Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο με τίτλο LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σύνδεση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), Και Ιδιαίτερη προσοχήΑς επικεντρωθούμε στην επίλυση παραδειγμάτων. Αρχικά, θα δείξουμε πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών χρησιμοποιώντας το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Υπάρχουσα σύνδεσημεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων χρησιμοποιώντας έναν γνωστό μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος είναι LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Ας δούμε παραδείγματα εύρεσης του LCM χρησιμοποιώντας τον συγκεκριμένο τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών 126 και 70.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σύνδεση μεταξύ LCM και GCD, που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών χρησιμοποιώντας τον γραπτό τύπο.

Ας βρούμε το GCD(126, 70) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, επομένως, GCD(126, 70)=14.

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Με τι ισούται το LCM(68, 34);

Λύση.

Επειδή Το 68 διαιρείται με το 34, τότε το GCD(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68.

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν συνθέσετε ένα γινόμενο από όλους τους πρώτους συντελεστές δεδομένων αριθμών και στη συνέχεια εξαιρέσετε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις αποσυνθέσεις των δεδομένων αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεδομένων αριθμών .

Ο αναφερόμενος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών α και β είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση των αριθμών α και β. Με τη σειρά του, το GCD(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (όπως περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την επέκταση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Ας συνθέσουμε το γινόμενο από όλους τους συντελεστές αυτών των επεκτάσεων: 2·3·3·5·5·5·7 . Τώρα από αυτό το γινόμενο εξαιρούμε όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2·3·5·5·7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 75 και του 210, δηλαδή NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες και βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Λύση.

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3·3·7·7 και 700=2·2·5·5·7.

Τώρα ας δημιουργήσουμε ένα προϊόν από όλους τους παράγοντες που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των αριθμών: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ετσι, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Απάντηση:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Εάν οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b προστεθούν στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού α, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι αποσυνθέσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3·5·5 και 210=2·3·5·7. Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2·3·5·5·7, η τιμή του οποίου είναι ίσο με LCM(75, 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Λύση.

Λαμβάνουμε πρώτα τις αποσυνθέσεις των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2·2·3·7 και 648=2·2·2·3·3·3·3. Στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2, 3, 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648, παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7, που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4,536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Ας θυμηθούμε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρούμε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250.

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε το GCD(140, 9), έχουμε 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, επομένως, GCD(140, 9)=1 , από όπου GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Δηλαδή, m 2 = 1 260.

Τώρα βρίσκουμε m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του GCD(1 260, 54), το οποίο προσδιορίζουμε επίσης χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Τότε gcd(1,260, 54)=18, από το οποίο gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Δηλαδή, m 3 = 3 780.

Το μόνο που μένει είναι να βρεθεί m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3,780, 250) χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Επομένως, GCM(3,780, 250)=10, από όπου GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Δηλαδή m 4 =94.500.

Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, είναι βολικό να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών χρησιμοποιώντας πρώτους παραγοντοποιήσεις των δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να τηρείτε επόμενος κανόνας. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους συντελεστές που προκύπτουν και ούτω καθεξής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση πρώτων.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Λύση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις αποσυνθέσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (το 7 είναι πρώτος αριθμός, συμπίπτει με την αποσύνθεσή του σε πρώτους παράγοντες) και 143=11·13.

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2, 2, 3 και 7), πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6. Η αποσύνθεση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην αποσύνθεση του πρώτου αριθμού 84. Στη συνέχεια, στους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48, παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2, 2, 2, 2, 3 και 7. Δεν θα χρειαστεί να προσθέσετε πολλαπλασιαστές σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2, 2, 2, 2, 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143. Παίρνουμε το γινόμενο 2·2·2·2·3·7·11·13, που ισούται με 48.048.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανήσας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τόσο των δύο όσο και οποιουδήποτε άλλου αριθμού αριθμών.

Αριθμομηχανή για εύρεση GCD και LCM

Βρείτε GCD και LOC

Βρέθηκαν GCD και LOC: 5806

Πώς να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή

• Εισαγάγετε αριθμούς στο πεδίο εισαγωγής
• Εάν εισαγάγετε λανθασμένους χαρακτήρες, το πεδίο εισαγωγής θα τονιστεί με κόκκινο χρώμα
• κάντε κλικ στο κουμπί "Εύρεση GCD και LOC".

Πώς να εισάγετε αριθμούς

• Οι αριθμοί εισάγονται χωρισμένοι με κενό, τελεία ή κόμμα
• Το μήκος των εισαγόμενων αριθμών δεν είναι περιορισμένο, επομένως η εύρεση GCD και LCM μεγάλων αριθμών δεν είναι δύσκολη

Τι είναι το GCD και το NOC;

Μέγιστο κοινό διαιρέτηαρκετοί αριθμοί είναι ο μεγαλύτερος φυσικός ακέραιος με τον οποίο διαιρούνται όλοι οι αρχικοί αριθμοί χωρίς υπόλοιπο. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης συντομεύεται ως GCD.
Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιοαρκετοί αριθμοί είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους αρχικούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συντομεύεται ως NOC.

Πώς να ελέγξετε ότι ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο αριθμό χωρίς υπόλοιπο;

Για να μάθετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο χωρίς υπόλοιπο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ορισμένες ιδιότητες διαιρετότητας αριθμών. Στη συνέχεια, συνδυάζοντάς τα, μπορείτε να ελέγξετε τη διαιρετότητα ορισμένων από αυτά και τους συνδυασμούς τους.

Μερικά σημάδια διαιρετότητας αριθμών

1. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 2
Για να προσδιορίσετε αν ένας αριθμός διαιρείται με δύο (είτε είναι άρτιος), αρκεί να κοιτάξετε το τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού: αν είναι ίσο με 0, 2, 4, 6 ή 8, τότε ο αριθμός είναι άρτιος, που σημαίνει ότι διαιρείται με το 2.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 2.
Λύση:Εξετάζουμε το τελευταίο ψηφίο: 8 - αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο.

2. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 3
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το τρία. Έτσι, για να προσδιορίσετε εάν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των ψηφίων και να ελέγξετε αν διαιρείται με το 3. Ακόμα κι αν το άθροισμα των ψηφίων είναι πολύ μεγάλο, μπορείτε να επαναλάβετε την ίδια διαδικασία ξανά.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 3.
Λύση:Μετράμε το άθροισμα των αριθμών: 3+4+9+3+8 = 27. Το 27 διαιρείται με το 3, που σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με το τρία.

3. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 5
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι μηδέν ή πέντε.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 5.
Λύση:κοιτάξτε το τελευταίο ψηφίο: 8 σημαίνει ότι ο αριθμός ΔΕΝ διαιρείται με το πέντε.

4. Δοκιμή διαιρετότητας για έναν αριθμό με το 9
Αυτό το πρόσημο μοιάζει πολύ με το πρόσημο της διαιρετότητας με το τρία: ένας αριθμός διαιρείται με το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.
Παράδειγμα:καθορίστε εάν ο αριθμός 34938 διαιρείται με το 9.
Λύση:Μετράμε το άθροισμα των αριθμών: 3+4+9+3+8 = 27. Το 27 διαιρείται με το 9, που σημαίνει ότι ο αριθμός διαιρείται με το εννέα.

Πώς να βρείτε GCD και LCM δύο αριθμών

Πώς να βρείτε το gcd δύο αριθμών

Πλέον με απλό τρόποΥπολογίζοντας τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών είναι να βρείτε όλους τους πιθανούς διαιρέτες αυτών των αριθμών και να επιλέξετε τον μεγαλύτερο από αυτούς.

Ας εξετάσουμε αυτήν τη μέθοδο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα εύρεσης GCD(28, 36):

1. Συνυπολογίζουμε και τους δύο αριθμούς: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Βρίσκουμε κοινούς παράγοντες, δηλαδή αυτούς που έχουν και οι δύο αριθμοί: 1, 2 και 2.
3. Υπολογίζουμε το γινόμενο αυτών των παραγόντων: 1 2 2 = 4 - αυτός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 28 και 36.

Πώς να βρείτε το LCM δύο αριθμών

Υπάρχουν δύο πιο συνηθισμένοι τρόποι για να βρείτε το ελάχιστο πολλαπλάσιο δύο αριθμών. Η πρώτη μέθοδος είναι ότι μπορείτε να γράψετε τα πρώτα πολλαπλάσια δύο αριθμών και στη συνέχεια να επιλέξετε μεταξύ τους έναν αριθμό που θα είναι κοινός και στους δύο αριθμούς και ταυτόχρονα ο μικρότερος. Και το δεύτερο είναι να βρείτε το gcd αυτών των αριθμών. Ας το εξετάσουμε μόνο.

Για να υπολογίσετε το LCM, πρέπει να υπολογίσετε το γινόμενο των αρχικών αριθμών και στη συνέχεια να το διαιρέσετε με το GCD που βρέθηκε προηγουμένως. Ας βρούμε το LCM για τους ίδιους αριθμούς 28 και 36:

1. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 28 και 36: 28·36 = 1008
2. Το GCD(28, 36), όπως είναι ήδη γνωστό, είναι ίσο με 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Εύρεση GCD και LCM για πολλούς αριθμούς

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μπορεί να βρεθεί για πολλούς αριθμούς, όχι μόνο για δύο. Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί που πρέπει να βρεθούν για τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη διασπώνται σε πρώτους παράγοντες, και στη συνέχεια βρίσκεται το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων αυτών των αριθμών. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη σχέση για να βρείτε το gcd πολλών αριθμών: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Μια παρόμοια σχέση ισχύει για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Παράδειγμα:βρείτε GCD και LCM για τους αριθμούς 12, 32 και 36.

1. Αρχικά, ας παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Ας βρούμε τους κοινούς παράγοντες: 1, 2 και 2.
3. Το γινόμενο τους θα δώσει GCD: 1·2·2 = 4
4. Τώρα ας βρούμε το LCM: για να το κάνουμε αυτό, ας βρούμε πρώτα το LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Να βρω το ΝΟΚ του καθενός τρεις αριθμοί, πρέπει να βρείτε το GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Ας λύσουμε το πρόβλημα. Έχουμε δύο τύπους cookies. Άλλα είναι σοκολατένια και άλλα σκέτα. Υπάρχουν 48 σοκολατένια και 36 απλά. Πρέπει να κάνετε τον μέγιστο δυνατό αριθμό δώρων από αυτά τα μπισκότα και πρέπει να τα χρησιμοποιήσετε όλα.

Αρχικά, ας γράψουμε όλους τους διαιρέτες καθενός από αυτούς τους δύο αριθμούς, αφού και οι δύο αυτοί αριθμοί πρέπει να διαιρούνται με τον αριθμό των δώρων.

Παίρνουμε

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Ας βρούμε ανάμεσα στους κοινούς διαιρέτες που έχουν και ο πρώτος και ο δεύτερος αριθμός.

Κοινοί παράγοντες θα είναι: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας όλων είναι ο αριθμός 12. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των αριθμών 36 και 48.

Με βάση τα αποτελέσματα που προέκυψαν, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μπορούν να γίνουν 12 δώρα από όλα τα μπισκότα. Ένα τέτοιο δώρο θα περιέχει 4 μπισκότα σοκολάτας και 3 κανονικά μπισκότα.

Εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη

• Μεγαλύτερο φυσικός αριθμός, με τον οποίο διαιρούνται δύο αριθμοί a και b χωρίς υπόλοιπο, ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών.

Μερικές φορές η συντομογραφία GCD χρησιμοποιείται για να συντομεύσει την καταχώρηση.

Ορισμένα ζεύγη αριθμών έχουν ως μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τον έναν. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται αμοιβαίοι πρώτοι αριθμοί.Για παράδειγμα, οι αριθμοί 24 και 35 έχουν GCD =1.

Πώς να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη

Για να βρεθεί ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης, δεν είναι απαραίτητο να γράψουμε όλους τους διαιρέτες των δεδομένων αριθμών.

Μπορείτε να το κάνετε διαφορετικά. Πρώτον, συνυπολογίστε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Τώρα, από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου αριθμού, θα διαγράψουμε όλους αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση του δεύτερου αριθμού. Στην περίπτωσή μας, πρόκειται για δύο δυάδες.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Οι συντελεστές που απομένουν είναι 2, 2 και 3. Το γινόμενο τους είναι 12. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών 48 και 36.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να επεκταθεί στην περίπτωση των τριών, τεσσάρων κ.λπ. αριθμοί.

Γενικό σχήμα για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη

• 1. Διαιρέστε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
• 2. Από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς τους αριθμούς, διαγράψτε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση άλλων αριθμών.
• 3. Υπολογίστε το γινόμενο των υπόλοιπων παραγόντων.

Lancinova Aisa

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Προβλήματα στο GCD και στο LCM των αριθμών Εργασία ενός μαθητή της 6ης τάξης του MCOU "Kamyshovskaya δευτεροβάθμιο σχολείο" Lantsinova Aisa Επόπτρια Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, καθηγήτρια μαθηματικών σελ. Kamyshevo, 2013

Παράδειγμα εύρεσης του gcd των αριθμών 50, 75 και 325. 1) Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50, 75 και 325 σε πρώτους παράγοντες. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Από τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς τους αριθμούς, διαγράφουμε αυτούς που δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση των άλλων . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Να βρείτε το γινόμενο των υπολοίπων παραγόντων 5 ∙ 5 = 25 Απάντηση: GCD (50, 75 και 255 Ο μεγαλύτερος) αριθμός με τον οποίο Όταν οι αριθμοί a και b διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών ονομάζεται μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών.

Παράδειγμα εύρεσης του LCM των αριθμών 72, 99 και 117. 1) Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 72, 99 και 117 σε πρώτους παράγοντες. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 99 = 3 ∙ 11 ∙ 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 και προσθέστε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τους υπόλοιπους αριθμούς. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Απάντηση: LCM (72, 99 και 117) = 10296 Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των φυσικών αριθμών a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο ενός και β.

Το φύλλο χαρτονιού έχει σχήμα παραλληλόγραμμου, του οποίου το μήκος είναι 48 εκ. και το πλάτος 40 εκ. Το φύλλο αυτό πρέπει να κοπεί σε ίσα τετράγωνα χωρίς απορρίμματα. Ποια είναι τα μεγαλύτερα τετράγωνα που μπορούν να ληφθούν από αυτό το φύλλο εργασίας και πόσα; Λύση: 1) S = a ∙ b – εμβαδόν του ορθογωνίου. S= 48 ∙ 40 = 1960 cm². – περιοχή από χαρτόνι. 2) α – πλευρά του τετραγώνου 48: α – ο αριθμός των τετραγώνων που μπορούν να τοποθετηθούν κατά μήκος του χαρτονιού. 40: α – ο αριθμός των τετραγώνων που μπορούν να τοποθετηθούν σε όλο το πλάτος του χαρτονιού. 3) GCD (40 και 48) = 8 (cm) – πλευρά του τετραγώνου. 4) S = a² - εμβαδόν ενός τετραγώνου. S = 8² = 64 (cm²) - εμβαδόν ενός τετραγώνου. 5) 1960: 64 = 30 (αριθμός τετραγώνων). Απάντηση: 30 τετράγωνα με πλευρά 8 cm το καθένα. Προβλήματα GCD

Το τζάκι στο δωμάτιο πρέπει να είναι πλακάκι σε σχήμα τετραγώνου. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν για ένα τζάκι διαστάσεων 195 ͯ 156 cm και ποια είναι αυτά; μεγαλύτερες διαστάσειςπλακάκια; Λύση: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – S της επιφάνειας του τζακιού. 2) GCD (195 και 156) = 39 (cm) – πλευρά του πλακιδίου. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - εμβαδόν 1 πλακιδίου. 4) 30420: = 20 (τεμάχια). Απάντηση: 20 πλακάκια διαστάσεων 39 ͯ 39 (cm). Προβλήματα GCD

Ένα οικόπεδο κήπου διαστάσεων 54 ͯ 48 m περιμετρικά πρέπει να είναι περιφραγμένο· για να γίνει αυτό, πρέπει να τοποθετούνται τσιμεντένιες κολώνες σε τακτά χρονικά διαστήματα. Πόσοι στύλοι πρέπει να φέρουν για την τοποθεσία και σε ποια μέγιστη απόσταση μεταξύ τους θα τοποθετηθούν οι στύλοι; Λύση: 1) P = 2(a + b) – περίμετρος της τοποθεσίας. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 και 48) = 6 (m) – η απόσταση μεταξύ των πυλώνων. 3) 204: 6 = 34 (κολώνες). Απάντηση: 34 πυλώνες, σε απόσταση 6 μ. Προβλήματα GCD

Οι ανθοδέσμες συλλέχθηκαν από 210 μπορντό, 126 λευκά και 294 κόκκινα τριαντάφυλλα, με κάθε μπουκέτο να περιέχει ίσο αριθμό τριαντάφυλλων του ίδιου χρώματος. Οι οποίες μεγαλύτερος αριθμόςΑπό αυτά τα τριαντάφυλλα φτιάχτηκαν μπουκέτα και πόσα τριαντάφυλλα από κάθε χρώμα υπάρχουν σε ένα μπουκέτο; Λύση: 1) GCD (210, 126 και 294) = 42 (μπουκέτα). 2) 210: 42 = 5 (μπορντό τριαντάφυλλα). 3) 126: 42 = 3 (λευκά τριαντάφυλλα). 4) 294: 42 = 7 (κόκκινα τριαντάφυλλα). Απάντηση: 42 μπουκέτα: 5 μπορντό, 3 λευκά, 7 κόκκινα τριαντάφυλλα σε κάθε μπουκέτο. Προβλήματα GCD

Η Τάνια και η Μάσα αγόρασαν τον ίδιο αριθμό ταχυδρομικών κιτ. Η Τάνια πλήρωσε 90 ρούβλια και η Μάσα 5 ρούβλια. περισσότερο. Πόσο κοστίζει ένα σετ; Πόσα σετ αγόρασε κάθε άτομο; Λύση: 1) 90 + 5 = 95 (τρίψτε.) Η Μάσα πλήρωσε. 2) GCD (90 και 95) = 5 (τρίψτε.) – τιμή 1 σετ. 3) 980: 5 = 18 (σετ) – αγοράστηκε από την Tanya. 4) 95: 5 = 19 (σετ) – αγοράστηκε από τη Μάσα. Απάντηση: 5 ρούβλια, 18 σετ, 19 σετ. Προβλήματα GCD

Τρεις εκδρομές με τουριστικό σκάφος ξεκινούν στην πόλη του λιμανιού, το πρώτο εκ των οποίων διαρκεί 15 ημέρες, το δεύτερο – 20 και το τρίτο – 12 ημέρες. Έχοντας επιστρέψει στο λιμάνι, τα πλοία ξεκίνησαν ξανά την ίδια μέρα. Σήμερα από το λιμάνι έφυγαν πλοία και στα τρία δρομολόγια. Σε πόσες μέρες θα πάνε ξανά μαζί για πρώτη φορά; Πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε πλοίο; Λύση: 1) NOC (15,20 και 12) = 60 (ημέρες) – χρόνος συνάντησης. 2) 60: 15 = 4 (ταξίδια) – 1 πλοίο. 3) 60: 20 = 3 (ταξίδια) – 2 πλοία. 4) 60: 12 = 5 (πτήσεις) – 3 πλοία. Απάντηση: 60 ημέρες, 4 πτήσεις, 3 πτήσεις, 5 πτήσεις. Εργασίες NOC

Η Μάσα αγόρασε αυγά για την Αρκούδα στο κατάστημα. Στο δρόμο προς το δάσος, συνειδητοποίησε ότι ο αριθμός των αυγών διαιρείται με το 2,3,5,10 και 15. Πόσα αυγά αγόρασε η Μάσα; Λύση: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (αυγά) Απάντηση: Η Μάσα αγόρασε 30 αυγά. Εργασίες NOC

Απαιτείται να φτιάξετε ένα κουτί με τετράγωνο πάτο για να χωρέσουν κιβώτια διαστάσεων 16 ͯ 20 εκ. Ποιο είναι το μικρότερο μήκος της πλευράς του τετράγωνου πάτου για να χωρέσουν σφιχτά τα κουτιά στο κουτί; Λύση: 1) LCM (16 και 20) = 80 (κουτιά). 2) S = a ∙ b – εμβαδόν 1 κουτιού. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – κάτω επιφάνεια 1 κουτιού. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) - εμβαδόν του τετράγωνου πυθμένα. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – διαστάσεις του κουτιού. Απάντηση: 160 cm είναι η πλευρά του τετράγωνου πυθμένα. Εργασίες NOC

Κατά μήκος του δρόμου από το σημείο Κ υπάρχουν στύλοι ηλεκτρικού ρεύματος κάθε 45 μ. Αποφάσισαν να αντικαταστήσουν αυτούς τους στύλους με άλλους, τοποθετώντας τους σε απόσταση 60 μ. το ένα από το άλλο. Πόσοι πυλώνες υπήρχαν και πόσοι θα είναι; Λύση: 1) LCM (45 και 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – υπήρχαν κολώνες. 3) 180: 60 = 3 – έγιναν πυλώνες. Απάντηση: 4 πυλώνες, 3 πυλώνες. Εργασίες NOC

Πόσοι στρατιώτες βαδίζουν στον χώρο της παρέλασης αν βαδίσουν σε σχηματισμό 12 ατόμων σε μια σειρά και μετατραπούν σε μια στήλη 18 ατόμων σε μια σειρά; Λύση: 1) NOC (12 και 18) = 36 (άτομα) - πορεία. Απάντηση: 36 άτομα. Εργασίες NOC

Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να μειωθεί στη διαδοχική εύρεση του gcd δύο αριθμών. Το αναφέραμε όταν μελετήσαμε τις ιδιότητες του GCD. Εκεί διατυπώσαμε και αποδείξαμε το θεώρημα: ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης πολλών αριθμών a 1, a 2, …, a kίσο με τον αριθμό dk, το οποίο βρίσκεται με διαδοχικό υπολογισμό GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1, a k)=d k.

Ας δούμε πώς μοιάζει η διαδικασία εύρεσης του gcd πολλών αριθμών εξετάζοντας τη λύση του παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τεσσάρων αριθμών 78 , 294 , 570 Και 36 .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a 1 = 78, a 2 =294, a 3 =570, α 4 = 36.

Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δ 2δύο πρώτοι αριθμοί 78 Και 294 . Κατά τη διαίρεση παίρνουμε τις ισότητες 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6Και 18=6·3. Ετσι, d 2 =GCD(78, 294)=6.

Τώρα ας υπολογίσουμε d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 570=6·95, ως εκ τούτου, d 3 =GCD(6, 570)=6.

Μένει να υπολογιστεί d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Επειδή 36 διαιρείται με 6 , Οτι d 4 =GCD(6, 36)=6.

Έτσι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των τεσσάρων δεδομένων αριθμών είναι ίσος με d 4 =6, αυτό είναι, GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Απάντηση:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Η παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες σας επιτρέπει επίσης να υπολογίσετε το gcd τριών ή περισσότερων αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης βρίσκεται ως το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων των δεδομένων αριθμών.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε το gcd των αριθμών από το προηγούμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τους πρώτους παραγοντοποιήσεις τους.

Λύση.

Ας αναλύσουμε τους αριθμούς 78 , 294 , 570 Και 36 από πρωταρχικούς παράγοντες, παίρνουμε 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες και των τεσσάρων αριθμών που δίνονται είναι οι αριθμοί 2 Και 3 . Ως εκ τούτου, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Απάντηση:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

Αρχή σελίδας

Εύρεση GCD αρνητικών αριθμών

Εάν ένας, αρκετοί ή όλοι οι αριθμοί των οποίων ο μεγαλύτερος διαιρέτης πρέπει να βρεθεί είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε το gcd τους είναι ίσο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των συντελεστών αυτών των αριθμών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι αντίθετοι αριθμοί έναΚαι −αέχουν τους ίδιους διαιρέτες, όπως συζητήσαμε όταν μελετήσαμε τις ιδιότητες της διαιρετότητας.

Παράδειγμα.

Βρείτε το gcd των αρνητικών ακεραίων −231 Και −140 .

Λύση.

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού −231 ισοδυναμεί 231 , και το συντελεστή του αριθμού −140 ισοδυναμεί 140 , Και GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μας δίνει τις ακόλουθες ισότητες: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7Και 42=7 6. Ως εκ τούτου, GCD(231, 140)=7. Τότε ο επιθυμητός μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης αρνητικών αριθμών είναι −231 Και −140 ισοδυναμεί 7 .

Απάντηση:

GCD(−231, −140)=7.

Παράδειγμα.

Προσδιορίστε το gcd τριών αριθμών −585 , 81 Και −189 .

Λύση.

Όταν βρίσκουμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη, οι αρνητικοί αριθμοί μπορούν να αντικατασταθούν από αυτούς απόλυτες τιμές, αυτό είναι, GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Αριθμητικές επεκτάσεις 585 , 81 Και 189 σε πρώτους παράγοντες έχουν τη μορφή 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3Και 189=3·3·3·7. Οι κοινοί πρώτοι παράγοντες αυτών των τριών αριθμών είναι 3 Και 3 . Επειτα GCD(585, 81, 189)=3·3=9, ως εκ τούτου, GCD(−585, 81, −189)=9.

Απάντηση:

GCD(−585, 81, −189)=9.

35. Ρίζες πολυωνύμου. Το θεώρημα του Bezout. (33 και άνω)

36. Πολλαπλές ρίζες, κριτήριο πολλαπλότητας ριζών.