Το πρώτο αξιοσημείωτο όριο ονομάζεται την παρακάτω ισότητα:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση)

Εφόσον για $\alpha\to(0)$ έχουμε $\sin\alpha\to(0)$, λένε ότι το πρώτο αξιοσημείωτο όριο αποκαλύπτει μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Γενικά, στον τύπο (1), αντί για τη μεταβλητή $\alpha$, οποιαδήποτε έκφραση μπορεί να τοποθετηθεί κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή, αρκεί να πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

1. Οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή τείνουν ταυτόχρονα στο μηδέν, δηλ. υπάρχει αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$.
2. Οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό και στον παρονομαστή είναι ίδιες.

Συχνά χρησιμοποιούνται επίσης συμπεράσματα από το πρώτο αξιοσημείωτο όριο:

\αρχή(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(εξίσωση) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(εξίσωση) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (εξίσωση)

Έντεκα παραδείγματα επιλύονται σε αυτήν τη σελίδα. Το Παράδειγμα Νο. 1 είναι αφιερωμένο στην απόδειξη των τύπων (2)-(4). Τα παραδείγματα Νο. 2, Νο. 3, Νο. 4 και Νο. 5 περιέχουν λύσεις με λεπτομερή σχόλια. Τα Παραδείγματα Νο. 6-10 περιέχουν λύσεις χωρίς ουσιαστικά σχόλια, επειδή δόθηκαν λεπτομερείς εξηγήσεις σε προηγούμενα παραδείγματα. Η λύση χρησιμοποιεί μερικά τριγωνομετρικούς τύπουςπου μπορεί να βρεθεί.

Σημειώνω ότι η παρουσία τριγωνομετρικές συναρτήσειςσε συνδυασμό με την αβεβαιότητα $\frac (0) (0)$ δεν σημαίνει ακόμη την υποχρεωτική εφαρμογή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Μερικές φορές απλά πράγματα αρκούν τριγωνομετρικοί μετασχηματισμοί, - για παράδειγμα, βλ.

Παράδειγμα Νο. 1

Αποδείξτε ότι $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

α) Εφόσον $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, τότε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Εφόσον $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ και $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Οτι:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

β) Ας κάνουμε την αλλαγή $\alpha=\sin(y)$. Αφού $\sin(0)=0$, τότε από τη συνθήκη $\alpha\to(0)$ έχουμε $y\to(0)$. Επιπλέον, υπάρχει μια γειτονιά του μηδενός στην οποία $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, άρα:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Η ισότητα $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ έχει αποδειχθεί.

γ) Ας κάνουμε την αντικατάσταση $\alpha=\tg(y)$. Εφόσον $\tg(0)=0$, τότε οι συνθήκες $\alpha\to(0)$ και $y\to(0)$ είναι ισοδύναμες. Επιπλέον, υπάρχει μια γειτονιά του μηδενός στην οποία $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, επομένως, με βάση τα αποτελέσματα του σημείου α), θα έχουμε:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Η ισότητα $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ έχει αποδειχθεί.

Οι ισότητες α), β), γ) χρησιμοποιούνται συχνά μαζί με το πρώτο αξιοσημείωτο όριο.

Παράδειγμα Νο. 2

Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.

Αφού $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ και $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, π.χ. και ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος τείνουν ταυτόχρονα στο μηδέν, τότε εδώ έχουμε να κάνουμε με μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$, δηλ. Έγινε. Επιπλέον, είναι σαφές ότι οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή συμπίπτουν (δηλαδή, και ικανοποιείται):

Επομένως, πληρούνται και οι δύο προϋποθέσεις που αναφέρονται στην αρχή της σελίδας. Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος είναι εφαρμόσιμος, δηλ. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Απάντηση: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Εφόσον $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ και $\lim_(x\to(0))x=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac (0 )(0)$, δηλ. Έγινε. Ωστόσο, οι εκφράσεις κάτω από το ημιτονικό πρόσημο και στον παρονομαστή δεν συμπίπτουν. Εδώ πρέπει να προσαρμόσετε την έκφραση στον παρονομαστή σε το απαιτούμενο έντυπο. Χρειαζόμαστε η έκφραση $9x$ να είναι στον παρονομαστή, τότε θα γίνει αληθής. Ουσιαστικά, μας λείπει ένας παράγοντας 9$ στον παρονομαστή, που δεν είναι και τόσο δύσκολο να εισαχθεί—απλώς πολλαπλασιάστε την έκφραση στον παρονομαστή επί 9$. Φυσικά, για να αντισταθμίσετε τον πολλαπλασιασμό με 9$, θα πρέπει να διαιρέσετε αμέσως με 9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Τώρα οι εκφράσεις στον παρονομαστή και κάτω από το ημιτονικό σύμβολο συμπίπτουν. Και οι δύο προϋποθέσεις για το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ικανοποιούνται. Επομένως, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Και αυτό σημαίνει ότι:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Παράδειγμα αρ. 4

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ και $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, εδώ έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της φόρμας $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, η μορφή του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου παραβιάζεται. Ένας αριθμητής που περιέχει $\sin(5x)$ απαιτεί παρονομαστή $5x$. Σε αυτήν την περίπτωση, ο ευκολότερος τρόπος είναι να διαιρέσετε τον αριθμητή με $5x$ και να πολλαπλασιάσετε αμέσως με $5x$. Επιπλέον, θα εκτελέσουμε μια παρόμοια πράξη με τον παρονομαστή, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας το $\tg(8x)$ με το $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Μειώνοντας κατά $x$ και λαμβάνοντας τη σταθερά $\frac(5)(8)$ εκτός του ορίου, παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Σημειώστε ότι το $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ικανοποιεί πλήρως τις απαιτήσεις για το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Για να βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Παράδειγμα αρ. 5

Βρείτε $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (θυμηθείτε ότι $\cos(0)=1$) και $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, για να εφαρμόσετε το πρώτο αξιοσημείωτο όριο, θα πρέπει να απαλλαγείτε από το συνημίτονο στον αριθμητή, προχωρώντας στα ημίτονο (για να εφαρμόσετε στη συνέχεια τον τύπο) ή τις εφαπτομένες (για να εφαρμόσετε στη συνέχεια τον τύπο). Αυτό μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Ας επιστρέψουμε στο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ είναι ήδη κοντά στη μορφή που απαιτείται για το πρώτο αξιοσημείωτο όριο. Ας δουλέψουμε λίγο με το κλάσμα $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, προσαρμόζοντάς το στο πρώτο αξιοσημείωτο όριο (σημειώστε ότι οι εκφράσεις στον αριθμητή και κάτω από το ημίτονο πρέπει να ταιριάζουν):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Ας επιστρέψουμε στο επίμαχο όριο:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Παράδειγμα αρ. 6

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Αφού $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ και $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, τότε έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Ας το αποκαλύψουμε με τη βοήθεια του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου. Για να γίνει αυτό, ας περάσουμε από συνημίτονα σε ημίτονο. Αφού $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, τότε:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Περνώντας στα ημιτόνια στο δεδομένο όριο, θα έχουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\αριστερά(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Παράδειγμα αρ. 7

Υπολογίστε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ με την επιφύλαξη $\alpha\neq \ beta$.

Λεπτομερείς εξηγήσεις δόθηκαν νωρίτερα, αλλά εδώ απλά σημειώνουμε ότι και πάλι υπάρχει αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Ας περάσουμε από συνημίτονα σε ημίτονο χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\δεξιά| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ άλφα^2)(2)$.

Παράδειγμα αρ. 8

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Επειδή $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (θυμηθείτε ότι $\sin(0)=\tg(0)=0$) και $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, τότε εδώ έχουμε να κάνουμε με αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ας το αναλύσουμε ως εξής:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Παράδειγμα Νο. 9

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Αφού $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ και $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, τότε υπάρχει αβεβαιότητα για τη μορφή $\frac(0)(0)$. Πριν προχωρήσετε στην επέκτασή της, είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (σημειώστε ότι στους τύπους η μεταβλητή $\alpha \σε 0$). Ο ευκολότερος τρόπος είναι να εισαγάγετε τη μεταβλητή $t=x-3$. Ωστόσο, για λόγους ευκολίας περαιτέρω μετασχηματισμών (αυτό το όφελος μπορεί να φανεί στην πορεία της λύσης παρακάτω), αξίζει να κάνετε την ακόλουθη αντικατάσταση: $t=\frac(x-3)(2)$. Σημειώνω ότι και οι δύο αντικαταστάσεις ισχύουν σε αυτήν την περίπτωση, απλώς η δεύτερη αντικατάσταση θα σας επιτρέψει να εργάζεστε λιγότερο με κλάσματα. Από $x\to(3)$, τότε $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\αριστερά|\frac (0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\begin(ευθυγραμμισμένη)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(στοιχισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ προς(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Απάντηση: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Παράδειγμα Νο. 10

Βρείτε το όριο $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Για άλλη μια φορά έχουμε να κάνουμε με την αβεβαιότητα $\frac(0)(0)$. Πριν προχωρήσετε στην επέκτασή της, είναι βολικό να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (σημειώστε ότι στους τύπους η μεταβλητή είναι $\alpha\to(0)$). Ο ευκολότερος τρόπος είναι να εισαγάγετε τη μεταβλητή $t=\frac(\pi)(2)-x$. Αφού $x\to\frac(\pi)(2)$, τότε $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\αριστερά|\frac(0)(0)\δεξιά| =\αριστερά|\αρχή(ευθυγραμμισμένη)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(ευθυγραμμισμένη)\δεξιά| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Παράδειγμα Νο. 11

Βρείτε τα όρια $\lim_(x\to\frac(\pi)(2)\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2 \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Σε αυτή την περίπτωση δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Λάβετε υπόψη ότι τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο όριο περιέχουν μόνο τριγωνομετρικές συναρτήσεις και αριθμούς. Συχνά σε παραδείγματα αυτού του είδους είναι δυνατό να απλοποιηθεί η έκφραση που βρίσκεται κάτω από το σύμβολο ορίου. Επιπλέον, μετά την προαναφερθείσα απλοποίηση και μείωση κάποιων παραγόντων, η αβεβαιότητα εξαφανίζεται. Έδωσα αυτό το παράδειγμα για έναν μόνο σκοπό: να δείξω ότι η παρουσία τριγωνομετρικών συναρτήσεων κάτω από το πρόσημο ορίου δεν σημαίνει απαραίτητα τη χρήση του πρώτου αξιοσημείωτου ορίου.

Επειδή $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (θυμηθείτε ότι $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) και $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (να σας υπενθυμίσω ότι $\cos\frac(\pi)(2)=0$), τότε έχουμε που αντιμετωπίζει την αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Για να αποκαλυφθεί η αβεβαιότητα, αρκεί να λάβουμε υπόψη ότι $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Μια παρόμοια λύση υπάρχει στο βιβλίο λύσεων του Demidovich (αρ. 475). Όσον αφορά το δεύτερο όριο, όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα αυτής της ενότητας, έχουμε μια αβεβαιότητα της μορφής $\frac(0)(0)$. Γιατί προκύπτει; Προκύπτει επειδή $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ και $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Χρησιμοποιούμε αυτές τις τιμές για να μετατρέψουμε τις εκφράσεις στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Στόχος των ενεργειών μας είναι να γράψουμε το άθροισμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή ως γινόμενο. Παρεμπιπτόντως, συχνά σε έναν παρόμοιο τύπο είναι βολικό να αλλάζετε μια μεταβλητή, κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε η νέα μεταβλητή να τείνει στο μηδέν (δείτε, για παράδειγμα, παραδείγματα Νο. 9 ή Νο. 10 σε αυτήν τη σελίδα). Ωστόσο, σε σε αυτό το παράδειγμαΔεν έχει νόημα να το αντικαταστήσετε, αν και εάν το επιθυμείτε, η αντικατάσταση της μεταβλητής $t=x-\frac(2\pi)(3)$ δεν είναι δύσκολη στην υλοποίηση.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Όπως καταλαβαίνετε, δεν χρειάστηκε να εφαρμόσουμε το πρώτο υπέροχο όριο. Φυσικά, μπορείτε να το κάνετε αυτό αν θέλετε (βλ. σημείωση παρακάτω), αλλά δεν είναι απαραίτητο.

Ποια είναι η λύση χρησιμοποιώντας το πρώτο αξιοσημείωτο όριο; εμφάνιση απόκρυψη

Χρησιμοποιώντας το πρώτο αξιοσημείωτο όριο παίρνουμε:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ δεξιά))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Απάντηση: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Για όσους θέλουν να μάθουν πώς να βρίσκουν όρια, σε αυτό το άρθρο θα σας πούμε γι 'αυτό. Δεν θα εμβαθύνουμε στη θεωρία· οι δάσκαλοι τη δίνουν συνήθως στις διαλέξεις. Επομένως, η «βαρετή θεωρία» πρέπει να σημειωθεί στα σημειωματάριά σας. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, τότε μπορείτε να διαβάσετε σχολικά βιβλία που έχετε δανειστεί από τη βιβλιοθήκη. εκπαιδευτικό ίδρυμαή σε άλλους πόρους του Διαδικτύου.

Έτσι, η έννοια του ορίου είναι αρκετά σημαντική στη μελέτη των ανώτερων μαθηματικών, ειδικά όταν συναντάτε ολοκληρωτικό λογισμό και κατανοείτε τη σύνδεση μεταξύ ορίου και ολοκληρώματος. Στο τρέχον υλικό θα εξετάσουμε απλά παραδείγματα, καθώς και τρόπους επίλυσής τους.

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε α) $ \lim_(x \έως 0) \frac(1)(x) $; β)$ \lim_(x \έως \infty) \frac(1)(x) $

Λύση

α) $$ \lim \limits_(x \έως 0) \frac(1)(x) = \infty $$ β)$$ \lim_(x \έως \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Οι άνθρωποι συχνά μας στέλνουν αυτά τα όρια ζητώντας να βοηθήσουμε στην επίλυσή τους. Αποφασίσαμε να τα επισημάνουμε ως ξεχωριστό παράδειγμα και να εξηγήσουμε ότι αυτά τα όρια πρέπει απλώς να τα θυμόμαστε, κατά κανόνα. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. θα παρέχουμε αναλυτική λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα!

Απάντηση

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Τι να κάνετε με την αβεβαιότητα της φόρμας: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Παράδειγμα 3

Επίλυση $ \lim \limits_(x \έως -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Λύση

Όπως πάντα, ξεκινάμε αντικαθιστώντας την τιμή $ x $ στην έκφραση κάτω από το σύμβολο ορίου. $$ \lim \limits_(x \έως -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Τι ακολουθεί τώρα; Τι πρέπει να γίνει τελικά; Εφόσον πρόκειται για αβεβαιότητα, δεν είναι ακόμα απάντηση και συνεχίζουμε τον υπολογισμό. Εφόσον έχουμε ένα πολυώνυμο στους αριθμητές, θα το παραγοντοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι γνωστός σε όλους από το σχολείο $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Θυμάσαι? Εξαιρετική! Τώρα προχωρήστε και χρησιμοποιήστε το με το τραγούδι :) Βρίσκουμε ότι ο αριθμητής $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Συνεχίζουμε να λύνουμε λαμβάνοντας υπόψη τον παραπάνω μετασχηματισμό: $$ \lim \limits_(x \έως -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \έως -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \έως -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Απάντηση

$$ \lim \limits_(x \έως -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Ας ωθήσουμε το όριο στα δύο τελευταία παραδείγματα στο άπειρο και ας εξετάσουμε την αβεβαιότητα: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Λύση

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Τι να κάνω? Τι πρέπει να κάνω? Μην πανικοβάλλεστε, γιατί το αδύνατο είναι δυνατό. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε το x και στον αριθμητή και στον παρονομαστή και στη συνέχεια να το μειώσετε. Μετά από αυτό, προσπαθήστε να υπολογίσετε το όριο. Ας δοκιμάσουμε... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Χρησιμοποιώντας τον ορισμό από το Παράδειγμα 2 και αντικαθιστώντας το άπειρο με το x, παίρνουμε: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Απάντηση

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Αλγόριθμος υπολογισμού ορίων

Ας συνοψίσουμε λοιπόν εν συντομία τα παραδείγματα και ας δημιουργήσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση των ορίων:

1. Αντικαταστήστε το σημείο x στην παράσταση που ακολουθεί το οριακό πρόσημο. Εάν ληφθεί ένας συγκεκριμένος αριθμός ή άπειρο, τότε το όριο λύνεται πλήρως. Διαφορετικά, έχουμε αβεβαιότητα: «μηδέν διαιρούμενο με μηδέν» ή «άπειρο διαιρούμενο με άπειρο» και προχωράμε στα επόμενα βήματα των οδηγιών.
2. Για να εξαλείψετε την αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν», πρέπει να συνυπολογίσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Μειώστε τα παρόμοια. Αντικαταστήστε το σημείο x στην παράσταση κάτω από το οριακό πρόσημο.
3. Εάν η αβεβαιότητα είναι «άπειρο διαιρούμενο με άπειρο», τότε αφαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή x στον μέγιστο βαθμό. Κοντύνουμε τα Χ. Αντικαθιστούμε τις τιμές του x από κάτω από το όριο στην υπόλοιπη παράσταση.

Σε αυτό το άρθρο, μάθατε τα βασικά για την επίλυση ορίων, που χρησιμοποιούνται συχνά στο μάθημα Λογισμός. Φυσικά, αυτά δεν είναι όλα τα είδη προβλημάτων που προσφέρονται από τους εξεταστές, αλλά μόνο τα πιο απλά όρια. Θα μιλήσουμε για άλλους τύπους εργασιών σε μελλοντικά άρθρα, αλλά πρώτα πρέπει να μάθετε αυτό το μάθημα για να προχωρήσετε. Ας συζητήσουμε τι πρέπει να κάνουμε αν υπάρχουν ρίζες, μοίρες, να μελετήσουμε απειροελάχιστες ισοδύναμες συναρτήσεις, αξιοσημείωτα όρια, τον κανόνα του L'Hopital.

Εάν δεν μπορείτε να καταλάβετε μόνοι σας τα όρια, μην πανικοβληθείτε. Είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να βοηθήσουμε!

Όριο λειτουργίας- αριθμός έναθα είναι το όριο κάποιας τιμής μεταβλητής εάν, κατά τη διαδικασία αλλαγής της, αυτό μεταβλητή ποσότηταπλησιάζει επ' αόριστον ένα.

Ή με άλλα λόγια, ο αριθμός ΕΝΑείναι το όριο της συνάρτησης y = f(x)στο σημείο x 0, εάν για οποιαδήποτε ακολουθία σημείων από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης , δεν είναι ίση x 0, και το οποίο συγκλίνει στο σημείο x 0 (lim x n = x0), η ακολουθία των αντίστοιχων τιμών συνάρτησης συγκλίνει στον αριθμό ΕΝΑ.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της οποίας το όριο, δεδομένου ενός ορίσματος που τείνει στο άπειρο, είναι ίσο με μεγάλο:

Εννοια ΕΝΑείναι όριο ( οριακή τιμή) λειτουργίες f(x)στο σημείο x 0σε περίπτωση οποιασδήποτε ακολουθίας σημείων , που συγκλίνει σε x 0, αλλά που δεν περιέχει x 0ως ένα από τα στοιχεία του (δηλαδή στη διάτρητη περιοχή x 0), ακολουθία τιμών συνάρτησης συγκλίνει σε ΕΝΑ.

Όριο συνάρτησης Cauchy.

Εννοια ΕΝΑθα είναι όριο της συνάρτησης f(x)στο σημείο x 0εάν για οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό που λαμβάνεται εκ των προτέρων ε θα βρεθεί ο αντίστοιχος μη αρνητικός αριθμός δ = δ(ε) έτσι ώστε για κάθε επιχείρημα Χ, ικανοποιώντας την προϋπόθεση 0 < | x - x0 | < δ , η ανισότητα θα ικανοποιηθεί | f(x)A |< ε .

Θα είναι πολύ απλό αν κατανοήσετε την ουσία του ορίου και τους βασικούς κανόνες για την εύρεση του. Ποιο είναι το όριο της συνάρτησης στ (Χ)στο Χπροσπαθώντας για έναισοδυναμεί ΕΝΑ, γράφεται ως εξής:

Επιπλέον, η τιμή στην οποία τείνει η μεταβλητή Χ, μπορεί να είναι όχι μόνο ένας αριθμός, αλλά και άπειρο (∞), μερικές φορές +∞ ή -∞, ή μπορεί να μην υπάρχει καθόλου όριο.

Για να καταλάβετε πώς βρείτε τα όρια μιας συνάρτησης, είναι καλύτερο να δείτε παραδείγματα λύσεων.

Είναι απαραίτητο να βρεθούν τα όρια της συνάρτησης στ (x) = 1/Χστο:

Χ→ 2, Χ→ 0, Χ→ ∞.

Ας βρούμε μια λύση στο πρώτο όριο. Για να γίνει αυτό, μπορείτε απλά να αντικαταστήσετε Χτον αριθμό στον οποίο τείνει, δηλ. 2, παίρνουμε:

Ας βρούμε το δεύτερο όριο της συνάρτησης. Εδώ αντικαταστήστε το καθαρό 0 Χείναι αδύνατο, γιατί Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Αλλά μπορούμε να πάρουμε τιμές κοντά στο μηδέν, για παράδειγμα, 0,01. 0,001; 0,0001; 0,00001 και ούτω καθεξής, και την τιμή της συνάρτησης στ (Χ)θα αυξηθεί: 100; 1000; 10000; 100.000 και ούτω καθεξής. Έτσι, μπορεί να γίνει κατανοητό ότι όταν Χ→ 0 η τιμή της συνάρτησης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο ορίου θα αυξάνεται χωρίς όριο, δηλ. προσπαθούν προς το άπειρο. Που σημαίνει:

Σχετικά με το τρίτο όριο. Η ίδια κατάσταση όπως στην προηγούμενη περίπτωση, είναι αδύνατο να αντικατασταθεί ∞ στην πιο αγνή του μορφή. Πρέπει να εξετάσουμε την περίπτωση της απεριόριστης αύξησης Χ. Αντικαθιστούμε 1000 ένα προς ένα. 10000; 100000 και ούτω καθεξής, έχουμε αυτή την τιμή της συνάρτησης στ (x) = 1/Χθα μειωθεί: 0,001; 0,0001; 0,00001; και ούτω καθεξής, τείνει στο μηδέν. Να γιατί:

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης

Ξεκινώντας να λύνουμε το δεύτερο παράδειγμα, βλέπουμε αβεβαιότητα. Από εδώ βρίσκουμε τον υψηλότερο βαθμό του αριθμητή και του παρονομαστή - αυτός είναι x 3, το βγάζουμε από αγκύλες στον αριθμητή και στον παρονομαστή και μετά το μειώνουμε κατά:

Απάντηση

Το πρώτο βήμα μέσα βρίσκοντας αυτό το όριο, αντικαταστήστε την τιμή 1 Χ, με αποτέλεσμα την αβεβαιότητα. Για να το λύσουμε, ας παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και το κάνουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εύρεσης των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Άρα ο αριθμητής θα είναι:

Απάντηση

Αυτός είναι ο ορισμός του συγκεκριμένο νόημαή μια συγκεκριμένη περιοχή όπου πέφτει μια συνάρτηση που περιορίζεται από ένα όριο.

Για να λύσετε τα όρια, ακολουθήστε τους κανόνες:

Έχοντας καταλάβει την ουσία και το κύριο κανόνες για την επίλυση του ορίου, Θα πάρεις βασική ιδέαγια τον τρόπο επίλυσής τους.

Τα όρια δίνουν σε όλους τους μαθητές των μαθηματικών πολλά προβλήματα. Για να λύσετε ένα όριο, μερικές φορές πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλά κόλπα και να επιλέξετε από μια ποικιλία μεθόδων λύσης ακριβώς αυτή που είναι κατάλληλη για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Σε αυτό το άρθρο δεν θα σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε τα όρια των δυνατοτήτων σας ή να κατανοήσετε τα όρια ελέγχου, αλλά θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: πώς να κατανοήσετε τα όρια στα ανώτερα μαθηματικά; Η κατανόηση έρχεται με την εμπειρία, οπότε ταυτόχρονα θα δώσουμε αρκετά λεπτομερή παραδείγματα επίλυσης ορίων με επεξηγήσεις.

Η έννοια του ορίου στα μαθηματικά

Το πρώτο ερώτημα είναι: ποιο είναι αυτό το όριο και τι όριο; Μπορούμε να μιλήσουμε για τα όρια των αριθμητικών ακολουθιών και συναρτήσεων. Μας ενδιαφέρει η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης, αφού αυτό συναντούν συχνότερα οι μαθητές. Αλλά πρώτα - το περισσότερο γενικός ορισμόςόριο:

Ας πούμε ότι υπάρχει κάποια τιμή μεταβλητής. Εάν αυτή η τιμή στη διαδικασία αλλαγής πλησιάζει απεριόριστα έναν ορισμένο αριθμό ένα , Οτι ένα – το όριο αυτής της τιμής.

Για μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα f(x)=y ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται όριο ΕΝΑ , στο οποίο η συνάρτηση τείνει όταν Χ , τείνει σε ένα ορισμένο σημείο ΕΝΑ . Τελεία ΕΝΑ ανήκει στο διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.

Ακούγεται δυσκίνητο, αλλά γράφεται πολύ απλά:

Λιμ- από τα Αγγλικά όριο- όριο.

Υπάρχει και μια γεωμετρική εξήγηση για τον καθορισμό του ορίου, αλλά εδώ δεν θα εμβαθύνουμε στη θεωρία, αφού μας ενδιαφέρει περισσότερο η πρακτική παρά η θεωρητική πλευρά του ζητήματος. Όταν το λέμε αυτό Χ τείνει σε κάποια τιμή, αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή δεν παίρνει την τιμή ενός αριθμού, αλλά τον πλησιάζει απείρως κοντά.

Ας δώσουμε συγκεκριμένο παράδειγμα. Το καθήκον είναι να βρείτε το όριο.

Για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα, αντικαθιστούμε την τιμή x=3 σε μια συνάρτηση. Παίρνουμε:

Παρεμπιπτόντως, αν σας ενδιαφέρει, διαβάστε ένα ξεχωριστό άρθρο για αυτό το θέμα.

Σε παραδείγματα Χ μπορεί να τείνει σε οποιαδήποτε τιμή. Μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός ή άπειρο. Εδώ είναι ένα παράδειγμα όταν Χ τείνει στο άπειρο:

Είναι διαισθητικά σαφές τι είναι τι μεγαλύτερο αριθμόστον παρονομαστή, τόσο μικρότερη είναι η τιμή που θα πάρει η συνάρτηση. Έτσι, με απεριόριστη ανάπτυξη Χ έννοια 1/x θα μειωθεί και θα πλησιάσει το μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, για να λύσετε το όριο, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε την τιμή που θέλετε στη συνάρτηση Χ . Ωστόσο, αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση. Συχνά η εύρεση του ορίου δεν είναι τόσο προφανής. Εντός των ορίων υπάρχουν αβεβαιότητες του τύπου 0/0 ή άπειρο/άπειρο . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Καταφύγετε σε κόλπα!

Αβεβαιότητες μέσα

Αβεβαιότητα της μορφής άπειρο/άπειρο

Ας υπάρχει ένα όριο:

Αν προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το άπειρο στη συνάρτηση, θα πάρουμε άπειρο και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Γενικά, αξίζει να πούμε ότι υπάρχει ένα ορισμένο στοιχείο τέχνης στην επίλυση τέτοιων αβεβαιοτήτων: πρέπει να παρατηρήσετε πώς μπορείτε να μεταμορφώσετε τη συνάρτηση με τέτοιο τρόπο ώστε η αβεβαιότητα να εξαφανιστεί. Στην περίπτωσή μας, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χ στο ανώτερο πτυχίο. Τι θα συμβεί?

Από το παράδειγμα που συζητήθηκε ήδη παραπάνω, γνωρίζουμε ότι οι όροι που περιέχουν x στον παρονομαστή θα τείνουν στο μηδέν. Τότε η λύση στο όριο είναι:

Για την επίλυση αβεβαιοτήτων τύπου άπειρο/άπειροδιαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χστον υψηλότερο βαθμό.

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%.

Ένας άλλος τύπος αβεβαιότητας: 0/0

Όπως πάντα, αντικατάσταση τιμών στη συνάρτηση x=-1 δίνει 0 στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Κοιτάξτε λίγο πιο προσεκτικά και θα το παρατηρήσετε στον αριθμητή μας τετραγωνική εξίσωση. Ας βρούμε τις ρίζες και ας γράψουμε:

Ας μειώσουμε και ας πάρουμε:

Έτσι, εάν αντιμετωπίζετε αβεβαιότητα τύπου 0/0 – συνυπολογίστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Για να σας διευκολύνουμε να λύσετε παραδείγματα, παρουσιάζουμε έναν πίνακα με τα όρια ορισμένων συναρτήσεων:

Ο κανόνας του L'Hopital εντός

Ένας άλλος ισχυρός τρόπος για την εξάλειψη και των δύο τύπων αβεβαιότητας. Ποια είναι η ουσία της μεθόδου;

Εάν υπάρχει αβεβαιότητα στο όριο, πάρτε την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή μέχρι να εξαφανιστεί η αβεβαιότητα.

Ο κανόνας του L'Hopital μοιάζει με αυτό:

Σημαντικό σημείο : πρέπει να υπάρχει το όριο στο οποίο βρίσκονται οι παράγωγοι αριθμητή και παρονομαστή αντί για αριθμητή και παρονομαστή.

Και τώρα - ένα πραγματικό παράδειγμα:

Υπάρχει τυπική αβεβαιότητα 0/0 . Ας πάρουμε τις παράγωγες του αριθμητή και του παρονομαστή:

Voila, η αβεβαιότητα λύνεται γρήγορα και κομψά.

Ελπίζουμε ότι θα μπορέσετε να εφαρμόσετε χρήσιμα αυτές τις πληροφορίες στην πράξη και να βρείτε την απάντηση στην ερώτηση «πώς να λύσετε όρια στα ανώτερα μαθηματικά». Εάν πρέπει να υπολογίσετε το όριο μιας ακολουθίας ή το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και δεν υπάρχει απολύτως χρόνος για αυτήν την εργασία, επικοινωνήστε με μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών για μια γρήγορη και λεπτομερή λύση.

Θεωρία ορίων- ένα από τα τμήματα μαθηματική ανάλυση, που κάποιοι μπορούν να κατακτήσουν, άλλοι δυσκολεύονται να υπολογίσουν τα όρια. Το ζήτημα της εύρεσης ορίων είναι αρκετά γενικό, αφού υπάρχουν δεκάδες τεχνικές όρια λύσης διάφοροι τύποι. Τα ίδια όρια μπορούν να βρεθούν τόσο χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital όσο και χωρίς αυτόν. Συμβαίνει ότι ο προγραμματισμός μιας σειράς απειροελάχιστων συναρτήσεων σας επιτρέπει να αποκτήσετε γρήγορα επιθυμητό αποτέλεσμα. Υπάρχει ένα σύνολο τεχνικών και κόλπα που σας επιτρέπουν να βρείτε το όριο μιας συνάρτησης οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε τους κύριους τύπους ορίων που συναντώνται συχνότερα στην πράξη. Δεν θα δώσουμε τη θεωρία και τον ορισμό του ορίου εδώ· υπάρχουν πολλοί πόροι στο Διαδίκτυο όπου αυτό συζητείται. Επομένως, ας πάμε σε πρακτικούς υπολογισμούς, εδώ είναι το "Δεν ξέρω! Δεν μπορώ! Δεν μας διδάχτηκαν!"

Υπολογισμός ορίων με τη μέθοδο αντικατάστασης

Παράδειγμα 1. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Λύση: Παραδείγματα αυτού του είδους μπορούν να υπολογιστούν θεωρητικά χρησιμοποιώντας τη συνήθη αντικατάσταση

Το όριο είναι 18/11.
Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο ή σοφό σε τέτοια όρια - αντικαταστήσαμε την τιμή, την υπολογίσαμε και καταγράψαμε το όριο ως απάντηση. Ωστόσο, με βάση τέτοια όρια, όλοι διδάσκονται ότι πρώτα απ 'όλα πρέπει να αντικαταστήσουν την τιμή στη συνάρτηση. Επιπλέον, τα όρια γίνονται πιο περίπλοκα, εισάγοντας την έννοια του άπειρου, της αβεβαιότητας και παρόμοια.

Ένα όριο με αβεβαιότητα όπως το άπειρο διαιρούμενο με το άπειρο. Τεχνικές αποκάλυψης αβεβαιότητας

Παράδειγμα 2. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=άπειρο).
Λύση: Δίνεται ένα όριο της μορφής πολυωνύμου διαιρούμενο με ένα πολυώνυμο και η μεταβλητή τείνει στο άπειρο

Η απλή αντικατάσταση της τιμής στην οποία πρέπει να βρεθεί η μεταβλητή για να βρεθούν τα όρια δεν θα βοηθήσει, παίρνουμε μια αβεβαιότητα της μορφής άπειρο διαιρούμενο με το άπειρο.
Σύμφωνα με τη θεωρία των ορίων, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του ορίου είναι να βρεθεί η μεγαλύτερη δύναμη του «x» στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. Στη συνέχεια, ο αριθμητής και ο παρονομαστής απλοποιούνται σε αυτό και βρίσκεται το όριο της συνάρτησης

Δεδομένου ότι η τιμή τείνει στο μηδέν όταν η μεταβλητή πλησιάζει το άπειρο, παραμελούνται ή εγγράφονται στην τελική έκφραση με τη μορφή μηδενικών

Αμέσως από την πρακτική, μπορείτε να βγάλετε δύο συμπεράσματα που είναι μια υπόδειξη στους υπολογισμούς. Αν μια μεταβλητή τείνει στο άπειρο και ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον βαθμό του παρονομαστή, τότε το όριο είναι ίσο με το άπειρο. Διαφορετικά, εάν το πολυώνυμο στον παρονομαστή είναι υψηλότερης τάξης από τον αριθμητή, το όριο είναι μηδέν.
Το όριο μπορεί να γραφτεί σε τύπους όπως αυτός:

Αν έχουμε συνάρτηση της μορφής ενός συνηθισμένου πεδίου χωρίς κλάσματα, τότε το όριό του είναι ίσο με το άπειρο

Ο επόμενος τύπος ορίων αφορά τη συμπεριφορά συναρτήσεων κοντά στο μηδέν.

Παράδειγμα 3. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Λύση: Δεν χρειάζεται να αφαιρέσετε τον κύριο παράγοντα του πολυωνύμου εδώ. Ακριβώς το αντίθετο, πρέπει να βρείτε τη μικρότερη ισχύ του αριθμητή και του παρονομαστή και να υπολογίσετε το όριο

Τιμή x^2; Τα x τείνουν στο μηδέν όταν η μεταβλητή τείνει στο μηδέν. Επομένως, παραμελούνται, οπότε παίρνουμε

ότι το όριο είναι 2,5.

Τώρα ξέρεις πώς να βρείτε το όριο μιας συνάρτησηςτης μορφής, διαιρέστε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο εάν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο ή στο 0. Αλλά αυτό είναι μόνο ένα μικρό και εύκολο μέρος των παραδειγμάτων. Από το παρακάτω υλικό θα μάθετε πώς να αποκαλύψετε αβεβαιότητες στα όρια μιας συνάρτησης.

Όριο με αβεβαιότητα τύπου 0/0 και μέθοδοι υπολογισμού του

Όλοι θυμούνται αμέσως τον κανόνα ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Ωστόσο, η θεωρία των ορίων σε αυτό το πλαίσιο συνεπάγεται απειροελάχιστες συναρτήσεις.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα για σαφήνεια.

Παράδειγμα 4. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Λύση: Όταν αντικαταστήσουμε την τιμή της μεταβλητής x = -1 με τον παρονομαστή, παίρνουμε μηδέν και παίρνουμε το ίδιο πράγμα στον αριθμητή. Έχουμε λοιπόν αβεβαιότητα της μορφής 0/0.
Η αντιμετώπιση μιας τέτοιας αβεβαιότητας είναι απλή: πρέπει να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο, ή μάλλον, να επιλέξετε τον παράγοντα που μετατρέπει τη συνάρτηση σε μηδέν.

Μετά την επέκταση, το όριο της συνάρτησης μπορεί να γραφτεί ως

Αυτή είναι η όλη μέθοδος για τον υπολογισμό του ορίου μιας συνάρτησης. Το ίδιο κάνουμε αν υπάρχει ένα όριο της μορφής πολυωνύμου διαιρούμενο με ένα πολυώνυμο.

Παράδειγμα 5. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Λύση: Η άμεση αντικατάσταση δείχνει
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
τι έχουμε αβεβαιότητα τύπου 0/0.
Ας διαιρέσουμε τα πολυώνυμα με τον παράγοντα που εισάγει την ιδιομορφία


Υπάρχουν δάσκαλοι που διδάσκουν ότι τα πολυώνυμα 2ης τάξης, δηλαδή του τύπου «τετραγωνιστικές εξισώσεις», πρέπει να λύνονται μέσω του διαχωριστικού. Αλλά η πραγματική πρακτική δείχνει ότι αυτό είναι μεγαλύτερο και πιο μπερδεμένο, επομένως απαλλαγείτε από τα χαρακτηριστικά εντός των ορίων σύμφωνα με τον καθορισμένο αλγόριθμο. Έτσι, γράφουμε τη συνάρτηση με τη μορφή απλών παραγόντων και την υπολογίζουμε στο όριο

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στον υπολογισμό τέτοιων ορίων. Μέχρι να μελετήσεις τα όρια, ξέρεις να διαιρείς πολυώνυμα, τουλάχιστον σύμφωνα με το πρόγραμμα θα έπρεπε να το έχεις ήδη περάσει.
Μεταξύ των εργασιών για αβεβαιότητα τύπου 0/0Υπάρχουν μερικά στα οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού. Αλλά αν δεν τα γνωρίζετε, τότε διαιρώντας ένα πολυώνυμο με ένα μονώνυμο μπορείτε να πάρετε τον επιθυμητό τύπο.

Παράδειγμα 6. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Λύση: Έχουμε αβεβαιότητα τύπου 0/0. Στον αριθμητή χρησιμοποιούμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού

και υπολογίστε το απαιτούμενο όριο

Μέθοδος για την αποκάλυψη της αβεβαιότητας πολλαπλασιάζοντας με το συζυγές της

Η μέθοδος εφαρμόζεται στα όρια στα οποία δημιουργείται αβεβαιότητα από παράλογες συναρτήσεις. Ο αριθμητής ή ο παρονομαστής γίνεται μηδέν στο σημείο υπολογισμού και δεν είναι γνωστό πώς να βρεθεί το όριο.

Παράδειγμα 7. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Λύση:Ας αναπαραστήσουμε τη μεταβλητή στον τύπο ορίου

Κατά την αντικατάσταση, λαμβάνουμε μια αβεβαιότητα τύπου 0/0.
Σύμφωνα με τη θεωρία των ορίων, ο τρόπος για να παρακάμψουμε αυτό το χαρακτηριστικό είναι να πολλαπλασιάσουμε την παράλογη έκφραση με το συζυγές της. Για να διασφαλιστεί ότι η έκφραση δεν αλλάζει, ο παρονομαστής πρέπει να διαιρεθεί με την ίδια τιμή

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοράς τετραγώνων, απλοποιούμε τον αριθμητή και υπολογίζουμε το όριο της συνάρτησης

Απλοποιούμε τους όρους που δημιουργούν την ιδιομορφία στο όριο και πραγματοποιούμε την αντικατάσταση

Παράδειγμα 8. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Λύση: Η άμεση αντικατάσταση δείχνει ότι το όριο έχει ιδιομορφία της μορφής 0/0.

Για να επεκταθούμε, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με το συζυγές του αριθμητή

Καταγράφουμε τη διαφορά των τετραγώνων

Απλοποιούμε τους όρους που εισάγουν την ιδιομορφία και βρίσκουμε το όριο της συνάρτησης

Παράδειγμα 9. Βρείτε το όριο μιας συνάρτησης
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Λύση: Αντικαταστήστε δύο στον τύπο

Παίρνουμε αβεβαιότητα 0/0.
Ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τη συζυγή έκφραση και στον αριθμητή πρέπει να λυθεί ή να συνυπολογιστεί η δευτεροβάθμια εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιομορφία. Εφόσον είναι γνωστό ότι το 2 είναι ρίζα, βρίσκουμε τη δεύτερη ρίζα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Έτσι, γράφουμε τον αριθμητή στη φόρμα

και αντικαταστήστε το στο όριο

Μειώνοντας τη διαφορά των τετραγώνων, απαλλαγούμε από τις ιδιομορφίες στον αριθμητή και στον παρονομαστή

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να απαλλαγείτε από τις ιδιομορφίες σε πολλά παραδείγματα και η εφαρμογή θα πρέπει να σημειώνεται όπου μια δεδομένη διαφορά ριζών μετατρέπεται σε μηδέν κατά την αντικατάσταση. Άλλοι τύποι ορίων αφορούν εκθετικές συναρτήσεις, απειροελάχιστες συναρτήσεις, λογάριθμοι, ειδικά όρια και άλλες τεχνικές. Αλλά μπορείτε να διαβάσετε σχετικά με αυτό στα άρθρα που αναφέρονται παρακάτω σχετικά με τα όρια.