Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση καθοριστικών παραγόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσεις. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, αλλά αν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Μια ορίζουσα που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές των αντίστοιχων αγνώστων με ελεύθερους όρους:

;

.

Θεώρημα Cramer. Εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μοναδική λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές αυτού του αγνώστου με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Λοιπόν, η λύση στο σύστημα (2):

ηλεκτρονική αριθμομηχανή, αποφασιστική μέθοδοςΚράμερ.

Τρεις περιπτώσεις επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως είναι σαφές από Θεώρημα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορούν να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων

(το σύστημα είναι συνεπές και αβέβαιο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(το σύστημα είναι ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nπου ονομάζονται μεταβλητές μη άρθρωση, αν δεν έχει μια ενιαία λύση, και άρθρωση, εάν έχει τουλάχιστον μία λύση. Ένα ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση ονομάζεται βέβαιοςκαι περισσότερα από ένα - αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Ας δοθεί το σύστημα

.

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

Οπου
-

καθοριστικός παράγοντας συστήματος. Λαμβάνουμε τις υπόλοιπες ορίζουσες αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερους όρους:

Παράδειγμα 2.

.

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε λύσεις σε συστήματα εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Αν σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

.

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, επομένως το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση στο σύστημα είναι (2; -1; 1).

Για να ελέγξετε λύσεις σε συστήματα εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να επιλύουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer από κοινού

Όπως ήδη αναφέρθηκε, εάν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το εξηγήσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε ορίζουσες για αγνώστους

Οι ορίζουσες των αγνώστων δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Για να ελέγξετε λύσεις σε συστήματα εξισώσεων 3 X 3 και 4 X 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης του Cramer.

Σε προβλήματα που αφορούν συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν επίσης εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν έναν αριθμό, τις περισσότερες φορές πραγματικό. Στην πράξη, τα προβλήματα αναζήτησης οδηγούν σε τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων γενικές ιδιότητεςοποιαδήποτε φαινόμενα ή αντικείμενα. Δηλαδή έχετε εφεύρει κάποιο νέο υλικόή μια συσκευή και για να περιγράψετε τις ιδιότητές της, οι οποίες είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή τον αριθμό μιας παρουσίας, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το ακόλουθο παράδειγμα αφορά ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

2. Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (με χρήση αντίστροφου πίνακα).
3. Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Η μέθοδος του Cramer.

Η μέθοδος του Cramer χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικής αλγεβρικές εξισώσεις (SLAU).

Τύποι χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός συστήματος δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές.
Δεδομένος:Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer

Σχετικά με τις μεταβλητές ΧΚαι στο.
Λύση:
Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος Υπολογισμός οριζόντων. :

Ας εφαρμόσουμε τους τύπους του Cramer και ας βρούμε τις τιμές των μεταβλητών:
Και .
Παράδειγμα 1:
Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

σχετικά με τις μεταβλητές ΧΚαι στο.
Λύση:


Ας αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη σε αυτήν την ορίζουσα με μια στήλη συντελεστών από τη δεξιά πλευρά του συστήματος και ας βρούμε την τιμή της:

Ας κάνουμε κάτι παρόμοιο, αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη στην πρώτη ορίζουσα:

Εφαρμόσιμος Οι τύποι του Cramerκαι βρείτε τις τιμές των μεταβλητών:
Και .
Απάντηση:
Σχόλιο:Αυτή η μέθοδος μπορεί να λύσει συστήματα υψηλότερων διαστάσεων.

Σχόλιο:Εάν αποδειχθεί ότι , αλλά δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν, τότε λένε ότι το σύστημα δεν έχει μια μοναδική λύση. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα είτε έχει άπειρες λύσεις είτε δεν έχει καθόλου λύσεις.

Παράδειγμα 2(άπειρος αριθμός λύσεων):

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

σχετικά με τις μεταβλητές ΧΚαι στο.
Λύση:
Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος:

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο της υποκατάστασης.

Η πρώτη από τις εξισώσεις του συστήματος είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών (επειδή το 4 είναι πάντα ίσο με 4). Αυτό σημαίνει ότι απομένει μόνο μία εξίσωση. Αυτή είναι μια εξίσωση για τη σχέση μεταξύ μεταβλητών.
Βρήκαμε ότι η λύση στο σύστημα είναι οποιοδήποτε ζεύγος τιμών μεταβλητών που σχετίζονται μεταξύ τους με την ισότητα.
Κοινή απόφασηθα γραφτεί ως εξής:
Συγκεκριμένες λύσεις μπορούν να προσδιοριστούν επιλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή του y και υπολογίζοντας το x από αυτήν την ισότητα σύνδεσης.

και τα λοιπά.
Υπάρχουν άπειρες τέτοιες λύσεις.
Απάντηση:κοινή απόφαση
Ιδιωτικές λύσεις:

Παράδειγμα 3(χωρίς λύσεις, το σύστημα δεν είναι συμβατό):

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Λύση:
Ας βρούμε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος:

Οι τύποι του Cramer δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ας λύσουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι μια ισότητα που δεν ισχύει για καμία τιμή των μεταβλητών (φυσικά, αφού το -15 δεν είναι ίσο με 2). Εάν μια από τις εξισώσεις του συστήματος δεν ισχύει για καμία τιμή των μεταβλητών, τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύσεις.
Απάντηση:χωρίς λύσεις

Η μέθοδος του Cramer ή ο λεγόμενος κανόνας του Cramer είναι μια μέθοδος αναζήτησης άγνωστων ποσοτήτων από συστήματα εξισώσεων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο εάν ο αριθμός των αναζητούμενων τιμών είναι ισοδύναμος με τον αριθμό των αλγεβρικών εξισώσεων στο σύστημα, δηλαδή, ο κύριος πίνακας που σχηματίζεται από το σύστημα πρέπει να είναι τετράγωνος και να μην περιέχει μηδενικές σειρές, και επίσης εάν ο προσδιοριστής του πρέπει να μην είναι μηδέν.

Θεώρημα 1

Θεώρημα CramerΕάν η κύρια ορίζουσα $D$ του κύριου πίνακα, που συντάσσεται με βάση τους συντελεστές των εξισώσεων, δεν είναι ίση με μηδέν, τότε το σύστημα των εξισώσεων είναι συνεπές και έχει μια μοναδική λύση. Η λύση σε ένα τέτοιο σύστημα υπολογίζεται μέσω των λεγόμενων τύπων Cramer για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Τι είναι η μέθοδος Cramer;

Η ουσία της μεθόδου του Cramer είναι η εξής:

1. Για να βρούμε μια λύση στο σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, πρώτα από όλα υπολογίζουμε την κύρια ορίζουσα του πίνακα $D$. Όταν η υπολογισμένη ορίζουσα του κύριου πίνακα, όταν υπολογίζεται με τη μέθοδο του Cramer, αποδεικνύεται ίση με το μηδέν, τότε το σύστημα δεν έχει μία μόνο λύση ή έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε μια γενική ή κάποια βασική απάντηση για το σύστημα, συνιστάται η χρήση της μεθόδου Gauss.
2. Στη συνέχεια, πρέπει να αντικαταστήσετε την πιο εξωτερική στήλη κύρια μήτραστη στήλη των ελεύθερων όρων και υπολογίστε την ορίζουσα $D_1$.
3. Επαναλάβετε το ίδιο για όλες τις στήλες, λαμβάνοντας ορίζοντες από $D_1$ έως $D_n$, όπου $n$ είναι ο αριθμός της πιο δεξιάς στήλης.
4. Αφού βρεθούν όλοι οι καθοριστικοί παράγοντες $D_1$...$D_n$, οι άγνωστες μεταβλητές μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον τύπο $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Τεχνικές για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα

Για να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός πίνακα με διάσταση μεγαλύτερη από 2 επί 2, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους:

• Ο κανόνας των τριγώνων, ή κανόνας του Sarrus, που θυμίζει τον ίδιο κανόνα. Η ουσία της μεθόδου του τριγώνου είναι ότι κατά τον υπολογισμό της ορίζουσας, τα γινόμενα όλων των αριθμών που συνδέονται στο σχήμα με την κόκκινη γραμμή στα δεξιά γράφονται με σύμβολο συν και όλοι οι αριθμοί συνδέονται με παρόμοιο τρόπο στο σχήμα στα αριστερά γράφονται με αρνητικό πρόσημο. Και οι δύο κανόνες είναι κατάλληλοι για πίνακες μεγέθους 3 x 3. Στην περίπτωση του κανόνα Sarrus, ο ίδιος ο πίνακας ξαναγράφεται πρώτα και δίπλα του ξαναγράφεται η πρώτη και η δεύτερη στήλη του. Οι διαγώνιοι σχεδιάζονται μέσω του πίνακα και αυτών των πρόσθετων στηλών· τα μέλη του πίνακα που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο ή παράλληλα σε αυτόν γράφονται με ένα σύμβολο συν και τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω ή παράλληλα στη δευτερεύουσα διαγώνιο γράφονται με ένα σύμβολο μείον.

Σχήμα 1. Τριγωνικός κανόνας για τον υπολογισμό της ορίζουσας για τη μέθοδο του Cramer

• Χρησιμοποιώντας μια μέθοδο γνωστή ως μέθοδο Gaussian, αυτή η μέθοδος ονομάζεται επίσης μερικές φορές μείωση της τάξης της ορίζουσας. Σε αυτή την περίπτωση, η μήτρα μετασχηματίζεται και μειώνεται σε τριγωνική όψη, και στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται όλοι οι αριθμοί στην κύρια διαγώνιο. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την αναζήτηση μιας ορίζουσας με αυτόν τον τρόπο, δεν μπορείτε να πολλαπλασιάσετε ή να διαιρέσετε σειρές ή στήλες με αριθμούς χωρίς να τις αφαιρέσετε ως πολλαπλασιαστή ή διαιρέτη. Στην περίπτωση αναζήτησης μιας ορίζουσας, είναι δυνατή μόνο η αφαίρεση και η προσθήκη σειρών και στηλών μεταξύ τους, αφού προηγουμένως έχει πολλαπλασιαστεί η αφαιρεθείσα γραμμή με έναν μη μηδενικό παράγοντα. Επίσης, κάθε φορά που αναδιατάσσετε τις γραμμές ή τις στήλες του πίνακα, θα πρέπει να θυμάστε την ανάγκη να αλλάξετε το τελικό πρόσημο του πίνακα.
• Όταν λύνετε ένα SLAE με 4 άγνωστα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss για να αναζητήσετε και να βρείτε ορίζουσες ή να προσδιορίσετε την ορίζουσα αναζητώντας ανηλίκους.

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer

Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Cramer για ένα σύστημα 2 εξισώσεων και δύο απαιτούμενων ποσοτήτων:

$\begin(περιπτώσεις) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end (περιπτώσεις)$

Ας το εμφανίσουμε σε διευρυμένη μορφή για ευκολία:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Ας βρούμε την ορίζουσα του κύριου πίνακα, που ονομάζεται επίσης η κύρια ορίζουσα του συστήματος:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Εάν η κύρια ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν, τότε για να λυθεί η λάσπη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν δύο ακόμη ορίζοντες από δύο πίνακες με τις στήλες του κύριου πίνακα να αντικαθίστανται από μια σειρά ελεύθερων όρων:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Τώρα ας βρούμε τα άγνωστα $x_1$ και $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Παράδειγμα 1

Μέθοδος Cramer για την επίλυση SLAE με κύριο πίνακα 3ης τάξης (3 x 3) και τρεις απαιτούμενους.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

$\begin(περιπτώσεις) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(περιπτώσεις)$

Ας υπολογίσουμε την κύρια ορίζουσα του πίνακα χρησιμοποιώντας τον κανόνα που αναφέρεται παραπάνω στο σημείο 1:

$D = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Και τώρα τρεις άλλοι καθοριστικοί παράγοντες:

$D_1 = \begin(array)(|cccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|cccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|cccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Ας βρούμε τις απαιτούμενες ποσότητες:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$