Ορισμός 1:ένας πίνακας λέγεται ενικός αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.

Ορισμός 2:ένας πίνακας ονομάζεται μη ενικός εάν η ορίζοντή του δεν είναι ίση με μηδέν.

Ο πίνακας "Α" ονομάζεται αντίστροφη μήτρα, εάν η συνθήκη A*A-1 = A-1 *A = E (μονάδα πίνακα) ικανοποιείται.

Ένας τετράγωνος πίνακας είναι αντιστρέψιμος μόνο αν είναι μη ενικός.

Σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:

1) Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα "Α" αν ∆ A = 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.

2) Βρείτε όλα αλγεβρικές προσθήκεςμήτρα "Α".

3) Δημιουργήστε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών (Aij)

4) Μεταθέστε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων (Aij )T

5) Πολλαπλασιάστε τον μετατιθέμενο πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας αυτού του πίνακα.

6) Πραγματοποιήστε έλεγχο:

Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ απλά. Όλες οι λύσεις βασίζονται σε απλές αριθμητικές πράξεις, το κύριο πράγμα κατά την επίλυση είναι να μην μπερδεύεστε με τα σημάδια "-" και "+" και να μην τα χάσετε.

Τώρα ας λύσουμε μια πρακτική εργασία μαζί υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα.

Εργασία: βρείτε τον αντίστροφο πίνακα "A" που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

Επιλύουμε τα πάντα ακριβώς όπως υποδεικνύεται στο σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα.

1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα "A":

Εξήγηση:

Απλοποιήσαμε την ορίζοντή μας χρησιμοποιώντας τις βασικές της συναρτήσεις. Αρχικά, προσθέσαμε στη 2η και 3η γραμμή τα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό.

Δεύτερον, αλλάξαμε τη 2η και την 3η στήλη της ορίζουσας και σύμφωνα με τις ιδιότητές της, αλλάξαμε το πρόσημο μπροστά της.

Τρίτον, βγάλαμε τον κοινό παράγοντα (-1) της δεύτερης γραμμής, αλλάζοντας ξανά το πρόσημο και έγινε θετικός. Απλοποιήσαμε επίσης τη γραμμή 3 με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχή του παραδείγματος.

Έχουμε μια τριγωνική ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν και με την ιδιότητα 7 ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων. Στο τέλος πήραμε ∆ A = 26, επομένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Το επόμενο βήμα είναι η σύνταξη ενός πίνακα από τις προσθήκες που προκύπτουν:

5. Πολλαπλασιάστε αυτόν τον πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας, δηλαδή με το 1/26:

6. Τώρα πρέπει απλώς να ελέγξουμε:

Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, λάβαμε μια μήτρα ταυτότητας, επομένως, η λύση εκτελέστηκε απολύτως σωστά.

2 τρόπος υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα.

1. Μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα

2. Αντίστροφος πίνακας μέσω στοιχειώδους μετατροπέα.

Ο μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνει:

1. Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν.

2. Προσθήκη σε οποιαδήποτε γραμμή άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένης με έναν αριθμό.

3. Αλλάξτε τις σειρές του πίνακα.

4. Εφαρμόζοντας μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών, παίρνουμε έναν άλλο πίνακα.

ΕΝΑ -1 = ?

1. (Α|Ε) ~ (Ε|Α -1 )

2.Α -1 * A = E

Ας το δούμε αυτό χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς.

Ασκηση:Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση:

Ας ελέγξουμε:

Μια μικρή διευκρίνηση για τη λύση:

Αρχικά, αναδιατάξαμε τις σειρές 1 και 2 του πίνακα και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-1).

Μετά από αυτό, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-2) και την προσθέσαμε με τη δεύτερη σειρά του πίνακα. Στη συνέχεια πολλαπλασιάσαμε τη γραμμή 2 επί 1/4.

Το τελικό στάδιο του μετασχηματισμού ήταν ο πολλαπλασιασμός της δεύτερης γραμμής επί 2 και η πρόσθεσή της με την πρώτη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε τον πίνακα ταυτότητας στα αριστερά, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας είναι ο πίνακας στα δεξιά.

Μετά από έλεγχο, πειστήκαμε ότι η απόφαση ήταν σωστή.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα είναι πολύ απλός.

Στο τέλος αυτής της διάλεξης, θα ήθελα επίσης να αφιερώσω λίγο χρόνο στις ιδιότητες μιας τέτοιας μήτρας.

Αυτό το θέμα είναι ένα από τα πιο μισητά μεταξύ των μαθητών. Χειρότερα, μάλλον, είναι τα προκριματικά.

Το κόλπο είναι ότι η ίδια η έννοια ενός αντίστροφου στοιχείου (και δεν μιλάω μόνο για πίνακες τώρα) μας παραπέμπει στη λειτουργία του πολλαπλασιασμού. Ακόμη και σε σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΟ πολλαπλασιασμός θεωρείται πολύπλοκη πράξη και ο πολλαπλασιασμός μήτρας γενικά ξεχωριστό θέμα, στο οποίο έχω αφιερώσει μια ολόκληρη παράγραφο και βίντεο σεμινάριο.

Σήμερα δεν θα μπούμε στις λεπτομέρειες των υπολογισμών μήτρας. Ας θυμηθούμε μόνο: πώς ορίζονται οι πίνακες, πώς πολλαπλασιάζονται και τι προκύπτει από αυτό.

Κριτική: Πολλαπλασιασμός μήτρας

Πρώτα απ 'όλα, ας συμφωνήσουμε για τη σημειογραφία. Ένας πίνακας $A$ μεγέθους $\left[ m\times n \right]$ είναι απλώς ένας πίνακας αριθμών με ακριβώς $m$ σειρές και $n$ στήλες:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Για να αποφύγετε την κατά λάθος ανάμειξη σειρών και στηλών (πιστέψτε με, σε μια εξέταση μπορείτε να μπερδέψετε μια με δύο, πόσο μάλλον μερικές σειρές), απλά δείτε την εικόνα:

Προσδιορισμός δεικτών για κύτταρα μήτρας

Τι συμβαίνει? Εάν τοποθετήσετε το τυπικό σύστημα συντεταγμένων $OXY$ στην επάνω αριστερή γωνία και κατευθύνετε τους άξονες έτσι ώστε να καλύπτουν ολόκληρο τον πίνακα, τότε κάθε κελί αυτού του πίνακα μπορεί να συσχετιστεί μοναδικά με συντεταγμένες $\left(x;y \right)$ - αυτός θα είναι ο αριθμός σειράς και αριθμός στήλης.

Γιατί το σύστημα συντεταγμένων τοποθετείται στην επάνω αριστερή γωνία; Ναι, γιατί από εκεί ξεκινάμε να διαβάζουμε τυχόν κείμενα. Είναι πολύ εύκολο να το θυμάστε.

Γιατί ο άξονας $x$ κατευθύνεται προς τα κάτω και όχι προς τα δεξιά; Και πάλι, είναι απλό: πάρτε ένα τυπικό σύστημα συντεταγμένων (ο άξονας $x$ πηγαίνει προς τα δεξιά, ο άξονας $y$ ανεβαίνει) και περιστρέψτε το έτσι ώστε να καλύπτει τον πίνακα. Αυτή είναι μια περιστροφή 90 μοιρών δεξιόστροφα - βλέπουμε το αποτέλεσμα στην εικόνα.

Γενικά, καταλάβαμε πώς να προσδιορίσουμε τους δείκτες των στοιχείων μήτρας. Τώρα ας δούμε τον πολλαπλασιασμό.

Ορισμός. Οι πίνακες $A=\left[ m\times n \right]$ και $B=\left[n\times k \right]$, όταν ο αριθμός των στηλών στην πρώτη συμπίπτει με τον αριθμό των σειρών της δεύτερης, είναι ονομάζεται συνεπής.

Ακριβώς με αυτή τη σειρά. Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί και να πει ότι οι πίνακες $A$ και $B$ σχηματίζουν ένα διατεταγμένο ζεύγος $\left(A;B \right)$: εάν είναι συνεπείς σε αυτή τη σειρά, τότε δεν είναι καθόλου απαραίτητο το $B $ και $A$ αυτά. το ζεύγος $\left(B;A \right)$ είναι επίσης συνεπές.

Μόνο οι αντιστοιχισμένοι πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν.

Ορισμός. Το γινόμενο των αντιστοιχισμένων πινάκων $A=\left[ m\times n \right]$ και $B=\left[n\times k \right]$ είναι ο νέος πίνακας $C=\left[ m\times k \right ]$ , τα στοιχεία του οποίου $((c)_(ij))$ υπολογίζονται σύμφωνα με τον τύπο:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Με άλλα λόγια: για να λάβετε το στοιχείο $((c)_(ij))$ του πίνακα $C=A\cdot B$, πρέπει να πάρετε τη σειρά $i$ του πρώτου πίνακα, το $j$ -η στήλη του δεύτερου πίνακα και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε σε ζεύγη στοιχεία από αυτήν τη γραμμή και τη στήλη. Προσθέστε τα αποτελέσματα.

Ναι, αυτός είναι ένας τόσο σκληρός ορισμός. Αρκετά γεγονότα προκύπτουν αμέσως από αυτό:

1. Ο πολλαπλασιασμός μήτρας, γενικά, είναι μη μεταθετικός: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός είναι συσχετιστικός: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Και μάλιστα διανεμητικά: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Και για άλλη μια φορά διανεμητικά: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Η κατανομή του πολλαπλασιασμού έπρεπε να περιγραφεί χωριστά για τον αριστερό και τον δεξιό συντελεστή αθροίσματος ακριβώς λόγω της μη-ανταλλαγής της πράξης πολλαπλασιασμού.

Αν αποδειχτεί ότι $A\cdot B=B\cdot A$, αυτοί οι πίνακες ονομάζονται commutative.

Ανάμεσα σε όλους τους πίνακες που πολλαπλασιάζονται με κάτι εκεί, υπάρχουν ειδικοί - αυτοί που, όταν πολλαπλασιάζονται με οποιονδήποτε πίνακα $A$, δίνουν πάλι $A$:

Ορισμός. Ένας πίνακας $E$ ονομάζεται ταυτότητα εάν $A\cdot E=A$ ή $E\cdot A=A$. Σε περίπτωση που τετράγωνη μήτρα th $A$ μπορούμε να γράψουμε:

Η μήτρα ταυτότητας είναι συχνός επισκέπτης στην επίλυση εξισώσεις μήτρας. Και γενικά, ένας συχνός επισκέπτης στον κόσμο των μητρών. :)

Και εξαιτίας αυτού του $E$, κάποιος σκέφτηκε όλες τις ανοησίες που θα γραφτούν στη συνέχεια.

Τι είναι ένας αντίστροφος πίνακας

Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι μια λειτουργία που απαιτεί πολύ κόπο (πρέπει να πολλαπλασιάσετε μια δέσμη σειρών και στηλών), η έννοια ενός αντίστροφου πίνακα αποδεικνύεται επίσης ότι δεν είναι η πιο ασήμαντη. Και χρειάζεται κάποια εξήγηση.

Ορισμός κλειδιού

Λοιπόν, ήρθε η ώρα να μάθουμε την αλήθεια.

Ορισμός. Ένας πίνακας $B$ ονομάζεται αντίστροφος ενός πίνακα $A$ αν

Ο αντίστροφος πίνακας συμβολίζεται με $((A)^(-1))$ (δεν πρέπει να συγχέεται με τον βαθμό!), οπότε ο ορισμός μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Φαίνεται ότι όλα είναι εξαιρετικά απλά και ξεκάθαρα. Αλλά κατά την ανάλυση αυτού του ορισμού, προκύπτουν αμέσως πολλά ερωτήματα:

1. Υπάρχει πάντα ένας αντίστροφος πίνακας; Και αν όχι πάντα, τότε πώς να προσδιορίσουμε: πότε υπάρχει και πότε όχι;
2. Και ποιος είπε ότι υπάρχει ακριβώς ένας τέτοιος πίνακας; Τι γίνεται αν για κάποιον αρχικό πίνακα $A$ υπάρχει ένα ολόκληρο πλήθος αντιστρόφων;
3. Πώς μοιάζουν όλες αυτές οι «αντιστροφές»; Και πώς ακριβώς πρέπει να τα μετρήσουμε;

Όσον αφορά τους αλγόριθμους υπολογισμού, θα μιλήσουμε για αυτό λίγο αργότερα. Αλλά θα απαντήσουμε στις υπόλοιπες ερωτήσεις αμέσως τώρα. Ας τις διατυπώσουμε με τη μορφή χωριστών δηλώσεων-λημμάτων.

Βασικές ιδιότητες

Ας ξεκινήσουμε με το πώς θα έπρεπε, κατ' αρχήν, να φαίνεται ο πίνακας $A$ για να υπάρχει για αυτόν το $((A)^(-1))$. Τώρα θα βεβαιωθούμε ότι και οι δύο αυτοί πίνακες πρέπει να είναι τετράγωνοι και να έχουν το ίδιο μέγεθος: $\left[ n\times n \right]$.

Λήμμα 1. Δίνεται ένας πίνακας $A$ και ο αντίστροφός του $((A)^(-1))$. Τότε και οι δύο αυτοί πίνακες είναι τετράγωνοι και της ίδιας τάξης $n$.

Απόδειξη. Είναι απλό. Έστω ο πίνακας $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Εφόσον το γινόμενο $A\cdot ((A)^(-1))=E$ υπάρχει εξ ορισμού, οι πίνακες $A$ και $((A)^(-1))$ είναι συνεπείς με τη σειρά που φαίνεται:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( ευθυγραμμίζω)\]

Αυτό άμεση συνέπειααπό τον αλγόριθμο πολλαπλασιασμού του πίνακα: οι συντελεστές $n$ και $a$ είναι "transit" και πρέπει να είναι ίσοι.

Ταυτόχρονα, ορίζεται και ο αντίστροφος πολλαπλασιασμός: $((A)^(-1))\cdot A=E$, επομένως οι πίνακες $((A)^(-1))$ και $A$ είναι επίσης συνεπής με την καθορισμένη σειρά:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( ευθυγραμμίζω)\]

Έτσι, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Ωστόσο, σύμφωνα με τον ορισμό του $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, επομένως τα μεγέθη των πινάκων συμπίπτουν αυστηρά:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Αποδεικνύεται λοιπόν ότι και οι τρεις πίνακες - $A$, $((A)^(-1))$ και $E$ - είναι τετράγωνοι πίνακες μεγέθους $\left[ n\times n \right]$. Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Λοιπόν, αυτό είναι ήδη καλό. Βλέπουμε ότι μόνο οι τετραγωνικοί πίνακες είναι αντιστρέψιμοι. Τώρα ας βεβαιωθούμε ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι πάντα ο ίδιος.

Λήμμα 2. Δίνεται ένας πίνακας $A$ και ο αντίστροφός του $((A)^(-1))$. Τότε αυτός ο αντίστροφος πίνακας είναι ο μόνος.

Απόδειξη. Ας προχωρήσουμε στην αντίφαση: ας έχει ο πίνακας $A$ τουλάχιστον δύο αντίστροφες - $B$ και $C$. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(στοίχιση)\]

Από το Λήμμα 1 συμπεραίνουμε ότι και οι τέσσερις πίνακες - $A$, $B$, $C$ και $E$ - είναι τετράγωνα της ίδιας σειράς: $\left[ n\times n \right]$. Ως εκ τούτου, το προϊόν ορίζεται:

Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός του πίνακα είναι συνειρμικός (αλλά όχι ανταλλάξιμος!), μπορούμε να γράψουμε:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Δεξί βέλος B=C. \\ \end(στοίχιση)\]

Παραλάβαμε το μοναδικό πιθανή παραλλαγή: δύο περιπτώσεις του αντίστροφου πίνακα είναι ίσες. Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Τα παραπάνω ορίσματα επαναλαμβάνουν σχεδόν κατά λέξη την απόδειξη της μοναδικότητας του αντίστροφου στοιχείου για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $b\ne 0$. Η μόνη σημαντική προσθήκη είναι να ληφθεί υπόψη η διάσταση των πινάκων.

Ωστόσο, ακόμα δεν γνωρίζουμε τίποτα για το αν κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι αντιστρέψιμος. Εδώ ο καθοριστικός παράγοντας έρχεται να μας βοηθήσει - αυτό είναι ένα βασικό χαρακτηριστικό για όλους τους τετραγωνικούς πίνακες.

Λήμμα 3. Δίνεται ένας πίνακας $A$. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $((A)^(-1))$, τότε η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι μη μηδενική:

\[\αριστερά| A\right|\ne 0\]

Απόδειξη. Γνωρίζουμε ήδη ότι οι $A$ και οι $((A)^(-1))$ είναι τετράγωνοι πίνακες μεγέθους $\left[ n\times n \right]$. Επομένως, για καθένα από αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα: $\left| A\δεξιά|$ και $\αριστερά| ((A)^(-1)) \right|$. Ωστόσο, η ορίζουσα ενός γινομένου είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντων:

\[\αριστερά| A\cdot B \δεξιά|=\αριστερά| Ένα \δεξιά|\cdot \αριστερά| B \δεξιά|\Δεξί βέλος \αριστερά| A\cdot ((A)^(-1)) \δεξιά|=\αριστερά| Ένα \δεξιά|\cdot \αριστερά| ((A)^(-1)) \δεξιά|\]

Αλλά σύμφωνα με τον ορισμό, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, και η ορίζουσα του $E$ είναι πάντα ίση με 1, οπότε

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \αριστερά| A\cdot ((A)^(-1)) \δεξιά|=\αριστερά| E\right|; \\ & \αριστερά| Ένα \δεξιά|\cdot \αριστερά| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(στοίχιση)\]

Το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με ένα μόνο αν καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μη μηδενικός:

\[\αριστερά| Ένα \δεξιά|\ne 0;\τετράγωνο \αριστερά| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Αποδεικνύεται λοιπόν ότι $\left| A \right|\ne 0$. Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Στην πραγματικότητα, αυτή η απαίτηση είναι αρκετά λογική. Τώρα θα αναλύσουμε τον αλγόριθμο για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα - και θα καταστεί απολύτως σαφές γιατί, με μηδενική ορίζουσα, δεν μπορεί να υπάρξει κατ' αρχήν αντίστροφος πίνακας.

Αλλά πρώτα, ας διατυπώσουμε έναν «βοηθητικό» ορισμό:

Ορισμός. Ένας μοναδικός πίνακας είναι ένας τετράγωνος πίνακας μεγέθους $\left[n\times n \right]$ του οποίου η ορίζουσα είναι μηδέν.

Έτσι, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι μη ενικός.

Πώς να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Τώρα θα εξετάσουμε έναν καθολικό αλγόριθμο για την εύρεση αντίστροφων πινάκων. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν δύο γενικά αποδεκτοί αλγόριθμοι, και θα εξετάσουμε επίσης τον δεύτερο σήμερα.

Αυτός που θα συζητηθεί τώρα είναι πολύ αποτελεσματικός για πίνακες μεγέθους $\left[ 2\times 2 \right]$ και - μερικώς - μεγέθους $\left[ 3\times 3 \right]$. Αλλά ξεκινώντας από το μέγεθος $\left[ 4\times 4 \right]$ είναι καλύτερα να μην το χρησιμοποιήσετε. Γιατί - τώρα θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας.

Αλγεβρικές προσθήκες

Ετοιμάσου. Τώρα θα υπάρχει πόνος. Όχι, μην ανησυχείτε: μια όμορφη νοσοκόμα με φούστα, κάλτσες με δαντέλα δεν θα σας έρθει και δεν θα σας κάνει μια ένεση στον γλουτό. Όλα είναι πολύ πιο πεζά: οι αλγεβρικές προσθήκες και η Αυτή Μεγαλειότητα το "Union Matrix" έρχονται σε εσάς.

Ας ξεκινήσουμε με το κύριο πράγμα. Έστω ότι υπάρχει ένας τετραγωνικός πίνακας μεγέθους $A=\left[ n\times n \right]$, του οποίου τα στοιχεία ονομάζονται $((a)_(ij))$. Τότε για κάθε τέτοιο στοιχείο μπορούμε να ορίσουμε ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα:

Ορισμός. Αλγεβρικό συμπλήρωμα $((A)_(ij))$ στο στοιχείο $((a)_(ij))$ που βρίσκεται στη $i$th σειρά και στη στήλη $j$th του πίνακα $A=\left[ Το n \times n \right]$ είναι μια κατασκευή της φόρμας

\[((A)_(ij))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Όπου $M_(ij)^(*)$ είναι ο προσδιοριστής του πίνακα που λαμβάνεται από την αρχική $A$ διαγράφοντας την ίδια $i$th σειρά και $j$th στήλη.

Πάλι. Το αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου πίνακα με συντεταγμένες $\left(i;j \right)$ συμβολίζεται ως $((A)_(ij))$ και υπολογίζεται σύμφωνα με το σχήμα:

1. Αρχικά, διαγράφουμε τη στήλη $i$-row και $j$-th από τον αρχικό πίνακα. Λαμβάνουμε έναν νέο τετραγωνικό πίνακα και συμβολίζουμε την ορίζοντή του ως $M_(ij)^(*)$.
2. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε αυτήν την ορίζουσα με $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - στην αρχή αυτή η έκφραση μπορεί να φαίνεται εντυπωσιακή, αλλά στην ουσία απλώς βρίσκουμε το πρόσημο μπροστά από το $M_(ij)^(*) $.
3. Μετράμε και παίρνουμε συγκεκριμένο αριθμό. Εκείνοι. η αλγεβρική πρόσθεση είναι ακριβώς ένας αριθμός και όχι κάποιος νέος πίνακας κ.λπ.

Ο ίδιος ο πίνακας $M_(ij)^(*)$ ονομάζεται επιπλέον δευτερεύον στοιχείο του στοιχείου $((a)_(ij))$. Και με αυτή την έννοια, ο παραπάνω ορισμός ενός αλγεβρικού συμπληρώματος είναι μια ειδική περίπτωση ενός πιο σύνθετου ορισμού - αυτό που εξετάσαμε στο μάθημα για την ορίζουσα.

Σημαντική σημείωση. Στην πραγματικότητα, στα μαθηματικά «ενήλικων», οι αλγεβρικές προσθήκες ορίζονται ως εξής:

1. Παίρνουμε σειρές $k$ και στήλες $k$ σε έναν τετράγωνο πίνακα. Στη διασταύρωση τους παίρνουμε έναν πίνακα μεγέθους $\left[ k\times k \right]$ - η ορίζουσα του ονομάζεται δευτερεύουσα τάξης $k$ και συμβολίζεται $((M)_(k))$.
2. Στη συνέχεια διαγράφουμε αυτές τις "επιλεγμένες" σειρές $k$ και $k$ στήλες. Για άλλη μια φορά παίρνετε έναν τετράγωνο πίνακα - η ορίζουσα του ονομάζεται πρόσθετη δευτερεύουσα και συμβολίζεται $M_(k)^(*)$.
3. Πολλαπλασιάστε το $M_(k)^(*)$ με το $((\left(-1 \right))^(t))$, όπου το $t$ είναι (προσοχή τώρα!) το άθροισμα των αριθμών όλων των επιλεγμένων σειρών και στήλες. Αυτή θα είναι η αλγεβρική προσθήκη.

Κοιτάξτε το τρίτο βήμα: υπάρχει στην πραγματικότητα ένα άθροισμα όρων $2k$! Ένα άλλο πράγμα είναι ότι για $k=1$ θα λάβουμε μόνο 2 όρους - αυτοί θα είναι οι ίδιοι $i+j$ - οι "συντεταγμένες" του στοιχείου $((a)_(ij))$ για το οποίο είμαστε αναζητώντας ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα.

Έτσι, σήμερα χρησιμοποιούμε έναν ελαφρώς απλοποιημένο ορισμό. Αλλά όπως θα δούμε στη συνέχεια, θα είναι υπεραρκετό. Το εξής είναι πολύ πιο σημαντικό:

Ορισμός. Ο συμμαχικός πίνακας $S$ στον τετραγωνικό πίνακα $A=\left[ n\times n \right]$ είναι ένας νέος πίνακας μεγέθους $\left[ n\times n \right]$, ο οποίος λαμβάνεται από το $A$ αντικαθιστώντας το $(( a)_(ij))$ με αλγεβρικές προσθήκες $((A)_(ij))$:

\\Δεξί βέλος S=\αριστερά[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Η πρώτη σκέψη που προκύπτει τη στιγμή της συνειδητοποίησης αυτού του ορισμού είναι «πόσα θα πρέπει να μετρηθούν!». Χαλαρώστε: θα πρέπει να μετρήσετε, αλλά όχι τόσο πολύ. :)

Λοιπόν, όλα αυτά είναι πολύ ωραία, αλλά γιατί είναι απαραίτητο; Μα γιατί.

Κύριο θεώρημα

Ας πάμε λίγο πίσω. Θυμηθείτε, στο Λήμμα 3 αναφέρθηκε ότι ο αντιστρέψιμος πίνακας $A$ είναι πάντα μη ενικός (δηλαδή, η ορίζοντή του είναι μη μηδενική: $\left| A \right|\ne 0$).

Έτσι, ισχύει και το αντίθετο: αν ο πίνακας $A$ δεν είναι ενικός, τότε είναι πάντα αντιστρέψιμος. Και υπάρχει ακόμη και ένα σχέδιο αναζήτησης για $((A)^(-1))$. Τσέκαρέ το:

Θεώρημα αντίστροφου πίνακα. Έστω ένας τετράγωνος πίνακας $A=\left[ n\times n \right]$ και η ορίζουσα του είναι μη μηδενική: $\left| A \right|\ne 0$. Τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $((A)^(-1))$ και υπολογίζεται από τον τύπο:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\αριστερά| A \δεξιά|)\cdot ((S)^(T))\]

Και τώρα - όλα είναι ίδια, αλλά με ευανάγνωστο χειρόγραφο. Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, χρειάζεστε:

1. Υπολογίστε την ορίζουσα $\left| Ένα \right|$ και βεβαιωθείτε ότι δεν είναι μηδενικό.
2. Κατασκευάστε τον πίνακα ένωσης $S$, δηλ. μετρήστε 100500 αλγεβρικές προσθήκες $((A)_(ij))$ και τοποθετήστε τις στη θέση τους $((a)_(ij))$.
3. Μεταφέρετε αυτόν τον πίνακα $S$ και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε τον με κάποιον αριθμό $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Αυτό είναι όλο! Βρέθηκε ο αντίστροφος πίνακας $((A)^(-1))$. Ας δούμε παραδείγματα:

\[\αριστερά[ \αρχή(μήτρα) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(μήτρα) \δεξιά]\]

Λύση. Ας ελέγξουμε την αναστρεψιμότητα. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα:

\[\αριστερά| A\δεξιά|=\αριστερά| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η μήτρα είναι αντιστρέψιμη. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα ένωσης:

Ας υπολογίσουμε τις αλγεβρικές προσθήκες:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(1+2))\cdot \αριστερά| 5 \δεξιά|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(2+1))\cdot \αριστερά| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(2+2))\cdot \αριστερά| 3\δεξιά|=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Σημείωση: οι ορίζουσες |2|, |5|, |1| και |3| είναι ορίζοντες πινάκων μεγέθους $\left[ 1\times 1 \right]$, και όχι ενότητες. Εκείνοι. Εάν υπήρχαν αρνητικοί αριθμοί στις ορίζουσες, δεν χρειάζεται να αφαιρέσετε το «μείον».

Συνολικά, η μήτρα ένωσης μας μοιάζει με αυτό:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\αριστερά| A \δεξιά|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (πίνακας)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(πίνακας) \δεξιά]\]

Εντάξει όλα τελείωσαν τώρα. Το πρόβλημα λύθηκε.

Απάντηση. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Εργο. Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα:

\[\αριστερά[ \αρχή(πίνακας)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \]

Λύση. Υπολογίζουμε ξανά την ορίζουσα:

\[\αρχή(στοίχιση) & \αριστερά| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\αριστερά (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\αριστερά(2+1+0 \δεξιά)-\αριστερά(4+0+0 \δεξιά)=-1\ne 0. \\ \end(στοίχιση)\]

Η ορίζουσα είναι μη μηδενική - η μήτρα είναι αντιστρέψιμη. Αλλά τώρα θα είναι πολύ δύσκολο: πρέπει να μετρήσουμε έως και 9 (εννιά, μαμά!) αλγεβρικές προσθήκες. Και καθένα από αυτά θα περιέχει την ορίζουσα $\left[ 2\times 2 \right]$. Πέταξε:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(1+2))\cdot \αριστερά| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(1+3))\cdot \αριστερά| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\αριστερά(-1 \δεξιά))^(3+3))\cdot \αριστερά| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(μήτρα)\]

Εν ολίγοις, ο πίνακας ένωσης θα μοιάζει με αυτό:

Επομένως, ο αντίστροφος πίνακας θα είναι:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(πίνακας) \δεξιά]\]

Αυτό είναι. Εδώ είναι η απάντηση.

Απάντηση. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Όπως μπορείτε να δείτε, στο τέλος κάθε παραδείγματος κάναμε έναν έλεγχο. Ως προς αυτό, μια σημαντική σημείωση:

Μην τεμπελιάζετε να ελέγξετε. Πολλαπλασιάστε τον αρχικό πίνακα με τον αντίστροφο πίνακα που βρέθηκε - θα πρέπει να λάβετε $E$.

Η εκτέλεση αυτού του ελέγχου είναι πολύ πιο εύκολη και ταχύτερη από την αναζήτηση σφάλματος σε περαιτέρω υπολογισμούς όταν, για παράδειγμα, λύνετε μια εξίσωση πίνακα.

Εναλλακτικός τρόπος

Όπως είπα, το θεώρημα της αντίστροφης μήτρας λειτουργεί άψογα για μεγέθη $\left[ 2\times 2 \right]$ και $\left[ 3\times 3 \right]$ (στην τελευταία περίπτωση, δεν είναι τόσο "εξαιρετικό" " ), αλλά για πίνακες μεγάλα μεγέθηαρχίζει η θλίψη.

Αλλά μην ανησυχείτε: υπάρχει ένας εναλλακτικός αλγόριθμος με τον οποίο μπορείτε να βρείτε ήρεμα το αντίστροφο ακόμα και για τον πίνακα $\left[ 10\times 10 \right]$. Όμως, όπως συμβαίνει συχνά, για να εξετάσουμε αυτόν τον αλγόριθμο χρειαζόμαστε μια μικρή θεωρητική εισαγωγή.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις

Μεταξύ όλων των πιθανών μετασχηματισμών μήτρας, υπάρχουν αρκετοί ειδικοί - ονομάζονται στοιχειώδεις. Υπάρχουν ακριβώς τρεις τέτοιοι μετασχηματισμοί:

1. Πολλαπλασιασμός. Μπορείτε να πάρετε τη $i$th σειρά (στήλη) και να την πολλαπλασιάσετε με οποιονδήποτε αριθμό $k\ne 0$;
2. Πρόσθεση. Προσθέστε στη $i$-th σειρά (στήλη) οποιαδήποτε άλλη $j$-th σειρά (στήλη), πολλαπλασιασμένη με οποιονδήποτε αριθμό $k\ne 0$ (μπορείτε, φυσικά, να κάνετε $k=0$, αλλά τι είναι το θέμα;; Δεν θα αλλάξει τίποτα).
3. Διευθέτηση εκ νέου. Πάρτε τις σειρές (στήλες) $i$th και $j$th και αλλάξτε θέσεις.

Γιατί αυτοί οι μετασχηματισμοί ονομάζονται στοιχειώδεις (για μεγάλους πίνακες δεν φαίνονται τόσο στοιχειώδεις) και γιατί υπάρχουν μόνο τρεις από αυτούς - αυτές οι ερωτήσεις ξεφεύγουν από το πεδίο του σημερινού μαθήματος. Επομένως, δεν θα μπούμε σε λεπτομέρειες.

Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: πρέπει να εκτελέσουμε όλες αυτές τις εκτροπές στον συνδεδεμένο πίνακα. Ναι, ναι: καλά ακούσατε. Τώρα θα υπάρχει ένας ακόμη ορισμός - ο τελευταίος στο σημερινό μάθημα.

Συνημμένος πίνακας

Σίγουρα στο σχολείο λύσατε συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πρόσθεσης. Λοιπόν, εκεί, αφαιρέστε μια άλλη από μια γραμμή, πολλαπλασιάστε κάποια γραμμή με έναν αριθμό - αυτό είναι όλο.

Λοιπόν: τώρα όλα θα είναι τα ίδια, αλλά με έναν «ενήλικο» τρόπο. Ετοιμος?

Ορισμός. Ας δοθεί ένας πίνακας $A=\left[ n\times n \right]$ και ένας πίνακας ταυτότητας $E$ του ίδιου μεγέθους $n$. Στη συνέχεια, ο πρόσθετος πίνακας $\left[ A\left| Ε\ σωστά. Το \right]$ είναι ένας νέος πίνακας μεγέθους $\left[ n\times 2n \right]$ που μοιάζει με αυτό:

\[\αριστερά[ A\αριστερά| Ε\ σωστά. \right]=\αριστερά[ \begin(array)(rrrr|rrrr)(a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά]\]

Εν ολίγοις, παίρνουμε τον πίνακα $A$ και στα δεξιά του εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας $E$ το σωστό μέγεθος, τα χωρίζουμε με μια κάθετη γραμμή για ομορφιά - εδώ έχετε το συνημμένο. :)

Ποιά είναι η παγίδα? Να τι:

Θεώρημα. Ας είναι αντιστρέψιμος ο πίνακας $A$. Θεωρήστε τον πρόσθετο πίνακα $\left[ A\left| Ε\ σωστά. \right]$. Εάν χρησιμοποιείτε στοιχειώδεις μετατροπές συμβολοσειρώνφέρτε το στη μορφή $\left[ E\left| ΛΑΜΠΡΌΣ. \right]$, δηλ. πολλαπλασιάζοντας, αφαιρώντας και αναδιατάσσοντας σειρές για να ληφθεί από το $A$ ο πίνακας $E$ στα δεξιά, τότε ο πίνακας $B$ που λαμβάνεται στα αριστερά είναι το αντίστροφο του $A$:

\[\αριστερά[ A\αριστερά| Ε\ σωστά. \δεξιά]\προς \αριστερά[ E\αριστερά| ΛΑΜΠΡΌΣ. \δεξιά]\Δεξί βέλος B=((A)^(-1))\]

Είναι τόσο απλό! Εν ολίγοις, ο αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα μοιάζει με αυτό:

1. Γράψτε τον πρόσθετο πίνακα $\left[ A\left| Ε\ σωστά. \right]$;
2. Εκτελέστε στοιχειώδεις μετατροπές συμβολοσειρών έως ότου εμφανιστεί το $E$ αντί για το $A$.
3. Φυσικά, κάτι θα εμφανιστεί και στα αριστερά - ένας συγκεκριμένος πίνακας $B$. Αυτό θα είναι το αντίθετο.
4. ΚΕΡΔΟΣ!:)

Φυσικά, αυτό είναι πολύ πιο εύκολο να ειπωθεί παρά να γίνει. Ας δούμε λοιπόν μερικά παραδείγματα: για μεγέθη $\left[ 3\times 3 \right]$ και $\left[ 4\times 4 \right]$.

Εργο. Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Λύση. Δημιουργούμε τον συνημμένο πίνακα:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά]\]

Δεδομένου ότι η τελευταία στήλη του αρχικού πίνακα είναι γεμάτη με μονάδες, αφαιρέστε την πρώτη σειρά από την υπόλοιπη:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \αριστερά [ \begin(array)(rrr|rrrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end(στοίχιση)\]

Δεν υπάρχουν άλλες μονάδες, εκτός από την πρώτη γραμμή. Αλλά δεν το αγγίζουμε, διαφορετικά οι μονάδες που αφαιρέθηκαν πρόσφατα θα αρχίσουν να "πολλαπλασιάζονται" στην τρίτη στήλη.

Αλλά μπορούμε να αφαιρέσουμε τη δεύτερη γραμμή δύο φορές από την τελευταία - παίρνουμε μία στην κάτω αριστερή γωνία:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \αριστερά [ \begin(array)(rrr|rrrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end(στοίχιση)\]

Τώρα μπορούμε να αφαιρέσουμε την τελευταία σειρά από την πρώτη και δύο φορές από τη δεύτερη - με αυτόν τον τρόπο "μηδενίζουμε" την πρώτη στήλη:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \upparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ προς \αριστερά[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end(στοίχιση)\]

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη γραμμή με −1 και στη συνέχεια αφαιρέστε την 6 φορές από την πρώτη και προσθέστε 1 φορά στην τελευταία:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end (στοίχιση)\]

Το μόνο που μένει είναι να ανταλλάξουμε τις γραμμές 1 και 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ end(array) \right]\]

Ετοιμος! Στα δεξιά είναι ο απαιτούμενος αντίστροφος πίνακας.

Απάντηση. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \δεξιά ]$

Εργο. Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα:

\[\αριστερά[ \αρχή(μήτρα) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(μήτρα) \δεξιά]\]

Λύση. Συνθέτουμε ξανά τον προσαρτημένο:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά]\]

Να κλάψουμε λίγο, να στεναχωρηθούμε για το πόσα έχουμε να μετρήσουμε τώρα... και να αρχίσουμε να μετράμε. Αρχικά, ας «μηδενίσουμε» την πρώτη στήλη αφαιρώντας τη σειρά 1 από τις σειρές 2 και 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\τέλος (πίνακας) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end (στοίχιση)\]

Βλέπουμε πάρα πολλά "μειονεκτήματα" στις γραμμές 2-4. Πολλαπλασιάστε και τις τρεις σειρές με −1 και, στη συνέχεια, σβήστε την τρίτη στήλη αφαιρώντας τη σειρά 3 από την υπόλοιπη:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \αριστερά| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \αριστερά| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (πίνακας) \δεξιά]\αρχή(μήτρα) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end (στοίχιση)\]

Τώρα είναι η ώρα να «τηγανίσουμε» την τελευταία στήλη του αρχικού πίνακα: αφαιρέστε τη γραμμή 4 από το υπόλοιπο:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(πίνακας ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \upparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end(στοίχιση)\]

Τελική ρίψη: «καψτε» τη δεύτερη στήλη αφαιρώντας τη γραμμή 2 από τις γραμμές 1 και 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ end( πίνακας) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(πίνακας) \δεξιά] \\ \end (στοίχιση)\]

Και πάλι ο πίνακας ταυτότητας βρίσκεται στα αριστερά, που σημαίνει ότι το αντίστροφο είναι στα δεξιά. :)

Απάντηση. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για ενέργειες με πίνακες. Δηλαδή, κατά τη διάρκεια της μελέτης αυτής της διάλεξης θα μάθετε πώς να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα. Μαθαίνω. Ακόμα κι αν τα μαθηματικά είναι δύσκολα.

Τι είναι ένας αντίστροφος πίνακας; Εδώ μπορούμε να κάνουμε μια αναλογία με αμοιβαίοι αριθμοί: Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον αισιόδοξο αριθμό 5 και τον αντίστροφο αριθμό του. Το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι ίσο με ένα: . Όλα είναι παρόμοια με τις μήτρες! Το γινόμενο ενός πίνακα και του αντίστροφου πίνακα του είναι ίσο με - μήτρα ταυτότητας, που είναι το ανάλογο μήτρας της αριθμητικής μονάδας. Ωστόσο, πρώτα πρώτα – ας λύσουμε πρώτα το σημαντικό. πρακτική ερώτηση, δηλαδή, θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε αυτόν τον πολύ αντίστροφο πίνακα.

Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα; Πρέπει να μπορείς να αποφασίσεις προκριματικά. Πρέπει να καταλάβετε τι είναι μήτρακαι να μπορείτε να κάνετε κάποιες ενέργειες μαζί τους.

Υπάρχουν δύο κύριες μέθοδοι για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα:
με τη χρήση αλγεβρικές προσθήκεςΚαι χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Σήμερα θα μελετήσουμε την πρώτη, απλούστερη μέθοδο.

Ας ξεκινήσουμε με το πιο τρομερό και ακατανόητο. Ας σκεφτούμε τετράγωνομήτρα. Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα, είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες, πίνακες «δύο επί δύο», «τρία επί τρία» κ.λπ.

Ονομασίες: Όπως ίσως έχετε ήδη παρατηρήσει, ο αντίστροφος πίνακας συμβολίζεται με έναν εκθέτη

Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση - έναν πίνακα δύο προς δύο. Τις περισσότερες φορές, φυσικά, απαιτείται "τρία επί τρία", αλλά, ωστόσο, συνιστώ ανεπιφύλακτα να μελετήσετε μια απλούστερη εργασία για να κατακτήσετε γενική αρχήλύσεις.

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ας αποφασίσουμε. Είναι βολικό να αναλύετε την ακολουθία των ενεργειών σημείο προς σημείο.

1) Πρώτα βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα.

Εάν δεν κατανοείτε καλά αυτήν την ενέργεια, διαβάστε το υλικό Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Σπουδαίος!Εάν η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με ΜΗΔΕΝ– αντίστροφος πίνακας ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, όπως αποδείχθηκε, , που σημαίνει ότι όλα είναι εντάξει.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Για να λύσουμε το πρόβλημά μας, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τι είναι ανήλικο, ωστόσο, καλό είναι να διαβάσετε το άρθρο Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει τις ίδιες διαστάσεις με τον πίνακα, δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση.
Το μόνο που μένει είναι να βρείτε τέσσερις αριθμούς και να τους βάλετε αντί για αστερίσκους.

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας
Ας δούμε πρώτα το επάνω αριστερό στοιχείο:

Πώς να το βρείτε ανήλικος?
Και αυτό γίνεται ως εξής: Διαγράφετε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Ο αριθμός που απομένει είναι ήσσονος σημασίας αυτού του στοιχείου, που γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε νοερά τη γραμμή και τη στήλη στην οποία εμφανίζεται αυτό το στοιχείο:

Αυτό που μένει είναι το ελάσσονα αυτού του στοιχείου, το οποίο γράφουμε στον πίνακα μας:

Ομοίως, εξετάζουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς και βρίσκουμε τα δευτερεύοντα στοιχεία τους:


Ετοιμος.

Είναι απλό. Στη μήτρα των ανηλίκων χρειάζεσαι ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑδύο αριθμοί:

Αυτοί είναι οι αριθμοί που κύκλωσα!

– πίνακας αλγεβρικών προσθηκών των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Και απλά...

4) Να βρείτε τον μετατιθέμενο πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

– μετατιθέμενος πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

5) Απάντηση.

Ας θυμηθούμε τη φόρμουλα μας
Όλα βρέθηκαν!

Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι:

Είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ως έχει. ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙΔιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το 2, όπως προκύπτει κλασματικοί αριθμοί. Αυτή η απόχρωση συζητείται λεπτομερέστερα στο ίδιο άρθρο. Δράσεις με πίνακες.

Πώς να ελέγξετε τη λύση;

Πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα ή

Εξέταση:

Έχει ήδη αναφερθεί μήτρα ταυτότηταςείναι ένας πίνακας με ένα από κύρια διαγώνιοκαι μηδενικά σε άλλα μέρη.

Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Εάν πραγματοποιήσετε τη δράση, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένας πίνακας ταυτότητας. Αυτή είναι μια από τις λίγες περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι μεταβλητός, περισσότερο λεπτομερείς πληροφορίεςμπορείτε να βρείτε στο άρθρο Ιδιότητες πράξεων σε πίνακες. Εκφράσεις μήτρας. Σημειώστε επίσης ότι κατά τη διάρκεια του ελέγχου, η σταθερά (κλάσμα) μεταφέρεται προς τα εμπρός και υποβάλλεται σε επεξεργασία στο τέλος - μετά τον πολλαπλασιασμό του πίνακα. Αυτή είναι μια τυπική τεχνική.

Ας προχωρήσουμε σε μια πιο κοινή περίπτωση στην πράξη - τον πίνακα τρία προς τρία:

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ο αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος με την περίπτωση «δύο επί δύο».

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο: , όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

1) Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα.

Εδώ αποκαλύπτεται η καθοριστική στην πρώτη γραμμή.

Επίσης, μην ξεχνάτε αυτό, που σημαίνει ότι όλα είναι καλά - υπάρχει αντίστροφος πίνακας.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει διάσταση "τρία επί τρία" , και πρέπει να βρούμε εννέα αριθμούς.

Θα εξετάσω λεπτομερώς μερικά ανήλικα:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Γράφουμε τους υπόλοιπους τέσσερις αριθμούς στην ορίζουσα «δύο επί δύο».

Αυτός ο καθοριστικός παράγοντας δύο προς δύο και είναι η ελάσσονα αυτού του στοιχείου. Πρέπει να υπολογιστεί:


Αυτό είναι όλο, το ανήλικο βρέθηκε, το γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Όπως πιθανώς μαντέψατε, πρέπει να υπολογίσετε εννέα προσδιοριστές δύο προς δύο. Η διαδικασία, φυσικά, είναι κουραστική, αλλά η υπόθεση δεν είναι η πιο σοβαρή, μπορεί να είναι χειρότερη.

Λοιπόν, για να ενοποιήσουμε - βρίσκοντας ένα άλλο ανήλικο στις φωτογραφίες:

Προσπαθήστε να υπολογίσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα ανήλικα.

Τελικό αποτέλεσμα:
– πίνακας ανηλίκων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Το ότι όλοι οι ανήλικοι αποδείχθηκαν αρνητικοί είναι καθαρά ατύχημα.

3) Να βρείτε τον πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

Στο matrix των ανηλίκων είναι απαραίτητο ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑαυστηρά για τα ακόλουθα στοιχεία:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Δεν εξετάζουμε το ενδεχόμενο να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα για έναν πίνακα «τέσσερα επί τέσσερα», καθώς μια τέτοια εργασία μπορεί να δοθεί μόνο από έναν σαδιστή δάσκαλο (για να υπολογίσει ο μαθητής μια ορίζουσα «τέσσερα επί τέσσερα» και 16 «τρία επί τρία» ορίζοντες ). Στην πρακτική μου, υπήρχε μόνο μία τέτοια περίπτωση και ο πελάτης του τεστ πλήρωσε πολύ ακριβά το μαρτύριο μου =).

Σε πολλά εγχειρίδια και εγχειρίδια μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, αλλά συνιστώ να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο λύσης που περιγράφεται παραπάνω. Γιατί; Γιατί η πιθανότητα σύγχυσης στους υπολογισμούς και τα σημάδια είναι πολύ μικρότερη.

Ο πίνακας $A^(-1)$ ονομάζεται αντίστροφος του τετραγωνικού πίνακα $A$ εάν η συνθήκη $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ικανοποιείται, όπου $E $ είναι ο πίνακας ταυτότητας, η σειρά του οποίου είναι ίση με τη σειρά του πίνακα $A$.

Ένας μη ενικός πίνακας είναι ένας πίνακας του οποίου η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, ένας ενικός πίνακας είναι αυτός του οποίου η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ υπάρχει εάν και μόνο εάν ο πίνακας $A$ δεν είναι μοναδικός. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, τότε είναι μοναδικός.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, και θα δούμε δύο από αυτούς. Αυτή η σελίδα θα συζητήσει τη μέθοδο πρόσθετου πίνακα, η οποία θεωρείται τυπική στα περισσότερα ανώτερα μαθήματα μαθηματικών. Η δεύτερη μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα (η μέθοδος των στοιχειωδών μετασχηματισμών), η οποία περιλαμβάνει τη χρήση της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου Gauss-Jordan, συζητείται στο δεύτερο μέρος.

Μέθοδος πρόσθετης μήτρας

Ας δοθεί ο πίνακας $A_(n\times n)$. Για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, απαιτούνται τρία βήματα:

1. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα $A$ και βεβαιωθείτε ότι $\Delta A\neq 0$, δηλ. ότι ο πίνακας Α είναι μη ενικός.
2. Συνθέστε αλγεβρικά συμπληρώματα $A_(ij)$ για κάθε στοιχείο του πίνακα $A$ και γράψτε τον πίνακα $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ από τον αλγεβρικό που βρέθηκε συμπληρώνει.
3. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Ο πίνακας $(A^(*))^T$ ονομάζεται συχνά πρόσθετος (αμοιβαίος, συμμαχικός) στον πίνακα $A$.

Εάν η λύση γίνει χειροκίνητα, τότε η πρώτη μέθοδος είναι καλή μόνο για πίνακες σχετικά μικρών παραγγελιών: δεύτερη (), τρίτη (), τέταρτη (). Για να βρεθεί το αντίστροφο ενός πίνακα υψηλότερης τάξης, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι. Για παράδειγμα, η μέθοδος Gauss, η οποία συζητείται στο δεύτερο μέρος.

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Εφόσον όλα τα στοιχεία της τέταρτης στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\Delta A=0$ (δηλαδή ο πίνακας $A$ είναι ενικός). Εφόσον $\Delta A=0$, δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας για τον πίνακα $A$.

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της πρόσθετης μήτρας. Αρχικά, ας βρούμε την ορίζουσα του δεδομένου πίνακα $A$:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Αφού $\Delta A \neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, επομένως θα συνεχίσουμε τη λύση. Εύρεση αλγεβρικών συμπληρωμάτων

\begin(στοιχισμένο) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(στοίχιση)

Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Μεταφέρουμε τον προκύπτοντα πίνακα: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (το Ο προκύπτων πίνακας ονομάζεται συχνά πρόσθετος ή συμμαχικός πίνακας με τον πίνακα $A$). Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, έχουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Έτσι, βρέθηκε ο αντίστροφος πίνακας: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\δεξιά) $. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A^(-1)\cdot A=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, και με τη μορφή $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα $A$. Άρα, η ορίζουσα του πίνακα $A$ είναι:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Αφού $\Delta A\neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, επομένως θα συνεχίσουμε τη λύση. Βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου ενός δεδομένου πίνακα:

Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών και τον μεταφέρουμε:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \δεξιά) $$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, παίρνουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Άρα $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A\cdot A^(-1)=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ και με τη μορφή $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Ο έλεγχος ήταν επιτυχής, ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ βρέθηκε σωστά.

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα αρ. 4

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Για έναν πίνακα τέταρτης τάξης, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες είναι κάπως δύσκολη. Ωστόσο, τέτοια παραδείγματα υπάρχουν σε δοκιμαστικά έγγραφα.

Για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα $A$. Ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό σε αυτήν την περίπτωση είναι με την αποσύνθεση της ορίζουσας κατά μήκος μιας σειράς (στήλης). Επιλέγουμε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη και βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου της επιλεγμένης γραμμής ή στήλης.

Συνήθως, οι αντίστροφες πράξεις χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση σύνθετων αλγεβρικών εκφράσεων. Για παράδειγμα, εάν το πρόβλημα περιλαμβάνει τη λειτουργία της διαίρεσης με ένα κλάσμα, μπορείτε να το αντικαταστήσετε με τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού με το αντίστροφο ενός κλάσματος, που είναι η αντίστροφη πράξη. Επιπλέον, οι πίνακες δεν μπορούν να διαιρεθούν, επομένως πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον αντίστροφο πίνακα. Ο υπολογισμός του αντίστροφου ενός πίνακα 3x3 είναι αρκετά κουραστικός, αλλά πρέπει να μπορείτε να το κάνετε χειροκίνητα. Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο χρησιμοποιώντας μια καλή αριθμομηχανή γραφημάτων.

Βήματα

Χρησιμοποιώντας τον προσαρτημένο πίνακα

Μεταφέρετε τον αρχικό πίνακα.Η μεταφορά είναι η αντικατάσταση των σειρών με στήλες σε σχέση με την κύρια διαγώνιο του πίνακα, δηλαδή, πρέπει να ανταλλάξετε τα στοιχεία (i,j) και (j,i). Σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου (ξεκινά από την επάνω αριστερή γωνία και τελειώνουν στην κάτω δεξιά γωνία) δεν αλλάζουν.

• Για να αλλάξετε τις γραμμές σε στήλες, γράψτε τα στοιχεία της πρώτης σειράς στην πρώτη στήλη, τα στοιχεία της δεύτερης σειράς στη δεύτερη στήλη και τα στοιχεία της τρίτης σειράς στην τρίτη στήλη. Η σειρά αλλαγής της θέσης των στοιχείων φαίνεται στο σχήμα, στο οποίο τα αντίστοιχα στοιχεία κυκλώνονται με έγχρωμους κύκλους.

Βρείτε τον ορισμό κάθε πίνακα 2x2.Κάθε στοιχείο οποιουδήποτε πίνακα, συμπεριλαμβανομένου ενός μεταφερόμενου, σχετίζεται με έναν αντίστοιχο πίνακα 2x2. Για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο στοιχείο, διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται το δεδομένο στοιχείο, δηλαδή, πρέπει να διαγράψετε πέντε στοιχεία του αρχικού πίνακα 3x3. Τέσσερα στοιχεία θα παραμείνουν χωρίς διασταύρωση, τα οποία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.

• Για παράδειγμα, για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της πρώτης στήλης, διαγράψτε τα πέντε στοιχεία που βρίσκονται στη δεύτερη σειρά και στην πρώτη στήλη. Τα υπόλοιπα τέσσερα στοιχεία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.
• Βρείτε την ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (βλ. σχήμα).
• Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με πίνακες 2x2 που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα στοιχεία μιας μήτρας 3x3 μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.

Δημιουργήστε μια μήτρα συμπαράγοντα.Γράψτε τα αποτελέσματα που λήφθηκαν νωρίτερα με τη μορφή ενός νέου πίνακα συμπαράγοντα. Για να γίνει αυτό, γράψτε την ευρεθείσα ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2 όπου βρισκόταν το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα 3x3. Για παράδειγμα, εάν σκέφτεστε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο (1,1), γράψτε την ορίζοντή του στη θέση (1,1). Στη συνέχεια, αλλάξτε τα σημάδια των αντίστοιχων στοιχείων σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχήμα, το οποίο φαίνεται στο σχήμα.

• Σχέδιο αλλαγής πινακίδων: το πρόσημο του πρώτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει. το πρόσημο του δεύτερου στοιχείου της πρώτης γραμμής αντιστρέφεται. το πρόσημο του τρίτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει, και ούτω καθεξής γραμμή προς γραμμή. Λάβετε υπόψη ότι τα σημάδια «+» και «-» που φαίνονται στο διάγραμμα (βλ. σχήμα) δεν υποδεικνύουν ότι το αντίστοιχο στοιχείο θα είναι θετικό ή αρνητικό. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύμβολο «+» υποδηλώνει ότι το πρόσημο του στοιχείου δεν αλλάζει και το σύμβολο «-» υποδηλώνει αλλαγή στο πρόσημο του στοιχείου.
• Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τους πίνακες συμπαράγοντα μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.
• Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τον συνημμένο πίνακα του αρχικού πίνακα. Μερικές φορές ονομάζεται σύνθετος συζευγμένος πίνακας. Ένας τέτοιος πίνακας συμβολίζεται ως adj(M).

Διαιρέστε κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα με την ορίζουσα του.Η ορίζουσα του πίνακα M υπολογίστηκε στην αρχή για να ελεγχθεί ότι υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Τώρα διαιρέστε κάθε στοιχείο του πρόσθετου πίνακα με αυτήν την ορίζουσα. Γράψτε το αποτέλεσμα κάθε πράξης διαίρεσης όπου βρίσκεται το αντίστοιχο στοιχείο. Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τη μήτρα αντίστροφη από την αρχική.

• Η ορίζουσα του πίνακα που φαίνεται στο σχήμα είναι 1. Έτσι, εδώ ο πρόσθετος πίνακας είναι ο αντίστροφος πίνακας (γιατί όταν οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται με το 1, δεν αλλάζει).
• Σε ορισμένες πηγές, η λειτουργία διαίρεσης αντικαθίσταται από την πράξη πολλαπλασιασμού με 1/det(M). Ωστόσο, το τελικό αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα.Γράψτε τα στοιχεία που βρίσκονται στο δεξί μισό του μεγάλου πίνακα ως ξεχωριστό πίνακα, ο οποίος είναι ο αντίστροφος πίνακας.

Εισαγάγετε τον αρχικό πίνακα στη μνήμη της αριθμομηχανής.Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί Matrix, εάν είναι διαθέσιμο. Για μια αριθμομηχανή Texas Instruments, ίσως χρειαστεί να πατήσετε τα κουμπιά 2nd και Matrix.

Επιλέξτε το μενού Επεξεργασία.Κάντε αυτό χρησιμοποιώντας τα κουμπιά βέλους ή το κατάλληλο κουμπί λειτουργίας που βρίσκεται στο επάνω μέρος του πληκτρολογίου της αριθμομηχανής (η θέση του κουμπιού ποικίλλει ανάλογα με το μοντέλο της αριθμομηχανής).

Εισαγάγετε τη σημείωση του πίνακα.Οι περισσότεροι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με 3-10 πίνακες, οι οποίοι μπορούν να οριστούν γράμματα A-J. Συνήθως, απλώς επιλέξτε [A] για να ορίσετε τον αρχικό πίνακα. Στη συνέχεια, πατήστε το κουμπί Enter.

Εισαγάγετε το μέγεθος του πίνακα.Αυτό το άρθρο μιλά για πίνακες 3x3. Αλλά οι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με μεγάλους πίνακες. Εισαγάγετε τον αριθμό των σειρών, πατήστε Enter, μετά πληκτρολογήστε τον αριθμό των στηλών και πατήστε ξανά Enter.

Εισαγάγετε κάθε στοιχείο μήτρας.Στην οθόνη της αριθμομηχανής θα εμφανιστεί ένας πίνακας. Εάν έχετε εισαγάγει προηγουμένως μια μήτρα στην αριθμομηχανή, θα εμφανιστεί στην οθόνη. Ο κέρσορας θα επισημάνει το πρώτο στοιχείο του πίνακα. Εισαγάγετε την τιμή για το πρώτο στοιχείο και πατήστε Enter. Ο κέρσορας θα μετακινηθεί αυτόματα στο επόμενο στοιχείομήτρες.