Σχέδιο:

    Εισαγωγή
  • 1 Πραγματικός λογάριθμος
  • 2 Μιγαδικός λογάριθμος
    • 2.1 Ορισμός και ιδιότητες
    • 2.2 Παραδείγματα
    • 2.3 Αναλυτική συνέχεια
    • 2.4 Επιφάνεια Riemann
  • 3 Ιστορικό σκίτσο
    • 3.1 Πραγματικός λογάριθμος
    • 3.2 Μιγαδικός λογάριθμος
  • 4 Λογαριθμικοί πίνακες
  • 5 Εφαρμογές
    • Βιβλιογραφία
    Σημειώσεις

Εισαγωγή

Ρύζι. 1. Γραφήματα λογαριθμικών συναρτήσεων

Λογάριθμος ενός αριθμού σιβασισμένο στο ένα (από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «στάση» και ἀριθμός - «αριθμός») ορίζεται ως ένδειξη της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση έναγια να πάρετε τον αριθμό σι. Ονομασία: . Από τον ορισμό προκύπτει ότι οι εγγραφές και είναι ισοδύναμες.

Για παράδειγμα, επειδή.


1. Πραγματικός λογάριθμος

Λογάριθμος καταγραφής πραγματικών αριθμών ένα σιέχει νόημα όταν . Ως γνωστόν, η εκθετική συνάρτηση y = ένα Χ είναι μονότονη και κάθε τιμή παίρνει μόνο μία φορά και το εύρος των τιμών της περιέχει όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς. Από αυτό προκύπτει ότι η τιμή του πραγματικού λογάριθμου ενός θετικού αριθμού υπάρχει πάντα και καθορίζεται μοναδικά.

Το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο τους παρακάτω τύπουςλογαρίθμων.


1.1. Ιδιότητες

Απόδειξη

Ας το αποδείξουμε.

(αφού με συνθήκη bc > 0). ■

Απόδειξη

Ας το αποδείξουμε

(αφού κατά συνθήκη ■

Απόδειξη

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα για να το αποδείξουμε. Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές της ταυτότητας στη βάση c. Παίρνουμε:

Απόδειξη

Ας το αποδείξουμε.

(επειδή σι Π> 0 κατά συνθήκη). ■

Απόδειξη

Ας το αποδείξουμε

Απόδειξη

Λογάριθμος της αριστερής και της δεξιάς πλευράς στη βάση ντο :

Αριστερή πλευρά: Δεξιά:

Η ισότητα των εκφράσεων είναι προφανής. Εφόσον οι λογάριθμοι είναι ίσοι, τότε, λόγω της μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης, οι ίδιες οι εκφράσεις είναι ίσες. ■


1.2. Λογαριθμική συνάρτηση

Αν θεωρήσουμε τον λογαριθμικό αριθμό ως μεταβλητή, παίρνουμε λογαριθμική συνάρτηση y= κούτσουρο ένα Χ (βλ. Εικ. 1). Ορίζεται στο . Εύρος τιμών: .

Η λειτουργία αυξάνεται αυστηρά στο ένα> 1 και αυστηρά φθίνουσα στο 0< ένα < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ευθεία Χ= 0 είναι μια αριστερή κατακόρυφη ασύμπτωτη, αφού στο ένα> 1 και στο 0< ένα < 1 .

Η παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ίση με:

Απόδειξη

Ι. Ας το αποδείξουμε αυτό

Ας γράψουμε την ταυτότητα μι ln Χ = Χ και διαφοροποιήστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά του

Παίρνουμε αυτό, από το οποίο προκύπτει ότι

II. Ας το αποδείξουμε

Η λογαριθμική συνάρτηση πραγματοποιεί έναν ισομορφισμό μεταξύ της πολλαπλασιαστικής ομάδας των θετικών πραγματικών αριθμών και της αθροιστικής ομάδας όλων των πραγματικών αριθμών.


1.3. Φυσικοί λογάριθμοι

Σχέση με τον δεκαδικό λογάριθμο: .

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου έχει έναν απλό τύπο:

Για το λόγο αυτό, οι φυσικοί λογάριθμοι χρησιμοποιούνται κυρίως στη μαθηματική έρευνα. Εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, τη μελέτη στατιστικές εξαρτήσεις(για παράδειγμα, διανομές πρώτοι αριθμοί) και ούτω καθεξής.

Το αόριστο ολοκλήρωμα του φυσικού λογάριθμου μπορεί εύκολα να βρεθεί με ολοκλήρωση ανά μέρη:

Η επέκταση της σειράς Taylor μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:
όταν η ισότητα είναι αληθινή

(1)

Συγκεκριμένα,

Αυτή η σειρά συγκλίνει πιο γρήγορα, και επιπλέον, αριστερή πλευράΟι τύποι μπορούν τώρα να εκφράσουν τον λογάριθμο οποιουδήποτε θετικού αριθμού.


1.4. Δεκαδικοί λογάριθμοι

Ρύζι. 2α. Λογαριθμική κλίμακα

Ρύζι. 2β. Λογαριθμική κλίμακα με σύμβολα

Λογάριθμοι στη βάση 10 (σύμβολο: lg ένα) πριν από την εφεύρεση οι αριθμομηχανές χρησιμοποιούνταν ευρέως για υπολογισμούς. Η ανομοιόμορφη κλίμακα των δεκαδικών λογαρίθμων εφαρμόζεται συνήθως σε κανόνες διαφανειών. Μια παρόμοια κλίμακα χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της επιστήμης, για παράδειγμα:

  • Φυσική - ένταση ήχου (ντεσιμπέλ).
  • Αστρονομία - κλίμακα φωτεινότητας αστεριών.
  • Χημεία - δραστηριότητα ιόντων υδρογόνου (pH).
  • Σεισμολογία - Κλίμακα Ρίχτερ.
  • Μουσική θεωρία - μια κλίμακα από νότες, σε σχέση με τις συχνότητες των μουσικών νότων.
  • Η ιστορία είναι μια λογαριθμική χρονική κλίμακα.

Η λογαριθμική κλίμακα χρησιμοποιείται επίσης ευρέως για τον προσδιορισμό του εκθέτη στις σχέσεις ισχύος και του συντελεστή στον εκθέτη. Σε αυτή την περίπτωση, ένα γράφημα που κατασκευάζεται σε λογαριθμική κλίμακα κατά μήκος ενός ή δύο αξόνων παίρνει τη μορφή μιας ευθείας γραμμής, η οποία είναι πιο εύκολο να μελετηθεί.


2. Μιγαδικός λογάριθμος

2.1. Ορισμός και ιδιότητες

Για μιγαδικούς αριθμούς, ο λογάριθμος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ένας πραγματικός. Στην πράξη χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά ο φυσικός μιγαδικός λογάριθμος, τον οποίο συμβολίζουμε και ορίζουμε ως το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών zτέτοια που μι z = w . Ο μιγαδικός λογάριθμος υπάρχει για οποιοδήποτε , και το πραγματικό του μέρος καθορίζεται μοναδικά, ενώ το φανταστικό μέρος έχει άπειρο σύνολοαξίες. Για το λόγο αυτό ονομάζεται συνάρτηση πολλαπλών τιμών. Αν φαντάζεστε wσε αποδεικτική μορφή:

,

τότε ο λογάριθμος βρίσκεται με τον τύπο:

Εδώ είναι ο πραγματικός λογάριθμος, r = | w | , κ- αυθαίρετος ακέραιος αριθμός. Η τιμή που λαμβάνεται όταν κ= 0, καλείται κύρια σημασίασύνθετος φυσικός λογάριθμος? είναι συνηθισμένο να παίρνουμε την τιμή του ορίσματος σε αυτό στο διάστημα (− π,π]. Η αντίστοιχη (ήδη μονής τιμής) συνάρτηση ονομάζεται κύριο κατάστημαλογάριθμος και συμβολίζεται με . Μερικές φορές υποδηλώνουν επίσης μια τιμή λογαρίθμου που δεν βρίσκεται στον κύριο κλάδο.

Από τον τύπο προκύπτει:

  • Το πραγματικό μέρος του λογάριθμου καθορίζεται από τον τύπο:
  • Ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού βρίσκεται με τον τύπο:

Εφόσον οι μιγαδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχετίζονται με την εκθετική (τύπος Euler), ο μιγαδικός λογάριθμος, ως αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής, σχετίζεται με το αντίστροφο τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ένα παράδειγμα τέτοιας σύνδεσης:


2.2. Παραδείγματα

Ας δώσουμε την κύρια τιμή του λογάριθμου για ορισμένα ορίσματα:

Θα πρέπει να είστε προσεκτικοί κατά τη μετατροπή σύνθετων λογαρίθμων, λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι πολλαπλών τιμών, και επομένως η ισότητα των λογαρίθμων οποιωνδήποτε παραστάσεων δεν συνεπάγεται την ισότητα αυτών των παραστάσεων. Παράδειγμα λανθασμένου συλλογισμού:

Εγώπ = ln(− 1) = ln((− Εγώ) 2) = 2ln(− Εγώ) = 2(− Εγώπ / 2) = − Εγώπ - καθαρός παραλογισμός.

Σημειώστε ότι στα αριστερά είναι η κύρια τιμή του λογαρίθμου και στα δεξιά είναι η τιμή από τον υποκείμενο κλάδο ( κ= − 1 ). Η αιτία του σφάλματος είναι η απρόσεκτη χρήση της ιδιότητας, η οποία, γενικά, συνεπάγεται στη σύνθετη περίπτωση ολόκληρο το άπειρο σύνολο τιμών λογαρίθμου και όχι μόνο την κύρια τιμή.


2.3. Αναλυτική συνέχεια

Ρύζι. 3. Μιγαδικός λογάριθμος (φανταστικό μέρος)

Ο λογάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί επίσης να οριστεί ως η αναλυτική επέκταση του πραγματικού λογάριθμου σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Αφήστε την καμπύλη Γ να ξεκινά από τη μονάδα, να μην διέρχεται από το μηδέν και να μην τέμνει το αρνητικό μέρος του πραγματικού άξονα. Τότε η κύρια τιμή του λογαρίθμου στο τελικό σημείο wΗ καμπύλη Γ μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

Εάν το Γ είναι μια απλή καμπύλη (χωρίς αυτοτομές), τότε για τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτήν, οι λογαριθμικές ταυτότητες μπορούν να εφαρμοστούν χωρίς φόβο, για παράδειγμα

Εάν η καμπύλη Γ επιτρέπεται να τέμνει το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα, τότε η πρώτη τέτοια τομή μεταφέρει το αποτέλεσμα από τον κλάδο της κύριας τιμής στον παρακείμενο κλάδο και κάθε επόμενη τομή προκαλεί παρόμοια μετατόπιση κατά μήκος των κλάδων της λογαριθμικής συνάρτησης ( βλέπε εικόνα).

Από τον τύπο της αναλυτικής συνέχειας προκύπτει ότι σε οποιονδήποτε κλάδο του λογαρίθμου

Για οποιονδήποτε κύκλο μικρό, που καλύπτει το σημείο 0:

Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται στη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα). Αυτή η ταυτότητα βρίσκεται στη βάση της θεωρίας των υπολειμμάτων.

Μπορείτε επίσης να ορίσετε την αναλυτική συνέχεια του μιγαδικού λογάριθμου χρησιμοποιώντας την παραπάνω σειρά (1), γενικευμένη στην περίπτωση ενός μιγαδικού ορίσματος. Ωστόσο, από τον τύπο της επέκτασης προκύπτει ότι στη μονάδα ισούται με μηδέν, δηλαδή, η σειρά σχετίζεται μόνο με τον κύριο κλάδο της συνάρτησης πολλαπλών τιμών του μιγαδικού λογάριθμου.


2.4. Επιφάνεια Riemann

Μια σύνθετη λογαριθμική συνάρτηση είναι ένα παράδειγμα επιφάνειας Riemann. το νοητό μέρος του (Εικ. 3) αποτελείται από άπειρος αριθμόςκλαδιά στριμμένα σε μια σπείρα. Αυτή η επιφάνεια είναι απλά συνδεδεμένη. το μόνο μηδέν του (πρώτης τάξης) προκύπτει στο z= 1, ενικά σημεία: z= 0 και (σημεία διακλάδωσης άπειρης τάξης).

Η επιφάνεια Riemann του λογαρίθμου είναι το καθολικό κάλυμμα για το μιγαδικό επίπεδο χωρίς το σημείο 0.


3. Ιστορικό σκίτσο

3.1. Πραγματικός λογάριθμος

Η ανάγκη για πολύπλοκους υπολογισμούς αυξήθηκε γρήγορα τον 16ο αιώνα και μεγάλο μέρος της δυσκολίας περιελάμβανε τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. πολυψήφιους αριθμούς, καθώς και εξαγωγή ριζών. Στα τέλη του αιώνα, αρκετοί μαθηματικοί, σχεδόν ταυτόχρονα, είχαν την ιδέα: να αντικατασταθεί ο εντατικός πολλαπλασιασμός με απλή πρόσθεση, χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες για να συγκρίνουν τις γεωμετρικές και αριθμητικές προόδους, με τη γεωμετρική να είναι η αρχική. Τότε η διαίρεση αντικαθίσταται αυτόματα από την αμέτρητα απλούστερη και πιο αξιόπιστη αφαίρεση και εξαγωγή της ρίζας του βαθμού nκαταλήγει στη διαίρεση του λογάριθμου της ριζικής έκφρασης με n. Ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε αυτή την ιδέα στο βιβλίο του " Αριθμητική ολοκληρωμένη«Ο Μάικλ Στίφελ, ο οποίος όμως δεν έκανε καμία σοβαρή προσπάθεια να υλοποιήσει την ιδέα του.

Το 1614, ο Σκοτσέζος ερασιτέχνης μαθηματικός John Napier δημοσίευσε ένα δοκίμιο στα λατινικά με τίτλο " Περιγραφή του καταπληκτικού πίνακα των λογαρίθμων"(λάτ. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Είχε Σύντομη περιγραφήλογάριθμοι και οι ιδιότητές τους, καθώς και 8ψήφιοι πίνακες λογαρίθμων ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων, με βήμα 1". Όρος λογάριθμος, που προτείνει ο Napier, έχει καθιερωθεί στην επιστήμη. Ο Napier περιέγραψε τη θεωρία των λογαρίθμων στο άλλο βιβλίο του " Κατασκευή ενός καταπληκτικού πίνακα λογαρίθμων"(λάτ. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), που δημοσιεύτηκε μετά θάνατον το 1619 από τον γιο του.

Η έννοια της συνάρτησης δεν υπήρχε ακόμη και ο Napier όρισε τον λογάριθμο κινηματικά, συγκρίνοντας ομοιόμορφη και λογαριθμικά αργή κίνηση. Για παράδειγμα, όρισε τον λογάριθμο του ημιτόνου ως εξής:

Ο λογάριθμος ενός δεδομένου ημιτονοειδούς είναι ένας αριθμός που πάντα αυξανόταν αριθμητικά με τον ίδιο ρυθμό με τον οποίο το ολικό ημίτονο άρχισε να μειώνεται γεωμετρικά.

ΣΕ σύγχρονη σημειογραφίαΤο κινηματικό μοντέλο του Napier μπορεί να αναπαρασταθεί από τη διαφορική εξίσωση: dx/x = -dy/M, όπου το M είναι ένας παράγοντας κλίμακας που εισάγεται για να γίνει η τιμή ακέραιος με το σωστό ποσόσημάδια ( δεκαδικάδεν χρησιμοποιήθηκαν ακόμη ευρέως). Ο Napier πήρε M = 10000000.

Αυστηρά μιλώντας, ο Napier κατέθεσε τη λάθος συνάρτηση, η οποία τώρα ονομάζεται λογάριθμος. Αν υποδηλώσουμε τη συνάρτησή του LogNap(x), τότε σχετίζεται με τον φυσικό λογάριθμο ως εξής:

Προφανώς, LogNap(M) = 0, δηλαδή, ο λογάριθμος του "πλήρους ημίτονου" είναι μηδέν - αυτό πέτυχε ο Napier με τον ορισμό του. .

Η κύρια ιδιότητα του λογάριθμου Napier: αν τα μεγέθη σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο, τότε οι λογάριθμοί τους σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο. Ωστόσο, οι λογαριθμικοί κανόνες για τη συνάρτηση neper διέφεραν από τους κανόνες για τον σύγχρονο λογάριθμο.

Για παράδειγμα, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Δυστυχώς, όλες οι τιμές στον πίνακα του Napier περιείχαν ένα υπολογιστικό σφάλμα μετά το έκτο ψηφίο. Ωστόσο, αυτό δεν εμπόδισε τη νέα μέθοδο υπολογισμού να αποκτήσει μεγάλη δημοτικότητα και πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Kepler, άρχισαν να συντάσσουν λογαριθμικούς πίνακες. Μόλις 5 χρόνια αργότερα, το 1619, ο δάσκαλος μαθηματικών του Λονδίνου John Spidell ( Τζον Σπάιντελ) επανεξέδωσε τους πίνακες του Napier, μετασχηματίστηκαν έτσι ώστε ουσιαστικά να γίνουν πίνακες φυσικών λογαρίθμων (αν και ο Spidell διατήρησε την κλιμάκωση σε ακέραιους αριθμούς). Ο όρος «φυσικός λογάριθμος» προτάθηκε από τον Ιταλό μαθηματικό Πιέτρο Μενγκόλι ( Πιέτρο Μενγκόλι)) στα μέσα του 16ου αιώνα.

Στη δεκαετία του 1620, ο Edmund Wingate και ο William Oughtred επινόησαν τον πρώτο κανόνα διαφανειών, πριν από την εμφάνιση των αριθμομηχανών τσέπης - ένα απαραίτητο εργαλείο μηχανικών.

Μια κοντινή στη σύγχρονη αντίληψη του λογαρίθμου - ως η αντίστροφη λειτουργία της ανύψωσης σε μια δύναμη - εμφανίστηκε για πρώτη φορά με τον Wallis και τον Johann Bernoulli και τελικά νομιμοποιήθηκε από τον Euler τον 18ο αιώνα. Στο βιβλίο «Introduction to the Analysis of Infinite» (1748), ο Euler έδωσε σύγχρονους ορισμούς τόσο των εκθετικών όσο και των λογαριθμικών συναρτήσεων και έδωσε την επέκτασή τους σε σειρά ισχύος, επεσήμανε ιδιαίτερα τον ρόλο του φυσικού λογάριθμου.

Ο Euler πιστώνεται επίσης με την επέκταση της λογαριθμικής συνάρτησης στο μιγαδικό πεδίο.


3.2. Μιγαδικός λογάριθμος

Οι πρώτες προσπάθειες επέκτασης των λογαρίθμων σε μιγαδικούς αριθμούς έγιναν στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα από τους Leibniz και Johann Bernoulli, αλλά απέτυχαν να δημιουργήσουν μια ολιστική θεωρία, κυρίως επειδή η ίδια η έννοια του λογάριθμου δεν είχε ακόμη καθοριστεί με σαφήνεια. Η συζήτηση για αυτό το θέμα έγινε πρώτα μεταξύ Leibniz και Bernoulli, και στα μέσα του 18ου αιώνα - μεταξύ d'Alembert και Euler. Ο Bernoulli και ο d'Alembert πίστευαν ότι έπρεπε να καθοριστεί log(-x) = log(x). Η πλήρης θεωρία των λογαρίθμων αρνητικών και μιγαδικών αριθμών δημοσιεύτηκε από τον Euler το 1747-1751 και ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη σύγχρονη.

Αν και η διαμάχη συνεχίστηκε (ο D'Alembert υπερασπίστηκε την άποψή του και την υποστήριξε λεπτομερώς σε ένα άρθρο στην Εγκυκλοπαίδεια του και σε άλλα έργα), η άποψη του Euler κέρδισε γρήγορα παγκόσμια αναγνώριση.


4. Λογαριθμικοί πίνακες

Λογαριθμικοί πίνακες

Από τις ιδιότητες του λογαρίθμου προκύπτει ότι αντί για εντατικό πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών, αρκεί να βρείτε (από πίνακες) και να προσθέσετε τους λογάριθμούς τους και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους ίδιους πίνακες, να εκτελέσετε ενίσχυση, δηλαδή να βρείτε την τιμή του αποτελέσματος από τον λογάριθμό του. Η διαίρεση διαφέρει μόνο στο ότι οι λογάριθμοι αφαιρούνται. Ο Laplace είπε ότι η εφεύρεση των λογαρίθμων «παρέτεινε τη ζωή των αστρονόμων» επιταχύνοντας πολύ τη διαδικασία των υπολογισμών.

Όταν μετακινείτε την υποδιαστολή σε έναν αριθμό στο nψηφία, η τιμή του δεκαδικού λογάριθμου αυτού του αριθμού αλλάζει σε n. Για παράδειγμα, log8314.63 = log8.31463 + 3. Από αυτό προκύπτει ότι αρκεί να συντάξουμε έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων για αριθμούς στην περιοχή από 1 έως 10.

Οι πρώτοι πίνακες λογαρίθμων δημοσιεύθηκαν από τον John Napier (1614) και περιείχαν μόνο λογάριθμους τριγωνομετρικών συναρτήσεων και με σφάλματα. Ανεξάρτητα από αυτόν, ο Joost Burgi, φίλος του Kepler, δημοσίευσε τους πίνακές του (1620). Το 1617, ο καθηγητής μαθηματικών της Οξφόρδης Henry Briggs δημοσίευσε πίνακες που περιλάμβαναν ήδη δεκαδικούς λογάριθμους των ίδιων των αριθμών, από το 1 έως το 1000, με 8 (αργότερα 14) ψηφία. Αλλά υπήρχαν και λάθη στα τραπέζια του Μπριγκς. Η πρώτη έκδοση χωρίς σφάλματα βασισμένη στους πίνακες Vega (1783) εμφανίστηκε μόλις το 1857 στο Βερολίνο (πίνακες Bremiwer).

Στη Ρωσία, οι πρώτοι πίνακες λογαρίθμων δημοσιεύθηκαν το 1703 με τη συμμετοχή του L. F. Magnitsky. Στην ΕΣΣΔ εκδόθηκαν αρκετές συλλογές λογαριθμικών πινάκων.

  • Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. 44η έκδοση, Μ., 1973.

Οι πίνακες Bradis (1921) χρησιμοποιήθηκαν στο Εκπαιδευτικά ιδρύματακαι σε μηχανικούς υπολογισμούς που δεν απαιτούν μεγάλη ακρίβεια. Περιείχαν μάντισσες δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων, φυσικούς λογάριθμους και κάποια άλλα χρήσιμα εργαλεία υπολογισμού.

  • Vega G.Πίνακες επταψήφιων λογαρίθμων, 4η έκδοση, Μ., 1971.

Επαγγελματική συλλογή για ακριβείς υπολογισμούς.

  • Πενταψήφιοι πίνακες φυσικών τιμών τριγωνομετρικών μεγεθών, οι λογάριθμοί τους και οι λογάριθμοι αριθμών, 6η έκδ., Μ.: Nauka, 1972.
  • Πίνακες φυσικών λογαρίθμων, 2η έκδοση, σε 2 τόμους, Μ.: Nauka, 1971.

Στις μέρες μας, με την εξάπλωση των αριθμομηχανών, η ανάγκη χρήσης πινάκων λογαρίθμων έχει εκλείψει.

M, Feature (σύνθετη ανάλυση).

Πραγματικός λογάριθμος

Λογάριθμος καταγραφής πραγματικών αριθμών ένα σιέχει νόημα με style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενοι τύποι λογαρίθμων είναι:

Αν θεωρήσουμε τον λογαριθμικό αριθμό ως μεταβλητή, παίρνουμε λογαριθμική συνάρτηση, Για παράδειγμα: . Αυτή η συνάρτηση ορίζεται στη δεξιά πλευρά της αριθμητικής γραμμής: Χ> 0, είναι συνεχές και διαφοροποιήσιμο εκεί (βλ. Εικ. 1).

Ιδιότητες

Φυσικοί λογάριθμοι

Όταν η ισότητα είναι αληθινή

(1)

Συγκεκριμένα,

Αυτή η σειρά συγκλίνει γρηγορότερα, και επιπλέον, η αριστερή πλευρά του τύπου μπορεί τώρα να εκφράσει τον λογάριθμο οποιουδήποτε θετικού αριθμού.

Σχέση με τον δεκαδικό λογάριθμο: .

Δεκαδικοί λογάριθμοι

Ρύζι. 2. Λογαριθμική κλίμακα

Λογάριθμοι στη βάση 10 (σύμβολο: lg ένα) πριν από την εφεύρεση οι αριθμομηχανές χρησιμοποιούνταν ευρέως για υπολογισμούς. Η ανομοιόμορφη κλίμακα των δεκαδικών λογαρίθμων συνήθως σημειώνεται και στους κανόνες διαφανειών. Μια παρόμοια κλίμακα χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορους τομείς της επιστήμης, για παράδειγμα:

  • Χημεία - δραστηριότητα ιόντων υδρογόνου ().
  • Μουσική θεωρία - μια κλίμακα από νότες, σε σχέση με τις συχνότητες των μουσικών νότων.

Η λογαριθμική κλίμακα χρησιμοποιείται επίσης ευρέως για τον προσδιορισμό του εκθέτη στις σχέσεις ισχύος και του συντελεστή στον εκθέτη. Σε αυτή την περίπτωση, ένα γράφημα που κατασκευάζεται σε λογαριθμική κλίμακα κατά μήκος ενός ή δύο αξόνων παίρνει τη μορφή μιας ευθείας γραμμής, η οποία είναι πιο εύκολο να μελετηθεί.

Μιγαδικός λογάριθμος

Λειτουργία πολλαπλών τιμών

Επιφάνεια Riemann

Μια σύνθετη λογαριθμική συνάρτηση είναι ένα παράδειγμα επιφάνειας Riemann. το νοητό μέρος του (Εικ. 3) αποτελείται από άπειρα κλαδιά, στριμμένα σαν σπείρα. Αυτή η επιφάνεια είναι απλά συνδεδεμένη. το μόνο μηδέν του (πρώτης τάξης) προκύπτει στο z= 1, ενικά σημεία: z= 0 και (σημεία διακλάδωσης άπειρης τάξης).

Η επιφάνεια Riemann του λογαρίθμου είναι το καθολικό κάλυμμα για το μιγαδικό επίπεδο χωρίς το σημείο 0.

Ιστορικό σκίτσο

Πραγματικός λογάριθμος

Η ανάγκη για σύνθετους υπολογισμούς αυξήθηκε γρήγορα τον 16ο αιώνα και μεγάλο μέρος της δυσκολίας περιελάμβανε τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση πολυψήφιων αριθμών. Στα τέλη του αιώνα, αρκετοί μαθηματικοί, σχεδόν ταυτόχρονα, είχαν την ιδέα: να αντικατασταθεί ο εντατικός πολλαπλασιασμός με απλή πρόσθεση, χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες για να συγκρίνουν τις γεωμετρικές και αριθμητικές προόδους, με τη γεωμετρική να είναι η αρχική. Τότε η διαίρεση αντικαθίσταται αυτόματα από την αμέτρητα απλούστερη και πιο αξιόπιστη αφαίρεση. Ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε αυτή την ιδέα στο βιβλίο του " Αριθμητική ολοκληρωμένη«Ο Μάικλ Στίφελ, ο οποίος όμως δεν έκανε σοβαρές προσπάθειες για να υλοποιήσει την ιδέα του.

Στη δεκαετία του 1620, ο Edmund Wingate και ο William Oughtred επινόησαν τον πρώτο κανόνα διαφανειών, πριν από την εμφάνιση των αριθμομηχανών τσέπης - ένα απαραίτητο εργαλείο μηχανικών.

Μια κοντινή στη σύγχρονη αντίληψη του λογαρίθμου - ως η αντίστροφη λειτουργία της ανύψωσης σε μια δύναμη - εμφανίστηκε για πρώτη φορά με τον Wallis και τον Johann Bernoulli και τελικά νομιμοποιήθηκε από τον Euler τον 18ο αιώνα. Στο βιβλίο «Εισαγωγή στην ανάλυση των απείρων» (), ο Euler έδωσε σύγχρονους ορισμούς τόσο των εκθετικών όσο και των λογαριθμικών συναρτήσεων, τις επέκτεινε σε σειρές ισχύος και σημείωσε ιδιαίτερα τον ρόλο του φυσικού λογάριθμου.

Ο Euler πιστώνεται επίσης με την επέκταση της λογαριθμικής συνάρτησης στο μιγαδικό πεδίο.

Μιγαδικός λογάριθμος

Οι πρώτες προσπάθειες επέκτασης των λογαρίθμων σε μιγαδικούς αριθμούς έγιναν στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα από τους Leibniz και Johann Bernoulli, αλλά απέτυχαν να δημιουργήσουν μια ολιστική θεωρία, κυρίως επειδή η ίδια η έννοια του λογάριθμου δεν είχε ακόμη καθοριστεί με σαφήνεια. Η συζήτηση για αυτό το θέμα έγινε πρώτα μεταξύ Leibniz και Bernoulli, και στα μέσα του 18ου αιώνα - μεταξύ d'Alembert και Euler. Ο Bernoulli και ο d'Alembert πίστευαν ότι έπρεπε να καθοριστεί log(-x) = log(x). Η πλήρης θεωρία των λογαρίθμων αρνητικών και μιγαδικών αριθμών δημοσιεύτηκε από τον Euler το 1747-1751 και ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη σύγχρονη.

Αν και η διαμάχη συνεχίστηκε (ο D'Alembert υπερασπίστηκε την άποψή του και την υποστήριξε λεπτομερώς σε ένα άρθρο στην Εγκυκλοπαίδεια του και σε άλλα έργα), η άποψη του Euler κέρδισε γρήγορα παγκόσμια αναγνώριση.

Λογαριθμικοί πίνακες

Λογαριθμικοί πίνακες

Από τις ιδιότητες του λογαρίθμου προκύπτει ότι αντί για εντατικό πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών, αρκεί να βρείτε (από πίνακες) και να προσθέσετε τους λογάριθμούς τους και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους ίδιους πίνακες, να εκτελέσετε ενίσχυση, δηλαδή να βρείτε την τιμή του αποτελέσματος από τον λογάριθμό του. Η διαίρεση διαφέρει μόνο στο ότι οι λογάριθμοι αφαιρούνται. Ο Laplace είπε ότι η εφεύρεση των λογαρίθμων «παρέτεινε τη ζωή των αστρονόμων» επιταχύνοντας πολύ τη διαδικασία των υπολογισμών.

Όταν μετακινείτε την υποδιαστολή σε έναν αριθμό στο nψηφία, η τιμή του δεκαδικού λογάριθμου αυτού του αριθμού αλλάζει σε n. Για παράδειγμα, log8314.63 = log8.31463 + 3. Από αυτό προκύπτει ότι αρκεί να συντάξουμε έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων για αριθμούς στην περιοχή από 1 έως 10.

Οι πρώτοι πίνακες λογαρίθμων δημοσιεύτηκαν από τον John Napier () και περιείχαν μόνο λογάριθμους τριγωνομετρικών συναρτήσεων και με σφάλματα. Ανεξάρτητα από αυτόν, ο Joost Bürgi, φίλος του Kepler (), δημοσίευσε τους πίνακές του. Το 1617, ο καθηγητής μαθηματικών της Οξφόρδης Henry Briggs δημοσίευσε πίνακες που περιλάμβαναν ήδη δεκαδικούς λογάριθμους των ίδιων των αριθμών, από το 1 έως το 1000, με 8 (αργότερα 14) ψηφία. Αλλά υπήρχαν και λάθη στα τραπέζια του Μπριγκς. Η πρώτη έκδοση χωρίς σφάλματα βασισμένη στους πίνακες Vega () εμφανίστηκε μόλις το 1857 στο Βερολίνο (πίνακες Bremiwer).

Στη Ρωσία, οι πρώτοι πίνακες λογαρίθμων δημοσιεύθηκαν το 1703 με τη συμμετοχή του L. F. Magnitsky. Στην ΕΣΣΔ εκδόθηκαν αρκετές συλλογές λογαριθμικών πινάκων.

  • Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. 44η έκδοση, Μ., 1973.

Απόδειξη του τύπου .

=

= =

αφού το ημίτονο και το συνημίτονο δεν εξαρτώνται από την προσθήκη μιας γωνίας που είναι πολλαπλάσιο του

Και αυτή η ισότητα είναι ήδη προφανής, αφού αυτή είναι η τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού.

Έτσι, ο λογάριθμος υπάρχει για όλα τα σημεία του επιπέδου εκτός από το μηδέν. Για έναν πραγματικό θετικό αριθμό, το όρισμα είναι 0, οπότε αυτό το άπειρο σύνολο σημείων έχει τη μορφή , δηλαδή, μία από τις τιμές, δηλαδή, στο , θα πέσει στον πραγματικό άξονα. Αν υπολογίσουμε τον λογάριθμο ενός αρνητικού αριθμού, παίρνουμε , δηλαδή, το σύνολο των σημείων μετατοπίζεται προς τα πάνω και κανένα από αυτά δεν πέφτει στον πραγματικό άξονα.

Είναι σαφές από τον τύπο ότι μόνο όταν το όρισμα του αρχικού αριθμού είναι μηδέν, μία από τις τιμές του λογαρίθμου πέφτει στον πραγματικό άξονα. Και αυτό αντιστοιχεί στον δεξιό ημιάξονα, και γι' αυτό στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου θεωρούνταν μόνο λογάριθμοι θετικών αριθμών. Υπάρχουν επίσης λογάριθμοι αρνητικών και φανταστικών αριθμών, αλλά δεν έχουν μία μόνο τιμή στον πραγματικό άξονα.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει πού βρίσκονται όλες οι τιμές του λογαρίθμου ενός θετικού αριθμού στο επίπεδο. Ένα από αυτά είναι στον πραγματικό άξονα, τα υπόλοιπα είναι πάνω και κάτω στο , , και ούτω καθεξής. Για έναν αρνητικό ή μιγαδικό αριθμό, το όρισμα είναι μη μηδενικό, επομένως αυτή η ακολουθία σημείων μετατοπίζεται κατακόρυφα, με αποτέλεσμα να μην υπάρχουν σημεία στον πραγματικό άξονα.

Παράδειγμα.Υπολογίζω.

Λύση. Ας ορίσουμε το μέτρο του αριθμού (ίσο με 2) και το όρισμα 180 0, δηλαδή. Τότε = .


Παράρτημα 1. Ερωτήσεις για αποδεικτικά στοιχεία (για εισιτήρια).

Διάλεξη Νο. 1

1. Να αποδείξετε τον τύπο για την ολοκλήρωση ανά μέρη.

Διάλεξη Νο 2

1. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση , όπου r = LCM (r 1 ,...,r k) ανάγει το ολοκλήρωμα στο ολοκλήρωμα ενός ρητού κλάσματος.

2. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση μειώνει το ολοκλήρωμα της φόρμας στο ολοκλήρωμα ενός λογικού κλάσματος.

3. Εξάγετε τύπους μετατροπής ημιτόνου και συνημίτονου

Για καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση.

4. Να αποδείξετε ότι στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι περιττή ως προς το συνημίτονο, η αντικατάσταση ανάγει το ολοκλήρωμα σε ορθολογικό κλάσμα.

5. Να αποδείξετε ότι στην περίπτωση που

αντικατάσταση: ανάγει το ολοκλήρωμα σε ορθολογικό κλάσμα.

6. Να αποδείξετε ότι για ολοκλήρωμα της μορφής

7. Να αποδείξετε τον τύπο

8. Να αποδείξετε ότι για ολοκλήρωμα της μορφής η αντικατάσταση παράγει ένα ολοκλήρωμα σε ένα ορθολογικό κλάσμα.

9. Να αποδείξετε ότι για ολοκλήρωμα της μορφής η αντικατάσταση μειώνει το ολοκλήρωμα σε ορθολογικό κλάσμα.

Διάλεξη Νο. 3

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιπαράγωγο της συνάρτησης .

2. Να αποδείξετε τον τύπο Newton-Leibniz: .

3. Να αποδείξετε τον τύπο για το μήκος μιας ρητά δεδομένης καμπύλης:

.

4. Να αποδείξετε τον τύπο για το μήκος μιας καμπύλης που δίνεται σε πολικές συντεταγμένες

Διάλεξη Νο. 4

Να αποδείξετε το θεώρημα: συγκλίνει, συγκλίνει.

Διάλεξη Νο 5

1. Εξάγετε (αποδείξτε) τον τύπο για το εμβαδόν μιας ρητά δεδομένης επιφάνειας .

2. Παραγωγή τύπων για τη μετάβαση σε πολικές συντεταγμένες.

3. Παραγωγή της Ιακωβικής ορίζουσας των πολικών συντεταγμένων.

4. Παραγωγή τύπων για τη μετάβαση σε κυλινδρικές συντεταγμένες.

5. Παραγωγή της Ιακωβικής ορίζουσας κυλινδρικών συντεταγμένων.

6. Παραγωγή τύπων για τη μετάβαση σε σφαιρικές συντεταγμένες:

.

Διάλεξη Νο. 6

1. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση ανάγει μια ομοιογενή εξίσωση σε εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

2. Απόσυρση γενική μορφήγραμμική λύση ομοιογενής εξίσωση.

3. Να εξάγετε τη γενική μορφή της λύσης στη γραμμική ανομοιογενής εξίσωσηΜέθοδος Lagrange.

4. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση ανάγει την εξίσωση του Bernoulli σε γραμμική εξίσωση.

Διάλεξη Νο 7.

1. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά k.

2. Να αποδείξετε ότι η αντικατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά ένα .

3. Να αποδείξετε το θεώρημα: Η συνάρτηση είναι λύση γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης και έχει χαρακτηριστική ρίζα.

4. Να αποδείξετε το θεώρημα ότι ένας γραμμικός συνδυασμός λύσεων σε γραμμική ομοιογενή διαφ. η εξίσωση είναι και η λύση της.

5. Να αποδείξετε το θεώρημα για την επιβολή λύσεων: Αν είναι λύση γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά και είναι λύση στην ίδια διαφορική εξίσωση, αλλά με τη δεξιά πλευρά, τότε το άθροισμα είναι λύση της εξίσωσης με τη δεξιά πλευρά.

Διάλεξη Νο 8.

1. Να αποδείξετε το θεώρημα ότι το σύστημα των συναρτήσεων εξαρτάται γραμμικά.

2. Να αποδείξετε το θεώρημα ότι υπάρχουν n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις σε γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση τάξης n.

3. Να αποδείξετε ότι αν το 0 είναι η ρίζα της πολλαπλότητας , τότε το σύστημα λύσεων που αντιστοιχεί σε αυτή τη ρίζα έχει τη μορφή .

Διάλεξη Νο. 9.

1. Αποδείξτε χρησιμοποιώντας εκθετική μορφή ότι κατά τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών, οι μονάδες πολλαπλασιάζονται και προστίθενται τα ορίσματα.

2. Αποδείξτε τον τύπο του Moivre για τον βαθμό n

3. Να αποδείξετε τον τύπο για τη ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού τάξης n

4. Αποδείξτε ότι Και

είναι γενικεύσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, δηλ. για πραγματικούς αριθμούς, αυτοί οι τύποι θα δώσουν ημίτονο (συνημίτονο).

5. Να αποδείξετε τον τύπο για τον λογάριθμο ενός μιγαδικού αριθμού:


Παράρτημα 2.

Μικρές και προφορικές ερωτήσεις σχετικά με τη γνώση της θεωρίας (για συνέδρια).

Διάλεξη Νο. 1

1. Τι είναι ένα αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα, Ποιά είναι η διαφορά?

2. Εξηγήστε γιατί είναι και αντιπαράγωγο.

3. Γράψτε τον τύπο για την ολοκλήρωση ανά μέρη.

4. Τι αντικατάσταση απαιτείται στη μορφή integral και πώς εξαφανίζει τις ρίζες;

5. Να γράψετε τον τύπο αποσύνθεσης του ολοκληρώματος ενός λογικού κλάσματος σε απλούστερα στην περίπτωση που όλες οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές.

6. Να γράψετε τον τύπο αποσύνθεσης του ολοκληρώματος ενός λογικού κλάσματος σε απλούστερα στην περίπτωση που όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και υπάρχει μία πολλαπλή ρίζα πολλαπλότητας k.

Διάλεξη Νο 2.

1. Να γράψετε ποια είναι η αποσύνθεση ενός λογικού κλάσματος σε απλούστερα στην περίπτωση που ο παρονομαστής έχει συντελεστή 2 μοιρών με αρνητική διάκριση.

2. Ποια αντικατάσταση ανάγει το ολοκλήρωμα σε λογικό κλάσμα;

3. Τι είναι οι καθολικές τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις;

4. Ποιες αντικαταστάσεις γίνονται σε περιπτώσεις που η συνάρτηση κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος είναι περιττή ως προς το ημίτονο (συνημίτονο);

5. Ποιες αντικαταστάσεις γίνονται εάν το ολοκλήρωμα περιέχει τις εκφράσεις , , ή .

Διάλεξη Νο. 3.

1. Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος.

2. Να αναφέρετε μερικές από τις βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

3. Γράψτε τον τύπο Newton-Leibniz.

4. Γράψτε τον τύπο για τον όγκο ενός σώματος περιστροφής.

5. Γράψτε έναν τύπο για το μήκος μιας ρητά δεδομένης καμπύλης.

6. Γράψτε τον τύπο για το μήκος μιας παραμετρικά καθορισμένης καμπύλης.

Διάλεξη Νο. 4.

1. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος (χρησιμοποιώντας ένα όριο).

2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 1ου και 2ου είδους.

3. Μόλυβδος απλά παραδείγματασυγκλίνοντα ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους.

4. Σε ποιες τιμές συγκλίνουν τα ολοκληρώματα (T1);

5. Πώς σχετίζεται η σύγκλιση με το πεπερασμένο όριο του αντιπαραγώγου (T2)

6. Ποιο είναι απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης, η διατύπωσή του.

7. Συγκριτικό τεστ σε τελική μορφή

8. Σημάδι σύγκρισης σε ακραία μορφή.

9. Ορισμός πολλαπλού ολοκληρώματος.

Διάλεξη Νο 5.

1. Αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης, δείξτε με ένα απλό παράδειγμα.

2. Γράψτε τον τύπο για την επιφάνεια.

3. Τι είναι οι πολικές συντεταγμένες, γράψτε τους τύπους μετάβασης.

4. Τι είναι το Jacobian του πολικού συστήματος συντεταγμένων;

5. Τι είναι οι κυλινδρικές και οι σφαιρικές συντεταγμένες, ποια η διαφορά τους.

6. Τι είναι το Jacobian των κυλινδρικών (σφαιρικών) συντεταγμένων;

Διάλεξη Νο. 6.

1. Τι είναι μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης (γενική άποψη).

2. Τι είναι μια διαφορική εξίσωση 1ης τάξης που επιλύεται ως προς την παράγωγο. Δώστε κάποιο παράδειγμα.

3. Τι είναι μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

4. Τι είναι μια γενική, ειδική λύση, συνθήκες Cauchy.

5. Τι είναι ομοιογενής εξίσωση, τι είναι γενική μέθοδοςτις αποφάσεις του.

6. Τι είναι γραμμική εξίσωση, ποιος είναι ο αλγόριθμος για την επίλυσή του, ποια είναι η μέθοδος Lagrange.

7. Τι είναι η εξίσωση Bernoulli, αλγόριθμος επίλυσής της.

Διάλεξη Νο 7.

1. Ποια αντικατάσταση είναι απαραίτητη για μια εξίσωση της μορφής .

2. Τι αντικατάσταση χρειάζεται για μια εξίσωση της φόρμας .

3. Δείξτε με παραδείγματα πώς μπορεί να εκφραστεί στη μορφή .

4. Τι είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n.

5. Τι είναι χαρακτηριστικό πολυώνυμο, χαρακτηριστική εξίσωση.

6. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα για το σε ποιο r η συνάρτηση είναι λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης.

7. Να διατυπώσετε ένα θεώρημα ότι ένας γραμμικός συνδυασμός λύσεων μιας γραμμικής ομογενούς εξίσωσης είναι και η λύση της.

8. Να διατυπώσετε το θεώρημα για την επιβολή λύσεων και τις συνέπειές της.

9. Τι είναι γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα συναρτήσεων, δώστε μερικά παραδείγματα.

10. Τι είναι η ορίζουσα Wronski ενός συστήματος n συναρτήσεων, δώστε ένα παράδειγμα της ορίζουσας Wronski για συστήματα LZS και LNS.

Διάλεξη Νο 8.

1. Τι ιδιότητα έχει η ορίζουσα Wronski εάν η συνάρτηση συστήματος είναι γραμμικά εξαρτημένη.

2. Πόσες γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις υπάρχουν σε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση τάξης n.

3. Προσδιορισμός του FSR (θεμελιώδες σύστημα λύσεων) μιας γραμμικής ομοιογενούς εξίσωσης τάξης n.

4. Πόσες συναρτήσεις περιέχει το FSR;

5. Να γράψετε τη μορφή του συστήματος εξισώσεων για εύρεση με τη μέθοδο Lagrange για n=2.

6. Καταγράψτε το είδος της συγκεκριμένης λύσης στην περίπτωση που

7. Τι είναι γραμμικό σύστημαδιαφορικές εξισώσεις, γράψτε κάποιο παράδειγμα.

8. Τι είναι αυτόνομο σύστημα διαφορικών εξισώσεων.

9. Φυσική έννοια συστήματος διαφορικών εξισώσεων.

10. Να γράψετε από ποιες λειτουργίες αποτελείται Συστήματα FSRεξισώσεις, εάν είναι γνωστές ιδιοτιμέςΚαι ιδιοδιανύσματαη κύρια μήτρα αυτού του συστήματος.

Διάλεξη Νο. 9.

1. Τι είναι μια φανταστική μονάδα.

2. Τι είναι ένας συζευγμένος αριθμός και τι συμβαίνει όταν τον πολλαπλασιάσετε με τον αρχικό αριθμό.

3. Ποια είναι η τριγωνομετρική, εκθετική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού.

4. Γράψτε τον τύπο του Euler.

5. Τι είναι το μέτρο, το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού.

6. τι συμβαίνει με τις ενότητες και τα ορίσματα κατά τον πολλαπλασιασμό (διαίρεση).

7. Γράψτε τον τύπο του Moivre για τον βαθμό n.

8. Γράψτε τον τύπο για ρίζα τάξης n.

9. Γράψτε γενικευμένους τύπους ημιτόνου και συνημιτόνου για ένα σύνθετο όρισμα.

10. Να γράψετε τον τύπο για τον λογάριθμο ενός μιγαδικού αριθμού.


Παράρτημα 3. Προβλήματα από διαλέξεις.

Διάλεξη Νο. 1

Παράδειγμα. . Παράδειγμα. .

Παράδειγμα. . Παράδειγμα. .

Παράδειγμα. Παράδειγμα. .

Παράδειγμα. . Παράδειγμα. .

Διάλεξη Νο 2

Παράδειγμα. . Παράδειγμα. .

Παράδειγμα. . Παράδειγμα. .

Παράδειγμα. . Παράδειγμα.. , όπου, αριθμός .

Παράδειγμα.Διαιρέστε εκθετικά.

Παράδειγμα. Βρείτε χρησιμοποιώντας τον τύπο του Moivre.

Παράδειγμα. Βρείτε όλες τις τιμές της ρίζας.

(από τα ελληνικά λόγος - «λέξη», «σχέση» και ἀριθμός - «αριθμός») αριθμοί σιβασισμένο στο ένα(ημερολόγιο α σι) ονομάζεται τέτοιος αριθμός ντο, Και σι= μετα Χριστον, δηλαδή εγγραφές log α σι=ντοΚαι b=aντοείναι ισοδύναμα. Ο λογάριθμος έχει νόημα εάν a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Με άλλα λόγια λογάριθμοςαριθμοί σιβασισμένο στο ΕΝΑδιατυπώνεται ως εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί ένας αριθμός έναγια να πάρετε τον αριθμό σι(ο λογάριθμος υπάρχει μόνο για θετικούς αριθμούς).

Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει ότι ο υπολογισμός x= log α σι, ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης a x =b.

Για παράδειγμα:

log 2 8 = 3 γιατί 8 = 2 3 .

Ας τονίσουμε ότι η υποδεικνυόμενη διατύπωση του λογαρίθμου καθιστά δυνατό τον άμεσο προσδιορισμό τιμή λογάριθμου, όταν ο αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου λειτουργεί ως μια ορισμένη ισχύς της βάσης. Πράγματι, η διατύπωση του λογάριθμου καθιστά δυνατό να δικαιολογηθεί ότι αν b=a γ, τότε ο λογάριθμος του αριθμού σιβασισμένο στο έναισοδυναμεί Με. Είναι επίσης σαφές ότι το θέμα των λογαρίθμων σχετίζεται στενά με το θέμα δυνάμεις ενός αριθμού.

Ο υπολογισμός του λογάριθμου ονομάζεται λογάριθμος. Ο λογάριθμος είναι μαθηματική πράξηπαίρνοντας τον λογάριθμο. Κατά τη λήψη λογαρίθμων, τα γινόμενα των παραγόντων μετατρέπονται σε αθροίσματα όρων.

Ενίσχυσηείναι η αντίστροφη μαθηματική πράξη του λογάριθμου. Κατά τη διάρκεια της ενίσχυσης, μια δεδομένη βάση αυξάνεται στον βαθμό έκφρασης στον οποίο πραγματοποιείται η ενίσχυση. Στην περίπτωση αυτή, τα αθροίσματα των όρων μετατρέπονται σε γινόμενο παραγόντων.

Αρκετά συχνά, χρησιμοποιούνται πραγματικοί λογάριθμοι με βάσεις 2 (δυαδικό), αριθμό Euler e ≈ 2,718 (φυσικός λογάριθμος) και 10 (δεκαδικός).

Σε αυτό το στάδιο είναι σκόπιμο να εξεταστεί δείγματα λογαρίθμωνημερολόγιο 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Και οι εγγραφές lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 δεν έχουν νόημα, αφού στο πρώτο από αυτά τοποθετείται αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, στο δεύτερο υπάρχει αρνητικός αριθμός στη βάση, και στην τρίτη υπάρχει ένας αρνητικός αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και μονάδα στη βάση.

Προϋποθέσεις για τον προσδιορισμό του λογάριθμου.

Αξίζει να εξετάσουμε χωριστά τις συνθήκες a > 0, a ≠ 1, b > 0.κάτω από τις οποίες παίρνουμε ορισμός του λογάριθμου.Ας εξετάσουμε γιατί ελήφθησαν αυτοί οι περιορισμοί. Μια ισότητα της μορφής x = log α θα μας βοηθήσει σε αυτό σι, που ονομάζεται βασική λογαριθμική ταυτότητα, η οποία προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του λογάριθμου που δόθηκε παραπάνω.

Ας πάρουμε τον όρο a≠1. Εφόσον ένα προς οποιαδήποτε δύναμη είναι ίσο με ένα, τότε η ισότητα x=log α σιμπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=1, αλλά το αρχείο καταγραφής 1 1 θα είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Για να εξαλείψουμε αυτή την ασάφεια, παίρνουμε a≠1.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα της συνθήκης α>0. Στο a=0σύμφωνα με τη διατύπωση του λογάριθμου μπορεί να υπάρξει μόνο όταν b=0. Και ανάλογα τότε ημερολόγιο 0 0μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός, αφού το μηδέν σε οποιαδήποτε μη μηδενική ισχύς είναι μηδέν. Αυτή η ασάφεια μπορεί να εξαλειφθεί από την κατάσταση a≠0. Και πότε ένα<0 θα έπρεπε να απορρίψουμε την ανάλυση ορθολογικών και παράλογων τιμών του λογαρίθμου, καθώς ένας βαθμός με ορθολογικό και παράλογο εκθέτη ορίζεται μόνο για μη αρνητικές βάσεις. Για τον λόγο αυτό ορίζεται η προϋπόθεση α>0.

Και η τελευταία προϋπόθεση b>0προκύπτει από την ανισότητα α>0, αφού x=log α σι, και την τιμή του πτυχίου με θετική βάση έναπάντα θετικός.

Χαρακτηριστικά των λογαρίθμων.

Λογάριθμοιχαρακτηρίζεται από διακριτικό χαρακτηριστικά, που οδήγησε στην ευρεία χρήση τους για να διευκολύνουν σημαντικά τους επίπονους υπολογισμούς. Όταν μετακινούμαστε «στον κόσμο των λογαρίθμων», ο πολλαπλασιασμός μετατρέπεται σε μια πολύ πιο εύκολη πρόσθεση, η διαίρεση μετατρέπεται σε αφαίρεση και η εκθεσιμότητα και η εξαγωγή ρίζας μετατρέπονται, αντίστοιχα, σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με τον εκθέτη.

Η διατύπωση των λογαρίθμων και ο πίνακας των τιμών τους (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις) δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά το 1614 από τον Σκωτσέζο μαθηματικό John Napier. Οι λογαριθμικοί πίνακες, μεγεθυσμένοι και λεπτομερείς από άλλους επιστήμονες, χρησιμοποιήθηκαν ευρέως σε επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς και παρέμειναν σχετικοί μέχρι τη χρήση ηλεκτρονικών αριθμομηχανών και υπολογιστών.

Η εκθετική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (με θετική βάση) προσδιορίζεται σε πολλά βήματα. Πρώτον, για τις φυσικές αξίες - ως προϊόν ίσων παραγόντων. Στη συνέχεια, ο ορισμός επεκτείνεται σε αρνητικούς ακέραιους και μη μηδενικές τιμές για τους κανόνες. Στη συνέχεια, εξετάζουμε τους κλασματικούς δείκτες στους οποίους η τιμή εκθετικη συναρτησηπροσδιορίζεται χρησιμοποιώντας ρίζες: . Για τις παράλογες τιμές, ο ορισμός συνδέεται ήδη με τη βασική έννοια της μαθηματικής ανάλυσης - με το πέρασμα στο όριο, για λόγους συνέχειας. Όλες αυτές οι εκτιμήσεις δεν ισχύουν σε καμία περίπτωση για προσπάθειες επέκτασης της εκθετικής συνάρτησης σε μιγαδικές τιμές του δείκτη και τι είναι, για παράδειγμα, είναι εντελώς ασαφές.

Για πρώτη φορά, μια ισχύς με μιγαδικό εκθέτη με φυσική βάση εισήχθη από τον Euler με βάση μια ανάλυση ενός αριθμού κατασκευών του ολοκληρωτικού λογισμού. Μερικές φορές πολύ παρόμοιες αλγεβρικές εκφράσεις, όταν ενσωματωθούν, δίνουν εντελώς διαφορετικές απαντήσεις:

Ταυτόχρονα, εδώ το δεύτερο ολοκλήρωμα λαμβάνεται τυπικά από το πρώτο όταν αντικαθίσταται από

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι με τον σωστό ορισμό μιας εκθετικής συνάρτησης με μιγαδικό εκθέτη, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχετίζονται με λογάριθμους και επομένως η εκθετική συνάρτηση σχετίζεται με τριγωνομετρικές.

Ο Euler είχε το θάρρος και τη φαντασία να δώσει έναν εύλογο ορισμό για μια εκθετική συνάρτηση με βάση, δηλαδή,

Αυτός είναι ένας ορισμός, και επομένως αυτός ο τύπος δεν μπορεί να αποδειχθεί· μπορεί κανείς μόνο να αναζητήσει επιχειρήματα υπέρ της λογικής και της σκοπιμότητας ενός τέτοιου ορισμού. Μαθηματική ανάλυσηπαρέχει πολλά επιχειρήματα αυτού του είδους. Θα περιοριστούμε σε ένα μόνο.

Είναι γνωστό ότι στην πραγματικότητα υπάρχει μια περιοριστική σχέση: . Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένα πολυώνυμο που έχει επίσης νόημα για μιγαδικές τιμές για . Το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών καθορίζεται φυσικά. Μια ακολουθία θεωρείται συγκλίνουσα εάν οι ακολουθίες των πραγματικών και φανταστικών μερών συγκλίνουν και γίνεται αποδεκτή

Ας το βρούμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε στην τριγωνομετρική φόρμα και για το όρισμα θα επιλέξουμε τιμές από το διάστημα. Με αυτή την επιλογή είναι σαφές ότι για . Περαιτέρω,

Για να μεταβείτε στο όριο, πρέπει να επαληθεύσετε την ύπαρξη ορίων για και και να βρείτε αυτά τα όρια. Είναι ξεκάθαρο ότι

Έτσι, στην έκφραση

το πραγματικό μέρος τείνει σε , το φανταστικό μέρος τείνει σε αυτό

Αυτό το απλό όρισμα παρέχει ένα από τα επιχειρήματα υπέρ του ορισμού της εκθετικής συνάρτησης από τον Euler.

Ας καθορίσουμε τώρα ότι όταν πολλαπλασιάζουμε τις τιμές μιας εκθετικής συνάρτησης, οι εκθέτες αθροίζονται. Πραγματικά:

2. Οι τύποι του Euler.

Ας βάλουμε τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης . Παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας το b με -b, παίρνουμε

Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις ισότητες όρο προς όρο, βρίσκουμε τους τύπους

που ονομάζεται τύποι του Euler. Δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων και εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες.

3. Φυσικός λογάριθμος μιγαδικού αριθμού.

Ένας μιγαδικός αριθμός που δίνεται σε τριγωνομετρική μορφή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού ονομάζεται εκθετική. Διατηρεί όλες τις καλές ιδιότητες της τριγωνομετρικής μορφής, αλλά είναι ακόμη πιο συνοπτικό. Περαιτέρω, Επομένως, είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι το πραγματικό μέρος του λογάριθμου ενός μιγαδικού αριθμού είναι ο λογάριθμος του συντελεστή του και το φανταστικό μέρος είναι το επιχείρημά του. Αυτό εξηγεί σε κάποιο βαθμό την «λογαριθμική» ιδιότητα του επιχειρήματος - το όρισμα του γινομένου είναι ίσο με το άθροισμα των επιχειρημάτων των παραγόντων.