Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Ο διαχωριστής σάς επιτρέπει να λύσετε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση χρησιμοποιώντας γενικός τύπος, που μοιάζει με αυτό:

Ο τύπος διάκρισης εξαρτάται από το βαθμό του πολυωνύμου. Ο παραπάνω τύπος είναι κατάλληλος για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων τον παρακάτω τύπο:

Το διακριτικό έχει τις ακόλουθες ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζετε:

* Το "D" είναι 0 όταν το πολυώνυμο έχει πολλαπλές ρίζες (ίσες ρίζες).

* Το "D" είναι ένα συμμετρικό πολυώνυμο σε σχέση με τις ρίζες του πολυωνύμου και επομένως είναι πολυώνυμο στους συντελεστές του. Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του πολυωνύμου είναι ακέραιοι ανεξάρτητα από την προέκταση στην οποία λαμβάνονται οι ρίζες.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:

1 εξίσωση

Σύμφωνα με τον τύπο έχουμε:

Αφού \, η εξίσωση έχει 2 ρίζες. Ας τις ορίσουμε:

Πού μπορώ να λύσω μια εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν διαδικτυακό επιλύτη διάκρισης;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ένας δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε την εξίσωση online οποιαδήποτεπολυπλοκότητα σε δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε τις οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας Και εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Στον όρο «τετραγωνική εξίσωση», η λέξη-κλειδί είναι «τετραγωνική». Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει απαραίτητα να περιέχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) στο τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχουν xes στην τρίτη (ή μεγαλύτερη) δύναμη.

Η λύση πολλών εξισώσεων καταλήγει στην ακριβή επίλυση τετραγωνικές εξισώσεις.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση και όχι κάποια άλλη εξίσωση.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης με

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και ας τακτοποιήσουμε τους όρους σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του X

Τώρα μπορούμε να το πούμε με σιγουριά δεδομένη εξίσωσηείναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 2.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός; Η τέταρτη και δεύτερη μοίρα... Ωστόσο, αν κάνουμε αντικατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να υπάρχει, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι απλό γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί χωρίζουν συμβατικά όλες τις τετραγωνικές εξισώσεις στους ακόλουθους τύπους:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, όπως και ο ελεύθερος όρος c, δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις υπάρχουν δεδομένος- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί τους λείπει κάποιο στοιχείο. Όμως η εξίσωση πρέπει πάντα να περιέχει x τετράγωνο!!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον μια δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί σκέφτηκαν μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση καθορίζεται από τις μεθόδους λύσης. Ας δούμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο απλές!

Υπάρχουν τύποι ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

1. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

1. i. Γιατί ξέρουμε να εξάγουμε Τετραγωνική ρίζα, τότε ας εκφράσουμε από αυτή την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάζουμε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Μετά από όλα, θυμάστε πώς να εξαγάγετε ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί βρήκαν ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Ετσι,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Θα παραιτηθούμε από παραδείγματα εδώ.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο) από αυτές.

Θυμάμαι, Οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Οι άλλες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, πρώτα κυριαρχήστε τη λύση χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο είναι πολύ απλή.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα. Ιδιαίτερη προσοχήΚάνε ένα βήμα. Το διακριτικό () μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει μόνο ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα του διακριτικού στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση παρουσιάζεται σε τυπική μορφή, άρα Βήμα 1παραλείπουμε.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα της διάκρισης. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:χωρίς ρίζες

2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξίσωσης που ονομάζεται μειωμένος (όταν ο συντελεστής a είναι ίσος με):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άθροισμα ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου - ο άγνωστος, - ορισμένοι αριθμοί, και.

Ο αριθμός ονομάζεται υψηλότερος ή πρώτος συντελεστήςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ΕΝΑ - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Γιατί αν η εξίσωση γίνει αμέσως γραμμική, γιατί θα εξαφανιστεί.

Σε αυτή την περίπτωση, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα η εξίσωση ονομάζεται ελλιπής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, ας δούμε τις μεθόδους για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούμε να διακρίνουμε τους παρακάτω τύπους εξισώσεων:

Ι., στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι ίσοι.

II. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής είναι ίσος.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα ας δούμε τη λύση για καθέναν από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν έχουμε δύο ρίζες

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτούς τους τύπους. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις ρίζες με αρνητικό πρόσημο!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να καταγράψουμε εν συντομία ότι ένα πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Άρα, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Ας συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και ας βρούμε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας ένα διαχωριστικό! Έστω και ημιτελής.

Προσέξατε τη ρίζα από το διακριτικό στον τύπο για τις ρίζες; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω; Πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διαχωριστής μας λέει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες:
• Αν, τότε η εξίσωση έχει τις ίδιες ρίζες, και μάλιστα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί είναι δυνατόν διαφορετικές ποσότητεςρίζες; Ας στραφούμε στο γεωμετρική αίσθησητετραγωνική εξίσωση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή:

Σε μια ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση, . Αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα (άξονα) της τετμημένης. Μια παραβολή μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα ή μπορεί να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αν, τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Vieta: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta επειδή . Άλλοι συντελεστές: ; .

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο με?
• Και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση στο σύστημα:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα #2:

Λύση:

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών που δίνουν το γινόμενο και, στη συνέχεια, ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δίνουν συνολικά.

και: δίνουν συνολικά. Για να αποκτήσετε, αρκεί απλώς να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το προϊόν.

Απάντηση:

Παράδειγμα #3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Επομένως το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με διαφορές των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο γινόμενο και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - ακατάλληλο.

και: - ακατάλληλο.

και: - κατάλληλο. Το μόνο που μένει είναι να θυμόμαστε ότι μια από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, η ρίζα με το μικρότερο συντελεστή πρέπει να είναι αρνητική: . Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα #4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός και επομένως το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα #5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Δίνεται η εξίσωση που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, σημαίνει ότι και οι δύο ρίζες έχουν πρόσημο μείον.

Ας επιλέξουμε ζεύγη αριθμών των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι οι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρίσκεις ρίζες προφορικά, αντί να μετράς αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να επωφεληθείτε από τη χρήση του, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες σε αυτοματοποίηση. Και για αυτό, λύστε πέντε ακόμη παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατήσετε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διακριτικό! Μόνο το θεώρημα του Βιέτα:

Λύσεις σε εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με το κομμάτι:

Ακατάλληλο γιατί το ποσό?

: το ποσό είναι ακριβώς αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; .

Εργασία 2.

Και πάλι το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να είναι ίσο και το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν πρέπει να είναι, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; .

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι αυτό;

Πρέπει να μετακινήσετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Εντάξει, σταμάτα! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις δεδομένες εξισώσεις. Άρα πρώτα πρέπει να δώσετε μια εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να ηγηθείτε, εγκαταλείψτε αυτήν την ιδέα και λύστε το με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι για να δώσετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον συντελεστή που οδηγεί ίσος:

Εξαιρετική. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με και το γινόμενο.

Είναι τόσο εύκολο να διαλέξετε εδώ με πίτα: τελικά, είναι πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; .

Εργασία 4.

Το δωρεάν μέλος είναι αρνητικό. Τι το ιδιαίτερο έχει αυτό; Και το γεγονός είναι ότι οι ρίζες θα έχουν διαφορετικά σημάδια. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά στις ενότητες τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Το θεώρημα του Vieta μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; .

Εργασία 5.

Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους συντελεστές του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι ίση με:

Οι ρίζες είναι ίσες με και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Οι οποίες; Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι το μείον θα έχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; .

Επιτρέψτε μου να συνοψίσω:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που δίνονται.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Αν δεν δοθεί η εξίσωση ή δεν βρεθεί εξίσωση κατάλληλο ζευγάριπολλαπλασιαστές του ελεύθερου όρου, που σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω ενός διακριτικού).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται με τη μορφή όρων από συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε μετά την αντικατάσταση των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή μιας ημιτελούς τετραγωνικής εξίσωσης του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση: .

Λύση:

Απάντηση:

ΣΕ γενική εικόναο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν σου θυμίζει τίποτα; Αυτό είναι κάτι που εισάγει διακρίσεις! Έτσι ακριβώς πήραμε τη φόρμουλα της διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή: .

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση μοιάζει με:
• αν υπάρχει ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση μοιάζει με: .

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής, όπου, :

1) Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων: ,

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα: .

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Λύση με χρήση διακριτικού

1) Ας φέρουμε την εξίσωση σε τυπική μορφή: ,

2) Ας υπολογίσουμε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (εξίσωση της μορφής όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ΕΝΑ.

2.3. Λύση με τη μέθοδο επιλογής πλήρους τετραγώνου

Αν μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής έχει ρίζες, τότε μπορεί να γραφτεί με τη μορφή: .

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι;

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Για να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως; Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

», δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε αυτό που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Σπουδαίος!

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.

Εάν η μέγιστη ισχύς στην οποία ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.

Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Σπουδαίος! Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

A x 2 + b x + c = 0

Τα «α», «β» και «γ» δίνονται αριθμοί.

• Το "a" είναι ο πρώτος ή ο υψηλότερος συντελεστής.
• Το "b" είναι ο δεύτερος συντελεστής.
• Το «c» είναι ελεύθερο μέλος.

Για να βρείτε τα «a», «b» και «c» πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης «ax 2 + bx + c = 0».

Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Η εξίσωση	Πιθανότητα
α = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• α = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• α = 1
• b = 0
• c = −8

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, χρησιμοποιείται μια ειδική μέθοδος για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. τύπος για την εύρεση ριζών.

Θυμάμαι!

Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:

• φέρετε τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0». Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
• χρησιμοποιήστε τη φόρμουλα για τις ρίζες:

Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση.

X 2 − 3x − 4 = 0

Η εξίσωση «x 2 − 3x − 4 = 0» έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0» και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, αρκεί να κάνουμε αίτηση τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Στον τύπο "x 1;2 = " η ριζική έκφραση αντικαθίσταται συχνά
«b 2 − 4ac» για το γράμμα «D» και ονομάζεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού συζητείται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.

x 2 + 9 + x = 7x

Σε αυτή τη μορφή, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας μειώσουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.

Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Απάντηση: x = 3

Υπάρχουν φορές που οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ο τύπος περιέχει έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.

Ας δουλέψουμε με τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτές είναι πολύ δημοφιλείς εξισώσεις! Στην πιο γενική της μορφή, μια τετραγωνική εξίσωση μοιάζει με αυτό:

Για παράδειγμα:

Εδώ ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ΕΝΑ =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ΕΝΑ =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις...

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις;Εάν έχετε μια τετραγωνική εξίσωση μπροστά σας σε αυτή τη μορφή, τότε όλα είναι απλά. Ας θυμηθούμε Μαγική λέξη διακριτική . Σπάνια μαθητής Λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «λύνουμε μέσω ενός διακριτικού» εμπνέει εμπιστοσύνη και σιγουριά. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένεις κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση. Έτσι, ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το πρόσημο της ρίζας είναι αυτή διακριτική. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το X, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από μια τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γΑυτός είναι ο τύπος που υπολογίζουμε. Ας αντικαταστήσουμε με τα δικά σου σημάδια! Για παράδειγμα, για την πρώτη εξίσωση ΕΝΑ =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ το γράφουμε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτό είναι όλο.

Ποιες περιπτώσεις είναι δυνατές όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον τύπο; Υπάρχουν μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική. Αυτό σημαίνει ότι η ρίζα μπορεί να εξαχθεί από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή κακώς είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται καταρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν. Τότε έχετε μία λύση. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αυτό όμως παίζει ρόλο στις ανισότητες, όπου θα μελετήσουμε το θέμα πιο αναλυτικά.

3. Η διάκριση είναι αρνητική. Η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί. Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι, πιστεύεις ότι είναι αδύνατο να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…
Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τις τιμές πρόσημου α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (πού να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Αυτό που βοηθά εδώ είναι μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Κάνε αυτό!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ a = -6; b = -5; c = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν περίπου 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα μειωθεί απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να γράψεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο έτσι φαίνεται. Δοκίμασε το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Τι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να γράψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Θα λειτουργήσει σωστά από μόνο του. Ειδικά αν χρησιμοποιείτε πρακτικές τεχνικές που περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα μπορεί να λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμηθήκαμε. Ή έμαθαν, που είναι επίσης καλό. Ξέρεις πώς να προσδιορίζεις σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως; προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίΕδώ - προσεχτικά;

Ωστόσο, οι τετραγωνικές εξισώσεις συχνά φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις . Μπορούν επίσης να λυθούν μέσω ενός διακριτικού. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι ισούνται εδώ. α, β και γ.

Το έχεις καταλάβει; Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ΕΝΑ ντο? Δεν είναι καθόλου εκεί! Λοιπόν ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο ντο,και θα τα καταφέρουμε. Το ίδιο με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο που δεν έχουμε μηδέν εδώ Με, ΕΝΑ σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο απλά. Χωρίς καμία διάκριση. Ας εξετάσουμε την πρώτη ημιτελή εξίσωση. Τι μπορείτε να κάνετε στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο ισούται με μηδέν αν και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες ισούται με μηδέν! Δεν με πιστεύεις; Εντάξει, τότε καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν!
Δεν δουλεύει; Αυτό είναι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x = 0, ή x = 4

Ολα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο είναι κατάλληλα. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τη χρήση ενός διαχωριστή.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί απλά. Μετακινήστε το 9 στη δεξιά πλευρά. Παίρνουμε:

Το μόνο που μένει είναι να εξαγάγετε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Θα αποδειχθεί:

Επίσης δύο ρίζες . x = +3 και x = -3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε τοποθετώντας το Χ εκτός αγκύλων, είτε απλώς μετακινώντας τον αριθμό προς τα δεξιά και μετά εξάγοντας τη ρίζα.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις τεχνικές. Απλά γιατί στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα του Χ, η οποία είναι κάπως ακατανόητη, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες...

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Τα ίδια που οφείλονται στην απροσεξία... Για τα οποία αργότερα γίνεται επώδυνο και προσβλητικό...

Πρώτο ραντεβού. Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού και φέρτε την σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι μετά από όλους τους μετασχηματισμούς παίρνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Κατασκευάστε σωστά το παράδειγμα. Πρώτα, X τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ο ελεύθερος όρος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιάζεστε! Ένα μείον μπροστά από ένα Χ στο τετράγωνο μπορεί πραγματικά να σας αναστατώσει. Ξεχνιέται εύκολα... Ξεφορτωθείτε το μείον. Πως; Ναι, όπως διδάχτηκε στο προηγούμενο θέμα! Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε την επίλυση του παραδείγματος. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει τώρα να έχετε τις ρίζες 2 και -1.

Υποδοχή δεύτερη.Ελέγξτε τις ρίζες! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μη φοβάσαι, θα σου τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να σημειώσουμε τον τύπο της ρίζας. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ο έλεγχος των ριζών είναι εύκολος. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ελεύθερο μέλος, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Παρακαλώ σημειώστε, όχι 2, αλλά -2! Δωρεάν μέλος με το ζώδιο σου . Εάν δεν τα καταφέρετε, σημαίνει ότι έχετε ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για το σφάλμα. Εάν λειτουργεί, πρέπει να προσθέσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Ο συντελεστής πρέπει να είναι σιΜε απεναντι απο οικείος. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το Χ, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που αυτό είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρχουν όλο και λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή. Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με έναν κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα. Όταν εργάζεστε με κλάσματα, τα σφάλματα συνεχίζουν να εισχωρούν για κάποιο λόγο...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα να απλοποιήσω το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα. Σας παρακαλούμε! Να τος.

Για να μην μπερδευτούμε με τα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Η επίλυση είναι απόλαυση!

Λοιπόν, ας συνοψίσουμε το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση σε τυπική μορφή και την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το τετράγωνο του Χ, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής του είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Κλασματικές εξισώσεις. ODZ.

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις εξισώσεις. Γνωρίζουμε ήδη πώς να δουλεύουμε με γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις. Η τελευταία άποψη αριστερά - κλασματικές εξισώσεις. Ή λέγονται επίσης πολύ πιο σεβαστά - κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Είναι το ίδιο.

Κλασματικές εξισώσεις.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές οι εξισώσεις περιέχουν απαραίτητα κλάσματα. Όχι όμως μόνο κλάσματα, αλλά κλάσματα που έχουν άγνωστο σε παρονομαστή. Τουλάχιστον σε ένα. Για παράδειγμα:

Να σας υπενθυμίσω ότι αν οι παρονομαστές είναι μόνο αριθμοί, αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να αποφασίσετε κλασματικές εξισώσεις? Πρώτα απ' όλα, ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Μετά από αυτό, η εξίσωση τις περισσότερες φορές μετατρέπεται σε γραμμική ή τετραγωνική. Και μετά ξέρουμε τι να κάνουμε... Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να μετατραπεί σε ταυτότητα, όπως 5=5 ή σε λάθος έκφραση, όπως 7=2. Αλλά αυτό συμβαίνει σπάνια. Θα το αναφέρω παρακάτω.

Πώς όμως να απαλλαγείτε από τα κλάσματα!; Πολύ απλό. Εφαρμόζοντας τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς.

Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με την ίδια παράσταση. Για να μειωθούν όλοι οι παρονομαστές! Όλα θα γίνουν αμέσως πιο εύκολα. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω με ένα παράδειγμα. Ας πρέπει να λύσουμε την εξίσωση:

Πώς διδάχτηκες στο δημοτικό; Μεταφέρουμε τα πάντα στη μία πλευρά, τα φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή κ.λπ. Ξέχνα πώς φρικτό όνειρο! Αυτό πρέπει να κάνετε όταν προσθέτετε ή αφαιρείτε κλάσματα. Ή δουλεύεις με ανισότητες. Και στις εξισώσεις, πολλαπλασιάζουμε αμέσως και τις δύο πλευρές με μια έκφραση που θα μας δώσει την ευκαιρία να μειώσουμε όλους τους παρονομαστές (δηλαδή, στην ουσία, με έναν κοινό παρονομαστή). Και ποια είναι αυτή η έκφραση;

Στην αριστερή πλευρά, η μείωση του παρονομαστή απαιτεί πολλαπλασιασμό με x+2. Και στα δεξιά, απαιτείται πολλαπλασιασμός με 2 Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 2 (x+2). Πολλαπλασιάζω:

Αυτός είναι ένας κοινός πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, αλλά θα τον περιγράψω λεπτομερώς:

Παρακαλώ σημειώστε ότι δεν ανοίγω ακόμα την αγκύλη (x + 2)! Το γράφω λοιπόν στο σύνολό του:

Στην αριστερή πλευρά συστέλλεται πλήρως (x+2), και δεξιά 2. Που ήταν και το ζητούμενο! Μετά τη μείωση παίρνουμε γραμμικόςη εξίσωση:

Και όλοι μπορούν να λύσουν αυτήν την εξίσωση! x = 2.

Ας λύσουμε ένα άλλο παράδειγμα, λίγο πιο περίπλοκο:

Αν θυμηθούμε ότι 3 = 3/1, και 2x = 2x/ 1, μπορούμε να γράψουμε:

Και πάλι απαλλαγούμε από αυτό που δεν μας αρέσει πραγματικά - τα κλάσματα.

Βλέπουμε ότι για να μειώσουμε τον παρονομαστή με το Χ, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με (x – 2). Και μερικά δεν αποτελούν εμπόδιο για εμάς. Λοιπόν, ας πολλαπλασιάσουμε. Ολααριστερή πλευρά και όλασωστη πλευρα:

Πάλι παρένθεση (x – 2)Δεν αποκαλύπτω. Δουλεύω με την αγκύλη στο σύνολό της σαν να ήταν ένας αριθμός! Αυτό πρέπει να γίνεται πάντα, διαφορετικά δεν θα μειωθεί τίποτα.

Με ένα αίσθημα βαθιάς ικανοποίησης μειώνουμε (x – 2)και παίρνουμε μια εξίσωση χωρίς κλάσματα, με χάρακα!

Τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες:

Φέρνουμε παρόμοια, μετακινούμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και παίρνουμε:

Κλασική τετραγωνική εξίσωση. Αλλά το μείον μπροστά δεν είναι καλό. Μπορείτε πάντα να το ξεφορτωθείτε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με -1. Αλλά αν κοιτάξετε προσεκτικά το παράδειγμα, θα παρατηρήσετε ότι είναι καλύτερο να διαιρέσετε αυτή την εξίσωση με -2! Με μια πτώση, το μείον θα εξαφανιστεί και οι πιθανότητες θα γίνουν πιο ελκυστικές! Διαιρέστε με -2. Στην αριστερή πλευρά - όρος με όρο και στα δεξιά - απλά διαιρέστε το μηδέν με -2, μηδέν και παίρνουμε:

Επιλύουμε μέσω της διάκρισης και ελέγχουμε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta. Παίρνουμε x = 1 και x = 3. Δύο ρίζες.

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση η εξίσωση μετά τον μετασχηματισμό έγινε γραμμική, αλλά εδώ γίνεται τετραγωνική. Συμβαίνει ότι αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, όλα τα Χ μειώνονται. Κάτι παραμένει, όπως 5=5. Αυτό σημαίνει ότι Το x μπορεί να είναι οτιδήποτε. Ό,τι κι αν είναι, θα μειώνεται. Και θα βγει καθαρή αλήθεια, 5=5. Αλλά, αφού απαλλαγούμε από τα κλάσματα, μπορεί να αποδειχθεί εντελώς αναληθής, όπως 2=7. Και αυτό σημαίνει ότι χωρίς λύσεις! Οποιοδήποτε Χ αποδεικνύεται αναληθές.

Συνειδητοποίησα κύριος τρόποςλύσεις κλασματικές εξισώσεις? Είναι απλό και λογικό. Αλλάζουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε να εξαφανίζονται όλα όσα δεν μας αρέσουν. Ή παρεμβαίνει. Στην περίπτωση αυτή πρόκειται για κλάσματα. Θα κάνουμε το ίδιο με κάθε είδους σύνθετα παραδείγματα με λογάριθμους, ημίτονο και άλλα φρικτά. Εμείς ΠάνταΑς τα ξεφορτωθούμε όλα αυτά.

Ωστόσο, πρέπει να αλλάξουμε την αρχική έκφραση προς την κατεύθυνση που χρειαζόμαστε σύμφωνα με τους κανόνες, ναι... Η μαεστρία του οποίου είναι η προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Άρα το κατακτάμε.

Τώρα θα μάθουμε πώς να παρακάμψουμε ένα από αυτά κύριες ενέδρες στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους! Αλλά πρώτα, ας δούμε αν πέσεις σε αυτό ή όχι;

Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα:

Το θέμα είναι ήδη γνωστό, πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές (x – 2), παίρνουμε:

Σας θυμίζω, με παρένθεση (x – 2)Δουλεύουμε σαν με μια, ολοκληρωμένη έκφραση!

Εδώ δεν έγραψα πια ένα στους παρονομαστές, είναι αναξιοπρεπές... Και δεν τράβηξα αγκύλες στους παρονομαστές, εκτός από x – 2δεν υπάρχει τίποτα, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε. Ας συντομεύσουμε:

Ανοίξτε τις παρενθέσεις, μετακινήστε τα όλα προς τα αριστερά και δώστε παρόμοιες:

Λύνουμε, ελέγχουμε, παίρνουμε δύο ρίζες. x = 2Και x = 3. Εξαιρετική.

Ας υποθέσουμε ότι η εργασία λέει να γράψετε τη ρίζα ή το άθροισμά τους εάν υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες. Τι θα γράψουμε;

Εάν αποφασίσετε ότι η απάντηση είναι 5, εσείς έπεσαν σε ενέδρα. Και η εργασία δεν θα πιστωθεί σε εσάς. Μάταια δούλεψαν... Η σωστή απάντηση είναι 3.

Τι συμβαίνει;! Και προσπαθείς να κάνεις έναν έλεγχο. Αντικαταστήστε τις τιμές του αγνώστου σε πρωτότυποπαράδειγμα. Και αν σε x = 3όλα θα μεγαλώσουν μαζί υπέροχα, παίρνουμε 9 = 9, τότε πότε x = 2Θα διαιρεθεί με το μηδέν! Αυτό που δεν μπορείτε να κάνετε απολύτως. Που σημαίνει x = 2δεν είναι λύση και δεν λαμβάνεται υπόψη στην απάντηση. Αυτή είναι η λεγόμενη εξωγενής ή επιπλέον ρίζα. Απλώς το απορρίπτουμε. Η τελική ρίζα είναι μία. x = 3.

Πως και έτσι;! – Ακούω αγανακτισμένα επιφωνήματα. Μας έμαθαν ότι μια εξίσωση μπορεί να πολλαπλασιαστεί με μια έκφραση! Αυτή είναι μια πανομοιότυπη μεταμόρφωση!

Ναι, πανομοιότυπο. Κάτω από μια μικρή συνθήκη - η έκφραση με την οποία πολλαπλασιάζουμε (διαιρούμε) - διαφορετικό από το μηδέν. ΕΝΑ x – 2στο x = 2ισούται με μηδέν! Άρα όλα είναι δίκαια.

Και τώρα τι μπορώ να κάνω;! Να μην πολλαπλασιάζονται με έκφραση; Πρέπει να ελέγχω κάθε φορά; Και πάλι είναι ασαφές!

Ήρεμα! Μην πανικοβάλλεστε!

Σε αυτή τη δύσκολη κατάσταση, τρία μαγικά γράμματα θα μας σώσουν. Ξέρω τι σκέφτεσαι. Σωστά! Αυτό ODZ . Τομέας Αποδεκτών Αξιών.

ΣΕ σύγχρονη κοινωνίαΗ ικανότητα εκτέλεσης πράξεων με εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή στο τετράγωνο μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Στοιχεία αυτού μπορούν να βρεθούν στον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποταμών σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Χρησιμοποιώντας τέτοιους υπολογισμούς, προσδιορίζονται οι τροχιές κίνησης μιας μεγάλης ποικιλίας σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές πεζοπορίας, αθλητικούς αγώνες, στα καταστήματα όταν ψωνίζετε και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση στους συντελεστές της

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η παράσταση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική.

Εάν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε οι υποδεικνυόμενες εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν αριστερή πλευράη έκφραση αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή στο τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ένα ελεύθερο συστατικό, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά στη δεξιά πλευρά είναι ίσα με 0. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο στερείται έναν από τους όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι τιμές των μεταβλητών στις οποίες είναι εύκολο να βρεθούν, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το x είναι βάζοντας τη μεταβλητή εκτός αγκύλων. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Στη συνέχεια, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα καταλήγει στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο που λαμβάνεται ως η αρχή των συντεταγμένων. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις. Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X 2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, ας μεταμορφώσουμε την έκφραση και ας την παραμετροποιήσουμε. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x+1), (x-3) και (x+ 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Τετραγωνική ρίζα

Άλλη περίπτωση ημιτελής εξίσωσηη δεύτερη σειρά είναι μια έκφραση που αναπαρίσταται στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα στοιχεία ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται σε σωστη πλευρα, και μετά από αυτό λαμβάνεται η τετραγωνική ρίζα και από τις δύο πλευρές της ισότητας. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις μπορεί να είναι ισότητες που δεν περιέχουν όρο με καθόλου, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και παραλλαγές παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά είναι αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός επιφάνειας γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους καθοριζόταν σε μεγάλο βαθμό από την ανάγκη να προσδιοριστούν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων που βασίζονται σε προβλήματα αυτού του είδους.

Ας πούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο οικόπεδο, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας εάν γνωρίζετε ότι η έκτασή της είναι 612 m2.

Για να ξεκινήσουμε, ας δημιουργήσουμε πρώτα την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε με x το πλάτος της περιοχής, τότε το μήκος της θα είναι (x+16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι το εμβαδόν καθορίζεται από την παράσταση x(x+16), η οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x(x+16) = 612.

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν ισούται καθόλου με 0, επομένως χρησιμοποιούνται διαφορετικές μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα από όλα, ας κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς, λοιπόν εμφάνισηαυτής της παράστασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση σε μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c=-612.

Αυτό θα μπορούσε να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση διαχωριστή. Εδώ απαραίτητους υπολογισμούςπαράγονται σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική ποσότητα όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των απαιτούμενων ποσοτήτων σε μια εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει την ποσότητα πιθανές επιλογές. Αν D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση ισούται με: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό υποδηλώνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε k, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί οι διαστάσεις του οικοπέδου δεν μπορούν να μετρηθούν σε αρνητικές ποσότητες, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 m. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18 +16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18)=104(m2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερείς λύσεις αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή, θα πάρουμε τον τύπο της εξίσωσης που συνήθως ονομάζεται τυπική και θα την εξισώσουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Προσθέτοντας παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D = 49 - 48 = 1. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Ας τα υπολογίσουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο με 1.

2) Τώρα ας λύσουμε μυστήρια διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν ρίζες εδώ x 2 - 4x + 5 = 1; Για να λάβουμε μια ολοκληρωμένη απάντηση, ας μειώσουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη συνήθη μορφή και ας υπολογίσουμε τη διάκριση. Στο παραπάνω παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, γιατί αυτή δεν είναι καθόλου η ουσία του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, D = 16 - 20 = -4, που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους και το διαχωριστικό, όταν η τετραγωνική ρίζα λαμβάνεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά της από αυτόν που έζησε τον 16ο αιώνα στη Γαλλία και έκανε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αθροίζονται αριθμητικά σε -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Αφού ελέγξουμε, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι μεταβλητές τιμές ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα παραβολής και εξίσωση

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί νωρίτερα. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους λίγο πιο αναλυτικά. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια σχέση, σχεδιασμένη ως γράφημα, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο αναδύονται οι κλάδοι της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b/2a. Και αντικαθιστώντας την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής, η οποία ανήκει στον άξονα τεταγμένων.

Η τομή των κλάδων μιας παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τους δούμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 παίρνει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα της παραβολής μπορείτε να προσδιορίσετε και τις ρίζες. Το αντίθετο ισχύει επίσης. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι ευκολότερο να κατασκευάσετε ένα γράφημα.

Από την ιστορία

Χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιείχαν μια τετράγωνη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια δεν έκαναν μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν τα εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγάλες ανακαλύψεις στους τομείς της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την εποχή μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν ριζικά διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν εξοικειωμένοι με άλλες λεπτότητες που γνωρίζει κάθε σύγχρονος μαθητής.

Ίσως ακόμη νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία Baudhayama άρχισε να λύνει τετραγωνικές εξισώσεις. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την εποχή του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφερόντουσαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις τα παλιά χρόνια. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στα έργα τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.