Για να καταλάβεις τι είναι θεμελιώδες σύστημα αποφάσεωνμπορείτε να παρακολουθήσετε ένα εκπαιδευτικό βίντεο για το ίδιο παράδειγμα κάνοντας κλικ. Τώρα ας προχωρήσουμε στην πραγματική περιγραφή όλων των απαραίτητων εργασιών. Αυτό θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την ουσία αυτού του ζητήματος με περισσότερες λεπτομέρειες.
Πώς να βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων σε μια γραμμική εξίσωση;
Ας πάρουμε αυτό το σύστημα ως παράδειγμα γραμμικές εξισώσεις:
Ας βρούμε τη λύση σε αυτό το γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Για αρχή, εμείς πρέπει να γράψετε τον πίνακα συντελεστών του συστήματος.
Ας μετατρέψουμε αυτόν τον πίνακα σε τριγωνικό.Ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή χωρίς αλλαγές. Και όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το $a_(11)$ πρέπει να γίνουν μηδενικά. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(21)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο από τη δεύτερη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στη δεύτερη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(31)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο από την τρίτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τρίτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(41)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τέταρτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τέταρτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(31)$, πρέπει να αφαιρέσετε το πρώτο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την πέμπτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην πέμπτη γραμμή. 
Ξαναγράφουμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή χωρίς αλλαγές. Και όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το $a_(22)$ πρέπει να γίνουν μηδενικά. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(32)$, πρέπει να αφαιρέσετε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τρίτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τρίτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(42)$, πρέπει να αφαιρέσετε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τέταρτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην τέταρτη γραμμή. Για να κάνετε ένα μηδέν στη θέση του στοιχείου $a_(52)$, πρέπει να αφαιρέσετε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί 3 από την πέμπτη γραμμή και να γράψετε τη διαφορά στην πέμπτη γραμμή. 
Το βλέπουμε αυτό οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι ίδιες, οπότε αν αφαιρέσετε το τρίτο από το τέταρτο και το πέμπτο, θα γίνουν μηδέν. 
Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα σημειωσε νέο σύστημαεξισώσεις.
Βλέπουμε ότι έχουμε μόνο τρεις γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις και πέντε άγνωστους, άρα το θεμελιώδες σύστημα λύσεων θα αποτελείται από δύο διανύσματα. Εμείς λοιπόν πρέπει να μετακινήσουμε τα δύο τελευταία άγνωστα προς τα δεξιά.
Τώρα, αρχίζουμε να εκφράζουμε εκείνα τα άγνωστα που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά μέσω αυτών που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά. Ξεκινάμε με την τελευταία εξίσωση, πρώτα εκφράζουμε $x_3$, μετά αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση και εκφράζουμε $x_2$, και μετά στην πρώτη εξίσωση και εδώ εκφράζουμε $x_1$. Έτσι, εκφράσαμε όλα τα άγνωστα που βρίσκονται στην αριστερή πλευρά μέσω των αγνώστων που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά. 
Στη συνέχεια, αντί για $x_4$ και $x_5$, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιουσδήποτε αριθμούς και να βρούμε τα $x_1$, $x_2$ και $x_3$. Κάθε πέντε από αυτούς τους αριθμούς θα είναι οι ρίζες του αρχικού μας συστήματος εξισώσεων. Για να βρείτε τα διανύσματα που περιλαμβάνονται σε FSRπρέπει να αντικαταστήσουμε το 1 αντί του $x_4$ και να αντικαταστήσουμε το 0 αντί για το $x_5$, να βρούμε τα $x_1$, $x_2$ και $x_3$ και, στη συνέχεια, αντίστροφα $x_4=0$ και $x_5=1$.
Αφήνω Μ 0 – σύνολο λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα (4) γραμμικών εξισώσεων.
Ορισμός 6.12.Διανύσματα Με 1 ,Με 2 , …, με σελ, που είναι λύσεις ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων λέγονται θεμελιώδες σύνολο λύσεων(συντομογραφία FNR), αν
1) διανύσματα Με 1 ,Με 2 , …, με σελγραμμικά ανεξάρτητο (δηλαδή, κανένα από αυτά δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους των άλλων).
2) οποιαδήποτε άλλη λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να εκφραστεί με όρους λύσεων Με 1 ,Με 2 , …, με σελ.
Σημειώστε ότι εάν Με 1 ,Με 2 , …, με σελ– οποιοδήποτε f.n.r., τότε η έκφραση κ 1× Με 1 + κ 2× Με 2 + … + κ σελ× με σελμπορείτε να περιγράψετε ολόκληρο το σετ Μ 0 λύσεις στο σύστημα (4), έτσι ονομάζεται γενική άποψη της λύσης του συστήματος (4).
Θεώρημα 6.6.Οποιοδήποτε απροσδιόριστο ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων.
Ο τρόπος εύρεσης του θεμελιώδους συνόλου λύσεων είναι ο εξής:
Εύρημα κοινή απόφασηομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Χτίζω ( n – r) μερικές λύσεις αυτού του συστήματος, ενώ οι τιμές των ελεύθερων αγνώστων πρέπει να σχηματίζουν μια μήτρα ταυτότητας.
Ξεγράφω γενική μορφήλύσεις που περιλαμβάνονται σε Μ 0 .
Παράδειγμα 6.5.Βρείτε ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων στο ακόλουθο σύστημα:
Λύση. Ας βρούμε μια γενική λύση σε αυτό το σύστημα.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Υπάρχουν πέντε άγνωστοι σε αυτό το σύστημα ( n= 5), εκ των οποίων υπάρχουν δύο κύριοι άγνωστοι ( r= 2), υπάρχουν τρία ελεύθερα άγνωστα ( n – r), δηλαδή το θεμελιώδες σύνολο λύσεων περιέχει τρία διανύσματα λύσεων. Ας τα φτιάξουμε. Εχουμε Χ 1 και Χ 3 – κύρια άγνωστα, Χ 2 , Χ 4 , Χ 5 – δωρεάν άγνωστα
Αξίες δωρεάν αγνώστων Χ 2 , Χ 4 , Χ 5 σχηματίζουν τον πίνακα ταυτότητας μιτρίτη τάξη. Κατάλαβα τα διανύσματα Με 1 ,Με 2 , Με 3 έντυπο f.n.r. αυτού του συστήματος. Τότε το σύνολο των λύσεων αυτού του ομοιογενούς συστήματος θα είναι Μ 0 = {κ 1× Με 1 + κ 2× Με 2 + κ 3× Με 3 , κ 1 , κ 2 , κ 3 О R).
Ας μάθουμε τώρα τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη μη μηδενικών λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων, με άλλα λόγια, τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός θεμελιώδους συνόλου λύσεων.
Ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μη μηδενικές λύσεις, δηλαδή είναι αβέβαιο εάν
1) κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος μικρότερος αριθμόςάγνωστος;
2) σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των αγνώστων.
3) εάν σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι ίση με μηδέν (δηλ. | ΕΝΑ| = 0).
Παράδειγμα 6.6. Σε ποια τιμή παραμέτρου έναομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων 
έχει μη μηδενικές λύσεις;
Λύση. Ας συνθέσουμε τον κύριο πίνακα αυτού του συστήματος και ας βρούμε την ορίζουσα του: = = 1×(–1) 1+1 × = – ΕΝΑ– 4. Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με μηδέν στο ένα = –4.
Απάντηση: –4.
7. Αριθμητική n-διαστατικός διανυσματικός χώρος
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Σε προηγούμενες ενότητες έχουμε ήδη συναντήσει την έννοια ενός συνόλου πραγματικών αριθμών που βρίσκονται μέσα με μια ορισμένη σειρά. Αυτός είναι ένας πίνακας γραμμών (ή πίνακας στήλης) και μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με nάγνωστος. Αυτές οι πληροφορίες μπορούν να συνοψιστούν.
Ορισμός 7.1. n-διάνυσμα αριθμητικής διαστάσεωνονομάζεται ένα διατεταγμένο σύνολο nπραγματικούς αριθμούς.
Που σημαίνει ΕΝΑ= (α 1 , α 2 , …, α n), όπου ένας ΕγώО R, Εγώ = 1, 2, …, n– γενική άποψη του διανύσματος. Αριθμός nπου ονομάζεται διάστασηδιανύσματα και αριθμοί α Εγώονομάζονται δικά του συντεταγμένες.
Για παράδειγμα: ΕΝΑ= (1, –8, 7, 4, ) – πενταδιάστατο διάνυσμα.
Ολα έτοιμα n-τα διανύσματα συνήθως συμβολίζονται ως Rn.
Ορισμός 7.2.Δύο φορείς ΕΝΑ= (α 1 , α 2 , …, α n) Και σι= (β 1 , β 2 , …, β n) ίδιας διάστασης ίσοςαν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες, δηλ. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= β n.
Ορισμός 7.3.Ποσόδύο n-διαστασιακά διανύσματα ΕΝΑ= (α 1 , α 2 , …, α n) Και σι= (β 1 , β 2 , …, β n) ονομάζεται διάνυσμα ένα + σι= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+β n).
Ορισμός 7.4. Η δουλειάπραγματικός αριθμός κσε διάνυσμα ΕΝΑ= (α 1 , α 2 , …, α n) ονομάζεται διάνυσμα κ× ΕΝΑ = (κ×a 1, κ×a 2,…, κ×α n)
Ορισμός 7.5.Διάνυσμα Ο= (0, 0, …, 0) καλείται μηδέν(ή μηδενικό διάνυσμα).
Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι οι ενέργειες (πράξεις) της προσθήκης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με έναν πραγματικό αριθμό έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: " ένα, σι, ντο Î Rn, " κ, μεγάλοО R:
1) ένα + σι = σι + ένα;
2) ένα + (σι+ ντο) = (ένα + σι) + ντο;
3) ένα + Ο = ένα;
4) ένα+ (–ένα) = Ο;
5) 1× ένα = ένα, 1 О R;
6) κ×( μεγάλο× ένα) = μεγάλο×( κ× ένα) = (μεγάλο× κ)× ένα;
7) (κ + μεγάλο)× ένα = κ× ένα + μεγάλο× ένα;
8) κ×( ένα + σι) = κ× ένα + κ× σι.
Ορισμός 7.6.Ενα μάτσο Rnμε τις πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με έναν πραγματικό αριθμό που δίνεται σε αυτό καλείται αριθμητικός ν-διάστατος διανυσματικός χώρος.
Λέγεται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων στο οποίο όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν ομοιογενής :
Οποιοδήποτε ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού πάντα είχε μηδέν (ασήμαντος ) λύση. Τίθεται το ερώτημα υπό ποιες συνθήκες ένα ομοιογενές σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση.
Θεώρημα 5.2.Ένα ομοιογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η κατάταξη του υποκείμενου πίνακα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων του.
Συνέπεια. Ένα τετράγωνο ομογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν.
Παράδειγμα 5.6.Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου l στην οποία το σύστημα έχει μη τετριμμένες λύσεις και βρείτε αυτές τις λύσεις:
Λύση. Αυτό το σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση όταν η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι ίση με μηδέν:
Έτσι, το σύστημα είναι μη τετριμμένο όταν l=3 ή l=2. Για l=3, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 1. Τότε, αφήνοντας μόνο μία εξίσωση και υποθέτοντας ότι y=έναΚαι z=σι, παίρνουμε x=b-a, δηλ.
Για l=2, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 2. Στη συνέχεια, επιλέγοντας το δευτερεύον ως βάση:
έχουμε ένα απλοποιημένο σύστημα
Από εδώ το βρίσκουμε x=z/4, y=z/2. πιστεύοντας z=4ένα, παίρνουμε
Το σύνολο όλων των λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος έχει ένα πολύ σημαντικό γραμμική ιδιότητα : εάν οι στήλες Χ 1 και Χ 2 - λύσεις σε ένα ομοιογενές σύστημα AX = 0, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τουςένα Χ 1 + β Χ 2 θα είναι επίσης μια λύση σε αυτό το σύστημα. Πράγματι, από τότε ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1 = 0 Και ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = 0 , Οτι ΕΝΑ(ένα Χ 1 + β Χ 2) = α ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1 + β ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Λόγω αυτής της ιδιότητας, εάν ένα γραμμικό σύστημα έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε θα υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτές τις λύσεις.
Γραμμικά ανεξάρτητες στήλες μι 1 , μι 2 , Ε κ, που είναι διαλύματα ενός ομοιογενούς συστήματος, ονομάζονται θεμελιώδες σύστημα λύσεων ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων εάν η γενική λύση αυτού του συστήματος μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των στηλών:
Αν ένα ομοιογενές σύστημα έχει nμεταβλητές και η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι ίση με r, Οτι κ = n-r.
Παράδειγμα 5.7.Βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων στο ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
Λύση. Ας βρούμε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος:
Έτσι, το σύνολο των λύσεων σε αυτό το σύστημα εξισώσεων σχηματίζει έναν γραμμικό υποχώρο διαστάσεων n-r= 5 - 2 = 3. Ας επιλέξουμε το δευτερεύον ως βάση
.
Στη συνέχεια, αφήνοντας μόνο τις βασικές εξισώσεις (οι υπόλοιπες θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των εξισώσεων) και τις βασικές μεταβλητές (μετακινούμε τις υπόλοιπες, τις λεγόμενες ελεύθερες μεταβλητές προς τα δεξιά), λαμβάνουμε ένα απλοποιημένο σύστημα εξισώσεων:
πιστεύοντας Χ 3 = ένα, Χ 4 = σι, Χ 5 = ντο, βρίσκουμε
, 
.
πιστεύοντας ένα= 1, β = γ= 0, λαμβάνουμε την πρώτη βασική λύση. πιστεύοντας σι= 1, α = γ= 0, λαμβάνουμε τη δεύτερη βασική λύση. πιστεύοντας ντο= 1, α = β= 0, λαμβάνουμε την τρίτη βασική λύση. Ως αποτέλεσμα, το κανονικό θεμελιώδες σύστημα λύσεων θα πάρει τη μορφή
Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες σύστημα, η γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος μπορεί να γραφτεί ως
Χ = aE 1 + είναι 2 + cE 3. ένα
Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες λύσεων σε ένα ανομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων AX=Bκαι τη σχέση τους με το αντίστοιχο ομοιογενές σύστημα εξισώσεων AX = 0.
Γενική λύση ανομοιογενούς συστήματοςισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος AX = 0 και μιας αυθαίρετης συγκεκριμένης λύσης του ανομοιογενούς συστήματος. Πράγματι, ας ΥΤο 0 είναι μια αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος, δηλ. AY 0 = σι, Και Υ- γενική λύση ενός ετερογενούς συστήματος, δηλ. AY=B. Αφαιρώντας τη μία ισότητα από την άλλη, παίρνουμε
ΕΝΑ(Υ-Υ 0) = 0, δηλ. Υ-ΥΤο 0 είναι η γενική λύση του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος ΤΣΕΚΟΥΡΙ=0. Ως εκ τούτου, Υ-Υ 0 = Χ, ή Υ=Υ 0 + Χ. Q.E.D.
Έστω το ανομοιογενές σύστημα να έχει τη μορφή AX = B 1 + σι 2 . Τότε η γενική λύση ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να γραφτεί ως X = X 1 + Χ 2 , όπου AX 1 = σι 1 και AX 2 = σι 2. Αυτή η ιδιότητα εκφράζει την καθολική ιδιότητα οποιουδήποτε γραμμικά συστήματα(αλγεβρικό, διαφορικό, λειτουργικό κ.λπ.). Στη φυσική αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης, στην ηλεκτρική και ραδιομηχανική - αρχή της υπέρθεσης. Για παράδειγμα, στη θεωρία των γραμμικών ηλεκτρικών κυκλωμάτων, το ρεύμα σε οποιοδήποτε κύκλωμα μπορεί να ληφθεί ως το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που προκαλούνται από κάθε πηγή ενέργειας ξεχωριστά.
Δοσμένοι πίνακες
Βρείτε: 1) aA - bB,
Λύση: 1) Το βρίσκουμε διαδοχικά, χρησιμοποιώντας τους κανόνες του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό και της πρόσθεσης πινάκων..
2. Βρείτε το A*B αν
Λύση: Χρησιμοποιούμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού του πίνακα
Απάντηση: 
3. Για έναν δεδομένο πίνακα, βρείτε το δευτερεύον M 31 και υπολογίστε την ορίζουσα.
Λύση: Το δευτερεύον M 31 είναι η ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από το A
αφού διαγράψουμε τη γραμμή 3 και τη στήλη 1. Βρίσκουμε
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Ας μετατρέψουμε τον πίνακα Α χωρίς να αλλάξουμε την ορίζοντή του (ας κάνουμε μηδενικά στη σειρά 1)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Τώρα υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα Α με επέκταση κατά μήκος της σειράς 1
Απάντηση: M 31 = 0, detA = 0
Λύστε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss και τη μέθοδο Cramer.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Λύση: Ας ελέγξουμε
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο του Cramer
Λύση του συστήματος: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο Gaussian.
Ας μειώσουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος σε τριγωνική μορφή.
Για ευκολία στον υπολογισμό, ας ανταλλάξουμε τις γραμμές:
Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) και προσθέστε στο 3ο:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
Πολλαπλασιάστε την 1η γραμμή με (k = -2 / 2 = -1 ) και προσθέστε στο 2ο:
Τώρα το αρχικό σύστημα μπορεί να γραφτεί ως:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
Από τη 2η γραμμή εκφράζουμε
Από την 1η γραμμή εκφράζουμε
Η λύση είναι η ίδια.
Απάντηση: (2; -5; 3)
Βρείτε τη γενική λύση του συστήματος και του FSR
13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Λύση: Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο Gauss. Ας μειώσουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος σε τριγωνική μορφή.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Πολλαπλασιάστε την 1η γραμμή με (-11). Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (13). Ας προσθέσουμε τη 2η γραμμή στην 1η:
| -2 | -2 | -3 | ||
Πολλαπλασιάστε τη 2η γραμμή με (-5). Ας πολλαπλασιάσουμε την 3η γραμμή επί (11). Ας προσθέσουμε την 3η γραμμή στη 2η:
Πολλαπλασιάστε την 3η γραμμή με (-7). Ας πολλαπλασιάσουμε την 4η γραμμή επί (5). Ας προσθέσουμε την 4η γραμμή στην 3η:
Η δεύτερη εξίσωση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων
Ας βρούμε την κατάταξη του πίνακα.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Το επιλεγμένο δευτερεύον έχει την υψηλότερη τάξη (από τα πιθανά δευτερεύοντα) και είναι μη μηδενικό (ισούται με το γινόμενο των στοιχείων στην αντίστροφη διαγώνιο), επομένως ranng(A) = 2.
Αυτό το δευτερεύον είναι βασικό. Περιλαμβάνει συντελεστές για τους αγνώστους x 1 , x 2 , που σημαίνει ότι οι άγνωστοι x 1 , x 2 είναι εξαρτημένοι (βασικοί) και οι x 3 , x 4 , x 5 είναι ελεύθεροι.
Το σύστημα με τους συντελεστές αυτού του πίνακα είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα και έχει τη μορφή:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εξάλειψης αγνώστων, βρίσκουμε κοινή απόφαση:
x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5
x 1 = - 1 / 3 x 3
Βρίσκουμε ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων (FSD), το οποίο αποτελείται από (n-r) λύσεις. Στην περίπτωσή μας, n=5, r=2, επομένως, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αποτελείται από 3 λύσεις, και αυτές οι λύσεις πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
Για να είναι οι σειρές γραμμικά ανεξάρτητες, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα που αποτελείται από στοιχεία σειράς να είναι ίση με τον αριθμό των σειρών, δηλαδή 3.
Αρκεί να δώσουμε στους ελεύθερους αγνώστους x 3 , x 4 , x 5 τιμές από τις γραμμές της ορίζουσας 3ης τάξης, μη μηδενικά και να υπολογίσουμε x 1 , x 2 .
Η απλούστερη μη μηδενική ορίζουσα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
Αλλά είναι πιο βολικό να το πάρετε εδώ
Βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη γενική λύση:
α) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ
I απόφαση του FSR: (-2; -4; 6; 0;0)
β) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ
II διάλυμα FSR: (0; -6; 0; 6;0)
γ) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
III απόφαση του FSR: (0; - 9; 0; 0;6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)
6. Δίνονται: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Βρείτε: α) z 1 – 2z 2 β) z 1 z 2 γ) z 1 /z 2
Λύση: α) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i
β) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Απάντηση: α) -3i β) 12+26i γ) -1,4 – 0,3i
Θα συνεχίσουμε να γυαλίζουμε την τεχνολογία μας στοιχειώδεις μεταμορφώσειςεπί ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Με βάση τις πρώτες παραγράφους, το υλικό μπορεί να φαίνεται βαρετό και μέτριο, αλλά αυτή η εντύπωση είναι απατηλή. Εκτός από την περαιτέρω ανάπτυξη τεχνικών τεχνικών, θα υπάρξουν πολλές ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, επομένως προσπαθήστε να μην αμελήσετε τα παραδείγματα σε αυτό το άρθρο.
Τι είναι ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων;
Η απάντηση υποδηλώνεται από μόνη της. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ομοιογενές εάν ο ελεύθερος όρος Ολοιη εξίσωση του συστήματος είναι μηδέν. Για παράδειγμα:
Είναι απολύτως σαφές ότι ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, δηλαδή έχει πάντα λύση. Και, πρώτα απ' όλα, αυτό που σου τραβάει την προσοχή είναι το λεγόμενο ασήμαντοςλύση 
. Ασήμαντο, για όσους δεν καταλαβαίνουν καθόλου την έννοια του επιθέτου, σημαίνει χωρίς επίδειξη. Όχι ακαδημαϊκά, φυσικά, αλλά κατανοητά =) ...Γιατί να νικήσεις γύρω από τον θάμνο, ας μάθουμε αν αυτό το σύστημα έχει άλλες λύσεις:
Παράδειγμα 1
Λύση: για να λυθεί ένα ομοιογενές σύστημα είναι απαραίτητο να γραφτεί μήτρα συστήματοςκαι με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών το φέρνουν σε σταδιακή μορφή. Λάβετε υπόψη ότι εδώ δεν χρειάζεται να γράψετε την κάθετη γραμμή και τη μηδενική στήλη των ελεύθερων όρων - τελικά, ανεξάρτητα από το τι κάνετε με τα μηδενικά, θα παραμείνουν μηδενικά: 
(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –3.
(2) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί –1.
Η διαίρεση της τρίτης γραμμής με το 3 δεν έχει πολύ νόημα.
Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προκύπτει ένα ισοδύναμο ομοιογενές σύστημα 
, και, εφαρμογή αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιοΜε τη μέθοδο του Gauss, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η λύση είναι μοναδική.
Απάντηση: 
Ας διατυπώσουμε ένα προφανές κριτήριο: ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει απλά μια ασήμαντη λύση, Αν κατάταξη μήτρας συστήματος(στην περίπτωση αυτή 3) ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών (στην περίπτωση αυτή – 3 τεμάχια).
Ας ζεσταθούμε και ας συντονιστούμε το ραδιόφωνό μας στο κύμα των στοιχειωδών μεταμορφώσεων:
Παράδειγμα 2
Να λύσετε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων 
Για να ενοποιήσουμε τελικά τον αλγόριθμο, ας αναλύσουμε την τελική εργασία:
Παράδειγμα 7
Λύστε ένα ομοιογενές σύστημα, γράψτε την απάντηση σε διανυσματική μορφή. 
Λύση: ας γράψουμε τον πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε μια σταδιακή μορφή: 
(1) Το πρόσημο της πρώτης γραμμής έχει αλλάξει. Για άλλη μια φορά εφιστώ την προσοχή σε μια τεχνική που έχει συναντήσει πολλές φορές, η οποία σας επιτρέπει να απλοποιήσετε σημαντικά την επόμενη ενέργεια.
(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη 2η και 3η γραμμή. Η πρώτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη επί 2, προστέθηκε στην 4η γραμμή.
(3) Οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι αναλογικές, δύο από αυτές έχουν αφαιρεθεί.
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται ένας τυπικός πίνακας βημάτων και η λύση συνεχίζεται κατά μήκος της κομμένης διαδρομής:
– βασικές μεταβλητές.
– δωρεάν μεταβλητές.
Ας εκφράσουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες μεταβλητές. Από τη 2η εξίσωση:
– αντικαταστήστε στην 1η εξίσωση:
Η γενική λύση λοιπόν είναι:
Εφόσον στο υπό εξέταση παράδειγμα υπάρχουν τρεις ελεύθερες μεταβλητές, το θεμελιώδες σύστημα περιέχει τρία διανύσματα.
Ας αντικαταστήσουμε μια τριάδα τιμών 
στη γενική λύση και λάβετε ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν κάθε εξίσωση του ομογενούς συστήματος. Και πάλι, επαναλαμβάνω ότι είναι ιδιαίτερα σκόπιμο να ελέγχετε κάθε λαμβανόμενο διάνυσμα - δεν θα χρειαστεί πολύς χρόνος, αλλά θα σας προστατεύσει πλήρως από σφάλματα.
Για ένα τριπλό αξιών 
βρείτε το διάνυσμα
Και τέλος για τους τρεις 
παίρνουμε το τρίτο διάνυσμα:
Απάντηση: , Οπου
Όσοι επιθυμούν να αποφύγουν τις κλασματικές τιμές μπορούν να εξετάσουν τα τρίδυμα 
και λάβετε μια απάντηση σε ισοδύναμη μορφή:
Μιλώντας για κλάσματα. Ας δούμε τον πίνακα που προκύπτει στο πρόβλημα 
και ας αναρωτηθούμε: είναι δυνατόν να απλοποιηθεί η περαιτέρω λύση; Άλλωστε, εδώ εκφράσαμε πρώτα τη βασική μεταβλητή μέσω κλασμάτων, μετά μέσω κλασμάτων τη βασική μεταβλητή και, πρέπει να πω, αυτή η διαδικασία δεν ήταν η πιο απλή και όχι η πιο ευχάριστη.
Δεύτερη λύση:
Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε επιλέξτε άλλες μεταβλητές βάσης. Ας δούμε τον πίνακα και ας παρατηρήσουμε δύο στην τρίτη στήλη. Γιατί λοιπόν να μην έχουμε ένα μηδέν στην κορυφή; Ας κάνουμε έναν ακόμη βασικό μετασχηματισμό: