ΕΝΑ. Η προβολή του σημείου Α στον άξονα PQ (Εικ. 4) είναι η βάση α της καθέτου που έπεσε από ένα δεδομένο σημείο σε έναν δεδομένο άξονα. Ο άξονας στον οποίο προβάλλουμε ονομάζεται άξονας προβολής.

σι. Έστω δύο άξονες και ένα διάνυσμα Α Β, που φαίνεται στο Σχ. 5.

Ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή είναι η προβολή της αρχής και το τέλος είναι η προβολή του τέλους δεδομένο διάνυσμα, ονομάζεται προβολή του διανύσματος A B στον άξονα PQ. Γράφεται ως εξής.

Μερικές φορές ο δείκτης PQ δεν γράφεται στο κάτω μέρος· αυτό γίνεται σε περιπτώσεις όπου, εκτός από το PQ, δεν υπάρχει άλλο λειτουργικό σύστημα στο οποίο θα μπορούσε να σχεδιαστεί.

Με. Θεώρημα I. Τα μεγέθη των διανυσμάτων που βρίσκονται σε έναν άξονα σχετίζονται με τα μεγέθη των προβολών τους σε οποιονδήποτε άξονα.

Ας δοθούν οι άξονες και τα διανύσματα που υποδεικνύονται στο Σχ. 6. Από την ομοιότητα των τριγώνων είναι σαφές ότι τα μήκη των διανυσμάτων σχετίζονται με τα μήκη των προβολών τους, δηλ.

Δεδομένου ότι τα διανύσματα στο σχέδιο κατευθύνονται προς διαφορετικές πλευρές, τότε οι τιμές τους έχουν διαφορετικά σημάδια, επομένως,

Προφανώς, τα μεγέθη των προβολών έχουν επίσης διαφορετικά σημάδια:

αντικαθιστώντας το (2) στο (3) στο (1), παίρνουμε

Αντιστρέφοντας τα σημάδια, παίρνουμε

Εάν τα διανύσματα είναι εξίσου κατευθυνόμενα, τότε οι προβολές τους θα είναι επίσης της ίδιας κατεύθυνσης. Δεν θα υπάρχουν πρόσημα μείον στους τύπους (2) και (3). Αντικαθιστώντας τα (2) και (3) με την ισότητα (1), παίρνουμε αμέσως την ισότητα (4). Άρα, το θεώρημα έχει αποδειχθεί για όλες τις περιπτώσεις.

ρε. Θεώρημα II. Το μέγεθος της προβολής ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του διανύσματος πολλαπλασιαζόμενο με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του άξονα των προβολών και του άξονα του διανύσματος. Ας δοθούν οι άξονες ως διάνυσμα όπως φαίνεται στο Σχ. . 7. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα με την ίδια φορά με τον άξονά του και να σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, από το σημείο τομής των αξόνων. Έστω το μήκος του ίσο με ένα. Τότε το μέγεθός του

Μια διανυσματική περιγραφή της κίνησης είναι χρήσιμη, καθώς σε ένα σχέδιο μπορείτε πάντα να απεικονίσετε πολλά διαφορετικά διανύσματα και να πάρετε μια οπτική «εικόνα» κίνησης μπροστά στα μάτια σας. Ωστόσο, η χρήση ενός χάρακα και ενός μοιρογνωμόνιου κάθε φορά για την εκτέλεση πράξεων με διανύσματα είναι πολύ απαιτητική. Επομένως, αυτές οι ενέργειες ανάγονται σε ενέργειες με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς - προβολές διανυσμάτων.

Προβολή του διανύσματος στον άξοναονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα ίση με το γινόμενο του συντελεστή του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των κατευθύνσεων του διανύσματος και του επιλεγμένου άξονα συντεταγμένων.

Το αριστερό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα μετατόπισης, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 50 km και η κατεύθυνσή του σχηματίζεται αμβλεία γωνία 150° με την κατεύθυνση του άξονα Χ. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Χ:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Δεδομένου ότι η γωνία μεταξύ των αξόνων είναι 90°, είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι η κατεύθυνση της κίνησης σχηματίζει οξεία γωνία 60° με την κατεύθυνση του άξονα Υ. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Υ:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν η κατεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει οξεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι θετική. αν η διεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει αμβλεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι αρνητική.

Το δεξιό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα ταχύτητας, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 5 m/s, και η κατεύθυνση σχηματίζει γωνία 30° με την κατεύθυνση του άξονα Χ. Ας βρούμε τις προβολές:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Είναι πολύ πιο εύκολο να βρείτε προβολές διανυσμάτων σε άξονες εάν τα προβαλλόμενα διανύσματα είναι παράλληλα ή κάθετα στους επιλεγμένους άξονες. Λάβετε υπόψη ότι για την περίπτωση του παραλληλισμού, είναι δυνατές δύο επιλογές: το διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό προς τον άξονα και το διάνυσμα είναι αντίθετο προς τον άξονα και για την περίπτωση της καθετότητας υπάρχει μόνο μία επιλογή.

Η προβολή ενός διανύσματος κάθετου στον άξονα είναι πάντα μηδέν (βλέπε sy και ay στο αριστερό σχέδιο και sx και υx στο δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα κάθετο στον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 90°, άρα το συνημίτονο είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η προβολή είναι μηδέν.

Η προβολή ενός διανύσματος συνκατεύθυνσης με τον άξονα είναι θετική και ίση με την απόλυτη τιμή του, για παράδειγμα, sx = +s (βλ. αριστερό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα συνκατευθυντικό με τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι μηδέν και το συνημίτονό του είναι "+1", δηλαδή, η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος: sx = x - xo = + s .

Η προβολή του διανύσματος απέναντι από τον άξονα είναι αρνητική και ίση με τη μονάδα του που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα sy = –s (δείτε το δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα αντίθετο προς τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 180° και το συνημίτονό του είναι "–1", δηλαδή η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο: sy = y – yo = –s .

Οι δεξιές πλευρές και των δύο σχεδίων δείχνουν άλλες περιπτώσεις όπου τα διανύσματα είναι παράλληλα σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων και κάθετα στον άλλο. Σας προσκαλούμε να βεβαιωθείτε μόνοι σας ότι και σε αυτές τις περιπτώσεις τηρούνται οι κανόνες που διατυπώθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι άξονα συντεταγμένων , προβολή ενός σημείου σε έναν άξοναΚαι συντεταγμένες ενός σημείου στον άξονα.

Άξονας συντεταγμένων- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση. Μπορείτε να το σκεφτείτε ως ένα διάνυσμα με απείρως μεγάλο συντελεστή.

Άξονας συντεταγμένωνσυμβολίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, συμβολίζεται με το γράμμα O. Από αυτό το σημείο το μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία ενδιαφέροντος για εμάς.

Προβολή σημείου πάνω σε άξονα- αυτή είναι η βάση της καθέτου που έχει χαμηλώσει από αυτό το σημείο σε αυτόν τον άξονα (Εικ. 8). Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Σημείο συντεταγμένη στον άξονα- αυτός είναι ο αριθμός απόλυτη τιμήπου είναι ίσο με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου πάνω σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

Κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα- Αυτό αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Σπουδαίος! Συνήθως αντί της έκφρασης βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονααπλά λένε - προβολή του διανύσματος στον άξονα, δηλαδή η λέξη βαθμωτό μέγεθοςχαμηλωμένο. Διάνυσμα προβολήςσυμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο (κατά κανόνα) δείκτη του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε έναν άλλο άξονα, ας πούμε, στον άξονα Y, η προβολή του θα συμβολίζεται με y (Εικ. 9).

Να υπολογίσω προβολή του διανύσματος στον άξονα(για παράδειγμα, ο άξονας Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

a x = x k − x n.

Πρέπει να θυμόμαστε: η κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα (ή, απλά, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα) είναι αριθμός (όχι διάνυσμα)!Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k μεγαλύτερη από την αξία x n, αρνητικό αν η τιμή του x k είναι μικρότερη από την τιμή του x n και ίση με μηδέν αν το x k είναι ίσο με x n (Εικ. 10).

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα 11 είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ κατεύθυνσης άξονα και διεύθυνσης διανύσματος. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε Cos α > 0 και a x > 0, και αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, θα χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθες ιδιότητες των προβολών: αν

ΕΝΑ = σι + ντο +…+ ρε, τότε a x = b x + c x +…+ d x (παρόμοιο με άλλους άξονες),

ένα= m σι, τότε a x = mb x (ομοίως για άλλους άξονες).

Ο τύπος a x = a Cos α θα είναι Συχνάσυμβαίνουν κατά την επίλυση προβλημάτων, επομένως πρέπει οπωσδήποτε να το γνωρίζετε. Πρέπει να γνωρίζετε τον κανόνα για τον προσδιορισμό της προβολής απεξω!

Θυμάμαι!

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Για άλλη μια φορά - από καρδιάς!

Έστω δύο διανύσματα και δίνονται στο διάστημα. Ας αναβάλουμε από αυθαίρετο σημείο Οφορείς και . Γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων ονομάζεται η μικρότερη από τις γωνίες. Ορίστηκε .

Εξετάστε τον άξονα μεγάλοκαι να σχεδιάσετε ένα μοναδιαίο διάνυσμα σε αυτό (δηλαδή, ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με ένα).

Σε γωνία μεταξύ του διανύσματος και του άξονα μεγάλοκατανοήσουν τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Ας λοιπόν μεγάλοείναι κάποιος άξονας και είναι διάνυσμα.

Ας υποδηλώσουμε με Α'1Και Β 1προβολές στον άξονα μεγάλοαντίστοιχα πόντους ΕΝΑΚαι σι. Ας το προσποιηθούμε Α'1έχει συντεταγμένη x 1, ΕΝΑ Β 1– συντονίζω x 2στον άξονα μεγάλο.

Επειτα προβολήδιάνυσμα ανά άξονα μεγάλοπου ονομάζεται διαφορά x 1 – x 2μεταξύ των συντεταγμένων των προβολών του τέλους και της αρχής του διανύσματος σε αυτόν τον άξονα.

Προβολή του διανύσματος στον άξονα μεγάλοθα υποδηλώσουμε .

Είναι σαφές ότι αν η γωνία μεταξύ του διανύσματος και του άξονα μεγάλοπικάντικο τότε x 2> x 1, και προβολή x 2 – x 1> 0; αν αυτή η γωνία είναι αμβλεία, τότε x 2< x 1και προβολή x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси μεγάλο, Οτι x 2= x 1Και x 2– x 1=0.

Έτσι, η προβολή του διανύσματος στον άξονα μεγάλοείναι το μήκος του τμήματος Α 1 Β 1, λαμβάνονται με ένα συγκεκριμένο σημάδι. Επομένως, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι αριθμός ή βαθμωτός.

Η προβολή ενός διανύσματος σε ένα άλλο προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Στην περίπτωση αυτή, βρίσκονται οι προβολές των άκρων αυτού του διανύσματος στη γραμμή στην οποία βρίσκεται το 2ο διάνυσμα.

Ας δούμε μερικά βασικά ιδιότητες των προβολών.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ας εξετάσουμε πολλά διανύσματα.

Γραμμικός συνδυασμόςαπό αυτά τα διανύσματα είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής , όπου υπάρχουν κάποιοι αριθμοί. Οι αριθμοί ονομάζονται γραμμικοί συντελεστές συνδυασμού. Λένε επίσης ότι στην περίπτωση αυτή εκφράζεται γραμμικά μέσω αυτών των διανυσμάτων, δηλ. λαμβάνεται από αυτά χρησιμοποιώντας γραμμικές ενέργειες.

Για παράδειγμα, εάν δίνονται τρία διανύσματα, τότε τα ακόλουθα διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ως γραμμικός συνδυασμός τους:

Εάν ένα διάνυσμα παριστάνεται ως ένας γραμμικός συνδυασμός ορισμένων διανυσμάτων, τότε λέγεται ότι είναι απλωμένοςκατά μήκος αυτών των διανυσμάτων.

Τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχουν αριθμοί, δεν είναι όλοι ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε . Είναι σαφές ότι τα δεδομένα διανύσματα θα εξαρτώνται γραμμικά εάν κάποιο από αυτά τα διανύσματα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα.

Διαφορετικά, δηλ. όταν η αναλογία εκτελείται μόνο όταν , αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Θεώρημα 1.Οποιαδήποτε δύο διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά εάν και μόνο εάν είναι συγγραμμικά.

Απόδειξη:

Το παρακάτω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο τρόπο.

Θεώρημα 2.Τρία διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά αν και μόνο αν είναι ομοεπίπεδα.

Απόδειξη.

ΒΑΣΗ

Βάσηείναι μια συλλογή μη μηδενικών γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Θα συμβολίσουμε τα στοιχεία της βάσης με .

ΣΕ προηγούμενη παράγραφοΕίδαμε ότι δύο μη γραμμικά διανύσματα σε ένα επίπεδο είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 1 της προηγούμενης παραγράφου, μια βάση σε ένα επίπεδο είναι οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα σε αυτό το επίπεδο.

Ομοίως, οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα στο χώρο. Κατά συνέπεια, ονομάζουμε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα βάση στο χώρο.

Η ακόλουθη δήλωση είναι αληθής.

Θεώρημα.Ας δοθεί μια βάση στο διάστημα. Τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός , Οπου Χ, y, z- κάποιοι αριθμοί. Αυτή είναι η μόνη αποσύνθεση.

Απόδειξη.

Έτσι, η βάση επιτρέπει σε κάθε διάνυσμα να συσχετίζεται μοναδικά με ένα τριπλό αριθμών - οι συντελεστές της επέκτασης αυτού του διανύσματος στα διανύσματα βάσης: . Το αντίστροφο ισχύει επίσης, για κάθε τρεις αριθμούς x, y, zχρησιμοποιώντας τη βάση, μπορείτε να συγκρίνετε το διάνυσμα εάν κάνετε έναν γραμμικό συνδυασμό .

Εάν η βάση και , μετά οι αριθμοί x, y, zλέγονται συντεταγμένεςδιάνυσμα σε μια δεδομένη βάση. Οι διανυσματικές συντεταγμένες συμβολίζονται με .

ΚΑΡΤΕΣΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΟΝΤΙΝΩΝ

Αφήστε ένα σημείο να δοθεί στο διάστημα Οκαι τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα.

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένωνστο διάστημα (στο επίπεδο) είναι η συλλογή ενός σημείου και μιας βάσης, δηλ. ένα σύνολο από ένα σημείο και τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα (2 μη συγγραμμικά διανύσματα) που προέρχονται από αυτό το σημείο.

Τελεία Οονομάζεται η προέλευση? ευθείες γραμμές που διέρχονται από την αρχή των συντεταγμένων προς την κατεύθυνση των διανυσμάτων βάσης ονομάζονται άξονες συντεταγμένων - η τετμημένη, η τεταγμένη και ο άξονας εφαρμογής. Τα επίπεδα που διέρχονται από τους άξονες συντεταγμένων ονομάζονται επίπεδα συντεταγμένων.

Εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων Μ. Ας εισαγάγουμε την έννοια των συντεταγμένων σημείων Μ. Διάνυσμα που συνδέει την προέλευση σε ένα σημείο Μ. που ονομάζεται διάνυσμα ακτίναςσημεία Μ.

Ένα διάνυσμα στην επιλεγμένη βάση μπορεί να συσχετιστεί με ένα τριπλό αριθμών – τις συντεταγμένες του: .

Συντεταγμένες του διανύσματος ακτίνας σημείου Μ. λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ. στο υπό εξέταση σύστημα συντεταγμένων. M(x,y,z). Η πρώτη συντεταγμένη ονομάζεται τετμημένη, η δεύτερη είναι η τεταγμένη και η τρίτη είναι η εφαρμογή.

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο προσδιορίζονται με παρόμοιο τρόπο. Εδώ το σημείο έχει μόνο δύο συντεταγμένες - τετμημένη και τεταγμένη.

Είναι εύκολο να δούμε ότι για ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο έχει συγκεκριμένες συντεταγμένες. Από την άλλη πλευρά, για κάθε τριπλό αριθμών υπάρχει ένα μοναδικό σημείο που έχει αυτούς τους αριθμούς ως συντεταγμένες.

Εάν τα διανύσματα που λαμβάνονται ως βάση στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων έχουν μήκος μονάδας και είναι κάθετα κατά ζεύγη, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται Καρτεσιανό ορθογώνιο.

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό.

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος καθορίζουν πλήρως την κατεύθυνσή του, αλλά δεν λένε τίποτα για το μήκος του.

Ορισμός 1. Σε ένα επίπεδο, μια παράλληλη προβολή του σημείου Α στον άξονα l είναι ένα σημείο - το σημείο τομής του άξονα l με μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από το σημείο Α παράλληλη προς το διάνυσμα που καθορίζει την κατεύθυνση σχεδιασμού.

Ορισμός 2. Η παράλληλη προβολή ενός διανύσματος στον άξονα l (στο διάνυσμα) είναι η συντεταγμένη του διανύσματος σε σχέση με τη βάση άξονας l, όπου σημεία και είναι παράλληλες προβολές των σημείων Α και Β στον άξονα l, αντίστοιχα (Εικ. 1).

Σύμφωνα με τον ορισμό που έχουμε

Ορισμός 3. αν και βάση άξονα l Καρτεσιανή, δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα l ονομάζεται ορθογώνιο (Εικ. 2).

Στο διάστημα, ο ορισμός 2 της διανυσματικής προβολής στον άξονα παραμένει σε ισχύ, μόνο η κατεύθυνση προβολής καθορίζεται από δύο μη συγγραμμικά διανύσματα (Εικ. 3).

Από τον ορισμό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα προκύπτει ότι κάθε συντεταγμένη ενός διανύσματος είναι μια προβολή αυτού του διανύσματος στον άξονα που ορίζεται από το αντίστοιχο διάνυσμα βάσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατεύθυνση σχεδιασμού καθορίζεται από δύο άλλα διανύσματα βάσης εάν ο σχεδιασμός εκτελείται (εξετάζεται) στο χώρο ή από άλλο διάνυσμα βάσης εάν ο σχεδιασμός εξετάζεται σε επίπεδο (Εικ. 4).

Θεώρημα 1. Η ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος στον άξονα l είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του άξονα l και, δηλ.

Στην άλλη πλευρά

Από βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας το AC με ισότητα (2), λαμβάνουμε

Από τους αριθμούς Χκαι το ίδιο πρόσημο και στις δύο υπό εξέταση περιπτώσεις ((Εικ. 5, α) ; (Σχ. 5, β), τότε από την ισότητα (4) προκύπτει

Σχόλιο. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μόνο την ορθογώνια προβολή του διανύσματος στον άξονα και επομένως η λέξη «ort» (ορθογώνιο) θα παραλειφθεί από τη σημειογραφία.

Ας παρουσιάσουμε έναν αριθμό τύπων που χρησιμοποιούνται αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.

α) Προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Αν, τότε η ορθογώνια προβολή πάνω στο διάνυσμα σύμφωνα με τον τύπο (5) έχει τη μορφή

γ) Απόσταση από σημείο σε επίπεδο.

Έστω b ένα δεδομένο επίπεδο με κανονικό διάνυσμα, M ένα δεδομένο σημείο,

d είναι η απόσταση από το σημείο M στο επίπεδο b (Εικ. 6).

Αν το N είναι ένα αυθαίρετο σημείο του επιπέδου b και είναι προβολές των σημείων M και N στον άξονα, τότε

• ΣΟΛ) Η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών.

Έστω στα a και b δίνονται διασταυρούμενες γραμμές, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτές, το A και το B είναι αυθαίρετα σημεία των γραμμών a και b, αντίστοιχα (Εικ. 7), και είναι προβολές των σημείων A και B επάνω, τότε

ε) Απόσταση από σημείο σε ευθεία.

Αφήνω μεγάλο- μια δεδομένη ευθεία με ένα διάνυσμα κατεύθυνσης, M - ένα δεδομένο σημείο,

N - η προβολή του στη γραμμή μεγάλο, τότε - η απαιτούμενη απόσταση (Εικ. 8).

Αν το Α είναι ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία μεγάλο, μετά μέσα ορθογώνιο τρίγωνοΜΝΑ, υποτείνουσα ΜΑ και πόδια μπορούν να βρεθούν. Που σημαίνει,

στ) Η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου.

Έστω το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής μεγάλο, - κανονικό διάνυσμα δεδομένου επιπέδου b, - προβολή ευθείας γραμμής μεγάλοστο επίπεδο b (Εικ. 9).

Όπως είναι γνωστό, η γωνία μ μεταξύ μιας ευθείας γραμμής μεγάλοκαι η προβολή του στο επίπεδο b ονομάζεται γωνία μεταξύ της ευθείας και του επιπέδου. Εχουμε

Ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης μετρικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διανύσματος-συντεταγμένων.