Σπίτι Τα μυστικά της ιατρικής Προβολές σε άξονες συντεταγμένων. Προβολή δύναμης στον άξονα

Προβολές σε άξονες συντεταγμένων. Προβολή δύναμης στον άξονα

Προβολήδιάνυσμα σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν ένα x - κλιμακωτή προβολήδιάνυσμα ΕΝΑστον άξονα Χ και μετά ένα x Εγώ- η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε διανυσματική προβολήτο ίδιο με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Άρα, η διανυσματική προβολή του διανύσματος ΕΝΑστον άξονα Χ που συμβολίζουμε ΕΝΑΧ ( Λίποςένα γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα) ή (ένα μη έντονο γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, απόλυτη τιμήπου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του σημείου τέλους του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

Για να υπολογίσετε την προβολή διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή
a x = x k − x n.
Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k μεγαλύτερη από την αξία xn,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Διανυσματικές συντεταγμένεςείναι οι συντελεστές του μοναδικού δυνατού γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων βάσης στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, ίσοι με αυτό το διάνυσμα.

όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Scalar προϊόνφορείς

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων[- σε πεπερασμένες διαστάσεις διανυσματικός χώροςορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων πανομοιότυπων συστατικών που πολλαπλασιάζονται φορείς.

Για παράδειγμα, το S.p.v. ένα = (ένα 1 , ..., a n) Και σι = (σι 1 , ..., b n):

(ένα , σι ) = ένα 1 σι 1 + ένα 2 σι 2 + ... + a n b n

§ 3. Προβολές διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων

1. Εύρεση γεωμετρικά προβολών.

Διάνυσμα
- προβολή του διανύσματος στον άξονα ΒΟΔΙ
- προβολή του διανύσματος στον άξονα OY

Ορισμός 1. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ένας αριθμός που λαμβάνεται με πρόσημο συν ή πλην, που αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος που βρίσκεται μεταξύ των βάσεων των καθέτων που έπεσαν από την αρχή και το τέλος του διανύσματος στον άξονα συντεταγμένων.

Το σήμα προβολής ορίζεται ως εξής. Εάν, κατά την κίνηση κατά μήκος του άξονα συντεταγμένων, υπάρχει μια κίνηση από το σημείο προβολής της αρχής του διανύσματος προς το σημείο προβολής του τέλους του διανύσματος στη θετική κατεύθυνση του άξονα, τότε η προβολή του διανύσματος θεωρείται θετική . Αν είναι απέναντι από τον άξονα, τότε η προβολή θεωρείται αρνητική.

Το σχήμα δείχνει ότι εάν το διάνυσμα προσανατολίζεται κάπως αντίθετα από τον άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι αρνητική. Εάν ένα διάνυσμα προσανατολίζεται με κάποιο τρόπο στη θετική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι θετική.

Αν ένα διάνυσμα είναι κάθετο στον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι μηδέν.
Εάν ένα διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό με έναν άξονα, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση με την απόλυτη τιμή του διανύσματος.
Εάν ένα διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από τον άξονα των συντεταγμένων, τότε η προβολή του σε αυτόν τον άξονα είναι ίση σε απόλυτη τιμή με την απόλυτη τιμή του διανύσματος που λαμβάνεται με το πρόσημο μείον.

2. Τα περισσότερα γενικός ορισμόςπροβολές.

Από ορθογώνιο τρίγωνο ABD: .

Ορισμός 2. Διάνυσμα προβολής σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική φορά του άξονα συντεταγμένων.

Το πρόσημο της προβολής προσδιορίζεται από το πρόσημο του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα με τη θετική κατεύθυνση του άξονα.
Αν η γωνία είναι οξεία, τότε το συνημίτονο έχει θετικό πρόσημο, και οι προβλέψεις είναι θετικές. Για αμβλείες γωνίες, το συνημίτονο έχει αρνητικό πρόσημο, επομένως σε τέτοιες περιπτώσεις οι προβολές στον άξονα είναι αρνητικές.
- επομένως, για διανύσματα κάθετα στον άξονα, η προβολή είναι μηδέν.

Μια διανυσματική περιγραφή της κίνησης είναι χρήσιμη, καθώς σε ένα σχέδιο μπορείτε πάντα να απεικονίσετε πολλά διαφορετικά διανύσματα και να πάρετε μια οπτική «εικόνα» κίνησης μπροστά στα μάτια σας. Ωστόσο, η χρήση ενός χάρακα και ενός μοιρογνωμόνιου κάθε φορά για την εκτέλεση πράξεων με διανύσματα είναι πολύ απαιτητική. Επομένως, αυτές οι ενέργειες ανάγονται σε ενέργειες με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς - προβολές διανυσμάτων.

Προβολή του διανύσματος στον άξοναονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα ίση με το γινόμενο του συντελεστή του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των κατευθύνσεων του διανύσματος και του επιλεγμένου άξονα συντεταγμένων.

Το αριστερό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα μετατόπισης, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 50 km και η κατεύθυνσή του σχηματίζεται αμβλεία γωνία 150° με την κατεύθυνση του άξονα Χ. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Χ:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Δεδομένου ότι η γωνία μεταξύ των αξόνων είναι 90°, είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι η κατεύθυνση της κίνησης σχηματίζει οξεία γωνία 60° με την κατεύθυνση του άξονα Υ. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρίσκουμε την προβολή της μετατόπισης στον άξονα Υ:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Όπως μπορείτε να δείτε, εάν η κατεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει οξεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι θετική. αν η διεύθυνση του διανύσματος σχηματίζει αμβλεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα, η προβολή είναι αρνητική.

Το δεξιό σχέδιο δείχνει ένα διάνυσμα ταχύτητας, το δομοστοιχείο του οποίου είναι 5 m/s, και η κατεύθυνση σχηματίζει γωνία 30° με την κατεύθυνση του άξονα Χ. Ας βρούμε τις προβολές:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Είναι πολύ πιο εύκολο να βρείτε προβολές διανυσμάτων σε άξονες εάν τα προβαλλόμενα διανύσματα είναι παράλληλα ή κάθετα στους επιλεγμένους άξονες. Λάβετε υπόψη ότι για την περίπτωση του παραλληλισμού, είναι δυνατές δύο επιλογές: το διάνυσμα είναι συνκατευθυντικό προς τον άξονα και το διάνυσμα είναι αντίθετο προς τον άξονα και για την περίπτωση της καθετότητας υπάρχει μόνο μία επιλογή.

Η προβολή ενός διανύσματος κάθετου στον άξονα είναι πάντα μηδέν (βλέπε sy και ay στο αριστερό σχέδιο και sx και υx στο δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα κάθετο στον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 90°, άρα το συνημίτονο είναι μηδέν, που σημαίνει ότι η προβολή είναι μηδέν.

Η προβολή ενός διανύσματος συνκατεύθυνσης με τον άξονα είναι θετική και ίση με την απόλυτη τιμή του, για παράδειγμα, sx = +s (βλ. αριστερό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα συνκατευθυντικό με τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι μηδέν και το συνημίτονό του είναι "+1", δηλαδή, η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος: sx = x - xo = + s .

Η προβολή του διανύσματος απέναντι από τον άξονα είναι αρνητική και ίση με τη μονάδα του που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα sy = –s (δείτε το δεξιό σχέδιο). Πράγματι, για ένα διάνυσμα αντίθετο προς τον άξονα, η γωνία μεταξύ αυτού και του άξονα είναι 180° και το συνημίτονό του είναι "–1", δηλαδή η προβολή είναι ίση με το μήκος του διανύσματος που λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο: sy = y – yo = –s .

Οι δεξιές πλευρές και των δύο σχεδίων δείχνουν άλλες περιπτώσεις όπου τα διανύσματα είναι παράλληλα σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων και κάθετα στον άλλο. Σας προσκαλούμε να βεβαιωθείτε μόνοι σας ότι και σε αυτές τις περιπτώσεις τηρούνται οι κανόνες που διατυπώθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους.

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………3

1. Τιμή διανύσματος και κλιμακωτή…………………………………….4

2. Ορισμός προβολής, άξονα και συντεταγμένων σημείου…………………….5

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα…………………………………………………………………………………………

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας……………………………..8

5. Υπολογισμός του μέτρου ενός διανύσματος από τις προβολές του…………………………9

Συμπέρασμα………………………………………………………………………………………11

Λογοτεχνία………………………………………………………………………………………….12

Εισαγωγή:

Η φυσική είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δίνουν στη φυσική τα μέσα και τις τεχνικές για μια γενική και ακριβή έκφραση της σχέσης μεταξύ φυσικών μεγεθών που ανακαλύπτονται ως αποτέλεσμα πειραμάτων ή θεωρητικής έρευνας.Τελικά, η κύρια μέθοδος έρευνας στη φυσική είναι η πειραματική. Αυτό σημαίνει ότι ένας επιστήμονας αποκαλύπτει υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μετρήσεις. Δηλώνει τη σχέση μεταξύ διαφόρων φυσικών μεγεθών. Στη συνέχεια, όλα μεταφράζονται στη γλώσσα των μαθηματικών. Σχηματίστηκε μαθηματικό μοντέλο. Η φυσική είναι μια επιστήμη που μελετά τα πιο απλά και ταυτόχρονα τα περισσότερα γενικά μοτίβα. Το καθήκον της φυσικής είναι να δημιουργήσει στο μυαλό μας μια εικόνα του φυσικού κόσμου που να αντικατοπτρίζει πλήρως τις ιδιότητές του και να διασφαλίζει τέτοιες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του μοντέλου που υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων.

Έτσι, η φυσική δημιουργεί ένα μοντέλο του κόσμου γύρω μας και μελετά τις ιδιότητές του. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο είναι περιορισμένο. Κατά τη δημιουργία μοντέλων ενός συγκεκριμένου φαινομένου, λαμβάνονται υπόψη μόνο ιδιότητες και συνδέσεις που είναι απαραίτητες για ένα δεδομένο φάσμα φαινομένων. Αυτή είναι η τέχνη ενός επιστήμονα - να επιλέγει το κύριο πράγμα από όλη την ποικιλομορφία.

Τα φυσικά μοντέλα είναι μαθηματικά, αλλά τα μαθηματικά δεν είναι η βάση τους. Οι ποσοτικές σχέσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών καθορίζονται ως αποτέλεσμα μετρήσεων, παρατηρήσεων και πειραματική έρευνακαι εκφράζονται μόνο στη γλώσσα των μαθηματικών. Ωστόσο, δεν υπάρχει άλλη γλώσσα για την κατασκευή φυσικών θεωριών.

1. Έννοια του διανύσματος και του βαθμωτού.

Στη φυσική και τα μαθηματικά, ένα διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και κατεύθυνση. Στη φυσική, υπάρχουν πολλά σημαντικά μεγέθη που είναι διανύσματα, για παράδειγμα, δύναμη, θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, ροπή, ορμή, ένταση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Μπορούν να αντιπαραβληθούν με άλλες ποσότητες όπως μάζα, όγκος, πίεση, θερμοκρασία και πυκνότητα, που μπορούν να περιγραφούν με έναν συνηθισμένο αριθμό και ονομάζονται " σκαλοπάτια".

Γράφονται είτε με κανονικά γράμματα γραμματοσειράς είτε με αριθμούς (a, b, t, G, 5, −7....). Οι βαθμωτές ποσότητες μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Ταυτόχρονα, ορισμένα αντικείμενα μελέτης μπορεί να έχουν τέτοιες ιδιότητες που πλήρης περιγραφήΓια τις οποίες η γνώση μόνο ενός αριθμητικού μέτρου αποδεικνύεται ανεπαρκής, είναι επίσης απαραίτητο να χαρακτηριστούν αυτές οι ιδιότητες με κατεύθυνση στο χώρο. Τέτοιες ιδιότητες χαρακτηρίζονται από διανυσματικές ποσότητες (διανύσματα). Τα διανύσματα, σε αντίθεση με τους βαθμωτούς, σημειώνονται με έντονα γράμματα: a, b, g, F, C....
Συχνά ένα διάνυσμα υποδηλώνεται με ένα γράμμα με κανονική (μη έντονη) γραμματοσειρά, αλλά με ένα βέλος πάνω από αυτό:

Επιπλέον, ένα διάνυσμα συχνά υποδηλώνεται με ένα ζεύγος γραμμάτων (συνήθως με κεφαλαία), με το πρώτο γράμμα να δείχνει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο το τέλος του.

Το μέτρο ενός διανύσματος, δηλαδή το μήκος ενός κατευθυνόμενου ευθύγραμμου τμήματος, συμβολίζεται με τα ίδια γράμματα με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με κανονική (όχι έντονη) γραφή και χωρίς βέλος από πάνω τους ή με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ως διάνυσμα (δηλαδή με έντονη γραφή ή κανονικό, αλλά με βέλος), αλλά στη συνέχεια ο προσδιορισμός του διανύσματος περικλείεται σε κάθετες παύλες.
Ένα διάνυσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο που χαρακτηρίζεται ταυτόχρονα από το μέγεθος και την κατεύθυνση.

Επίσης δεν υπάρχουν θετικά και αρνητικά διανύσματα. Αλλά τα διανύσματα μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει όταν, για παράδειγμα, τα a και b έχουν τις ίδιες μονάδες και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, ο συμβολισμός είναι αληθής ένα= β. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι το σύμβολο του διανύσματος μπορεί να προηγείται από ένα σύμβολο μείον, για παράδειγμα - c, ωστόσο, αυτό το σύμβολο υποδηλώνει συμβολικά ότι το διάνυσμα -c έχει την ίδια ενότητα με το διάνυσμα c, αλλά κατευθύνεται προς το αντίθετο κατεύθυνση.

Το διάνυσμα -c ονομάζεται αντίθετο (ή αντίστροφο) του διανύσματος c.
Στη φυσική, κάθε διάνυσμα είναι γεμάτο με συγκεκριμένο περιεχόμενο και κατά τη σύγκριση διανυσμάτων του ίδιου τύπου (για παράδειγμα, δυνάμεις), τα σημεία εφαρμογής τους μπορεί επίσης να είναι σημαντικά.

2. Προσδιορισμός της προβολής, του άξονα και της συντεταγμένης του σημείου.

Αξονας- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση.
Ένας άξονας ορίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, ορίζεται με το γράμμα Ο. Από αυτό το σημείο μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία που μας ενδιαφέρουν.

Προβολή σημείουσε έναν άξονα είναι η βάση μιας κάθετης που τραβιέται από αυτό το σημείο σε έναν δεδομένο άξονα. Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Συντεταγμένη σημείουσε έναν δεδομένο άξονα είναι ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περιέχεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν a x είναι η βαθμιδωτή προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ, τότε το x ·i είναι η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε τη διανυσματική προβολή με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Έτσι, συμβολίζουμε τη διανυσματική προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ ως x (ένα έντονο γράμμα που δηλώνει το διάνυσμα και τον δείκτη του ονόματος του άξονα) ή

(ένα γράμμα με χαμηλά έντονα γράμματα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη για το όνομα του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

a x = x k − x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας.

Ας προβάλουμε το διάνυσμα a στους άξονες X και Y του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Ας βρούμε τις διανυσματικές προβολές του διανύσματος a σε αυτούς τους άξονες:

a x = a x ·i, και y = a y ·j.

Αλλά σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής πρόσθεσης

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Έτσι, εκφράσαμε ένα διάνυσμα ως προς τις προβολές του και διανύσματα του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (ή ως προς τις διανυσματικές προβολές του).

Διανυσματικές προβολές a x και a y ονομάζονται συνιστώσες ή συνιστώσες του διανύσματος α. Η πράξη που πραγματοποιήσαμε ονομάζεται αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά μήκος των αξόνων ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αν το διάνυσμα δίνεται στο χώρο, τότε

a = a x i + a y j + a z k.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται βασικός τύπος της διανυσματικής άλγεβρας. Φυσικά, μπορεί να γραφτεί και έτσι.

Θα υπάρξουν επίσης προβλήματα που θα λύσετε μόνοι σας, στα οποία μπορείτε να δείτε τις απαντήσεις.

Διάνυσμα έννοια

Πριν μάθετε τα πάντα για τα διανύσματα και τις πράξεις σε αυτά, ετοιμαστείτε να λύσετε ένα απλό πρόβλημα. Υπάρχει ένας φορέας της επιχειρηματικότητάς σας και ένας φορέας των καινοτόμων ικανοτήτων σας. Ο φορέας της επιχειρηματικότητας σε οδηγεί στον στόχο 1 και ο φορέας των καινοτόμων ικανοτήτων σε οδηγεί στον στόχο 2. Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι τέτοιοι που δεν μπορείς να κινηθείς κατά τις κατευθύνσεις αυτών των δύο διανυσμάτων ταυτόχρονα και να πετύχεις δύο στόχους ταυτόχρονα. Τα διανύσματα αλληλεπιδρούν ή, μιλώντας σε μαθηματική γλώσσα, εκτελείται κάποια λειτουργία σε διανύσματα. Το αποτέλεσμα αυτής της λειτουργίας είναι το διάνυσμα "Αποτέλεσμα", το οποίο σας οδηγεί στον στόχο 3.

Τώρα πείτε μου: το αποτέλεσμα ποιας πράξης στα διανύσματα "Επιχειρηματικότητα" και "Καινοτόμες ικανότητες" είναι το διάνυσμα "Αποτέλεσμα"; Εάν δεν μπορείτε να το πείτε αμέσως, μην αποθαρρύνεστε. Καθώς προχωράτε σε αυτό το μάθημα, θα είστε σε θέση να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση.

Όπως είδαμε ήδη παραπάνω, το διάνυσμα προέρχεται απαραίτητα από ένα ορισμένο σημείο ΕΝΑσε ευθεία μέχρι κάποιο σημείο σι. Επομένως, κάθε διάνυσμα δεν έχει μόνο αριθμητική αξία- μήκος, αλλά και φυσική και γεωμετρική - κατευθυντικότητα. Από αυτό προέρχεται ο πρώτος, απλούστερος ορισμός ενός διανύσματος. Άρα, ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που προέρχεται από ένα σημείο ΕΝΑμέχρι κάποιο σημείο σι. Ορίζεται ως εξής: .

Και για να ξεκινήσω διάφορα πράξεις με διανύσματα , πρέπει να εξοικειωθούμε με έναν ακόμη ορισμό του διανύσματος.

Ένα διάνυσμα είναι ένας τύπος αναπαράστασης ενός σημείου που πρέπει να επιτευχθεί από κάποιο σημείο εκκίνησης. Για παράδειγμα, ένα τρισδιάστατο διάνυσμα συνήθως γράφεται ως (x, y, z) . Με πολύ απλά λόγια, αυτοί οι αριθμοί σημαίνουν πόσο μακριά πρέπει να περπατήσετε σε τρεις διαφορετικές κατευθύνσεις για να φτάσετε σε ένα σημείο.

Ας δοθεί ένα διάνυσμα. Εν Χ = 3 (το δεξί δείχνει προς τα δεξιά), y = 1 (αριστερόχειραςδείχνει μπροστά) z = 5 (κάτω από το σημείο υπάρχει μια σκάλα που οδηγεί προς τα πάνω). Χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα, θα βρείτε ένα σημείο περπατώντας 3 μέτρα προς την κατεύθυνση που υποδεικνύεται δεξί χέρι, μετά 1 μέτρο προς την κατεύθυνση που υποδεικνύει το αριστερό σας χέρι και μετά σας περιμένει μια σκάλα και, ανεβαίνοντας 5 μέτρα, θα βρεθείτε τελικά στο τελικό σημείο.

Όλοι οι άλλοι όροι είναι διευκρινίσεις της εξήγησης που παρουσιάστηκε παραπάνω, απαραίτητες για διάφορες πράξεις σε διανύσματα, δηλαδή για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Ας δούμε αυτούς τους πιο αυστηρούς ορισμούς, εστιάζοντας σε τυπικά διανυσματικά προβλήματα.

Φυσικά παραδείγματαδιανυσματικά μεγέθη μπορεί να είναι η μετατόπιση ενός υλικού σημείου που κινείται στο χώρο, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αυτού του σημείου, καθώς και η δύναμη που ασκείται σε αυτό.

Γεωμετρικό διάνυσμαπαρουσιάζονται σε δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο στη μορφή κατευθυντικό τμήμα. Αυτό είναι ένα τμήμα που έχει αρχή και τέλος.

Αν ΕΝΑ- η αρχή του διανύσματος, και σι- το τέλος του, τότε το διάνυσμα συμβολίζεται με το σύμβολο ή ένα πεζό γράμμα . Στο σχήμα, το τέλος του διανύσματος υποδεικνύεται με ένα βέλος (Εικ. 1)

Μήκος(ή μονάδα μέτρησης) ενός γεωμετρικού διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που το δημιουργεί

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσος , αν μπορούν να συνδυαστούν (αν οι κατευθύνσεις συμπίπτουν) με παράλληλη μεταφορά, δηλ. αν είναι παράλληλα, κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση και έχουν ίσα μήκη.

Στη φυσική θεωρείται συχνά καρφιτσωμένα διανύσματα, καθορίζεται από το σημείο εφαρμογής, το μήκος και την κατεύθυνση. Εάν το σημείο εφαρμογής του διανύσματος δεν έχει σημασία, τότε μπορεί να μεταφερθεί, διατηρώντας το μήκος και την κατεύθυνσή του, σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Στην περίπτωση αυτή καλείται το διάνυσμα Ελεύθερος. Θα συμφωνήσουμε να εξετάσουμε μόνο ελεύθερα διανύσματα.

Γραμμικές πράξεις σε γεωμετρικά διανύσματα

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό

Προϊόν ενός φορέα ανά αριθμόείναι ένα διάνυσμα που λαμβάνεται από ένα διάνυσμα με τάνυση (at ) ή συμπίεση (at ) κατά έναν παράγοντα, και η κατεύθυνση του διανύσματος παραμένει η ίδια αν , και αλλάζει στο αντίθετο εάν . (Εικ. 2)

Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα διανύσματα και = βρίσκονται πάντα σε μία ή παράλληλες ευθείες. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική. (Μπορούμε επίσης να πούμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι παράλληλα, αλλά στη διανυσματική άλγεβρα συνηθίζεται να λέμε "συγγραμμικό.") Το αντίστροφο ισχύει επίσης: εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε σχετίζονται με τη σχέση

Κατά συνέπεια, η ισότητα (1) εκφράζει την συνθήκη συγγραμμικότητας δύο διανυσμάτων.

Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Όταν προσθέτετε διανύσματα πρέπει να το γνωρίζετε ποσόδιανύσματα και ονομάζεται διάνυσμα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος και το τέλος με το τέλος του διανύσματος, με την προϋπόθεση ότι η αρχή του διανύσματος συνδέεται με το τέλος του διανύσματος. (Εικ. 3)

Αυτός ο ορισμός μπορεί να κατανεμηθεί σε οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων. Αφήστε τα να δοθούν στο διάστημα nελεύθερα διανύσματα. Όταν προσθέτουμε πολλά διανύσματα, το άθροισμά τους λαμβάνεται ως το διάνυσμα κλεισίματος, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος με το τέλος του τελευταίου διανύσματος. Δηλαδή, εάν επισυνάψετε την αρχή του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος και την αρχή του διανύσματος στο τέλος του διανύσματος κ.λπ. και, τέλος, στο τέλος του διανύσματος - η αρχή του διανύσματος, τότε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα κλεισίματος , η αρχή του οποίου συμπίπτει με την αρχή του πρώτου διανύσματος και το τέλος - με το τέλος του τελευταίου διανύσματος. (Εικ. 4)

Οι όροι ονομάζονται συστατικά του διανύσματος και ο διατυπωμένος κανόνας είναι κανόνας πολυγώνου. Αυτό το πολύγωνο μπορεί να μην είναι επίπεδο.

Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό -1, προκύπτει το αντίθετο διάνυσμα. Τα διανύσματα και έχουν τα ίδια μήκη και αντίθετες κατευθύνσεις. Το άθροισμά τους δίνει μηδενικό διάνυσμα, του οποίου το μήκος είναι μηδέν. Η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος δεν έχει καθοριστεί.

Στη διανυσματική άλγεβρα, δεν υπάρχει ανάγκη να εξεταστεί χωριστά η λειτουργία αφαίρεσης: η αφαίρεση ενός διανύσματος από ένα διάνυσμα σημαίνει προσθήκη του αντίθετου διανύσματος στο διάνυσμα, δηλ.

Παράδειγμα 1.Απλοποιήστε την έκφραση:

Δηλαδή, τα διανύσματα μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με αριθμούς με τον ίδιο τρόπο όπως τα πολυώνυμα (ιδιαίτερα, επίσης προβλήματα απλοποίησης παραστάσεων). Τυπικά, η ανάγκη να απλοποιηθούν γραμμικά παρόμοιες εκφράσεις με διανύσματα προκύπτει πριν από τον υπολογισμό των γινομένων των διανυσμάτων.

Παράδειγμα 2.Διανύσματα και χρησιμεύουν ως διαγώνιοι του παραλληλογράμμου ABCD (Εικ. 4α). Εκφράστε μέσω και τα διανύσματα , , και , που είναι οι πλευρές αυτού του παραλληλογράμμου.

Λύση. Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου διχοτομεί κάθε διαγώνιο. Βρίσκουμε τα μήκη των διανυσμάτων που απαιτούνται στη δήλωση του προβλήματος είτε ως τα μισά αθροίσματα των διανυσμάτων που σχηματίζουν τρίγωνο με τα απαιτούμενα είτε ως το ήμισυ των διαφορών (ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος που χρησιμεύει ως διαγώνιος) ή όπως και στην τελευταία περίπτωση, το ήμισυ του ποσού που λαμβάνεται με πρόσημο μείον. Το αποτέλεσμα είναι τα διανύσματα που απαιτούνται στη δήλωση προβλήματος:

Υπάρχει κάθε λόγος να πιστεύουμε ότι τώρα έχετε απαντήσει σωστά στην ερώτηση σχετικά με τα διανύσματα «Επιχειρηματικότητα» και «Καινοτόμες ικανότητες» στην αρχή αυτού του μαθήματος. Σωστή απάντηση: εκτελείται μια πράξη πρόσθεσης σε αυτά τα διανύσματα.

Λύστε μόνοι σας διανυσματικά προβλήματα και μετά δείτε τις λύσεις

Πώς να βρείτε το μήκος του αθροίσματος των διανυσμάτων;

Αυτή η εργασία κατέχει ιδιαίτερη θέση στις πράξεις με διανύσματα, καθώς περιλαμβάνει τη χρήση τριγωνομετρικές ιδιότητες. Ας υποθέσουμε ότι συναντάτε μια εργασία όπως η παρακάτω:

Δίνονται τα διανυσματικά μήκη και το μήκος του αθροίσματος αυτών των διανυσμάτων. Βρείτε το μήκος της διαφοράς μεταξύ αυτών των διανυσμάτων.

Λύσεις σε αυτό και άλλα παρόμοια προβλήματα και εξηγήσεις για τον τρόπο επίλυσής τους υπάρχουν στο μάθημα " Διάνυσμα πρόσθεση: μήκος του αθροίσματος των διανυσμάτων και του συνημιτόνου ".

Και μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σε τέτοια προβλήματα στο Ηλεκτρονική αριθμομηχανή "Άγνωστη πλευρά ενός τριγώνου (διανυσματική πρόσθεση και θεώρημα συνημιτόνου)" .

Πού βρίσκονται τα γινόμενα των διανυσμάτων;

Τα προϊόντα διανύσματος-διανύσματος δεν είναι γραμμικές πράξεις και εξετάζονται χωριστά. Και έχουμε μαθήματα «Βαθμιακό γινόμενο διανυσμάτων» και «Διανυσματικά και μικτά γινόμενα διανυσμάτων».

Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα:

Ως γνωστόν, η προβολή ενός σημείου ΕΝΑστην ευθεία (επίπεδο) είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από αυτό το σημείο στην ευθεία (επίπεδο).

Έστω ένα αυθαίρετο διάνυσμα (Εικ. 5) και και οι προβολές της προέλευσής του (σημεία ΕΝΑ) και τέλος (πόντους σι) ανά άξονα μεγάλο. (Για την κατασκευή προβολής ενός σημείου ΕΝΑ) σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή μέσα από το σημείο ΕΝΑεπίπεδο κάθετο σε ευθεία γραμμή. Η τομή της γραμμής και του επιπέδου θα καθορίσει την απαιτούμενη προβολή.

Διάνυσμα συστατικό στον άξονα lονομάζεται ένα τέτοιο διάνυσμα που βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα, η αρχή του οποίου συμπίπτει με την προβολή της αρχής και το τέλος με την προβολή του τέλους του διανύσματος.

Προβολή του διανύσματος στον άξονα μεγάλοκαλούμενος αριθμός

ίσο με το μήκος του διανύσματος συνιστωσών σε αυτόν τον άξονα, λαμβανόμενο με το σύμβολο συν εάν η κατεύθυνση των στοιχείων συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα μεγάλο, και με πρόσημο μείον εάν αυτές οι κατευθύνσεις είναι αντίθετες.

Βασικές ιδιότητες των διανυσματικών προβολών σε έναν άξονα:

1. Οι προβολές ίσων διανυσμάτων στον ίδιο άξονα είναι ίσες μεταξύ τους.

2. Όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, η προβολή του πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.

3. Η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το άθροισμα των προβολών των αθροίσεων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

4. Η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του προβαλλόμενου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα:

Λύση. Ας προβάλουμε διανύσματα στον άξονα μεγάλοόπως ορίζεται στο παραπάνω θεωρητικό υπόβαθρο. Από το Σχ. 5α είναι προφανές ότι η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων είναι ίση με το άθροισμα των προβολών των διανυσμάτων. Υπολογίζουμε αυτές τις προβολές:

Βρίσκουμε την τελική προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων:

Σχέση μεταξύ ενός διανύσματος και ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο χώρο

Γνωριμία ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο χώρο έλαβε χώρα στο αντίστοιχο μάθημα, καλό είναι να το ανοίξετε σε νέο παράθυρο.

Σε ένα διατεταγμένο σύστημα αξόνων συντεταγμένων 0xyzάξονας Βόδιπου ονομάζεται άξονας x, άξονας 0 ε – άξονας y, και άξονα 0z – άξονας εφαρμογή.

Με ένα αυθαίρετο σημείο Μδιάνυσμα σύνδεσης χώρου

που ονομάζεται διάνυσμα ακτίναςσημεία Μκαι να το προβάλετε σε κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων. Ας υποδηλώσουμε τα μεγέθη των αντίστοιχων προβολών:

Αριθμοί x, y, zλέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ, αντίστοιχα τετμημένη, τεταγμένηΚαι αίτηση, και γράφονται ως διατεταγμένο σημείο αριθμών: M(x;y;z)(Εικ. 6).

Ένα διάνυσμα μοναδιαίου μήκους του οποίου η διεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα ονομάζεται μονάδα διάνυσμα(ή ortom) τσεκούρια. Ας υποδηλώσουμε με

Αντίστοιχα, τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων Βόδι, Oy, Οζ

Θεώρημα.Οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να επεκταθεί σε μοναδιαία διανύσματα αξόνων συντεταγμένων:

(2)

Ισότητα (2) ονομάζεται η επέκταση του διανύσματος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων. Οι συντελεστές αυτής της επέκτασης είναι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων. Έτσι, οι συντελεστές διαστολής (2) του διανύσματος κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Μετά την επιλογή ενός συγκεκριμένου συστήματος συντεταγμένων στο χώρο, το διάνυσμα και η τριπλέτα των συντεταγμένων του καθορίζονται μοναδικά μεταξύ τους, έτσι το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

Οι αναπαραστάσεις του διανύσματος στη μορφή (2) και (3) είναι πανομοιότυπες.

Συνθήκη για συγγραμμικότητα διανυσμάτων σε συντεταγμένες

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά εάν σχετίζονται με τη σχέση

Αφήστε τα διανύσματα να δοθούν . Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά εάν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων σχετίζονται με τη σχέση

δηλαδή οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες.

Παράδειγμα 6.Δίνονται διανύσματα . Είναι αυτά τα διανύσματα συγγραμμικά;

Λύση. Ας μάθουμε τη σχέση μεταξύ των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων:

Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι ανάλογες, επομένως, τα διανύσματα είναι συγγραμμικά ή, το ίδιο, παράλληλα.

Διάνυσμα συνημίτονα μήκους και κατεύθυνσης

Λόγω της αμοιβαίας καθετότητας των αξόνων συντεταγμένων, το μήκος του διανύσματος

ίσο με το μήκος της διαγωνίου ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, βασισμένο σε διανύσματα

και εκφράζεται με την ισότητα

(4)

Ένα διάνυσμα ορίζεται πλήρως καθορίζοντας δύο σημεία (αρχή και τέλος), έτσι οι συντεταγμένες του διανύσματος μπορούν να εκφραστούν ως προς τις συντεταγμένες αυτών των σημείων.

Έστω, σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων, η αρχή του διανύσματος είναι στο σημείο

και το τέλος είναι στο σημείο

Από την ισότητα

Ακολουθεί αυτό

ή σε συντεταγμένη μορφή

Ως εκ τούτου, οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι ίσες με τις διαφορές μεταξύ των ίδιων συντεταγμένων του τέλους και της αρχής του διανύσματος . Ο τύπος (4) σε αυτήν την περίπτωση θα λάβει τη μορφή

Καθορίζεται η κατεύθυνση του διανύσματος συνημίτονα κατεύθυνσης . Αυτά είναι τα συνημίτονα των γωνιών που κάνει το διάνυσμα με τους άξονες Βόδι, OyΚαι Οζ. Ας υποδηλώσουμε αυτές τις γωνίες ανάλογα α , β Και γ . Στη συνέχεια, τα συνημίτονα αυτών των γωνιών μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης ενός διανύσματος είναι επίσης οι συντεταγμένες του διανύσματος αυτού του διανύσματος και επομένως το διάνυσμα του διανύσματος