώσεις του συστήματος μπορούν να θεωρηθούν ως εξισώσεις δύο ευθειών σε ένα επίπεδο. Το σύστημα είναι ασυνεπές όταν οι γραμμές είναι παράλληλες, δηλ.
,
. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι 1:

Rg ΕΝΑ=1 , επειδή
,

και η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα
ισούται με δύο, αφού για αυτό μπορεί να επιλεγεί ως βασικό δευτερεύον δευτερεύον δευτερεύον που περιέχει την τρίτη στήλη.

Στην υπό εξέταση περίπτωση, ο Rg ΕΝΑΕΝΑ * .

Εάν οι γραμμές συμπίπτουν, π.χ. , τότε το σύστημα των εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων: συντεταγμένες σημείων σε ευθεία γραμμή
. Σε αυτή την περίπτωση, ο Rg ΕΝΑ= Rg ΕΝΑ * =1.

Το σύστημα έχει μια μοναδική λύση όταν οι γραμμές δεν είναι παράλληλες, δηλ.
. Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών

III. ΣύστημαΤ εξισώσεις μεΤ άγνωστος. Ο κανόνας του Cramer.

Ας εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση όταν ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλ. Μ= n. Εάν η ορίζουσα του πίνακα συστήματος είναι μη μηδενική, η λύση στο σύστημα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer:

(3)

Εδώ
- ορίζουσα του πίνακα συστήματος,

είναι ο προσδιοριστής του πίνακα που λαμβάνεται από [ ΕΝΑ] αντικατάσταση Εγώη στήλη στη στήλη των ελεύθερων μελών:

.

Παράδειγμα. Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Λύση :

1) βρείτε την ορίζουσα του συστήματος

2) βρείτε βοηθητικές ορίζουσες

3) βρείτε μια λύση στο σύστημα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer:

Το αποτέλεσμα της λύσης μπορεί να ελεγχθεί με αντικατάσταση στο σύστημα των εξισώσεων

Λαμβάνονται οι σωστές ταυτότητες.

IV. Μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Ας γράψουμε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων σε μορφή πίνακα (2)

[ΕΝΑ]{Χ}={σι}

και πολλαπλασιάζουμε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά της σχέσης (2) στα αριστερά με τον πίνακα [ ΕΝΑ -1 ], αντίστροφη του πίνακα συστήματος:

[ΕΝΑ -1 ][ΕΝΑ]{Χ}=[ΕΝΑ -1 ]{σι}. (2)

Εξ ορισμού του αντίστροφου πίνακα, το γινόμενο [ ΕΝΑ -1 ][ΕΝΑ]=[μι], και σύμφωνα με τις ιδιότητες του πίνακα ταυτότητας [ μι]{Χ}={Χ). Τότε από τη σχέση (2") παίρνουμε

{Χ}=[ΕΝΑ -1 ]{σι}. (4)

Η σχέση (4) αποτελεί τη βάση της μεθόδου πίνακα για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων: είναι απαραίτητο να βρεθεί ο πίνακας αντίστροφος προς τον πίνακα του συστήματος και να πολλαπλασιαστεί το διάνυσμα στήλης των δεξιών τμημάτων του συστήματος με αυτόν στα αριστερά.

Παράδειγμα. Ας λύσουμε το σύστημα εξισώσεων που εξετάσαμε στο προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πίνακα.

Σύστημα Matrix
ο προσδιοριστικός του det ΕΝΑ==183 .

Δεξιά πλάγια στήλη
.

Για να βρείτε τον πίνακα [ ΕΝΑ -1 ], βρείτε τον πίνακα που είναι συνδεδεμένος στο [ ΕΝΑ]:

ή

Ο τύπος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα περιλαμβάνει
, Επειτα

Τώρα μπορούμε να βρούμε μια λύση στο σύστημα

Τότε επιτέλους παίρνουμε .

Μέθοδος V. Gauss.

Με μεγάλο αριθμό αγνώστων, η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer ή τη μέθοδο μήτρας περιλαμβάνει τον υπολογισμό οριζόντων υψηλής τάξης ή την αντιστροφή μεγάλων πινάκων. Αυτές οι διαδικασίες είναι πολύ απαιτητικές ακόμη και για σύγχρονους υπολογιστές. Επομένως, για την επίλυση συστημάτων μεγάλου αριθμού εξισώσεων, χρησιμοποιείται συχνά η μέθοδος Gauss.

Η μέθοδος Gauss αποτελείται από τη διαδοχική εξάλειψη αγνώστων μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος. Οι μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνουν μετάθεση σειρών, προσθήκη σειρών, πολλαπλασιασμό σειρών με αριθμούς άλλους από το μηδέν. Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, είναι δυνατό να μειωθεί ο πίνακας του συστήματος σε έναν ανώτερο τριγωνικό, στην κύρια διαγώνιο του οποίου υπάρχουν ένα και κάτω από την κύρια διαγώνιο υπάρχουν μηδενικά. Αυτή είναι η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss. Το αντίστροφο της μεθόδου συνίσταται στον άμεσο προσδιορισμό των αγνώστων, ξεκινώντας από το τελευταίο.

Ας επεξηγήσουμε τη μέθοδο Gauss χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης συστήματος εξισώσεων

Στο πρώτο βήμα της εμπρόσθιας διαδρομής, διασφαλίζεται ότι ο συντελεστής
μετασχηματισμένο σύστημα έγινε ίσο 1 , και τους συντελεστές
Και
γύρισε στο μηδέν. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση επί 1/10 , πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση επί 10 και προσθέστε το στην πρώτη, πολλαπλασιάστε την τρίτη εξίσωση επί -10/2 και προσθέστε το στο πρώτο. Μετά από αυτούς τους μετασχηματισμούς παίρνουμε

Στο δεύτερο βήμα, διασφαλίζουμε ότι μετά τους μετασχηματισμούς ο συντελεστής
έγινε ίσος 1 , και ο συντελεστής
. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με 42 , και πολλαπλασιάζουμε την τρίτη εξίσωση επί -42/27 και το προσθέτουμε με το δεύτερο. Λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Στο τρίτο βήμα θα πρέπει να πάρουμε τον συντελεστή
. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με (37 - 84/27) ; παίρνουμε

Εδώ τελειώνει η άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss, γιατί η μήτρα του συστήματος ανάγεται στην ανώτερη τριγωνική:

Πραγματοποιώντας την αντίστροφη κίνηση, βρίσκουμε τα άγνωστα

Περιεχόμενο μαθήματος

Γραμμικές εξισώσεις σε δύο μεταβλητές

Ένας μαθητής έχει 200 ​​ρούβλια για να φάει μεσημεριανό στο σχολείο. Ένα κέικ κοστίζει 25 ρούβλια και ένα φλιτζάνι καφέ 10 ρούβλια. Πόσα κέικ και φλιτζάνια καφέ μπορείτε να αγοράσετε για 200 ρούβλια;

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των κέικ με Χ, και τον αριθμό των φλιτζανιών καφέ y. Στη συνέχεια, το κόστος των κέικ θα υποδηλωθεί με την έκφραση 25 Χ, και το κόστος των φλιτζανιών καφέ σε 10 y .

25Χ-τιμή Χκέικ
10y —τιμή yΚΟΥΠΕΣ ΚΑΦΕ

Το συνολικό ποσό πρέπει να είναι 200 ​​ρούβλια. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση με δύο μεταβλητές ΧΚαι y

25Χ+ 10y= 200

Πόσες ρίζες έχει αυτή η εξίσωση;

Όλα εξαρτώνται από την όρεξη του μαθητή. Αν αγοράσει 6 κέικ και 5 φλιτζάνια καφέ, τότε οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί 6 και 5.

Το ζεύγος των τιμών 6 και 5 λέγεται ότι είναι οι ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200 . Γράφεται ως (6; 5), με τον πρώτο αριθμό να είναι η τιμή της μεταβλητής Χ, και το δεύτερο - η τιμή της μεταβλητής y .

Το 6 και το 5 δεν είναι οι μόνες ρίζες που αντιστρέφουν την εξίσωση 25 Χ+ 10y= 200 στην ταυτότητα. Εάν θέλετε, για τα ίδια 200 ρούβλια ένας μαθητής μπορεί να αγοράσει 4 κέικ και 10 φλιτζάνια καφέ:

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200 είναι ένα ζεύγος τιμών (4; 10).

Επιπλέον, ένας μαθητής μπορεί να μην αγοράζει καθόλου καφέ, αλλά να αγοράζει κέικ για ολόκληρα 200 ρούβλια. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200 θα είναι οι τιμές 8 και 0

Ή το αντίστροφο, μην αγοράζετε κέικ, αλλά αγοράστε καφέ για τα 200 ρούβλια. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200 οι τιμές θα είναι 0 και 20

Ας προσπαθήσουμε να απαριθμήσουμε όλες τις πιθανές ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200 . Ας συμφωνήσουμε ότι οι αξίες ΧΚαι yανήκουν στο σύνολο των ακεραίων. Και ας είναι αυτές οι τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με μηδέν:

Χ∈Ζ, υ∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Αυτό θα είναι βολικό για τον ίδιο τον μαθητή. Είναι πιο βολικό να αγοράσετε ολόκληρα κέικ από, για παράδειγμα, πολλά ολόκληρα κέικ και μισό κέικ. Είναι επίσης πιο βολικό να παίρνετε καφέ σε ολόκληρα φλιτζάνια από, για παράδειγμα, πολλά ολόκληρα φλιτζάνια και μισό φλιτζάνι.

Σημειώστε ότι για το μονό Χείναι αδύνατο να επιτευχθεί η ισότητα σε καμία περίπτωση y. Μετά οι αξίες Χοι παρακάτω αριθμοί θα είναι 0, 2, 4, 6, 8. Και γνωρίζοντας Χμπορεί εύκολα να προσδιοριστεί y

Έτσι, λάβαμε τα ακόλουθα ζεύγη τιμών (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Αυτά τα ζεύγη είναι λύσεις ή ρίζες της εξίσωσης 25 Χ+ 10y= 200. Μετατρέπουν αυτή την εξίσωση σε ταυτότητα.

Εξίσωση της φόρμας τσεκούρι + κατά = γπου ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές. Η λύση ή οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ένα ζεύγος τιμών ( Χ; y), που το μετατρέπει σε ταυτότητα.

Σημειώστε επίσης ότι εάν μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές είναι γραμμένη στη μορφή ax + b y = c ,τότε λένε ότι είναι γραμμένο στο κανονικός(κανονική) μορφή.

Ορισμένες γραμμικές εξισώσεις σε δύο μεταβλητές μπορούν να αναχθούν σε κανονική μορφή.

Για παράδειγμα, η εξίσωση 2(16Χ+ 3y − 4) = 2(12 + 8Χ − y) μπορεί να έλθει στο μυαλό τσεκούρι + κατά = γ. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και στις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης και πάρουμε 32Χ + 6y − 8 = 24 + 16Χ − 2y . Ομαδοποιούμε όρους που περιέχουν αγνώστους στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και όρους χωρίς αγνώστους - στη δεξιά. Μετά παίρνουμε 32x− 16Χ+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και στις δύο πλευρές, παίρνουμε την εξίσωση 16 Χ+ 8y= 32. Αυτή η εξίσωση ανάγεται στη μορφή τσεκούρι + κατά = γκαι είναι κανονική.

Η εξίσωση 25 συζητήθηκε προηγουμένως Χ+ 10y= 200 είναι επίσης μια γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές σε κανονική μορφή. Στην εξίσωση αυτή οι παράμετροι ένα , σιΚαι ντοείναι ίσες με τις τιμές 25, 10 και 200, αντίστοιχα.

Στην πραγματικότητα η εξίσωση τσεκούρι + κατά = γέχει αμέτρητες λύσεις. Επίλυση της εξίσωσης 25Χ+ 10y= 200, αναζητήσαμε τις ρίζες του μόνο στο σύνολο των ακεραίων. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε πολλά ζεύγη τιμών που μετέτρεψαν αυτήν την εξίσωση σε ταυτότητα. Αλλά στο σύνολο των ρητών αριθμών, η εξίσωση 25 Χ+ 10y= 200 θα έχει άπειρες λύσεις.

Για να αποκτήσετε νέα ζεύγη τιμών, πρέπει να πάρετε μια αυθαίρετη τιμή για Χ, μετά εκφράστε y. Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη μεταβλητή Χτιμή 7. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση με μία μεταβλητή 25×7 + 10y= 200 στο οποίο μπορεί κανείς να εκφραστεί y

Αφήνω Χ= 15. Μετά η εξίσωση 25Χ+ 10y= 200 γίνεται 25 × 15 + 10y= 200. Από εδώ το βρίσκουμε y = −17,5

Αφήνω Χ= −3. Μετά η εξίσωση 25Χ+ 10y= 200 γίνεται 25 × (−3) + 10y= 200. Από εδώ το βρίσκουμε y = −27,5

Σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές

Για την εξίσωση τσεκούρι + κατά = γμπορείτε να πάρετε αυθαίρετες τιμές για όσες φορές θέλετε Χκαι βρείτε τιμές για y. Λαμβάνοντας ξεχωριστά, μια τέτοια εξίσωση θα έχει αμέτρητες λύσεις.

Συμβαίνει όμως και οι μεταβλητές ΧΚαι yσυνδέονται όχι με μία, αλλά με δύο εξισώσεις. Στην περίπτωση αυτή σχηματίζουν τα λεγόμενα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε δύο μεταβλητές. Ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων μπορεί να έχει ένα ζεύγος τιμών (ή με άλλα λόγια: "μία λύση").

Μπορεί επίσης να συμβεί το σύστημα να μην έχει καθόλου λύσεις. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να έχει αμέτρητες λύσεις σε σπάνιες και εξαιρετικές περιπτώσεις.

Δύο γραμμικές εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα όταν οι τιμές ΧΚαι yεισάγετε σε καθεμία από αυτές τις εξισώσεις.

Ας επιστρέψουμε στην πρώτη εξίσωση 25 Χ+ 10y= 200 . Ένα από τα ζεύγη τιμών για αυτήν την εξίσωση ήταν το ζεύγος (6; 5) . Αυτή είναι η περίπτωση που για 200 ρούβλια θα μπορούσατε να αγοράσετε 6 κέικ και 5 φλιτζάνια καφέ.

Ας διατυπώσουμε το πρόβλημα έτσι ώστε το ζεύγος (6; 5) να γίνει η μόνη λύση για την εξίσωση 25 Χ+ 10y= 200 . Για να γίνει αυτό, ας δημιουργήσουμε μια άλλη εξίσωση που θα συνδέει το ίδιο Χκέικ και yΚΟΥΠΕΣ ΚΑΦΕ.

Ας αναφέρουμε το κείμενο του προβλήματος ως εξής:

«Ο μαθητής αγόρασε πολλά κέικ και πολλά φλιτζάνια καφέ για 200 ρούβλια. Ένα κέικ κοστίζει 25 ρούβλια και ένα φλιτζάνι καφέ 10 ρούβλια. Πόσα κέικ και φλιτζάνια καφέ αγόρασε ο μαθητής αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των κέικ είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από τον αριθμό των φλιτζανιών του καφέ;

Έχουμε ήδη την πρώτη εξίσωση. Αυτή είναι η εξίσωση 25 Χ+ 10y= 200 . Τώρα ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την συνθήκη «Ο αριθμός των κέικ είναι μία μονάδα μεγαλύτερος από τον αριθμό των φλιτζανιών του καφέ» .

Ο αριθμός των κέικ είναι Χ, και ο αριθμός των φλιτζανιών καφέ είναι y. Μπορείτε να γράψετε αυτή τη φράση χρησιμοποιώντας την εξίσωση x−y= 1. Αυτή η εξίσωση θα σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ κέικ και καφέ είναι 1.

x = y+ 1 . Αυτή η εξίσωση σημαίνει ότι ο αριθμός των κέικ είναι ένα μεγαλύτερος από τον αριθμό των φλιτζανιών καφέ. Επομένως, για να επιτευχθεί ισότητα, ένας προστίθεται στον αριθμό των φλιτζανιών καφέ. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο κλίμακος που εξετάσαμε κατά τη μελέτη των απλούστερων προβλημάτων:

Πήραμε δύο εξισώσεις: 25 Χ+ 10y= 200 και x = y+ 1. Δεδομένου ότι οι τιμές ΧΚαι y, δηλαδή το 6 και το 5 περιλαμβάνονται σε καθεμία από αυτές τις εξισώσεις, τότε μαζί σχηματίζουν ένα σύστημα. Ας γράψουμε αυτό το σύστημα. Εάν οι εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα, τότε πλαισιώνονται από το σύμβολο του συστήματος. Το σύμβολο του συστήματος είναι ένα σγουρό στήριγμα:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα. Αυτό θα μας επιτρέψει να δούμε πώς φτάνουμε στις τιμές 6 και 5. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων. Ας δούμε τα πιο δημοφιλή από αυτά.

Μέθοδος αντικατάστασης

Το όνομα αυτής της μεθόδου μιλάει από μόνο του. Η ουσία του είναι να αντικαταστήσει μια εξίσωση με μια άλλη, έχοντας προηγουμένως εκφράσει μια από τις μεταβλητές.

Στο σύστημά μας, τίποτα δεν χρειάζεται να εκφραστεί. Στη δεύτερη εξίσωση Χ = y+ 1 μεταβλητή Χέχει ήδη εκφραστεί. Αυτή η μεταβλητή είναι ίση με την έκφραση y+ 1 . Στη συνέχεια, μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτήν την έκφραση στην πρώτη εξίσωση αντί για τη μεταβλητή Χ

Μετά την αντικατάσταση της έκφρασης y+ 1 στην πρώτη εξίσωση Χ, παίρνουμε την εξίσωση 25(y+ 1) + 10y= 200 . Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή. Αυτή η εξίσωση είναι αρκετά εύκολο να λυθεί:

Βρήκαμε την τιμή της μεταβλητής y. Τώρα ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή σε μία από τις εξισώσεις και ας βρούμε την τιμή Χ. Για αυτό είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη εξίσωση Χ = y+ 1 . Ας αντικαταστήσουμε την τιμή σε αυτό y

Αυτό σημαίνει ότι το ζεύγος (6; 5) είναι μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων, όπως θέλαμε. Ελέγχουμε και βεβαιωνόμαστε ότι το ζεύγος (6; 5) ικανοποιεί το σύστημα:

Παράδειγμα 2

Ας αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση Χ= 2 + yστη δεύτερη εξίσωση 3 x− 2y= 9. Στην πρώτη εξίσωση η μεταβλητή Χίσο με την έκφραση 2 + y. Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στη δεύτερη εξίσωση αντί για Χ

Τώρα ας βρούμε την τιμή Χ. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε την τιμή yστην πρώτη εξίσωση Χ= 2 + y

Αυτό σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι η τιμή του ζεύγους (5; 3)

Παράδειγμα 3. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:

Εδώ, σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα, μία από τις μεταβλητές δεν εκφράζεται ρητά.

Για να αντικαταστήσετε μια εξίσωση με μια άλλη, χρειάζεστε πρώτα .

Συνιστάται να εκφράζεται η μεταβλητή που έχει συντελεστή 1. Η μεταβλητή έχει συντελεστή 1 Χ, που περιέχεται στην πρώτη εξίσωση Χ+ 2y= 11. Ας εκφράσουμε αυτή τη μεταβλητή.

Μετά από μεταβλητή έκφραση Χ, το σύστημά μας θα έχει την ακόλουθη μορφή:

Τώρα ας αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση με τη δεύτερη και ας βρούμε την τιμή y

Ας αντικαταστήσουμε y Χ

Αυτό σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι ένα ζεύγος τιμών (3; 4)

Φυσικά, μπορείτε επίσης να εκφράσετε μια μεταβλητή y. Αυτό δεν θα αλλάξει τις ρίζες. Αν όμως εκφραστείς y,Το αποτέλεσμα δεν είναι μια πολύ απλή εξίσωση, η οποία θα πάρει περισσότερο χρόνο για να λυθεί. Θα μοιάζει με αυτό:

Βλέπουμε ότι σε αυτό το παράδειγμα εκφράζουμε Χπολύ πιο βολικό από το να εκφράζεις y .

Παράδειγμα 4. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:

Ας το εκφράσουμε στην πρώτη εξίσωση Χ. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

y

Ας αντικαταστήσουμε yστην πρώτη εξίσωση και βρείτε Χ. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αρχική εξίσωση 7 Χ+ 9y= 8, ή χρησιμοποιήστε την εξίσωση στην οποία εκφράζεται η μεταβλητή Χ. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτήν την εξίσωση επειδή είναι βολικό:

Αυτό σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι ένα ζεύγος τιμών (5; −3)

Μέθοδος προσθήκης

Η μέθοδος πρόσθεσης συνίσταται στην προσθήκη των εξισώσεων που περιλαμβάνονται στο σύστημα όρο προς όρο. Αυτή η προσθήκη οδηγεί σε μια νέα εξίσωση με μία μεταβλητή. Και η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης είναι αρκετά απλή.

Ας λύσουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

Ας προσθέσουμε την αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης με την αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης. Και η δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης. Παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα:

Ας δούμε παρόμοιους όρους:

Ως αποτέλεσμα, πήραμε την απλούστερη εξίσωση 3 Χ= 27 του οποίου η ρίζα είναι 9. Γνωρίζοντας την τιμή Χμπορείτε να βρείτε την τιμή y. Ας αντικαταστήσουμε την τιμή Χστη δεύτερη εξίσωση x−y= 3. Παίρνουμε 9 − y= 3. Από εδώ y= 6 .

Αυτό σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι ένα ζεύγος τιμών (9; 6)

Παράδειγμα 2

Ας προσθέσουμε την αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης με την αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης. Και η δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης. Στην ισότητα που προκύπτει παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους:

Ως αποτέλεσμα, πήραμε την απλούστερη εξίσωση 5 Χ= 20, του οποίου η ρίζα είναι 4. Γνωρίζοντας την τιμή Χμπορείτε να βρείτε την τιμή y. Ας αντικαταστήσουμε την τιμή Χστην πρώτη εξίσωση 2 x+y= 11. Ας πάρουμε 8+ y= 11. Από εδώ y= 3 .

Αυτό σημαίνει ότι η λύση στο σύστημα είναι ένα ζεύγος τιμών (4;3)

Η διαδικασία προσθήκης δεν περιγράφεται λεπτομερώς. Πρέπει να γίνει διανοητικά. Κατά την πρόσθεση, και οι δύο εξισώσεις πρέπει να μειωθούν σε κανονική μορφή. Δηλαδή παρεμπιπτόντως ac + by = c .

Από τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, είναι σαφές ότι ο κύριος σκοπός της προσθήκης εξισώσεων είναι να απαλλαγούμε από μία από τις μεταβλητές. Αλλά δεν είναι πάντα δυνατό να λυθεί αμέσως ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Τις περισσότερες φορές, το σύστημα φέρεται αρχικά σε μια μορφή στην οποία μπορούν να προστεθούν οι εξισώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα.

Για παράδειγμα, το σύστημα μπορεί να λυθεί άμεσα με προσθήκη. Κατά την προσθήκη και των δύο εξισώσεων, οι όροι yΚαι −yθα εξαφανιστεί επειδή το άθροισμά τους είναι μηδέν. Ως αποτέλεσμα, σχηματίζεται η απλούστερη εξίσωση 11 Χ= 22, του οποίου η ρίζα είναι 2. Τότε θα είναι δυνατό να προσδιοριστεί yίσο με 5.

Και το σύστημα των εξισώσεων Η μέθοδος πρόσθεσης δεν μπορεί να επιλυθεί αμέσως, καθώς αυτό δεν θα οδηγήσει στην εξαφάνιση μιας από τις μεταβλητές. Η πρόσθεση θα έχει ως αποτέλεσμα την εξίσωση 8 Χ+ y= 28, που έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, όχι ίσο με το μηδέν, παίρνετε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη. Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Μία από τις εξισώσεις (ή και οι δύο εξισώσεις) μπορεί να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα ισοδύναμο σύστημα, οι ρίζες του οποίου θα συμπίπτουν με το προηγούμενο.

Ας επιστρέψουμε στο πρώτο κιόλας σύστημα, που περιέγραφε πόσα κέικ και φλιτζάνια καφέ αγόρασε ένας μαθητής. Η λύση σε αυτό το σύστημα ήταν ένα ζεύγος τιμών (6; 5).

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο εξισώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα με κάποιους αριθμούς. Ας υποθέσουμε ότι πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3

Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα σύστημα
Η λύση σε αυτό το σύστημα εξακολουθεί να είναι το ζεύγος τιμών (6; 5)

Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις που περιλαμβάνονται στο σύστημα μπορούν να αναχθούν σε μια μορφή κατάλληλη για την εφαρμογή της μεθόδου πρόσθεσης.

Ας επιστρέψουμε στο σύστημα , το οποίο δεν μπορέσαμε να λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης.

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με 6 και τη δεύτερη με −2

Τότε έχουμε το εξής σύστημα:

Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα. Προσθήκη εξαρτημάτων 12 Χκαι −12 Χθα έχει ως αποτέλεσμα 0, προσθήκη 18 yκαι 4 yθα δώσει 22 y, και προσθέτοντας 108 και −20 δίνουμε 88. Τότε παίρνουμε την εξίσωση 22 y= 88, από εδώ y = 4 .

Εάν στην αρχή είναι δύσκολο να προσθέσετε εξισώσεις στο μυαλό σας, τότε μπορείτε να γράψετε πώς η αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης αθροίζεται με την αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης και η δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεύτερη εξίσωση:

Γνωρίζοντας ότι η τιμή της μεταβλητής yισούται με 4, μπορείτε να βρείτε την τιμή Χ. Ας αντικαταστήσουμε yσε μια από τις εξισώσεις, για παράδειγμα στην πρώτη εξίσωση 2 Χ+ 3y= 18. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση με μία μεταβλητή 2 Χ+ 12 = 18. Ας μετακινηθούμε 12 στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο, παίρνουμε 2 Χ= 6, από εδώ Χ = 3 .

Παράδειγμα 4. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με −1. Τότε το σύστημα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Ας προσθέσουμε και τις δύο εξισώσεις. Προσθήκη εξαρτημάτων ΧΚαι −xθα έχει ως αποτέλεσμα 0, προσθήκη 5 yκαι 3 yθα δώσει 8 y, και προσθέτοντας 7 και 1 δίνουμε 8. Το αποτέλεσμα είναι η εξίσωση 8 y= 8 του οποίου η ρίζα είναι 1. Γνωρίζοντας ότι η τιμή yισούται με 1, μπορείτε να βρείτε την τιμή Χ .

Ας αντικαταστήσουμε yστην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε Χ+ 5 = 7, επομένως Χ= 2

Παράδειγμα 5. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

Είναι επιθυμητό οι όροι που περιέχουν τις ίδιες μεταβλητές να βρίσκονται ο ένας κάτω από τον άλλο. Επομένως, στη δεύτερη εξίσωση οι όροι 5 yκαι −2 ΧΑς ανταλλάξουμε θέσεις. Ως αποτέλεσμα, το σύστημα θα λάβει τη μορφή:

Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση επί 3. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Τώρα ας προσθέσουμε και τις δύο εξισώσεις. Ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης παίρνουμε την εξίσωση 8 y= 16, του οποίου η ρίζα είναι 2.

Ας αντικαταστήσουμε yστην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε 6 Χ− 14 = 40. Ας μετακινήσουμε τον όρο −14 στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο και πάρουμε 6 Χ= 54 . Από εδώ Χ= 9.

Παράδειγμα 6. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

Ας απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με 36 και τη δεύτερη με 12

Στο σύστημα που προκύπτει η πρώτη εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με −5 και η δεύτερη με 8

Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις στο προκύπτον σύστημα. Τότε παίρνουμε την απλούστερη εξίσωση −13 y= −156 . Από εδώ y= 12. Ας αντικαταστήσουμε yστην πρώτη εξίσωση και βρείτε Χ

Παράδειγμα 7. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

Ας φέρουμε και τις δύο εξισώσεις σε κανονική μορφή. Εδώ είναι βολικό να εφαρμοστεί ο κανόνας της αναλογίας και στις δύο εξισώσεις. Εάν στην πρώτη εξίσωση η δεξιά πλευρά παριστάνεται ως , και η δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης ως , τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Έχουμε μια αναλογία. Ας πολλαπλασιάσουμε τους ακραίους και μεσαίους όρους του. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση επί −3 και ας ανοίξουμε τις αγκύλες στη δεύτερη:

Τώρα ας προσθέσουμε και τις δύο εξισώσεις. Ως αποτέλεσμα της προσθήκης αυτών των εξισώσεων, παίρνουμε μια ισότητα με μηδέν και στις δύο πλευρές:

Αποδεικνύεται ότι το σύστημα έχει αμέτρητες λύσεις.

Αλλά δεν μπορούμε να πάρουμε απλώς αυθαίρετες τιμές από τον ουρανό ΧΚαι y. Μπορούμε να καθορίσουμε μία από τις τιμές και η άλλη θα καθοριστεί ανάλογα με την τιμή που καθορίζουμε. Για παράδειγμα, ας Χ= 2. Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στο σύστημα:

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης μιας από τις εξισώσεις, η τιμή για y, που θα ικανοποιήσει και τις δύο εξισώσεις:

Το προκύπτον ζεύγος τιμών (2; −2) θα ικανοποιήσει το σύστημα:

Ας βρούμε ένα άλλο ζευγάρι τιμών. Αφήνω Χ= 4. Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στο σύστημα:

Μπορείτε να πείτε με το μάτι ότι η αξία yισούται με μηδέν. Στη συνέχεια, παίρνουμε ένα ζεύγος τιμών (4; 0) που ικανοποιεί το σύστημά μας:

Παράδειγμα 8. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης:

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με 6 και τη δεύτερη με 12

Ας ξαναγράψουμε ό,τι έχει απομείνει:

Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με −1. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Τώρα ας προσθέσουμε και τις δύο εξισώσεις. Ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης, σχηματίζεται η εξίσωση 6 σι= 48, του οποίου η ρίζα είναι 8. Αντικαταστήστε σιστην πρώτη εξίσωση και βρείτε ένα

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων με τρεις μεταβλητές

Μια γραμμική εξίσωση με τρεις μεταβλητές περιλαμβάνει τρεις μεταβλητές με συντελεστές, καθώς και έναν όρο τομής. Σε κανονική μορφή μπορεί να γραφτεί ως εξής:

τσεκούρι + κατά + cz = d

Αυτή η εξίσωση έχει αμέτρητες λύσεις. Δίνοντας διαφορετικές τιμές σε δύο μεταβλητές, μπορεί να βρεθεί μια τρίτη τιμή. Η λύση σε αυτή την περίπτωση είναι ένα τριπλό τιμών ( Χ; y; z) που μετατρέπει την εξίσωση σε ταυτότητα.

Αν οι μεταβλητές x, y, zδιασυνδέονται με τρεις εξισώσεις, τότε σχηματίζεται ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις μεταβλητές. Για να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες μεθόδους που ισχύουν για γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές: τη μέθοδο αντικατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.

Παράδειγμα 1. Λύστε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης:

Ας το εκφράσουμε στην τρίτη εξίσωση Χ. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Τώρα ας κάνουμε την αντικατάσταση. Μεταβλητός Χισούται με την έκφραση 3 − 2y − 2z . Ας αντικαταστήσουμε αυτή την έκφραση στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση:

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και στις δύο εξισώσεις και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:

Φτάσαμε σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Σε αυτή την περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο προσθήκης. Ως αποτέλεσμα, η μεταβλητή yθα εξαφανιστεί και μπορούμε να βρούμε την τιμή της μεταβλητής z

Τώρα ας βρούμε την τιμή y. Για να γίνει αυτό, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση − y+ z= 4. Αντικαταστήστε την τιμή σε αυτό z

Τώρα ας βρούμε την τιμή Χ. Για να γίνει αυτό, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση Χ= 3 − 2y − 2z . Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές σε αυτό yΚαι z

Έτσι, το τριπλό των τιμών (3; −2; 2) είναι μια λύση στο σύστημά μας. Ελέγχοντας βεβαιωνόμαστε ότι αυτές οι τιμές ικανοποιούν το σύστημα:

Παράδειγμα 2. Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης

Ας προσθέσουμε την πρώτη εξίσωση με τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί −2.

Αν η δεύτερη εξίσωση πολλαπλασιαστεί με −2, παίρνει τη μορφή −6Χ+ 6y − 4z = −4 . Τώρα ας το προσθέσουμε στην πρώτη εξίσωση:

Βλέπουμε ότι ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών προσδιορίστηκε η τιμή της μεταβλητής Χ. Είναι ίσο με ένα.

Ας επιστρέψουμε στο κύριο σύστημα. Ας προσθέσουμε τη δεύτερη εξίσωση με την τρίτη, πολλαπλασιαζόμενη επί −1. Αν η τρίτη εξίσωση πολλαπλασιαστεί με −1, παίρνει τη μορφή −4Χ + 5y − 2z = −1 . Τώρα ας το προσθέσουμε στη δεύτερη εξίσωση:

Πήραμε την εξίσωση x− 2y= −1. Ας αντικαταστήσουμε την τιμή σε αυτό Χπου βρήκαμε νωρίτερα. Τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή y

Τώρα ξέρουμε τις έννοιες ΧΚαι y. Αυτό σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την τιμή z. Ας χρησιμοποιήσουμε μία από τις εξισώσεις που περιλαμβάνονται στο σύστημα:

Έτσι, το τριπλό των τιμών (1; 1; 1) είναι η λύση στο σύστημά μας. Ελέγχοντας βεβαιωνόμαστε ότι αυτές οι τιμές ικανοποιούν το σύστημα:

Προβλήματα σύνθεσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Το έργο της σύνθεσης συστημάτων εξισώσεων λύνεται με την εισαγωγή πολλών μεταβλητών. Στη συνέχεια, συντάσσονται εξισώσεις με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Από τις μεταγλωττισμένες εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα και το λύνουν. Έχοντας λύσει το σύστημα, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν η λύση του ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

Πρόβλημα 1. Ένα αυτοκίνητο Βόλγα έφυγε από την πόλη προς το συλλογικό αγρόκτημα. Επέστρεψε κατά μήκος ενός άλλου δρόμου, ο οποίος ήταν 5 χλμ. μικρότερος από τον πρώτο. Συνολικά, το αυτοκίνητο διένυσε 35 χιλιόμετρα μετ' επιστροφής. Πόσα χιλιόμετρα είναι το μήκος κάθε δρόμου;

Λύση

Αφήνω Χ-μήκος του πρώτου δρόμου, y- μήκος του δεύτερου. Εάν το αυτοκίνητο διένυσε 35 km μετ' επιστροφής, τότε η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως Χ+ y= 35. Αυτή η εξίσωση περιγράφει το άθροισμα των μηκών και των δύο δρόμων.

Λέγεται ότι το αυτοκίνητο επέστρεψε κατά μήκος ενός δρόμου που ήταν 5 χλμ πιο κοντός από τον πρώτο. Τότε η δεύτερη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως Χ− y= 5. Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η διαφορά μεταξύ των μηκών του δρόμου είναι 5 km.

Ή η δεύτερη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως Χ= y+ 5. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξίσωση.

Επειδή οι μεταβλητές ΧΚαι yκαι στις δύο εξισώσεις δηλώνουν τον ίδιο αριθμό, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα σύστημα από αυτές:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας μερικές από τις μεθόδους που μελετήθηκαν προηγουμένως. Σε αυτή την περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος αντικατάστασης, αφού στη δεύτερη εξίσωση η μεταβλητή Χέχει ήδη εκφραστεί.

Αντικαταστήστε τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη και βρείτε y

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε yστη δεύτερη εξίσωση Χ= y+ 5 και θα βρούμε Χ

Το μήκος του πρώτου δρόμου ορίστηκε μέσω της μεταβλητής Χ. Τώρα βρήκαμε το νόημά του. Μεταβλητός Χισούται με 20. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του πρώτου δρόμου είναι 20 χλμ.

Και το μήκος του δεύτερου δρόμου υποδεικνύονταν από y. Η τιμή αυτής της μεταβλητής είναι 15. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του δεύτερου δρόμου είναι 15 km.

Ας ελέγξουμε. Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι το σύστημα έχει λυθεί σωστά:

Τώρα ας ελέγξουμε αν η λύση (20; 15) ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

Λέγεται ότι το αυτοκίνητο διένυσε συνολικά 35 χιλιόμετρα μετ' επιστροφής. Προσθέτουμε τα μήκη και των δύο δρόμων και βεβαιωνόμαστε ότι η λύση (20; 15) ικανοποιεί αυτήν την προϋπόθεση: 20 km + 15 km = 35 km

Η ακόλουθη προϋπόθεση: το αυτοκίνητο επέστρεψε κατά μήκος ενός άλλου δρόμου, ο οποίος ήταν 5 χλμ. μικρότερος από τον πρώτο . Βλέπουμε ότι η λύση (20; 15) ικανοποιεί επίσης αυτήν την προϋπόθεση, καθώς τα 15 km είναι μικρότερα από 20 km επί 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Κατά τη σύνθεση ενός συστήματος, είναι σημαντικό οι μεταβλητές να αντιπροσωπεύουν τους ίδιους αριθμούς σε όλες τις εξισώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύστημα.

Άρα το σύστημά μας περιέχει δύο εξισώσεις. Αυτές οι εξισώσεις με τη σειρά τους περιέχουν μεταβλητές ΧΚαι y, που αντιπροσωπεύουν τους ίδιους αριθμούς και στις δύο εξισώσεις, δηλαδή μήκη δρόμων 20 km και 15 km.

Πρόβλημα 2. Στρωτήρες βελανιδιάς και πεύκου φορτώθηκαν στην πλατφόρμα, 300 στρωτήρες συνολικά. Είναι γνωστό ότι όλα τα δρύινα στρωτήρια ζύγιζαν 1 τόνο λιγότερο από όλα τα πευκόφυτα. Προσδιορίστε πόσες στρωτήρες δρυός και πεύκου υπήρχαν χωριστά, εάν κάθε στρωτήρας δρυός ζύγιζε 46 κιλά και κάθε στρωτήρας πεύκου 28 κιλά.

Λύση

Αφήνω Χδρυς και yπευκόστρωτα φορτώθηκαν στην πλατφόρμα. Εάν υπήρχαν 300 στρωτήρες συνολικά, τότε η πρώτη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως x+y = 300 .

Όλοι οι δρύινοι στρωτήρες ζύγιζαν 46 Χκιλά και τα πεύκα ζύγιζαν 28 yκιλό. Δεδομένου ότι οι στρωτήρες δρυός ζύγιζαν 1 τόνο λιγότερο από τους στρωτήρες πεύκου, η δεύτερη εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 28y − 46Χ= 1000 . Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η διαφορά μάζας μεταξύ των στρωτηρίων δρυός και πεύκου είναι 1000 kg.

Οι τόνοι μετατράπηκαν σε κιλά, αφού η μάζα των στρωτηρίων βελανιδιάς και πεύκου μετρήθηκε σε κιλά.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε δύο εξισώσεις που σχηματίζουν το σύστημα

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα. Ας το εκφράσουμε στην πρώτη εξίσωση Χ. Τότε το σύστημα θα πάρει τη μορφή:

Αντικαταστήστε την πρώτη εξίσωση με τη δεύτερη και βρείτε y

Ας αντικαταστήσουμε yστην εξίσωση Χ= 300 − yκαι μάθετε τι είναι Χ

Αυτό σημαίνει ότι 100 στρωτήρες βελανιδιάς και 200 ​​στρωτήρες πεύκου φορτώθηκαν στην πλατφόρμα.

Ας ελέγξουμε αν η λύση (100; 200) ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος. Αρχικά, ας βεβαιωθούμε ότι το σύστημα έχει λυθεί σωστά:

Ειπώθηκε ότι υπήρχαν 300 στρωτήρες συνολικά. Προσθέτουμε τον αριθμό των στρωτηρίων βελανιδιάς και πεύκου και βεβαιωνόμαστε ότι η λύση (100; 200) ικανοποιεί αυτήν την προϋπόθεση: 100 + 200 = 300.

Η ακόλουθη προϋπόθεση: Όλες οι δρύινες στρωτήρες ζύγιζαν 1 τόνο λιγότερο από όλες τις στρωτήρες πεύκου . Βλέπουμε ότι η λύση (100; 200) ικανοποιεί επίσης αυτήν την προϋπόθεση, καθώς 46 × 100 kg δρύινων στρωτηρίων είναι ελαφρύτερα από 28 × 200 kg στρωτήρες πεύκου: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Πρόβλημα 3. Πήραμε τρία κομμάτια κράματος χαλκού-νικελίου σε αναλογίες 2: 1, 3: 1 και 5: 1 κατά βάρος. Ένα τεμάχιο βάρους 12 κιλών συντήχθηκε από αυτά με αναλογία περιεκτικότητας σε χαλκό και νικέλιο 4: 1. Βρείτε τη μάζα κάθε αρχικού κομματιού αν η μάζα του πρώτου είναι διπλάσια από τη μάζα του δεύτερου.

Οπου Χ* - μία από τις λύσεις στο ανομοιογενές σύστημα (2) (για παράδειγμα (4)), (E−A+A)σχηματίζει τον πυρήνα (μηδενικός χώρος) του πίνακα ΕΝΑ.

Ας κάνουμε μια σκελετική αποσύνθεση της μήτρας (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Οπου Q n×n−r- πίνακας κατάταξης (Q)=n−r, μικρό n−r×n- πίνακας κατάταξης (S)=n−r.

Στη συνέχεια, το (13) μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

x=x*+Q·k, ∀ κ ∈ Rn-r.

Οπου k=Sz.

Ετσι, διαδικασία για την εξεύρεση γενικής λύσηςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων που χρησιμοποιούν ψευδοαντίστροφο πίνακα μπορούν να αναπαρασταθούν με την ακόλουθη μορφή:

1. Υπολογισμός του ψευδοαντίστροφου πίνακα ΕΝΑ + .
2. Υπολογίζουμε μια συγκεκριμένη λύση στο ανομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων (2): Χ*=ΕΝΑ + σι.
3. Ελέγχουμε τη συμβατότητα του συστήματος. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε Α.Α. + σι. Αν Α.Α. + σι≠σι, τότε το σύστημα είναι ασυνεπές. Διαφορετικά, συνεχίζουμε τη διαδικασία.
4. Ας το καταλάβουμε E−A+A.
5. Κάνοντας σκελετική αποσύνθεση E−A + A=Q·S.
6. Χτίζοντας μια λύση

x=x*+Q·k, ∀ κ ∈ Rn-r.

Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων διαδικτυακά

Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να βρείτε τη γενική λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με λεπτομερείς επεξηγήσεις.

Ωστόσο, στην πράξη είναι ευρέως διαδεδομένες δύο ακόμη περιπτώσεις:

– Το σύστημα είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις).
– Το σύστημα είναι συνεπές και έχει άπειρες λύσεις.

Σημείωση : Ο όρος «συνέπεια» υπονοεί ότι το σύστημα έχει τουλάχιστον κάποια λύση. Σε ορισμένα προβλήματα, είναι απαραίτητο να εξετάσετε πρώτα το σύστημα ως προς τη συμβατότητα· πώς να το κάνετε αυτό, δείτε το άρθρο σχετικά με κατάταξη πινάκων.

Για αυτά τα συστήματα, χρησιμοποιείται η πιο καθολική από όλες τις μεθόδους λύσης - Γκαουσιανή μέθοδος. Στην πραγματικότητα, η μέθοδος του "σχολείου" θα οδηγήσει επίσης στην απάντηση, αλλά στα ανώτερα μαθηματικά συνηθίζεται να χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων. Όσοι δεν είναι εξοικειωμένοι με τον αλγόριθμο της μεθόδου Gauss, παρακαλούμε να μελετήσουν πρώτα το μάθημα Gaussian μέθοδος για ανδρείκελα.

Οι ίδιοι οι μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα είναι ακριβώς οι ίδιοι, η διαφορά θα είναι στο τέλος της λύσης. Αρχικά, ας δούμε μερικά παραδείγματα όταν το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπή).

Παράδειγμα 1

Τι σας τραβάει αμέσως το μάτι σε αυτό το σύστημα; Ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Αν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι το σύστημα είτε είναι ασυνεπές είτε έχει άπειρες λύσεις. Και το μόνο που μένει είναι να μάθουμε.

Η αρχή της λύσης είναι εντελώς συνηθισμένη - γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια σταδιακή μορφή:

(1) Στο επάνω αριστερό βήμα πρέπει να πάρουμε +1 ή –1. Δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί στην πρώτη στήλη, επομένως η αναδιάταξη των σειρών δεν θα δώσει τίποτα. Η μονάδα θα πρέπει να οργανωθεί μόνη της, και αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό: Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε την τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1.

(2) Τώρα παίρνουμε δύο μηδενικά στην πρώτη στήλη. Στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 3. Στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 5.

(3) Μετά την ολοκλήρωση του μετασχηματισμού, είναι πάντα σκόπιμο να δούμε εάν είναι δυνατόν να απλοποιηθούν οι συμβολοσειρές που προκύπτουν; Μπορώ. Διαιρούμε τη δεύτερη γραμμή με το 2, παίρνοντας ταυτόχρονα το απαιτούμενο –1 στο δεύτερο βήμα. Διαιρέστε την τρίτη γραμμή με –3.

(4) Προσθέστε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή.

Πιθανώς όλοι παρατήρησαν την κακή γραμμή που προέκυψε από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς: . Είναι σαφές ότι αυτό δεν μπορεί να είναι έτσι. Πράγματι, ας ξαναγράψουμε τον πίνακα που προκύπτει πίσω στο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Εάν, ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, ληφθεί μια συμβολοσειρά της μορφής, όπου είναι ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, τότε το σύστημα είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις).

Πώς να γράψετε το τέλος μιας εργασίας; Ας σχεδιάσουμε με λευκή κιμωλία: «ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, λαμβάνεται μια συμβολοσειρά της μορφής , όπου » και δίνουμε την απάντηση: το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπής).

Εάν, σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται ΕΡΕΥΝΑ για συμβατότητα του συστήματος, τότε είναι απαραίτητο να επισημοποιηθεί η λύση σε πιο σταθερό στυλ χρησιμοποιώντας την έννοια κατάταξη μήτρας και το θεώρημα Kronecker-Capelli.

Λάβετε υπόψη ότι δεν υπάρχει αντιστροφή του αλγόριθμου Gauss εδώ - δεν υπάρχουν λύσεις και απλά δεν υπάρχει τίποτα να βρείτε.

Παράδειγμα 2

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Σας υπενθυμίζω ξανά ότι η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου λύση· ο αλγόριθμος Gauss δεν έχει ισχυρή «ακαμψία».

Ένα άλλο τεχνικό χαρακτηριστικό της λύσης: οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μπορούν να σταματήσουν Με τη μία, μόλις μια γραμμή όπως , όπου . Ας εξετάσουμε ένα υπό όρους παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι μετά τον πρώτο μετασχηματισμό λαμβάνεται ο πίνακας . Η μήτρα δεν έχει ακόμη αναχθεί σε μορφή κλιμακίου, αλλά δεν χρειάζεται περαιτέρω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί, αφού εμφανίστηκε μια γραμμή της φόρμας, όπου . Θα πρέπει να δοθεί άμεσα η απάντηση ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο.

Όταν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις, αυτό είναι σχεδόν δώρο, λόγω του γεγονότος ότι επιτυγχάνεται μια σύντομη λύση, μερικές φορές κυριολεκτικά σε 2-3 βήματα.

Αλλά τα πάντα σε αυτόν τον κόσμο είναι ισορροπημένα και ένα πρόβλημα στο οποίο το σύστημα έχει άπειρες λύσεις είναι απλώς μεγαλύτερο.

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Υπάρχουν 4 εξισώσεις και 4 άγνωστοι, οπότε το σύστημα μπορεί είτε να έχει μία μόνο λύση, είτε να μην έχει λύσεις, είτε να έχει άπειρες λύσεις. Όπως και να έχει, η μέθοδος Gauss θα μας οδηγήσει σε κάθε περίπτωση στην απάντηση. Αυτή είναι η ευελιξία του.

Η αρχή είναι και πάλι τυπική. Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

Αυτό είναι όλο, και φοβήθηκες.

(1) Λάβετε υπόψη ότι όλοι οι αριθμοί στην πρώτη στήλη διαιρούνται με το 2, επομένως το 2 είναι μια χαρά στο επάνω αριστερό βήμα. Στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –4. Στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Στην τέταρτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1.

Προσοχή!Πολλοί μπορεί να δελεαστούν από την τέταρτη γραμμή αφαιρώπρώτη γραμμή. Αυτό μπορεί να γίνει, αλλά δεν είναι απαραίτητο· η εμπειρία δείχνει ότι η πιθανότητα λάθους στους υπολογισμούς αυξάνεται αρκετές φορές. Απλώς προσθέστε: Στην τέταρτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί –1 – ακριβώς!

(2) Οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι αναλογικές, δύο από αυτές μπορούν να διαγραφούν.

Εδώ πάλι πρέπει να δείξουμε αυξημένη προσοχή, αλλά είναι πραγματικά οι γραμμές ανάλογες; Για να είστε ασφαλείς (ειδικά για μια τσαγιέρα), θα ήταν καλή ιδέα να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με –1 και να διαιρέσετε την τέταρτη γραμμή με το 2, καταλήγοντας σε τρεις ίδιες γραμμές. Και μόνο μετά από αυτό αφαιρέστε δύο από αυτά.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, η εκτεταμένη μήτρα του συστήματος μειώνεται σε μια σταδιακή μορφή:

Όταν γράφετε μια εργασία σε ένα σημειωματάριο, συνιστάται να κάνετε τις ίδιες σημειώσεις με μολύβι για σαφήνεια.

Ας ξαναγράψουμε το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων:

Δεν υπάρχει καμία μυρωδιά μιας «συνηθισμένης» ενιαίας λύσης στο σύστημα εδώ. Δεν υπάρχει ούτε κακή γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι αυτή είναι η τρίτη περίπτωση που απομένει - το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Μερικές φορές, σύμφωνα με την προϋπόθεση, είναι απαραίτητο να διερευνηθεί η συμβατότητα του συστήματος (δηλαδή να αποδειχθεί ότι υπάρχει λύση), μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στην τελευταία παράγραφο του άρθρου Πώς να βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα;Αλλά προς το παρόν ας δούμε τα βασικά:

Ένα άπειρο σύνολο λύσεων σε ένα σύστημα γράφεται εν συντομία με τη μορφή του λεγόμενου γενική λύση του συστήματος .

Βρίσκουμε τη γενική λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας το αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Πρώτα πρέπει να ορίσουμε ποιες μεταβλητές έχουμε βασικός, και ποιες μεταβλητές Ελεύθερος. Δεν χρειάζεται να ενοχλείτε τον εαυτό σας με τους όρους της γραμμικής άλγεβρας, απλά να θυμάστε ότι υπάρχουν και τέτοιοι βασικές μεταβλητέςΚαι δωρεάν μεταβλητές.

Οι βασικές μεταβλητές «κάθονται» πάντα αυστηρά στα βήματα του πίνακα.
Σε αυτό το παράδειγμα, οι βασικές μεταβλητές είναι και

Οι δωρεάν μεταβλητές είναι το παν παραμένωνμεταβλητές που δεν έλαβαν βήμα. Στην περίπτωσή μας υπάρχουν δύο από αυτές: – ελεύθερες μεταβλητές.

Τώρα χρειάζεστε Ολα βασικές μεταβλητέςεξπρές μόνο μέσω δωρεάν μεταβλητές.

Το αντίστροφο του Gaussian αλγόριθμου λειτουργεί παραδοσιακά από κάτω προς τα πάνω.
Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος εκφράζουμε τη βασική μεταβλητή:

Δείτε τώρα την πρώτη εξίσωση: . Πρώτα αντικαθιστούμε την έκφραση που βρέθηκε σε αυτήν:

Απομένει να εκφράσουμε τη βασική μεταβλητή με όρους ελεύθερων μεταβλητών:

Στο τέλος πήραμε αυτό που χρειαζόμασταν - Ολαεκφράζονται οι βασικές μεταβλητές ( και ). μόνο μέσωδωρεάν μεταβλητές:

Στην πραγματικότητα, η γενική λύση είναι έτοιμη:

Πώς να γράψετε σωστά τη γενική λύση;
Οι ελεύθερες μεταβλητές εγγράφονται στη γενική λύση «από μόνες τους» και αυστηρά στις θέσεις τους. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ελεύθερες μεταβλητές θα πρέπει να γράφονται στη δεύτερη και τέταρτη θέση:
.

Οι παραστάσεις που προκύπτουν για τις βασικές μεταβλητές και προφανώς πρέπει να γραφτεί στην πρώτη και τρίτη θέση:

Δίνοντας δωρεάν μεταβλητές αυθαίρετες τιμές, μπορείς να βρεις άπειρα πολλά ιδιωτικές λύσεις. Οι πιο δημοφιλείς τιμές είναι τα μηδενικά, καθώς η συγκεκριμένη λύση είναι η πιο εύκολη. Ας αντικαταστήσουμε τη γενική λύση:

– ιδιωτική λύση.

Ένα άλλο γλυκό ζευγάρι είναι αυτά, ας τα αντικαταστήσουμε στη γενική λύση:

– άλλη μια ιδιωτική λύση.

Είναι εύκολο να δούμε ότι το σύστημα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις(αφού μπορούμε να δώσουμε δωρεάν μεταβλητές όποιοςαξίες)

Καθεη συγκεκριμένη λύση πρέπει να ικανοποιεί στον καθέναεξίσωση του συστήματος. Αυτή είναι η βάση για έναν «γρήγορο» έλεγχο της ορθότητας της λύσης. Πάρτε, για παράδειγμα, μια συγκεκριμένη λύση και αντικαταστήστε την στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του αρχικού συστήματος:

Όλα πρέπει να ενωθούν. Και με οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση λαμβάνετε, όλα θα πρέπει επίσης να συμφωνούν.

Αλλά, αυστηρά μιλώντας, ο έλεγχος μιας συγκεκριμένης λύσης είναι μερικές φορές παραπλανητικός, δηλ. κάποια συγκεκριμένη λύση μπορεί να ικανοποιεί κάθε εξίσωση του συστήματος, αλλά η ίδια η γενική λύση βρίσκεται στην πραγματικότητα εσφαλμένα.

Επομένως, η επαλήθευση της γενικής λύσης είναι πιο ενδελεχής και αξιόπιστη. Πώς να ελέγξετε τη γενική λύση που προκύπτει ?

Δεν είναι δύσκολο, αλλά αρκετά κουραστικό. Πρέπει να πάρουμε εκφράσεις βασικόςμεταβλητές, σε αυτή την περίπτωση και , και αντικαταστήστε τα στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος.

Στην αριστερή πλευρά της πρώτης εξίσωσης του συστήματος:

Στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης του συστήματος:


Λαμβάνεται η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 4

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Βρείτε τη γενική λύση και δύο συγκεκριμένες. Ελέγξτε τη γενική λύση.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Εδώ, παρεμπιπτόντως, και πάλι ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων, πράγμα που σημαίνει ότι είναι αμέσως σαφές ότι το σύστημα είτε θα είναι ασυνεπές είτε θα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Τι είναι σημαντικό στην ίδια τη διαδικασία λήψης αποφάσεων; Προσοχή και πάλι προσοχή. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Και μερικά ακόμη παραδείγματα για την ενίσχυση του υλικού

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Εάν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, βρείτε δύο συγκεκριμένες λύσεις και ελέγξτε τη γενική λύση

Λύση: Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή:

(1) Προσθέστε την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή. Στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 2. Στην τέταρτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 3.
(2) Στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –5. Στην τέταρτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –7.
(3) Η τρίτη και η τέταρτη γραμμή είναι ίδιες, διαγράφουμε μία από αυτές.

Αυτή είναι μια τέτοια ομορφιά:

Οι βασικές μεταβλητές κάθονται στα βήματα, επομένως - οι βασικές μεταβλητές.
Υπάρχει μόνο μία δωρεάν μεταβλητή που δεν έλαβε βήμα:

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ:
Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές μέσω μιας ελεύθερης μεταβλητής:
Από την τρίτη εξίσωση:

Ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσωση και ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που βρέθηκε:

Ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση και ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν και σε αυτήν:

Ναι, μια αριθμομηχανή που υπολογίζει συνηθισμένα κλάσματα εξακολουθεί να είναι βολική.

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Για άλλη μια φορά, πώς έγινε; Η ελεύθερη μεταβλητή βρίσκεται μόνη της στην τέταρτη θέση που δικαιούται. Οι παραστάσεις που προέκυψαν για τις βασικές μεταβλητές πήραν επίσης τις τακτικές τους θέσεις.

Ας ελέγξουμε αμέσως τη γενική λύση. Η δουλειά είναι για μαύρους, αλλά την έχω κάνει ήδη, οπότε πιάστε το =)

Αντικαθιστούμε τρεις ήρωες , , στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος:

Λαμβάνονται οι αντίστοιχες δεξιές πλευρές των εξισώσεων, οπότε η γενική λύση βρίσκεται σωστά.

Τώρα από τη γενική λύση που βρέθηκε λαμβάνουμε δύο συγκεκριμένες λύσεις. Η μόνη δωρεάν μεταβλητή εδώ είναι ο σεφ. Δεν χρειάζεται να μαζεύετε το μυαλό σας.

Ας είναι τότε – ιδιωτική λύση.
Ας είναι τότε – άλλη μια ιδιωτική λύση.

Απάντηση: Κοινή απόφαση: , ιδιωτικές λύσεις: , .

Δεν έπρεπε να θυμάμαι τους μαύρους... ...γιατί μου ήρθαν στο μυαλό κάθε λογής σαδιστικά κίνητρα και θυμήθηκα το διάσημο photoshop στο οποίο οι Κου Κλουξ Κλανς με λευκές ρόμπες τρέχουν στο γήπεδο κυνηγώντας έναν μαύρο ποδοσφαιριστή. Κάθομαι και χαμογελάω ήσυχα. Ξέρεις πόσο αποσπά την προσοχή...

Τα πολλά μαθηματικά είναι επιβλαβή, οπότε ένα παρόμοιο τελικό παράδειγμα για να τα λύσετε μόνοι σας.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων.

Έχω ήδη ελέγξει τη γενική λύση, η απάντηση μπορεί να είναι αξιόπιστη. Η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου λύση, το κύριο πράγμα είναι ότι οι γενικές λύσεις συμπίπτουν.

Πιθανώς, πολλοί άνθρωποι παρατήρησαν μια δυσάρεστη στιγμή στις λύσεις: πολύ συχνά, κατά την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss, έπρεπε να τσιμπήσουμε με συνηθισμένα κλάσματα. Στην πράξη, αυτό συμβαίνει πράγματι· οι περιπτώσεις όπου δεν υπάρχουν κλάσματα είναι πολύ λιγότερο συχνές. Να είστε προετοιμασμένοι ψυχικά και, κυρίως, τεχνικά.

Θα σταθώ σε κάποια χαρακτηριστικά της λύσης που δεν βρέθηκαν στα λυμένα παραδείγματα.

Η γενική λύση του συστήματος μπορεί μερικές φορές να περιλαμβάνει μια σταθερά (ή σταθερές), για παράδειγμα: . Εδώ μία από τις βασικές μεταβλητές ισούται με σταθερό αριθμό: . Δεν υπάρχει τίποτα εξωτικό σε αυτό, συμβαίνει. Προφανώς, σε αυτή την περίπτωση, οποιαδήποτε συγκεκριμένη λύση θα περιέχει ένα πεντάρι στην πρώτη θέση.

Σπάνια, αλλά υπάρχουν συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Η μέθοδος Gaussian λειτουργεί στις πιο σοβαρές συνθήκες· θα πρέπει κανείς να μειώσει ήρεμα τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος σε μια σταδιακή μορφή χρησιμοποιώντας έναν τυπικό αλγόριθμο. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να είναι ασυνεπές, μπορεί να έχει άπειρες λύσεις και, παραδόξως, μπορεί να έχει μία μόνο λύση.

Σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστουςονομάζεται σύστημα της μορφής

Οπου ένα ijΚαι β i (Εγώ=1,…,Μ; σι=1,…,n) είναι κάποιοι γνωστοί αριθμοί και x 1,…,x n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijπρώτος δείκτης Εγώδηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης, και το δεύτερο ι– ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής.

Θα γράψουμε τους συντελεστές για τους αγνώστους με τη μορφή πίνακα , που θα καλέσουμε μήτρα του συστήματος.

Οι αριθμοί στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων είναι b 1 ,…,b mλέγονται ελεύθερα μέλη.

Ολότητα nαριθμοί c 1 ,…,c nπου ονομάζεται απόφασηενός δεδομένου συστήματος, αν κάθε εξίσωση του συστήματος γίνεται ισότητα μετά την αντικατάσταση αριθμών σε αυτήν c 1 ,…,c nαντί των αντίστοιχων αγνώστων x 1,…,x n.

Το καθήκον μας θα είναι να βρούμε λύσεις στο σύστημα. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να προκύψουν τρεις καταστάσεις:

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται άρθρωση. Διαφορετικά, δηλ. αν το σύστημα δεν έχει λύσεις, τότε καλείται μη άρθρωση.

Ας εξετάσουμε τρόπους για να βρούμε λύσεις στο σύστημα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΗΤΡΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Οι πίνακες καθιστούν δυνατή τη σύντομη εγγραφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Έστω ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Εξετάστε τη μήτρα του συστήματος και πίνακες στήλες αγνώστων και ελεύθερων όρων

Ας βρούμε τη δουλειά

εκείνοι. Ως αποτέλεσμα του γινόμενου, λαμβάνουμε τις αριστερές πλευρές των εξισώσεων αυτού του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ισότητας πίνακα, αυτό το σύστημα μπορεί να γραφτεί στη μορφή

ή μικρότερη ΕΝΑ∙X=B.

Εδώ είναι οι πίνακες ΕΝΑΚαι σιείναι γνωστά, και η μήτρα Χάγνωστος. Είναι απαραίτητο να το βρείτε, γιατί... τα στοιχεία του είναι η λύση σε αυτό το σύστημα. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μήτρας.

Έστω η ορίζουσα μήτρας διαφορετική από το μηδέν | ΕΝΑ| ≠ 0. Τότε η εξίσωση του πίνακα λύνεται ως εξής. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης στα αριστερά με τον πίνακα Α'1, αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ: . Επειδή η Α -1 Α = ΕΚαι μι∙Χ = Χ, τότε λαμβάνουμε μια λύση στην εξίσωση του πίνακα με τη μορφή X = A -1 B .

Σημειώστε ότι εφόσον ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί μόνο για τετραγωνικούς πίνακες, η μέθοδος του πίνακα μπορεί να λύσει μόνο εκείνα τα συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων. Ωστόσο, η καταγραφή μήτρας του συστήματος είναι επίσης δυνατή στην περίπτωση που ο αριθμός των εξισώσεων δεν είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, τότε ο πίνακας ΕΝΑδεν θα είναι τετράγωνο και επομένως είναι αδύνατο να βρεθεί λύση στο σύστημα στη μορφή X = A -1 B.

Παραδείγματα.Επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

ΚΑΝΟΝΑΣ ΚΡΑΜΕΡ

Θεωρήστε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

Ορίζουσα τρίτης τάξης που αντιστοιχεί στον πίνακα συστήματος, δηλ. που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους,

που ονομάζεται καθοριστικό στοιχείο του συστήματος.

Ας συνθέσουμε τρεις ακόμη ορίζουσες ως εξής: αντικαταστήστε διαδοχικά 1, 2 και 3 στήλες στην ορίζουσα D με μια στήλη ελεύθερων όρων

Τότε μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα.

Θεώρημα (κανόνας Cramer).Αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το εξεταζόμενο σύστημα έχει μία και μόνο μία λύση, και

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε λοιπόν ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Ας πολλαπλασιάσουμε την 1η εξίσωση του συστήματος με το αλγεβρικό συμπλήρωμα Α 11στοιχείο ένα 11, 2η εξίσωση – on Α 21και 3η – στις Α 31:

Ας προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις:

Ας δούμε κάθε μία από τις αγκύλες και τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Με το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας σε στοιχεία της 1ης στήλης

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι και .

Τέλος, είναι εύκολο να το παρατηρήσετε

Έτσι, παίρνουμε την ισότητα: .

Ως εκ τούτου, .

Οι ισότητες και προκύπτουν ομοίως, από τις οποίες προκύπτει η δήλωση του θεωρήματος.

Έτσι, σημειώνουμε ότι αν η ορίζουσα του συστήματος Δ ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση και το αντίστροφο. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα είτε έχει άπειρο αριθμό λύσεων είτε δεν έχει λύσεις, δηλ. ασύμβατες.

Παραδείγματα.Επίλυση συστήματος εξισώσεων

ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS

Οι μέθοδοι που συζητήθηκαν προηγουμένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση μόνο εκείνων των συστημάτων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του συστήματος πρέπει να είναι διαφορετική από το μηδέν. Η μέθοδος Gauss είναι πιο καθολική και κατάλληλη για συστήματα με οποιοδήποτε αριθμό εξισώσεων. Συνίσταται στη συνεπή εξάλειψη αγνώστων από τις εξισώσεις του συστήματος.

Εξετάστε ξανά ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

.

Θα αφήσουμε την πρώτη εξίσωση αμετάβλητη και από τη 2η και την 3η θα εξαιρέσουμε τους όρους που περιέχουν x 1. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με ΕΝΑ 21 και πολλαπλασιάστε με - ΕΝΑ 11 και μετά προσθέστε το στην 1η εξίσωση. Ομοίως, διαιρούμε την τρίτη εξίσωση με ΕΝΑ 31 και πολλαπλασιάστε με – ΕΝΑ 11 και μετά προσθέστε το με το πρώτο. Ως αποτέλεσμα, το αρχικό σύστημα θα έχει τη μορφή:

Τώρα από την τελευταία εξίσωση εξαλείφουμε τον όρο που περιέχει x 2. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με, πολλαπλασιάστε με και προσθέστε με τη δεύτερη. Τότε θα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Από εδώ, από την τελευταία εξίσωση είναι εύκολο να βρεθεί x 3, τότε από τη 2η εξίσωση x 2και τέλος, από 1η - x 1.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian, οι εξισώσεις μπορούν να αντικατασταθούν εάν είναι απαραίτητο.

Συχνά, αντί να γράφουν ένα νέο σύστημα εξισώσεων, περιορίζονται στο να γράψουν τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

και στη συνέχεια να το φέρει σε τριγωνική ή διαγώνια μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ στοιχειώδεις μεταμορφώσειςΟι πίνακες περιλαμβάνουν τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

1. αναδιάταξη σειρών ή στηλών.
2. πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
3. προσθέτοντας άλλες γραμμές σε μια γραμμή.

Παραδείγματα:Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.

Έτσι, το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων.