Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τα κλάσματα δεν είναι πολύ ενοχλητικά στο γυμνάσιο. Προς το παρόν. Μέχρι να συναντήσετε δυνάμεις με λογικούς εκθέτες και λογάριθμους. Και εκεί... Πατάτε και πατάτε την αριθμομηχανή και εμφανίζει μια πλήρη εμφάνιση ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας βρούμε επιτέλους τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, ποια είναι τα είδη των κλασμάτων;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων.

1. Κοινά κλάσματα , Για παράδειγμα:

Μερικές φορές αντί για οριζόντια γραμμή βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Αν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση: « Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - βλέμμα ζζζζε!» Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Η παύλα είτε οριζόντια είτε κεκλιμένη σημαίνει διαίρεσηο επάνω αριθμός (αριθμητής) στο κάτω μέρος (παρονομαστής). Αυτό είναι όλο! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν είναι δυνατή η πλήρης διαίρεση, αυτό πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω καν για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν είναι πλήρως διαιρετό, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε την αντίθετη λειτουργία. Μετατρέψτε έναν ακέραιο αριθμό σε κλάσμα. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , Για παράδειγμα:

Σε αυτή τη φόρμα θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες «Β».

3. Μικτά νούμερα , Για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει να μεταφραστούν κοινά κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να μπορείτε να το κάνετε αυτό! Αλλιώς θα συναντήσεις τέτοιο νούμερο σε πρόβλημα και θα παγώσεις... Από το πουθενά. Αλλά θα θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, εάν ένα κλάσμα περιέχει όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα!

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Αρχικά, θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν αλλάζει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να συνεχίσετε να γράφετε μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα τα αντιμετωπίσουμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα είναι να καταλάβουμε ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για αναγωγικά κλάσματα. Θα φαινόταν σαν ένα στοιχειώδες πράγμα. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείς να κάνεις λάθος οπουδήποτε! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά μια κλασματική έκφραση με όλα τα είδη γραμμάτων.

Πώς να μειώσετε σωστά και γρήγορα τα κλάσματα χωρίς να κάνετε επιπλέον εργασία μπορείτε να διαβάσετε στην ειδική Ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει ό,τι είναι το ίδιο πάνω και κάτω! Εδώ κρύβεται τυπικό λάθος, ένα blooper, αν θέλετε.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτείτε εδώ, διαγράψτε το γράμμα "a" στην κορυφή και το "2" στο κάτω μέρος! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά χωρίσατε όλα αριθμητής και όλα ο παρονομαστής είναι «α». Εάν έχετε συνηθίσει απλώς να διαγράφετε, τότε βιαστικά μπορείτε να διαγράψετε το «α» στην έκφραση

και να το ξαναπάρεις

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά αναληθές. Γιατί εδώ όλαο αριθμητής στο "a" είναι ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια μείωση είναι, χμ... σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάσαι? Κατά τη μείωση, πρέπει να διαιρέσετε όλα αριθμητής και όλα παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Πώς μπορώ να συνεχίσω να δουλεύω μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είσαι πολύ τεμπέλης, και μείωσε το προσεκτικά κατά πέντε, και κατά άλλα πέντε, ακόμα και... ενώ κοντύνεται, εν ολίγοις. Ας πάρουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και αντίστροφα χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για την Ενιαία Κρατική Εξέταση, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από έναν τύπο σε άλλο.

ΜΕ δεκαδικάείναι απλό. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Αυτό είναι σημείο μηδέν είκοσι πέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Ολα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι μηδέν; Είναι εντάξει. Καταγράφουμε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία σημεία δεκαεπτά εκατοστά. Στον αριθμητή γράφουμε 317 και στον παρονομαστή 100. Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα όσα ειπώθηκαν, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά μερικοί άνθρωποι δεν μπορούν να κάνουν την αντίστροφη μετατροπή από συνηθισμένο σε δεκαδικό χωρίς αριθμομηχανή. Και είναι απαραίτητο! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!; Διαβάστε προσεκτικά και κατακτήστε αυτή τη διαδικασία.

Ποιο είναι το χαρακτηριστικό ενός δεκαδικού κλάσματος; Ο παρονομαστής της είναι Πάντακοστίζει 10, ή 100, ή 1000, ή 10000 κ.ο.κ. Εάν το κοινό σας κλάσμα έχει παρονομαστή σαν αυτόν, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Τι γίνεται αν η απάντηση στην εργασία στην ενότητα "Β" αποδειχτεί 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Ας θυμηθούμε κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Οτιδήποτε, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε λοιπόν αυτή την ιδιοκτησία προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); Στα 5 προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Θα συναντήσετε, για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16. Προσπαθήστε να υπολογίσετε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να κάνετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε με μια γωνία, σε ένα κομμάτι χαρτί, όπως δίδασκαν στο δημοτικό. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν και πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, δεν υπάρχει τρόπος να μετατραπεί το κλάσμα 1/3 σε καλό δεκαδικό. Και στην αριθμομηχανή και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 είναι ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Το ίδιο με 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Είναι πολλά από αυτά, αμετάφραστα. Αυτό μας φέρνει σε ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μπορεί να μετατραπεί κάθε κλάσμα σε δεκαδικό !

Με την ευκαιρία, αυτό χρήσιμες πληροφορίεςγια αυτοέλεγχο. Στην ενότητα "Β" πρέπει να σημειώσετε ένα δεκαδικό κλάσμα στην απάντησή σας. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάνατε ένα λάθος κάπου στην πορεία! Επιστρέψτε και ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, καταλάβαμε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Το μόνο που μένει είναι να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις? Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά ένας μαθητής της έκτης δημοτικού δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος... Θα πρέπει να το κάνετε μόνοι σας. Δεν είναι δύσκολο. Πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με ολόκληρο το μέρος και να προσθέσετε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής του κοινού κλάσματος. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι απλά. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι τρομοκρατηθήκατε βλέποντας τον αριθμό στο πρόβλημα:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, σκεφτόμαστε. Ολόκληρο το μέρος είναι 1. Μονάδα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. Πολλαπλασιάζουμε το 7 επί 1 (το ακέραιο μέρος) και προσθέτουμε το 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός κοινού κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Είναι ξεκάθαρο? Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε συνηθισμένα κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Αντίστροφη λειτουργία - χωρίς μετάφραση κατάλληλο κλάσμασε μικτό αριθμό - σπάνια απαιτείται στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν ναι... Και αν δεν είστε στο γυμνάσιο, μπορείτε να δείτε την ειδική ενότητα 555. Παρεμπιπτόντως, θα μάθετε επίσης για ακατάλληλα κλάσματα εκεί.

Λοιπόν, αυτό είναι πρακτικά όλο. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες Πως να τα μεταφέρουν από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Για τι Κάνε το? Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Αν στο παράδειγμα αναμειγνύονται τα συνηθισμένα κλάσματα, οι δεκαδικοί και οι μικτοί αριθμοί, μετατρέπουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Πάντα μπορεί να γίνει. Λοιπόν, αν λέει κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το μετράμε έτσι, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι όλα δεκαδικά κλάσματα, αλλά χμ... κάποιου είδους κακά, πηγαίνετε στα συνηθισμένα και δοκιμάστε το! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, θα πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Δεν είναι τόσο εύκολο αν δεν έχετε συνηθίσει να χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή! Όχι μόνο πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, πρέπει επίσης να σκεφτείτε πού να εισάγετε το κόμμα! Σίγουρα δεν θα λειτουργήσει στο μυαλό σας! Τι γίνεται αν προχωρήσουμε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Το μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά κατά 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται ακόμα! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Το τετραγωνίζουμε εύκολα (στο μυαλό μας!) και παίρνουμε 1/64. Ολα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Κοινοί, δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί Πάνταμπορεί να μετατραπεί σε συνηθισμένα κλάσματα. Αντίστροφη μεταφορά δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για την εργασία με μια εργασία εξαρτάται από την ίδια την εργασία. Υπό την παρουσία του ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα σε μια εργασία, το πιο αξιόπιστο πράγμα είναι να προχωρήσουμε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Ας το ολοκληρώσουμε. Σε αυτό το μάθημα φρεσκάραμε τη μνήμη μας βασικά σημείακατά κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως, ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Τότε μπορείτε να πάτε σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά καλύπτονται αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Κλάσμα- μια μορφή αναπαράστασης ενός αριθμού στα μαθηματικά. Η γραμμή κλάσματος υποδηλώνει την πράξη διαίρεσης. Αριθμητήςκλάσμα ονομάζεται μέρισμα, και παρονομαστής- διαχωριστικό. Για παράδειγμα, σε ένα κλάσμα ο αριθμητής είναι 5 και ο παρονομαστής είναι 7.

ΣωστόςΛέγεται ένα κλάσμα στο οποίο ο συντελεστής του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από τον συντελεστή του παρονομαστή. Εάν ένα κλάσμα είναι σωστό, τότε το μέτρο της τιμής του είναι πάντα μικρότερο από 1. Όλα τα άλλα κλάσματα είναι λανθασμένος.

Το κλάσμα λέγεται μικτός, αν γράφεται ως ακέραιος και κλάσμα. Αυτό είναι το ίδιο με το άθροισμα αυτού του αριθμού και του κλάσματος:

Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει, δηλαδή, για παράδειγμα,

Αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή

Για να φέρετε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, χρειάζεστε:

1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου
2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου
3. Αντικαταστήστε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων με το γινόμενο τους

Πράξεις με κλάσματα

Πρόσθεση.Για να προσθέσετε δύο κλάσματα χρειάζεστε

1. Προσθέστε τους νέους αριθμητές και των δύο κλασμάτων και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Αφαίρεση.Για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα άλλο, χρειάζεστε

1. Μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή
2. Αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός.Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:

Διαίρεση.Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου:

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

• 1 / 5

  Συνήθης(ή απλός) κλάσμα - γραφή ενός ρητού αριθμού στη μορφή ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n)))ή ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,)Οπου n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.)Μια οριζόντια ή κάθετο δηλώνει ένα σύμβολο διαίρεσης, με αποτέλεσμα ένα πηλίκο. Το μέρισμα λέγεται αριθμητήςκλάσματα, και ο διαιρέτης είναι παρονομαστής.

  Σημειογραφία για κοινά κλάσματα

  Υπάρχουν διάφοροι τύποι γραφής συνηθισμένων κλασμάτων σε έντυπη μορφή:

  Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα

  ΣωστόςΈνα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του ονομάζεται κλάσμα. Ένα κλάσμα που δεν είναι σωστό ονομάζεται λανθασμένος, και αντιπροσωπεύει ρητός αριθμός, modulo μεγαλύτερο ή ίσο με ένα.

  Για παράδειγμα, κλάσματα 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8)))και είναι σωστά κλάσματα, ενώ 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1)))Και 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- ακατάλληλα κλάσματα. Οποιοσδήποτε μη μηδενικός ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα με παρονομαστή 1.

  Μικτά κλάσματα

  Ένα κλάσμα που γράφεται ως ακέραιος αριθμός και ένα σωστό κλάσμα ονομάζεται μικτό κλάσμακαι νοείται ως το άθροισμα αυτού του αριθμού και ενός κλάσματος. Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως μικτό κλάσμα. Σε αντίθεση με ένα μικτό κλάσμα, ένα κλάσμα που περιέχει μόνο έναν αριθμητή και έναν παρονομαστή ονομάζεται απλός.

  Για παράδειγμα, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14 )(7)+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). Στην αυστηρή μαθηματική βιβλιογραφία, προτιμούν να μην χρησιμοποιούν μια τέτοια σημείωση λόγω της ομοιότητας της σημειογραφίας για ένα μικτό κλάσμα με τη σημειογραφία για το γινόμενο ενός ακέραιου αριθμού κατά ένα κλάσμα, καθώς και λόγω της πιο περίπλοκης σημειογραφίας και των λιγότερο βολικών υπολογισμών .

  Σύνθετα κλάσματα

  Ένα πολυώροφο ή σύνθετο κλάσμα είναι μια έκφραση που περιέχει πολλές οριζόντιες (ή, λιγότερο συχνά, πλάγιες) γραμμές:

  1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3)))ή 1 / 2 1 / 3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3)))ή 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4)))(26)))

  Δεκαδικά

  Το δεκαδικό είναι μια αναπαράσταση θέσης ενός κλάσματος. Μοιάζει με αυτό:

  ± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )

  Παράδειγμα: 3.141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

  Το μέρος της εγγραφής που έρχεται πριν από την υποδιαστολή θέσης είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού (κλάσμα) και το μέρος που έρχεται μετά την υποδιαστολή είναι το κλασματικό μέρος. Οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό, το οποίο στην περίπτωση αυτή είτε έχει πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων είτε είναι περιοδικό κλάσμα.

  Σε γενικές γραμμές, για σημειογραφία θέσης αριθμών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όχι μόνο μετρικό σύστημασημειογραφία, αλλά και άλλες (συμπεριλαμβανομένων συγκεκριμένων, όπως ο Fibonacci).

  Η έννοια ενός κλάσματος και η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος

  Ένα κλάσμα είναι απλώς μια αναπαράσταση ενός αριθμού. Μπορεί να αντιστοιχεί ο ίδιος αριθμός διαφορετικά κλάσματα, τόσο συνηθισμένο όσο και δεκαδικό.

  0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- δύο διαφορετικά κλάσματα αντιστοιχούν στον ίδιο αριθμό.

  Πράξεις με κλάσματα

  Αυτή η ενότητα καλύπτει πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα. Για πράξεις με δεκαδικά κλάσματα, δείτε Δεκαδικό κλάσμα.

  Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή

  Για να συγκρίνετε, να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα, πρέπει να μετατραπούν ( να φερεις) σε μια φόρμα με τον ίδιο παρονομαστή. Έστω δύο κλάσματα: a b (\displaystyle (\frac (a)(b)))Και c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Διαδικασία:

  Μετά από αυτό, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων συμπίπτουν (ίσο Μ). Αντί για το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απλές περιπτώσειςπάρτε ως Μοποιοδήποτε άλλο κοινό πολλαπλάσιο, όπως το γινόμενο των παρονομαστών. Για παράδειγμα, δείτε την ενότητα Σύγκριση παρακάτω.

  Σύγκριση

  Για να συγκρίνετε δύο κοινά κλάσματα, πρέπει να τα φέρετε σε έναν κοινό παρονομαστή και να συγκρίνετε τους αριθμητές των κλασμάτων που προκύπτουν. Ένα κλάσμα με μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο.

  Παράδειγμα. Ας συγκρίνουμε 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4)))Και 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Ανάγουμε τα κλάσματα στον παρονομαστή 20.

  3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20)))

  Ως εκ τούτου, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

  Πρόσθεση και αφαίρεση

  Για να προσθέσετε δύο συνηθισμένα κλάσματα, πρέπει να τα αναγάγετε σε έναν κοινό παρονομαστή. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
  

  1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))

  Το LCM των παρονομαστών (εδώ 2 και 3) είναι ίσο με 6. Δίνουμε το κλάσμα 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))στον παρονομαστή 6, για αυτό ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί 3.
  Συνέβη 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). Δίνουμε το κλάσμα 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3)))στον ίδιο παρονομαστή, για αυτό ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί 2. Αποδείχθηκε 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
  Για να λάβετε τη διαφορά μεταξύ των κλασμάτων, πρέπει επίσης να έρθουν σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τους αριθμητές, αφήνοντας τον παρονομαστή αμετάβλητο:
  

  1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))

  Το LCM των παρονομαστών (εδώ 2 και 4) ισούται με 4. Παρουσιάζουμε το κλάσμα 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)))στον παρονομαστή 4, για αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 2. Παίρνουμε 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).

  Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

  Για να πολλαπλασιάσετε δύο συνηθισμένα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:

  a b ⋅ c d = a c b d . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)

  Συγκεκριμένα, για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο:

  2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

  Γενικά, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος που προκύπτει μπορεί να μην είναι συμπρώτοι και το κλάσμα μπορεί να χρειαστεί να μειωθεί, για παράδειγμα:

  5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4)).)

  Για να διαιρέσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου:

  a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)

  Για παράδειγμα,

  1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ frac (3)(2)).)

  Μετατροπή μεταξύ διαφορετικών μορφών εγγραφής

  Για να μετατρέψετε ένα κλάσμα σε δεκαδικό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Το αποτέλεσμα μπορεί να έχει έναν πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, αλλά μπορεί επίσης να έχει έναν άπειρο αριθμό

  Μελετώντας τη βασίλισσα όλων των επιστημών - μαθηματικών, όλοι κάποια στιγμή συναντούν κλάσματα. Αν και αυτή η έννοια (όπως τα ίδια τα είδη των κλασμάτων ή οι μαθηματικές πράξεις με αυτά) δεν είναι καθόλου περίπλοκη, πρέπει να την αντιμετωπίσετε προσεκτικά, γιατί στην πραγματική ζωή εκτός σχολείου θα είναι πολύ χρήσιμη. Λοιπόν, ας ανανεώσουμε τις γνώσεις μας για τα κλάσματα: τι είναι, τι χρησιμεύουν, ποιοι τύποι είναι και πώς να εκτελούμε διάφορες αριθμητικές πράξεις με αυτά.

  Το κλάσμα της Μεγαλειότητάς της: τι είναι

  Στα μαθηματικά, τα κλάσματα είναι αριθμοί, καθένας από τους οποίους αποτελείται από ένα ή περισσότερα μέρη μιας μονάδας. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται επίσης συνηθισμένα ή απλά. Κατά κανόνα, γράφονται με τη μορφή δύο αριθμών που χωρίζονται από μια οριζόντια ή κάθετη γραμμή, ονομάζεται "κλασματική" γραμμή. Για παράδειγμα: ½, ¾.

  Ο επάνω ή ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς είναι ο αριθμητής (δείχνει πόσα μέρη λαμβάνονται από τον αριθμό) και ο κάτω ή δεύτερος είναι ο παρονομαστής (δείχνει σε πόσα μέρη χωρίζεται η μονάδα).

  Η ράβδος του κλάσματος στην πραγματικότητα λειτουργεί ως σύμβολο διαίρεσης. Για παράδειγμα, 7:9=7/9

  Παραδοσιακά, τα κοινά κλάσματα είναι λιγότερα από ένα. Ενώ τα δεκαδικά μπορεί να είναι μεγαλύτερα από αυτό.

  

  Σε τι χρησιμεύουν τα κλάσματα; Ναι, για όλα, γιατί στον πραγματικό κόσμο, δεν είναι όλοι οι αριθμοί ακέραιοι. Για παράδειγμα, δύο μαθήτριες στην καφετέρια αγόρασαν μαζί μια νόστιμη σοκολάτα. Όταν επρόκειτο να μοιραστούν επιδόρπιο, συνάντησαν μια φίλη και αποφάσισαν να της κεράσουν και εκείνη. Ωστόσο, τώρα είναι απαραίτητο να χωρίσετε σωστά τη σοκολάτα, δεδομένου ότι αποτελείται από 12 τετράγωνα.

  Στην αρχή, τα κορίτσια ήθελαν να μοιράσουν τα πάντα εξίσου και στη συνέχεια το καθένα θα έπαιρνε τέσσερα κομμάτια. Όμως, αφού το σκέφτηκαν, αποφάσισαν να κεράσουν τον φίλο τους, όχι το 1/3, αλλά το 1/4 της σοκολάτας. Και αφού οι μαθήτριες δεν μελέτησαν καλά τα κλάσματα, δεν υπολόγισαν ότι σε μια τέτοια κατάσταση θα κατέληγαν σε 9 κομμάτια, που είναι πολύ δύσκολο να χωριστούν στα δύο. Αυτό το αρκετά απλό παράδειγμα δείχνει πόσο σημαντικό είναι να μπορείτε να βρείτε σωστά ένα μέρος ενός αριθμού. Αλλά στη ζωή υπάρχουν πολλές περισσότερες τέτοιες περιπτώσεις.

  Είδη κλασμάτων: συνηθισμένα και δεκαδικά

  Όλα τα μαθηματικά κλάσματα χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα συνηθισμένα και τα δεκαδικά. Τα χαρακτηριστικά του πρώτου από αυτά περιγράφηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, οπότε τώρα αξίζει να δώσετε προσοχή στο δεύτερο.

  Ο δεκαδικός είναι ένας συμβολισμός θέσης ενός κλάσματος ενός αριθμού, ο οποίος γράφεται γραπτώς χωρισμένος με κόμμα, χωρίς παύλα ή κάθετο. Για παράδειγμα: 0,75, 0,5.

  Στην πραγματικότητα, ένα δεκαδικό κλάσμα είναι πανομοιότυπο με ένα συνηθισμένο κλάσμα, ωστόσο, ο παρονομαστής του είναι πάντα ένα ακολουθούμενο από μηδενικά - εξ ου και το όνομά του.

  Ο αριθμός που προηγείται του κόμματος είναι ένα ακέραιο μέρος και κάθε τι μετά από αυτό είναι κλάσμα. Οποιοδήποτε απλό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό. Έτσι, τα δεκαδικά κλάσματα που υποδεικνύονται στο προηγούμενο παράδειγμα μπορούν να γραφτούν ως συνήθως: ¾ και ½.

  

  Αξίζει να σημειωθεί ότι τόσο τα δεκαδικά όσο και τα συνηθισμένα κλάσματα μπορεί να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά. Αν προηγείται πρόσημο «-», αυτό το κλάσμα είναι αρνητικό, αν το «+» είναι θετικό κλάσμα.

  Υποτύποι συνηθισμένων κλασμάτων

  Υπάρχουν αυτοί οι τύποι απλών κλασμάτων.

  

  Υποτύποι δεκαδικού κλάσματος

  Σε αντίθεση με ένα απλό κλάσμα, ένα δεκαδικό κλάσμα χωρίζεται σε μόνο 2 τύπους.

  • Τελικό - έλαβε αυτό το όνομα λόγω του γεγονότος ότι μετά την υποδιαστολή έχει περιορισμένο (πεπερασμένο) αριθμό ψηφίων: 19,25.
  • Ένα άπειρο κλάσμα είναι ένας αριθμός με άπειρο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Για παράδειγμα, όταν διαιρούμε το 10 με το 3, το αποτέλεσμα θα είναι ένα άπειρο κλάσμα 3.333...

  Προσθήκη κλασμάτων

  Η πραγματοποίηση διαφόρων αριθμητικών χειρισμών με κλάσματα είναι λίγο πιο δύσκολη από ό,τι με τους συνηθισμένους αριθμούς. Ωστόσο, εάν κατανοήσετε τους βασικούς κανόνες, η επίλυση οποιουδήποτε παραδείγματος με αυτούς δεν θα είναι δύσκολη.

  Για παράδειγμα: 2/3+3/4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για αυτούς θα είναι το 12, επομένως, είναι απαραίτητο αυτός ο αριθμός να είναι σε κάθε παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος επί 4, προκύπτει 8/12, κάνουμε το ίδιο με τον δεύτερο όρο, αλλά πολλαπλασιάζουμε μόνο με 3 - 9/12. Τώρα μπορείτε εύκολα να λύσετε το παράδειγμα: 8/12+9/12= 17/12. Το κλάσμα που προκύπτει είναι λανθασμένη μονάδα επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Μπορεί και πρέπει να μετατραπεί σε σωστό μικτό διαιρώντας 17:12 = 1 και 5/12.

  Όταν προστίθενται μικτά κλάσματα, οι πράξεις εκτελούνται πρώτα με ακέραιους αριθμούς και μετά με κλάσματα.

  Εάν το παράδειγμα περιέχει ένα δεκαδικό κλάσμα και ένα κανονικό κλάσμα, είναι απαραίτητο να γίνουν και τα δύο απλά, μετά να τα φέρουμε στον ίδιο παρονομαστή και να τα προσθέσουμε. Για παράδειγμα 3.1+1/2. Ο αριθμός 3.1 μπορεί να γραφτεί ως μικτό κλάσμα 3 και 1/10 ή ως ακατάλληλο κλάσμα - 31/10. Ο κοινός παρονομαστής για τους όρους θα είναι 10, επομένως πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1/2 επί 5 εναλλάξ, παίρνετε 5/10. Τότε μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τα πάντα: 31/10+5/10=35/10. Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι ένα ακατάλληλο αναγώγιμο κλάσμα, το φέρνουμε σε κανονική μορφή, μειώνοντάς το κατά 5: 7/2 = 3 και 1/2, ή δεκαδικό - 3,5.

  Όταν προσθέτετε 2 δεκαδικά κλάσματα, είναι σημαντικό να υπάρχει ο ίδιος αριθμός ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, πρέπει απλώς να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών, γιατί σε ένα δεκαδικό κλάσμα αυτό μπορεί να γίνει ανώδυνα. Για παράδειγμα, 3,5+3,005. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να προσθέσετε 2 μηδενικά στον πρώτο αριθμό και στη συνέχεια να προσθέσετε ένα προς ένα: 3.500+3.005=3.505.

  Αφαίρεση κλασμάτων

  Όταν αφαιρείτε κλάσματα, θα πρέπει να κάνετε το ίδιο όπως όταν προσθέτετε: να μειώσετε σε έναν κοινό παρονομαστή, να αφαιρέσετε έναν αριθμητή από τον άλλο και, εάν χρειάζεται, να μετατρέψετε το αποτέλεσμα σε μικτό κλάσμα.

  

  Για παράδειγμα: 16/20-5/10. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι 20. Πρέπει να φέρετε το δεύτερο κλάσμα σε αυτόν τον παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη του επί 2, παίρνετε 10/20. Τώρα μπορείτε να λύσετε το παράδειγμα: 16/20-10/20= 6/20. Ωστόσο, αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για αναγώγιμα κλάσματα, οπότε αξίζει να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με το 2 και το αποτέλεσμα είναι 3/10.

  Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

  Η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων είναι πολύ απλούστερες πράξεις από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Το γεγονός είναι ότι κατά την εκτέλεση αυτών των εργασιών, δεν χρειάζεται να αναζητήσετε έναν κοινό παρονομαστή.

  Για να πολλαπλασιάσετε κλάσματα, χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε και τους δύο αριθμητές έναν προς έναν και στη συνέχεια και τους δύο παρονομαστές. Μειώστε το αποτέλεσμα που προκύπτει εάν το κλάσμα είναι μια αναγώγιμη ποσότητα.

  

  Για παράδειγμα: 4/9x5/8. Μετά από εναλλακτικό πολλαπλασιασμό, το αποτέλεσμα είναι 4x5/9x8=20/72. Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 4, οπότε η τελική απάντηση στο παράδειγμα είναι 5/18.

  Πώς να διαιρέσετε τα κλάσματα

  Η διαίρεση των κλασμάτων είναι επίσης μια απλή πράξη· στην πραγματικότητα, εξακολουθεί να καταλήγει στον πολλαπλασιασμό τους. Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να αντιστρέψετε το δεύτερο και να πολλαπλασιάσετε με το πρώτο.

  

  Για παράδειγμα, διαιρώντας τα κλάσματα 5/19 και 5/7. Για να λύσετε το παράδειγμα, πρέπει να ανταλλάξετε τον παρονομαστή και τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε: 5/19x7/5=35/95. Το αποτέλεσμα μπορεί να μειωθεί κατά 5 - αποδεικνύεται 7/19.

  Εάν χρειάζεται να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν πρώτο αριθμό, η τεχνική είναι ελαφρώς διαφορετική. Αρχικά, θα πρέπει να γράψετε αυτόν τον αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να διαιρέσετε σύμφωνα με το ίδιο σχήμα. Για παράδειγμα, το 2/13:5 θα πρέπει να γραφτεί ως 2/13: 5/1. Τώρα πρέπει να αναποδογυρίσετε το 5/1 και να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα που προκύπτουν: 2/13x1/5= 2/65.

  Μερικές φορές πρέπει να διαιρέσετε μικτά κλάσματα. Πρέπει να τους συμπεριφέρεστε όπως θα κάνατε με τους ακέραιους αριθμούς: μετατρέψτε τους σε ακατάλληλα κλάσματα, αντιστρέψτε τον διαιρέτη και πολλαπλασιάστε τα πάντα. Για παράδειγμα, 8 ½: 3. Μετατρέψτε τα πάντα σε ακατάλληλα κλάσματα: 17/2: 3/1. Ακολουθεί αναστροφή 3/1 και πολλαπλασιασμός: 17/2x1/3= 17/6. Τώρα πρέπει να μετατρέψετε το ακατάλληλο κλάσμα στο σωστό - 2 ολόκληρα και 5/6.

  Έτσι, έχοντας καταλάβει τι είναι τα κλάσματα και πώς μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες αριθμητικές πράξεις με αυτά, πρέπει να προσπαθήσετε να μην το ξεχάσετε. Εξάλλου, οι άνθρωποι είναι πάντα πιο διατεθειμένοι να χωρίσουν κάτι σε μέρη παρά να προσθέσουν, επομένως πρέπει να μπορείτε να το κάνετε σωστά.

  Κλάσμαστα μαθηματικά, ένας αριθμός που αποτελείται από ένα ή περισσότερα μέρη (κλάσματα) μιας μονάδας. Τα κλάσματα αποτελούν μέρος του πεδίου των ρητών αριθμών. Με βάση τον τρόπο γραφής τους, τα κλάσματα χωρίζονται σε 2 μορφές: συνήθηςτύπος και δεκαδικός .

  Αριθμητής κλάσματος- έναν αριθμό που δείχνει τον αριθμό των μετοχών που ελήφθησαν (βρίσκονται στην κορυφή του κλάσματος - πάνω από τη γραμμή). Παρονομαστής κλάσματος- έναν αριθμό που δείχνει σε πόσες μετοχές χωρίζεται η μονάδα (βρίσκεται κάτω από τη γραμμή - στο κάτω μέρος). με τη σειρά τους χωρίζονται σε: σωστόςΚαι ανακριβής, μικτόςΚαι σύνθετοςσυνδέονται στενά με τις μονάδες μέτρησης. 1 μέτρο περιέχει 100 εκ. Που σημαίνει ότι 1 m χωρίζεται σε 100 ίσα μέρη. Έτσι, 1 cm = 1/100 m (ένα εκατοστό ισούται με ένα εκατοστό του μέτρου).

  ή 3/5 (τρία πέμπτα), εδώ 3 είναι ο αριθμητής, 5 είναι ο παρονομαστής. Αν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο του ενός και καλείται σωστός:

  Αν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι ίσο με ένα. Αν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από ένα. Και στις δύο τελευταίες περιπτώσεις καλείται το κλάσμα λανθασμένος:

  

  Για να απομονώσετε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που περιέχεται σε ένα ακατάλληλο κλάσμα, διαιρείτε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Εάν η διαίρεση γίνει χωρίς υπόλοιπο, τότε το ακατάλληλο κλάσμα που λαμβάνεται είναι ίσο με το πηλίκο:

  

  Εάν η διαίρεση εκτελείται με υπόλοιπο, τότε το (ημιτελές) πηλίκο δίνει τον επιθυμητό ακέραιο και το υπόλοιπο γίνεται ο αριθμητής του κλασματικού μέρους. ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους παραμένει ο ίδιος.

  

  Ένας αριθμός που περιέχει έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος ονομάζεται μικτός. Κλάσμα μικτός αριθμόςμπορεί ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, μπορείτε να επιλέξετε τον μεγαλύτερο ακέραιο από το κλασματικό μέρος και να αναπαραστήσετε τον μικτό αριθμό με τέτοιο τρόπο ώστε το κλασματικό μέρος να γίνει σωστό κλάσμα (ή να εξαφανιστεί εντελώς).