Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση

κατάσταση εκπαιδευτικό ίδρυμαανώτερη επαγγελματική εκπαίδευση

Παν-ρωσικό Χρηματοοικονομικό και Οικονομικό Ινστιτούτο Αλληλογραφίας

Υποκατάστημα στην Τούλα

Δοκιμή

στο γνωστικό αντικείμενο "Οικομετρία"

Τούλα - 2010

Πρόβλημα 2 (α, β)

Για τις επιχειρήσεις ελαφριάς βιομηχανίας, ελήφθησαν πληροφορίες που χαρακτηρίζουν την εξάρτηση του όγκου της παραγωγής (Y, εκατομμύρια ρούβλια) από τον όγκο των επενδύσεων κεφαλαίου (X, εκατομμύρια ρούβλια) Πίνακας. 1.

Χ 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12
Υ 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24

Απαιτείται:

1. Βρείτε τις παραμέτρους της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης, δώστε μια οικονομική ερμηνεία του συντελεστή παλινδρόμησης.

2. Υπολογίστε τα υπόλοιπα. Βρείτε το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων. υπολογίστε τη διακύμανση των υπολειμμάτων

; σχεδιάστε τα υπολείμματα.

3. Ελέγξτε την εκπλήρωση των προαπαιτούμενων του MNC.

4. Ελέγξτε τη σημασία των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας το Student's t-test (α=0,05).

5. Υπολογίστε τον συντελεστή προσδιορισμού, ελέγξτε τη σημασία της εξίσωσης παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας το τεστ Fisher's F (α=0,05), βρείτε το μέσο σχετικό σφάλμα προσέγγισης. Βγάλτε ένα συμπέρασμα για την ποιότητα του μοντέλου.

6. Προβλέψτε τη μέση τιμή του δείκτη Υ στο επίπεδο σημαντικότητας α=0,1, εάν η προβλεπόμενη τιμή του παράγοντα Χ είναι 80% της μέγιστης τιμής του.

7. Παρουσιάστε γραφικά: πραγματικές και υποδειγματικές τιμές Υ, σημεία πρόβλεψης.

8. Δημιουργήστε εξισώσεις μη γραμμικής παλινδρόμησης:

υπερβολικός;

ήσυχος;

ενδεικτικός.

Δώστε γραφήματα των κατασκευασμένων εξισώσεων παλινδρόμησης.

9. Για τα υποδεικνυόμενα μοντέλα, βρείτε τους συντελεστές προσδιορισμού και τα μέσα σχετικά σφάλματα προσέγγισης. Συγκρίνετε τα μοντέλα με βάση αυτά τα χαρακτηριστικά και βγάλτε ένα συμπέρασμα.

1. Γραμμικό μοντέλοέχει τη μορφή:

Βρίσκουμε τις παραμέτρους της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας τους τύπους

Ο υπολογισμός των τιμών των παραμέτρων παρουσιάζεται στον πίνακα. 2.

t y Χ yx
1 43 33 1419 1089 42,236 0,764 0,584 90,25 88,36 0,018
2 27 17 459 289 27,692 -0,692 0,479 42,25 43,56 0,026
3 32 23 736 529 33,146 -1,146 1,313 0,25 2,56 0,036
4 29 17 493 289 27,692 1,308 1,711 42,25 21,16 0,045
5 45 36 1620 1296 44,963 0,037 0,001 156,25 129,96 0,001
6 35 25 875 625 34,964 0,036 0,001 2,25 1,96 0,001
7 47 39 1833 1521 47,69 -0,69 0,476 240,25 179,56 0,015
8 32 20 640 400 30,419 1,581 2,500 12,25 2,56 0,049
9 22 13 286 169 24,056 -2,056 4,227 110,25 134,56 0,093
10 24 12 288 144 23,147 0,853 0,728 132,25 92,16 0,036
∑ 336 235 8649 6351 12,020 828,5 696,4 0,32
Μέσος όρος 33,6 23,5 864,9 635,1

Ας προσδιορίσουμε τις παραμέτρους του γραμμικού μοντέλου

Το γραμμικό μοντέλο έχει τη μορφή

Συντελεστής παλινδρόμησης

δείχνει ότι η παραγωγή Υ αυξάνεται κατά μέσο όρο κατά 0,909 εκατομμύρια ρούβλια. με αύξηση του όγκου των επενδύσεων κεφαλαίου X κατά 1 εκατομμύριο ρούβλια.

2. Υπολογίστε τα υπόλοιπα

, το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων, βρίσκουμε την υπολειπόμενη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οι υπολογισμοί παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.


Ρύζι. 1. Γράφημα υπολειμμάτων ε.

3. Ας ελέγξουμε την εκπλήρωση των προαπαιτούμενων του OLS με βάση το κριτήριο Durbin-Watson.

0,584
2,120 0,479
0,206 1,313
6,022 1,711
1,615 0,001
0,000 0,001
0,527 0,476
5,157 2,500
13,228 4,227
2,462 0,728
31,337 12,020

d1=0,88; d2=1,32 για α=0,05, n=10, k=1.

,

Αυτό σημαίνει ότι ένας αριθμός υπολειμμάτων δεν συσχετίζεται.

4. Ας ελέγξουμε τη σημασία των παραμέτρων της εξίσωσης με βάση το Student's t-test. (α=0,05).

για ν=8; α=0,05.

Υπολογισμός αξίας

παράγεται σε πίνακα. 2. Παίρνουμε:
, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι συντελεστές παλινδρόμησης a και b είναι σημαντικοί με πιθανότητα 0,95.

5. Βρείτε τον συντελεστή συσχέτισης χρησιμοποιώντας τον τύπο

Θα κάνουμε τους υπολογισμούς στον πίνακα. 2.

. Οτι. η σχέση μεταξύ του ποσού της κεφαλαιουχικής επένδυσης Χ και του προϊόντος Υ μπορεί να θεωρηθεί στενή, γιατί .

Βρίσκουμε τον συντελεστή προσδιορισμού χρησιμοποιώντας τον τύπο

Η μελέτη των εξαρτήσεων συσχέτισης βασίζεται στη μελέτη τέτοιων συνδέσεων μεταξύ μεταβλητών στις οποίες οι τιμές μιας μεταβλητής, η οποία μπορεί να ληφθεί ως εξαρτημένη μεταβλητή, αλλάζουν «κατά μέσο όρο» ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνονται από μια άλλη μεταβλητή, θεωρείται ως αιτία σε σχέση με την εξαρτημένη μεταβλητή. Η δράση αυτής της αιτίας πραγματοποιείται υπό συνθήκες πολύπλοκης αλληλεπίδρασης διαφόρων παραγόντων, με αποτέλεσμα η εκδήλωση του προτύπου να συγκαλύπτεται από την επίδραση της τύχης. Με τον υπολογισμό των μέσων τιμών του αποτελεσματικού χαρακτηριστικού για μια δεδομένη ομάδα τιμών του παράγοντα-χαρακτηριστικού, η επιρροή της τύχης εξαλείφεται εν μέρει. Με τον υπολογισμό των παραμέτρων της θεωρητικής γραμμής επικοινωνίας, εξαλείφονται περαιτέρω και προκύπτει μια σαφής (σε μορφή) αλλαγή στο "y" με μια αλλαγή στον παράγοντα "x".

Για τη μελέτη στοχαστικών σχέσεων, τη μέθοδο σύγκρισης δύο παράλληλων σειρών, τη μέθοδο των αναλυτικών ομαδοποιήσεων, ανάλυση συσχέτισης, ανάλυση παλινδρόμησης και μερικά μη παραμετρικές μεθόδους. ΣΕ γενική εικόναΤο καθήκον της στατιστικής στον τομέα της μελέτης των σχέσεων δεν είναι μόνο ποσοτικοποίησητην παρουσία, την κατεύθυνση και την ισχύ της σύνδεσής τους, αλλά και στον προσδιορισμό της μορφής (αναλυτική έκφραση) της επίδρασης των χαρακτηριστικών παραγόντων στο προκύπτον. Για την επίλυσή του χρησιμοποιούνται μέθοδοι ανάλυσης συσχέτισης και παλινδρόμησης.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΛΙΔΡΟΜΗΣΗΣ: ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΑ

1.1. Εξίσωση παλινδρόμησης: ουσία και τύποι συναρτήσεων

Παλινδρόμηση (λατ. regressio - αντίστροφη κίνηση, μετάβαση από περισσότερα σύνθετα σχήματαανάπτυξη σε λιγότερο σύνθετες) είναι μια από τις βασικές έννοιες στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική, που εκφράζει την εξάρτηση της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής από τις τιμές μιας άλλης τυχαίας μεταβλητής ή πολλών τυχαίες μεταβλητές. Αυτή η ιδέα εισήχθη από τον Francis Galton το 1886.

Η θεωρητική γραμμή παλινδρόμησης είναι η γραμμή γύρω από την οποία ομαδοποιούνται τα σημεία του πεδίου συσχέτισης και η οποία υποδεικνύει την κύρια κατεύθυνση, την κύρια τάση της σύνδεσης.

Η θεωρητική γραμμή παλινδρόμησης θα πρέπει να αντικατοπτρίζει τη μεταβολή των μέσων τιμών του ενεργού χαρακτηριστικού «y» καθώς αλλάζουν οι τιμές του χαρακτηριστικού παράγοντα «x», υπό τον όρο ότι όλες οι άλλες αιτίες, τυχαίες σε σχέση με τον παράγοντα «x» , ακυρώνονται πλήρως. Συνεπώς, αυτή η γραμμή πρέπει να σχεδιαστεί έτσι ώστε το άθροισμα των αποκλίσεων των σημείων του πεδίου συσχέτισης από τα αντίστοιχα σημεία της θεωρητικής γραμμής παλινδρόμησης να είναι ίσο με μηδέν και το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των αποκλίσεων να είναι ελάχιστο.

y=f(x) - η εξίσωση παλινδρόμησης είναι ένας τύπος για τη στατιστική σχέση μεταξύ των μεταβλητών.

Μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο (σε δισδιάστατο χώρο) δίνεται από την εξίσωση y=a+b*x. Πιο αναλυτικά, η μεταβλητή y μπορεί να εκφραστεί ως σταθερά (a) και μια κλίση (b) πολλαπλασιαζόμενη με τη μεταβλητή x. Η σταθερά μερικές φορές ονομάζεται επίσης όρος τομής και η κλίση μερικές φορές ονομάζεται παλινδρόμηση ή Β-συντελεστής.

Ένα σημαντικό στάδιο της ανάλυσης παλινδρόμησης είναι ο προσδιορισμός του τύπου της συνάρτησης με την οποία χαρακτηρίζεται η εξάρτηση μεταξύ των χαρακτηριστικών. Η κύρια βάση θα πρέπει να είναι μια ουσιαστική ανάλυση της φύσης της εξάρτησης που μελετάται και του μηχανισμού της. Ταυτόχρονα, δεν είναι πάντα δυνατό να τεκμηριωθεί θεωρητικά η μορφή σύνδεσης μεταξύ καθενός από τους παράγοντες και του δείκτη απόδοσης, καθώς τα κοινωνικο-οικονομικά φαινόμενα που μελετώνται είναι πολύ περίπλοκα και οι παράγοντες που διαμορφώνουν το επίπεδό τους είναι στενά αλληλένδετοι και αλληλεπιδρούν ο ένας με τον άλλο. Επομένως, με βάση τη θεωρητική ανάλυση, μπορούν συχνά να εξαχθούν τα πιο γενικά συμπεράσματα σχετικά με την κατεύθυνση της σχέσης, τη δυνατότητα αλλαγής της στον υπό μελέτη πληθυσμό, τη νομιμότητα της χρήσης μιας γραμμικής σχέσης, την πιθανή παρουσία ακραίων τιμών, και τα λοιπά. Ένα απαραίτητο συμπλήρωμα σε τέτοιες υποθέσεις πρέπει να είναι η ανάλυση συγκεκριμένων πραγματικών δεδομένων.

Μια κατά προσέγγιση ιδέα της γραμμής σχέσης μπορεί να ληφθεί με βάση την εμπειρική γραμμή παλινδρόμησης. Η εμπειρική γραμμή παλινδρόμησης είναι συνήθως μια διακεκομμένη γραμμή και έχει μια περισσότερο ή λιγότερο σημαντική διακοπή. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η επίδραση άλλων μη καταγεγραμμένων παραγόντων που επηρεάζουν τη διακύμανση του αποτελεσματικού χαρακτηριστικού δεν εξαλείφεται πλήρως στον μέσο όρο, λόγω ανεπαρκούς μεγάλη ποσότηταπαρατηρήσεις, επομένως, η εμπειρική γραμμή επικοινωνίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επιλογή και την αιτιολόγηση του τύπου της θεωρητικής καμπύλης, με την προϋπόθεση ότι ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι αρκετά μεγάλος.

Ένα από τα στοιχεία συγκεκριμένων μελετών είναι η σύγκριση διαφόρων εξισώσεων εξάρτησης, με βάση τη χρήση κριτηρίων ποιότητας για την προσέγγιση εμπειρικών δεδομένων από ανταγωνιστικές εκδόσεις μοντέλων. Οι ακόλουθοι τύποι συναρτήσεων χρησιμοποιούνται συχνότερα για τον χαρακτηρισμό των σχέσεων των οικονομικών δεικτών:

1. Γραμμική:

2. Υπερβολικό:

3. Επιδεικτικά:

4. Παραβολική:

5. Ισχύς:

6. Λογαριθμική:

7. Επιμελητεία:

Ένα μοντέλο με μία επεξηγηματική και μία επεξηγημένη μεταβλητή είναι ένα μοντέλο ζευγαρωμένης παλινδρόμησης. Εάν χρησιμοποιούνται δύο ή περισσότερες επεξηγηματικές (παραγοντικές) μεταβλητές, τότε μιλάμε για χρήση ενός μοντέλου πολλαπλής παλινδρόμησης. Σε αυτήν την περίπτωση, γραμμικές, εκθετικές, υπερβολικές, εκθετικές και άλλοι τύποι συναρτήσεων που συνδέουν αυτές τις μεταβλητές μπορούν να επιλεγούν ως επιλογές.

Για να βρείτε τις παραμέτρους a και b της εξίσωσης παλινδρόμησης, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για την εύρεση μιας συνάρτησης που ταιριάζει καλύτερα σε εμπειρικά δεδομένα, πιστεύεται ότι ο σάκος των τετραγώνων των αποκλίσεων των εμπειρικών σημείων από τη θεωρητική γραμμή παλινδρόμησης πρέπει να είναι μια ελάχιστη τιμή.

Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Κατά συνέπεια, η χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων για τον προσδιορισμό των παραμέτρων a και b της γραμμής που ταιριάζει καλύτερα με τα εμπειρικά δεδομένα περιορίζεται σε ένα ακραίο πρόβλημα.

Όσον αφορά τις εκτιμήσεις, μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Οι εκτιμητές ελάχιστων τετραγώνων είναι συναρτήσεις του δείγματος, γεγονός που καθιστά εύκολο τον υπολογισμό τους.

2. Οι εκτιμήσεις ελάχιστων τετραγώνων είναι σημειακές εκτιμήσεις των θεωρητικών συντελεστών παλινδρόμησης.

3. Η γραμμή εμπειρικής παλινδρόμησης διέρχεται αναγκαστικά από το σημείο x, y.

4. Η εμπειρική εξίσωση παλινδρόμησης είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αποκλίσεων

.

Μια γραφική αναπαράσταση της εμπειρικής και θεωρητικής γραμμής επικοινωνίας παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.


Η παράμετρος b στην εξίσωση είναι ο συντελεστής παλινδρόμησης. Εάν υπάρχει άμεση συσχέτιση, ο συντελεστής παλινδρόμησης έχει θετική αξία, και στην περίπτωση αντίστροφη σχέσηο συντελεστής παλινδρόμησης είναι αρνητικός. Ο συντελεστής παλινδρόμησης δείχνει πόσο κατά μέσο όρο αλλάζει η τιμή του ενεργού χαρακτηριστικού «y» όταν το χαρακτηριστικό του παράγοντα «x» αλλάζει κατά ένα. Γεωμετρικά, ο συντελεστής παλινδρόμησης είναι η κλίση της ευθείας γραμμής που απεικονίζει την εξίσωση συσχέτισης σε σχέση με τον άξονα «x» (για την εξίσωση

).

Πολυδιάστατη τομή Στατιστική ανάλυση, αφιερωμένο στην ανάκτηση εξάρτησης, ονομάζεται ανάλυση παλινδρόμησης. Ο όρος «γραμμική ανάλυση παλινδρόμησης» χρησιμοποιείται όταν η υπό εξέταση συνάρτηση εξαρτάται γραμμικά από τις εκτιμώμενες παραμέτρους (η εξάρτηση από ανεξάρτητες μεταβλητές μπορεί να είναι αυθαίρετη). Θεωρία αξιολόγησης

Οι άγνωστες παράμετροι έχουν αναπτυχθεί καλά ειδικά στην περίπτωση της ανάλυσης γραμμικής παλινδρόμησης. Αν δεν υπάρχει γραμμικότητα και είναι αδύνατο να πάμε σε γραμμικό πρόβλημα, τότε κατά κανόνα δεν μπορεί κανείς να περιμένει καλά ακίνητα από τις εκτιμήσεις. Θα δείξουμε προσεγγίσεις στην περίπτωση εξαρτήσεων διάφοροι τύποι. Αν η εξάρτηση έχει τη μορφή πολυωνύμου (πολυωνύμου). Εάν ο υπολογισμός της συσχέτισης χαρακτηρίζει την ισχύ της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών, τότε η ανάλυση παλινδρόμησης χρησιμεύει για τον προσδιορισμό του τύπου αυτής της σχέσης και καθιστά δυνατή την πρόβλεψη της τιμής μιας (εξαρτημένης) μεταβλητής με βάση την τιμή μιας άλλης (ανεξάρτητης) μεταβλητής. . Για τη διεξαγωγή ανάλυσης γραμμικής παλινδρόμησης, η εξαρτημένη μεταβλητή πρέπει να έχει μια κλίμακα διαστήματος (ή τακτικής). Ταυτόχρονα, η δυαδική λογιστική παλινδρόμηση αποκαλύπτει την εξάρτηση μιας διχοτομικής μεταβλητής από κάποια άλλη μεταβλητή που σχετίζεται με οποιαδήποτε κλίμακα. Οι ίδιες προϋποθέσεις εφαρμογής ισχύουν για την ανάλυση probit. Εάν η εξαρτημένη μεταβλητή είναι κατηγορική, αλλά έχει περισσότερες από δύο κατηγορίες, τότε η πολυωνυμική λογιστική παλινδρόμηση είναι μια κατάλληλη μέθοδος· μπορούν να αναλυθούν μη γραμμικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών που ανήκουν σε μια κλίμακα διαστήματος. Η μέθοδος μη γραμμικής παλινδρόμησης έχει σχεδιαστεί για αυτό το σκοπό.

Κατά τη διάρκεια των σπουδών τους, οι μαθητές πολύ συχνά συναντούν ποικίλες εξισώσεις. Ένα από αυτά - η εξίσωση παλινδρόμησης - συζητείται σε αυτό το άρθρο. Αυτός ο τύπος εξίσωσης χρησιμοποιείται ειδικά για να περιγράψει τα χαρακτηριστικά της σχέσης μεταξύ μαθηματικών παραμέτρων. Αυτός ο τύπος ισότητας χρησιμοποιείται στη στατιστική και στην οικονομετρία.

Ορισμός παλινδρόμησης

Στα μαθηματικά, παλινδρόμηση σημαίνει μια ορισμένη ποσότητα που περιγράφει την εξάρτηση της μέσης τιμής ενός συνόλου δεδομένων από τις τιμές μιας άλλης ποσότητας. Η εξίσωση παλινδρόμησης δείχνει, ως συνάρτηση ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού, τη μέση τιμή ενός άλλου χαρακτηριστικού. Η συνάρτηση παλινδρόμησης έχει τη μορφή απλή εξίσωση y = x, στην οποία το y δρα ως εξαρτημένη μεταβλητή και το x ως ανεξάρτητη μεταβλητή (συντελεστής-χαρακτηριστικού). Στην πραγματικότητα, η παλινδρόμηση εκφράζεται ως y = f (x).

Ποιοι είναι οι τύποι σχέσεων μεταξύ μεταβλητών;

Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν δύο αντίθετους τύπουςσχέσεις: συσχέτιση και παλινδρόμηση.

Η πρώτη χαρακτηρίζεται από την ισότητα των μεταβλητών υπό όρους. Σε αυτή την περίπτωση, δεν είναι αξιόπιστα γνωστό ποια μεταβλητή εξαρτάται από την άλλη.

Εάν δεν υπάρχει ισότητα μεταξύ των μεταβλητών και οι συνθήκες λένε ποια μεταβλητή είναι επεξηγηματική και ποια εξαρτημένη, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για την ύπαρξη σύνδεσης του δεύτερου τύπου. Προκειμένου να κατασκευαστεί μια εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης, θα χρειαστεί να βρεθεί ποιος τύπος σχέσης παρατηρείται.

Τύποι παλινδρόμησης

Σήμερα, υπάρχουν 7 διαφορετικοί τύποι παλινδρόμησης: υπερβολική, γραμμική, πολλαπλή, μη γραμμική, κατά ζεύγη, αντίστροφη, λογαριθμικά γραμμική.

Υπερβολική, γραμμική και λογαριθμική

Η εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης χρησιμοποιείται στη στατιστική για να εξηγήσει με σαφήνεια τις παραμέτρους της εξίσωσης. Μοιάζει με y = c+t*x+E. Η υπερβολική εξίσωση έχει τη μορφή κανονικής υπερβολής y = c + m / x + E. Λογαριθμικά γραμμική εξίσωσηεκφράζει σχέσεις χρησιμοποιώντας λογαριθμική συνάρτηση: Σε y = Σε c + t* Σε x + Σε Ε.

Πολλαπλά και μη γραμμικά

Οι δύο πιο σύνθετοι τύποι παλινδρόμησης είναι πολλαπλοί και μη γραμμικοί. Η εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης εκφράζεται με τη συνάρτηση y = f(x 1, x 2 ... x c) + E. Σε αυτήν την περίπτωση, η y δρα ως εξαρτημένη μεταβλητή και η x ως επεξηγηματική μεταβλητή. Η μεταβλητή Ε είναι στοχαστική και περιλαμβάνει την επίδραση άλλων παραγόντων στην εξίσωση. Η εξίσωση μη γραμμικής παλινδρόμησης είναι λίγο αμφιλεγόμενη. Αφενός, σε σχέση με τους δείκτες που λαμβάνονται υπόψη, δεν είναι γραμμικός, αφετέρου όμως, σε ρόλο αξιολόγησης δεικτών, είναι γραμμικός.

Αντίστροφοι και ζευγαρωμένοι τύποι παλινδρόμησης

Η αντίστροφη είναι ένας τύπος συνάρτησης που πρέπει να μετατραπεί σε γραμμική μορφή. Στα πιο παραδοσιακά προγράμματα εφαρμογήςέχει τη μορφή συνάρτησης y = 1/c + m*x+E. Μια εξίσωση παλινδρόμησης κατά ζεύγη δείχνει τη σχέση μεταξύ των δεδομένων ως συνάρτηση του y = f (x) + E. Όπως και σε άλλες εξισώσεις, το y εξαρτάται από το x και το E είναι μια στοχαστική παράμετρος.

Έννοια της συσχέτισης

Αυτός είναι ένας δείκτης που καταδεικνύει την ύπαρξη σχέσης μεταξύ δύο φαινομένων ή διεργασιών. Η ισχύς της σχέσης εκφράζεται ως συντελεστής συσχέτισης. Η τιμή του κυμαίνεται στο διάστημα [-1;+1]. Αρνητικός δείκτηςυποδηλώνει την παρουσία ανατροφοδότησης, η θετική υποδηλώνει άμεση ανατροφοδότηση. Αν ο συντελεστής πάρει μια τιμή ίση με 0, τότε δεν υπάρχει σχέση. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή στο 1, τόσο ισχυρότερη είναι η σχέση μεταξύ των παραμέτρων· όσο πιο κοντά στο 0, τόσο πιο αδύναμη είναι.

Μέθοδοι

Οι παραμετρικές μέθοδοι συσχέτισης μπορούν να αξιολογήσουν την ισχύ της σχέσης. Χρησιμοποιούνται με βάση την εκτίμηση κατανομής για τη μελέτη παραμέτρων που υπακούουν στο νόμο της κανονικής κατανομής.

Οι παράμετροι της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό του τύπου εξάρτησης, τη συνάρτηση της εξίσωσης παλινδρόμησης και την αξιολόγηση των δεικτών του επιλεγμένου τύπου σχέσης. Το πεδίο συσχέτισης χρησιμοποιείται ως μέθοδος αναγνώρισης σύνδεσης. Για να γίνει αυτό, όλα τα υπάρχοντα δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται γραφικά. Όλα τα γνωστά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται σε ένα ορθογώνιο δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Έτσι σχηματίζεται ένα πεδίο συσχέτισης. Οι τιμές του συντελεστή περιγραφής σημειώνονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, ενώ οι τιμές του εξαρτημένου παράγοντα σημειώνονται κατά μήκος του άξονα της τεταγμένης. Εάν υπάρχει λειτουργική σχέση μεταξύ των παραμέτρων, αυτές παρατάσσονται με τη μορφή γραμμής.

Εάν ο συντελεστής συσχέτισης τέτοιων δεδομένων είναι μικρότερος από 30%, μπορούμε να μιλήσουμε πρακτικά πλήρης απουσίαδιαβιβάσεις. Εάν είναι μεταξύ 30% και 70%, τότε αυτό υποδηλώνει την παρουσία συνδέσεων μεσαίου-κλειστού. Ένας δείκτης 100% είναι απόδειξη μιας λειτουργικής σύνδεσης.

Μια μη γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης, ακριβώς όπως μια γραμμική, πρέπει να συμπληρωθεί με έναν δείκτη συσχέτισης (R).

Συσχέτιση για πολλαπλή παλινδρόμηση

Ο συντελεστής προσδιορισμού είναι ένας δείκτης του τετραγώνου της πολλαπλής συσχέτισης. Μιλά για τη στενή σχέση του παρουσιαζόμενου συνόλου δεικτών με το χαρακτηριστικό που μελετάται. Μπορεί επίσης να μιλήσει για τη φύση της επιρροής των παραμέτρων στο αποτέλεσμα. Η εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης εκτιμάται χρησιμοποιώντας αυτόν τον δείκτη.

Για να υπολογιστεί ο δείκτης πολλαπλής συσχέτισης, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο δείκτης του.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου

Αυτή η μέθοδος είναι ένας τρόπος εκτίμησης των παραγόντων παλινδρόμησης. Η ουσία του είναι να ελαχιστοποιήσει το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της εξάρτησης του παράγοντα από τη συνάρτηση.

Μια κατά ζεύγη γραμμική εξίσωση παλινδρόμησης μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας μια τέτοια μέθοδο. Αυτός ο τύπος εξισώσεων χρησιμοποιείται όταν ανιχνεύεται μια ζευγαρωμένη γραμμική σχέση μεταξύ των δεικτών.

Παράμετροι Εξίσωσης

Κάθε παράμετρος της συνάρτησης γραμμικής παλινδρόμησης έχει μια συγκεκριμένη σημασία. Η εξίσωση ζευγαρωμένης γραμμικής παλινδρόμησης περιέχει δύο παραμέτρους: c και m. Η παράμετρος m δείχνει τη μέση μεταβολή στον τελικό δείκτη της συνάρτησης y, με την προϋπόθεση ότι η μεταβλητή x μειώνεται (αυξάνεται) κατά μία συμβατική μονάδα. Αν η μεταβλητή x είναι μηδέν, τότε η συνάρτηση είναι ίση με την παράμετρο c. Εάν η μεταβλητή x δεν είναι μηδέν, τότε ο παράγοντας c δεν έχει οικονομική σημασία. Η μόνη επιρροή στη συνάρτηση είναι το πρόσημο μπροστά από τον παράγοντα c. Εάν υπάρχει ένα μείον, τότε μπορούμε να πούμε ότι η αλλαγή στο αποτέλεσμα είναι αργή σε σύγκριση με τον παράγοντα. Εάν υπάρχει ένα συν, τότε αυτό δείχνει μια επιταχυνόμενη αλλαγή στο αποτέλεσμα.

Κάθε παράμετρος που αλλάζει την τιμή της εξίσωσης παλινδρόμησης μπορεί να εκφραστεί μέσω μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο παράγοντας c έχει τη μορφή c = y - mx.

Ομαδοποιημένα δεδομένα

Υπάρχουν συνθήκες εργασίας στις οποίες όλες οι πληροφορίες ομαδοποιούνται με το χαρακτηριστικό x, αλλά για μια συγκεκριμένη ομάδα υποδεικνύονται οι αντίστοιχες μέσες τιμές του εξαρτημένου δείκτη. Σε αυτήν την περίπτωση, οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν πώς αλλάζει ο δείκτης ανάλογα με το x. Έτσι, οι ομαδοποιημένες πληροφορίες βοηθούν στην εύρεση της εξίσωσης παλινδρόμησης. Χρησιμοποιείται ως ανάλυση των σχέσεων. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος έχει τα μειονεκτήματά της. Δυστυχώς, οι μέσοι δείκτες υπόκεινται συχνά σε εξωτερικές διακυμάνσεις. Αυτές οι διακυμάνσεις δεν αντικατοπτρίζουν το μοτίβο της σχέσης, απλώς συγκαλύπτουν τον «θόρυβο» της. Οι μέσοι όροι δείχνουν μοτίβα σχέσης πολύ χειρότερα από μια εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης. Ωστόσο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάση για την εύρεση μιας εξίσωσης. Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό ενός μεμονωμένου πληθυσμού με τον αντίστοιχο μέσο όρο, μπορεί κανείς να πάρει το άθροισμα y εντός της ομάδας. Στη συνέχεια, πρέπει να αθροίσετε όλα τα ποσά που έχετε λάβει και να βρείτε τον τελικό δείκτη y. Είναι λίγο πιο δύσκολο να κάνετε υπολογισμούς με τον δείκτη αθροίσματος xy. Εάν τα διαστήματα είναι μικρά, μπορούμε να πάρουμε υπό όρους τον δείκτη x για όλες τις μονάδες (εντός της ομάδας) να είναι ίδιος. Θα πρέπει να το πολλαπλασιάσετε με το άθροισμα του y για να βρείτε το άθροισμα των γινομένων των x και y. Στη συνέχεια, όλα τα ποσά αθροίζονται και προκύπτει το συνολικό ποσό xy.

Εξίσωση παλινδρόμησης πολλαπλών ζευγαριών: αξιολόγηση της σημασίας μιας σχέσης

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η πολλαπλή παλινδρόμηση έχει μια συνάρτηση της μορφής y = f (x 1,x 2,…,x m)+E. Τις περισσότερες φορές, μια τέτοια εξίσωση χρησιμοποιείται για την επίλυση του προβλήματος της προσφοράς και της ζήτησης για ένα προϊόν, των εσόδων από τόκους από επαναγορασμένες μετοχές και για τη μελέτη των αιτιών και του τύπου της συνάρτησης κόστους παραγωγής. Χρησιμοποιείται επίσης ενεργά σε μια μεγάλη ποικιλία μακροοικονομικών μελετών και υπολογισμών, αλλά σε μικροοικονομικό επίπεδο αυτή η εξίσωση χρησιμοποιείται λίγο λιγότερο συχνά.

Το κύριο καθήκον της πολλαπλής παλινδρόμησης είναι η κατασκευή ενός μοντέλου δεδομένων που περιέχει τεράστιο όγκο πληροφοριών, προκειμένου να προσδιοριστεί περαιτέρω η επίδραση που έχει κάθε ένας από τους παράγοντες ξεχωριστά και στο σύνολό τους στον δείκτη που πρέπει να μοντελοποιηθεί και στους συντελεστές του. Η εξίσωση παλινδρόμησης μπορεί να λάβει μια μεγάλη ποικιλία τιμών. Σε αυτή την περίπτωση, για την αξιολόγηση της σχέσης, χρησιμοποιούνται συνήθως δύο τύποι συναρτήσεων: γραμμικές και μη γραμμικές.

Η γραμμική συνάρτηση απεικονίζεται με τη μορφή της ακόλουθης σχέσης: y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2,+ ... + a m x m. Στην περίπτωση αυτή, τα a2, a m θεωρούνται «καθαροί» συντελεστές παλινδρόμησης. Είναι απαραίτητα για τον χαρακτηρισμό της μέσης μεταβολής της παραμέτρου y με αλλαγή (μείωση ή αύξηση) σε κάθε αντίστοιχη παράμετρο x κατά μία μονάδα, με την προϋπόθεση των σταθερών τιμών άλλων δεικτών.

Οι μη γραμμικές εξισώσεις έχουν, για παράδειγμα, τη μορφή λειτουργία ισχύος y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm . Στην περίπτωση αυτή, οι δείκτες b 1, b 2 ..... b m ονομάζονται συντελεστές ελαστικότητας, δείχνουν πώς θα αλλάξει το αποτέλεσμα (κατά πόσο%) με αύξηση (μείωση) στον αντίστοιχο δείκτη x κατά 1% και με σταθερό δείκτη άλλων παραγόντων.

Ποιοι παράγοντες πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά την κατασκευή πολλαπλής παλινδρόμησης

Για να χτιστεί σωστά πολλαπλή παλινδρόμηση, είναι απαραίτητο να μάθουμε σε ποιους παράγοντες πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή.

Είναι απαραίτητο να έχουμε κάποια κατανόηση της φύσης των σχέσεων μεταξύ των οικονομικών παραγόντων και αυτού που διαμορφώνεται. Οι παράγοντες που θα πρέπει να συμπεριληφθούν πρέπει να πληρούν τα ακόλουθα κριτήρια:

  • Πρέπει να υπόκειται σε ποσοτική μέτρηση. Για να χρησιμοποιηθεί ένας παράγοντας που περιγράφει την ποιότητα ενός αντικειμένου, σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να του δοθεί μια ποσοτική μορφή.
  • Δεν πρέπει να υπάρχει αλληλοσυσχέτιση παραγόντων ή λειτουργική σχέση. Τέτοιες ενέργειες οδηγούν τις περισσότερες φορές σε μη αναστρέψιμες συνέπειες - το σύστημα των συνηθισμένων εξισώσεων γίνεται άνευ όρων, και αυτό συνεπάγεται την αναξιοπιστία και τις ασαφείς εκτιμήσεις του.
  • Στην περίπτωση ενός τεράστιου δείκτη συσχέτισης, δεν υπάρχει τρόπος να διαπιστωθεί η μεμονωμένη επίδραση παραγόντων στο τελικό αποτέλεσμα του δείκτη, επομένως, οι συντελεστές γίνονται ανερμήνευτοι.

Μέθοδοι κατασκευής

Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός μεθόδων και μεθόδων που εξηγούν πώς μπορείτε να επιλέξετε παράγοντες για μια εξίσωση. Ωστόσο, όλες αυτές οι μέθοδοι βασίζονται στην επιλογή των συντελεστών χρησιμοποιώντας έναν δείκτη συσχέτισης. Μεταξύ αυτών είναι:

  • Μέθοδος εξάλειψης.
  • Μέθοδος εναλλαγής.
  • Ανάλυση παλινδρόμησης σταδιακά.

Η πρώτη μέθοδος περιλαμβάνει το φιλτράρισμα όλων των συντελεστών από το συνολικό σύνολο. Η δεύτερη μέθοδος περιλαμβάνει την εισαγωγή πολλών πρόσθετων παραγόντων. Λοιπόν, το τρίτο είναι η εξάλειψη των παραγόντων που χρησιμοποιήθηκαν προηγουμένως για την εξίσωση. Κάθε μία από αυτές τις μεθόδους έχει το δικαίωμα ύπαρξης. Έχουν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματά τους, αλλά μπορούν όλοι να λύσουν το ζήτημα της εξάλειψης περιττών δεικτών με τον δικό τους τρόπο. Κατά κανόνα, τα αποτελέσματα που λαμβάνονται από κάθε μεμονωμένη μέθοδο είναι αρκετά κοντά.

Μέθοδοι πολυμεταβλητής ανάλυσης

Τέτοιες μέθοδοι για τον προσδιορισμό των παραγόντων βασίζονται στην εξέταση μεμονωμένων συνδυασμών αλληλένδετων χαρακτηριστικών. Αυτά περιλαμβάνουν ανάλυση διάκρισης, αναγνώριση σχήματος, ανάλυση κύριου συστατικού και ανάλυση συστάδων. Επιπλέον, υπάρχει και παραγοντική ανάλυση, αλλά εμφανίστηκε λόγω της ανάπτυξης της μεθόδου συστατικών. Όλα αυτά ισχύουν υπό ορισμένες συνθήκες, υπό ορισμένες προϋποθέσεις και παράγοντες.

Εάν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ του παράγοντα και των χαρακτηριστικών απόδοσης, οι γιατροί συχνά πρέπει να καθορίσουν κατά πόσο μπορεί να αλλάξει η τιμή ενός χαρακτηριστικού όταν το άλλο αλλάζει σε μια γενικά αποδεκτή μονάδα μέτρησης ή σε μια μονάδα που καθορίζεται από τον ίδιο τον ερευνητή.

Για παράδειγμα, πώς θα αλλάξει το σωματικό βάρος των μαθητών της Α' τάξης (κορίτσια ή αγόρια) εάν το ύψος τους αυξηθεί κατά 1 cm; Για τους σκοπούς αυτούς χρησιμοποιείται η μέθοδος της ανάλυσης παλινδρόμησης.

Η μέθοδος ανάλυσης παλινδρόμησης χρησιμοποιείται συχνότερα για την ανάπτυξη κανονιστικών κλιμάκων και προτύπων φυσική ανάπτυξη.

  1. Ορισμός της παλινδρόμησης. Η παλινδρόμηση είναι μια συνάρτηση που επιτρέπει, από τη μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού, να προσδιορίσει τη μέση τιμή ενός άλλου χαρακτηριστικού που συσχετίζεται με το πρώτο.

    Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται ο συντελεστής παλινδρόμησης και μια σειρά από άλλες παραμέτρους. Για παράδειγμα, μπορείτε να υπολογίσετε τον αριθμό των κρυολογημάτων κατά μέσο όρο σε συγκεκριμένες τιμές μέση μηνιαία θερμοκρασίααέρα την περίοδο του φθινοπώρου-χειμώνα.

  2. Προσδιορισμός του συντελεστή παλινδρόμησης. Συντελεστής παλινδρόμησης - απόλυτη τιμή, με την οποία κατά μέσο όρο η τιμή ενός χαρακτηριστικού αλλάζει όταν ένα άλλο συσχετισμένο χαρακτηριστικό αλλάζει κατά την καθορισμένη μονάδα μέτρησης.
  3. Τύπος συντελεστή παλινδρόμησης. R y/x = r xy x (σ y / σ x)
    όπου R у/х - συντελεστής παλινδρόμησης.
    r xy - συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των χαρακτηριστικών x και y;
    (σ y και σ x) - τυπικές αποκλίσεις των χαρακτηριστικών x και y.

    Στο παράδειγμά μας.
    σ x = 4,6 (τυπική απόκλιση της θερμοκρασίας του αέρα την περίοδο φθινοπώρου-χειμώνα.
    σ y = 8,65 (τυπική απόκλιση του αριθμού των λοιμωδών και κρυολογικών ασθενειών).
    Έτσι, το R y/x είναι ο συντελεστής παλινδρόμησης.
    R у/х = -0,96 x (4,6 / 8,65) = 1,8, δηλ. Όταν η μέση μηνιαία θερμοκρασία του αέρα (x) μειωθεί κατά 1 βαθμό, ο μέσος αριθμός μολυσματικών και κρύων ασθενειών (y) την περίοδο φθινοπώρου-χειμώνα θα αλλάξει κατά 1,8 περιπτώσεις.

  4. Εξίσωση παλινδρόμησης. y = M y + R y/x (x - M x)
    όπου y είναι η μέση τιμή του χαρακτηριστικού, η οποία πρέπει να προσδιορίζεται όταν αλλάζει η μέση τιμή ενός άλλου χαρακτηριστικού (x).
    x είναι η γνωστή μέση τιμή ενός άλλου χαρακτηριστικού.
    R y/x - συντελεστής παλινδρόμησης;
    M x, M y - γνωστές μέσες τιμές των χαρακτηριστικών x και y.

    Για παράδειγμα, ο μέσος αριθμός μολυσματικών και κρύων ασθενειών (y) μπορεί να προσδιοριστεί χωρίς ειδικές μετρήσεις σε οποιαδήποτε μέση τιμή της μέσης μηνιαίας θερμοκρασίας αέρα (x). Έτσι, αν x = - 9°, R y/x = 1,8 ασθένειες, M x = -7°, M y = 20 ασθένειες, τότε y = 20 + 1,8 x (9-7) = 20 + 3 ,6 = 23,6 ασθένειες.
    Αυτή η εξίσωση εφαρμόζεται στην περίπτωση μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ δύο χαρακτηριστικών (x και y).

  5. Σκοπός της εξίσωσης παλινδρόμησης. Η εξίσωση παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για την κατασκευή μιας γραμμής παλινδρόμησης. Το τελευταίο καθιστά δυνατό, χωρίς ειδικές μετρήσεις, τον προσδιορισμό οποιασδήποτε μέσης τιμής (y) ενός χαρακτηριστικού εάν αλλάξει η τιμή (x) ενός άλλου χαρακτηριστικού. Με βάση αυτά τα δεδομένα, δημιουργείται ένα γράφημα - γραμμή παλινδρόμησης, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του μέσου αριθμού κρυολογημάτων σε οποιαδήποτε τιμή της μέσης μηνιαίας θερμοκρασίας εντός του εύρους μεταξύ των υπολογισμένων τιμών του αριθμού των κρυολογημάτων.
  6. Regression Sigma (τύπος).
    όπου σ Rу/х - σίγμα (τυπική απόκλιση) παλινδρόμησης.
    σ y - τυπική απόκλιση του χαρακτηριστικού y;
    r xy - συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των χαρακτηριστικών x και y.

    Άρα, αν σ y - τυπική απόκλιση του αριθμού των κρυολογημάτων = 8,65; r xy - ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ του αριθμού των κρυολογημάτων (y) και της μέσης μηνιαίας θερμοκρασίας του αέρα την περίοδο φθινοπώρου-χειμώνα (x) είναι ίσος με - 0,96, τότε

  7. Ανάθεση σίγμα παλινδρόμησης. Δίνει μια περιγραφή του μέτρου της ποικιλομορφίας του προκύπτοντος χαρακτηριστικού (y).

    Για παράδειγμα, χαρακτηρίζει την ποικιλομορφία του αριθμού των κρυολογημάτων σε μια ορισμένη τιμή της μέσης μηνιαίας θερμοκρασίας του αέρα την περίοδο φθινοπώρου-χειμώνα. Έτσι, ο μέσος αριθμός κρυολογημάτων σε θερμοκρασία αέρα x 1 = -6° μπορεί να κυμαίνεται από 15,78 ασθένειες έως 20,62 ασθένειες.
    Σε x 2 = -9°, ο μέσος αριθμός κρυολογημάτων μπορεί να κυμαίνεται από 21,18 ασθένειες έως 26,02 ασθένειες κ.λπ.

    Το σίγμα παλινδρόμησης χρησιμοποιείται για την κατασκευή μιας κλίμακας παλινδρόμησης, η οποία αντανακλά την απόκλιση των τιμών του προκύπτοντος χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή του που απεικονίζεται στη γραμμή παλινδρόμησης.

  8. Δεδομένα που απαιτούνται για τον υπολογισμό και τη γραφική παράσταση της κλίμακας παλινδρόμησης
    • συντελεστής παλινδρόμησης - R у/х;
    • εξίσωση παλινδρόμησης - y = M y + R y/x (x-M x);
    • παλινδρόμηση σίγμα - σ Rx/y
  9. Ακολουθία υπολογισμών και γραφική αναπαράσταση της κλίμακας παλινδρόμησης.
    • προσδιορίστε τον συντελεστή παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας τον τύπο (βλ. παράγραφο 3). Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί πόσο θα αλλάξει κατά μέσο όρο το σωματικό βάρος (σε μια συγκεκριμένη ηλικία ανάλογα με το φύλο) εάν το μέσο ύψος αλλάξει κατά 1 cm.
    • χρησιμοποιώντας τον τύπο της εξίσωσης παλινδρόμησης (βλ. σημείο 4), καθορίστε ποιο θα είναι, για παράδειγμα, το σωματικό βάρος κατά μέσο όρο (y, y 2, y 3 ...) * για μια ορισμένη τιμή ύψους (x, x 2, x 3 . ..) .
      ________________
      * Η τιμή του "y" θα πρέπει να υπολογίζεται για τουλάχιστον τρεις γνωστές αξίες"Χ".

      Ταυτόχρονα, είναι γνωστές οι μέσες τιμές σωματικού βάρους και ύψους (M x, και M y) για μια συγκεκριμένη ηλικία και φύλο.

    • υπολογίστε το σίγμα παλινδρόμησης, γνωρίζοντας τις αντίστοιχες τιμές των σ y και r xy και αντικαθιστώντας τις τιμές τους στον τύπο (βλ. παράγραφο 6).
    • με βάση τις γνωστές τιμές x 1, x 2, x 3 και τις αντίστοιχες μέσες τιμές y 1, y 2 y 3, καθώς και τη μικρότερη (y - σ rу/х) και τη μεγαλύτερη (y + σ rу /х) οι τιμές (y) κατασκευάζουν μια κλίμακα παλινδρόμησης.

      Για να αναπαραστήσετε γραφικά την κλίμακα παλινδρόμησης, οι τιμές x, x2, x3 (άξονας τεταγμένων) σημειώνονται πρώτα στο γράφημα, δηλ. κατασκευάζεται μια γραμμή παλινδρόμησης, για παράδειγμα, η εξάρτηση του σωματικού βάρους (y) από το ύψος (x).

      Στη συνέχεια στα αντίστοιχα σημεία σημειώνονται y 1, y 2, y 3 αριθμητικές τιμέςσίγμα παλινδρόμησης, δηλ. βρείτε το μικρότερο στο γράφημα και υψηλότερη τιμή y 1, y 2, y 3.

  10. Πρακτική χρήσηκλίμακες παλινδρόμησης. Αναπτύσσονται κανονιστικές κλίμακες και πρότυπα, ιδίως για τη φυσική ανάπτυξη. Χρησιμοποιώντας μια τυπική κλίμακα, μπορείτε να δώσετε μια ατομική αξιολόγηση της ανάπτυξης των παιδιών. Σε αυτή την περίπτωση, η σωματική ανάπτυξη αξιολογείται ως αρμονική εάν, για παράδειγμα, σε ένα ορισμένο ύψος, το σωματικό βάρος του παιδιού είναι εντός ενός σίγμα παλινδρόμησης στη μέση υπολογισμένη μονάδα σωματικού βάρους - (y) για δεδομένης ανάπτυξης(x) (y ± 1 σ Ry/x).

    Η σωματική ανάπτυξη θεωρείται δυσαρμονική ως προς το σωματικό βάρος εάν το σωματικό βάρος του παιδιού για ένα ορισμένο ύψος βρίσκεται εντός του δεύτερου σίγμα της παλινδρόμησης: (y ± 2 σ Ry/x)

    Η φυσική ανάπτυξη θα είναι έντονα δυσαρμονική λόγω τόσο του υπερβολικού όσο και του ανεπαρκούς σωματικού βάρους εάν το σωματικό βάρος για ένα ορισμένο ύψος βρίσκεται εντός του τρίτου σίγμα της παλινδρόμησης (y ± 3 σ Ry/x).

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα στατιστική έρευναφυσική ανάπτυξη αγοριών 5 ετών, είναι γνωστό ότι το μέσο ύψος τους (x) είναι 109 cm και το μέσο σωματικό βάρος (y) είναι 19 kg. Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ ύψους και σωματικού βάρους είναι +0,9, οι τυπικές αποκλίσεις παρουσιάζονται στον πίνακα.

Απαιτείται:

  • Υπολογίστε τον συντελεστή παλινδρόμησης.
  • χρησιμοποιώντας την εξίσωση παλινδρόμησης, προσδιορίστε ποιο θα είναι το αναμενόμενο σωματικό βάρος των αγοριών 5 ετών με ύψος ίσο με x1 = 100 cm, x2 = 110 cm, x3 = 120 cm.
  • Υπολογίστε το σίγμα της παλινδρόμησης, κατασκευάστε μια κλίμακα παλινδρόμησης και παρουσιάστε τα αποτελέσματα της επίλυσής της γραφικά.
  • βγάλει τα κατάλληλα συμπεράσματα.

Οι συνθήκες του προβλήματος και τα αποτελέσματα της επίλυσής του παρουσιάζονται στον συνοπτικό πίνακα.

Τραπέζι 1

Συνθήκες του προβλήματος Αποτελέσματα επίλυσης του προβλήματος
εξίσωση παλινδρόμησης παλινδρόμηση σίγμα κλίμακα παλινδρόμησης (αναμενόμενο σωματικό βάρος (σε kg))
Μ σ r xy R y/x Χ U σ R x/y y - σ Rу/х y + σ Rу/х
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ύψος (x) 109 εκ ± 4,4 εκ +0,9 0,16 100 εκ 17,56 κιλά ± 0,35 kg 17,21 κιλά 17,91 κιλά
Μάζα σώματος (y) 19 κιλά ± 0,8 kg 110 εκ 19,16 κιλά 18,81 κιλά 19,51 κιλά
120 εκ 20,76 κιλά 20,41 κιλά 21,11 κιλά

Λύση.

Συμπέρασμα.Έτσι, η κλίμακα παλινδρόμησης εντός των ορίων των υπολογισμένων τιμών του σωματικού βάρους καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του σε οποιαδήποτε άλλη τιμή ύψους ή την αξιολόγηση της ατομικής ανάπτυξης του παιδιού. Για να το κάνετε αυτό, επαναφέρετε την κάθετη στη γραμμή παλινδρόμησης.

  1. Vlasov V.V. Επιδημιολογία. - Μ.: GEOTAR-MED, 2004. - 464 σελ.
  2. Lisitsyn Yu.P. Δημόσια υγεία και υγειονομική περίθαλψη. Εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια. - Μ.: GEOTAR-MED, 2007. - 512 σελ.
  3. Medic V.A., Yuryev V.K. Μάθημα διαλέξεων για τη δημόσια υγεία και την υγεία: Μέρος 1. Δημόσια υγεία. - Μ.: Ιατρική, 2003. - 368 σελ.
  4. Minyaev V.A., Vishnyakov N.I. και άλλα.Οργάνωση κοινωνικής ιατρικής και υγειονομικής περίθαλψης (Εγχειρίδιο σε 2 τόμους). - Αγία Πετρούπολη, 1998. -528 σελ.
  5. Kucherenko V.Z., Agarkov N.M. και άλλοι. Οργανισμός κοινωνικής υγιεινής και υγειονομικής περίθαλψης ( Φροντιστήριο) - Μόσχα, 2000. - 432 σελ.
  6. S. Glanz. Ιατρικές και βιολογικές στατιστικές. Μετάφραση από τα αγγλικά - Μ., Πρακτικά, 1998. - 459 σελ.

Έννοια της παλινδρόμησης. Εξάρτηση μεταξύ μεταβλητών ΧΚαι yμπορεί να περιγραφεί με διαφορετικούς τρόπους. Συγκεκριμένα, οποιαδήποτε μορφή σύνδεσης μπορεί να εκφραστεί με μια γενική εξίσωση, όπου yαντιμετωπίζεται ως εξαρτημένη μεταβλητή ή λειτουργίεςαπό μια άλλη - ανεξάρτητη μεταβλητή x, που ονομάζεται διαφωνία. Η αντιστοιχία μεταξύ ενός ορίσματος και μιας συνάρτησης μπορεί να καθοριστεί από έναν πίνακα, έναν τύπο, ένα γράφημα κ.λπ. Η αλλαγή μιας συνάρτησης ανάλογα με μια αλλαγή σε ένα ή περισσότερα ορίσματα καλείται οπισθοδρόμηση. Όλα τα μέσα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των συσχετισμών αποτελούν το περιεχόμενο ανάλυση παλινδρόμησης.

Για την έκφραση της παλινδρόμησης, των εξισώσεων συσχέτισης ή των εξισώσεων παλινδρόμησης, χρησιμοποιούνται εμπειρικές και θεωρητικά υπολογισμένες σειρές παλινδρόμησης, τα γραφήματα τους, που ονομάζονται γραμμές παλινδρόμησης, καθώς και γραμμικοί και μη γραμμικοί συντελεστές παλινδρόμησης.

Οι δείκτες παλινδρόμησης εκφράζουν τη σχέση συσχέτισης διμερώς, λαμβάνοντας υπόψη τις αλλαγές στις μέσες τιμές του χαρακτηριστικού Υκατά την αλλαγή τιμών Χ Εγώσημάδι Χκαι, αντιστρόφως, δείχνουν μια αλλαγή στις μέσες τιμές του χαρακτηριστικού Χσύμφωνα με τις αλλαγμένες τιμές y Εγώσημάδι Υ. Η εξαίρεση είναι οι χρονοσειρές, ή χρονοσειρές, που εμφανίζουν αλλαγές στα χαρακτηριστικά με την πάροδο του χρόνου. Η παλινδρόμηση τέτοιων σειρών είναι μονόπλευρη.

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές μορφές και είδη συσχετισμών. Η εργασία καταλήγει στον προσδιορισμό της μορφής της σύνδεσης σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση και στην έκφραση της με την κατάλληλη εξίσωση συσχέτισης, η οποία μας επιτρέπει να προβλέψουμε πιθανές αλλαγές σε ένα χαρακτηριστικό Υμε βάση γνωστές αλλαγές σε άλλο Χ, που σχετίζεται με το πρώτο συσχετιστικά.

12.1 Γραμμική παλινδρόμηση

Εξίσωση παλινδρόμησης.Αποτελέσματα παρατηρήσεων που πραγματοποιήθηκαν σε συγκεκριμένο βιολογικό αντικείμενο με βάση τα συσχετισμένα χαρακτηριστικά ΧΚαι y, μπορεί να αναπαρασταθεί με σημεία σε ένα επίπεδο κατασκευάζοντας ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Το αποτέλεσμα είναι ένα είδος διαγράμματος διασποράς που επιτρέπει σε κάποιον να κρίνει τη μορφή και την εγγύτητα της σχέσης μεταξύ διαφορετικών χαρακτηριστικών. Πολύ συχνά αυτή η σχέση μοιάζει με μια ευθεία γραμμή ή μπορεί να προσεγγιστεί με μια ευθεία γραμμή.

Γραμμική σχέση μεταξύ μεταβλητών ΧΚαι yπεριγράφεται με μια γενική εξίσωση, όπου Α Β Γ Δ,... – παράμετροι της εξίσωσης που καθορίζουν τις σχέσεις μεταξύ των ορισμάτων Χ 1 , Χ 2 , Χ 3 , …, Χ Μκαι λειτουργίες.

Στην πράξη, δεν λαμβάνονται υπόψη όλα τα πιθανά επιχειρήματα, αλλά μόνο ορισμένα επιχειρήματα· στην απλούστερη περίπτωση, μόνο ένα:

Στην εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης (1) έναείναι ο ελεύθερος όρος και η παράμετρος σικαθορίζει την κλίση της γραμμής παλινδρόμησης σε σχέση με τους ορθογώνιους άξονες συντεταγμένων. ΣΕ αναλυτική γεωμετρίααυτή η παράμετρος ονομάζεται κλίσηκαι στα βιομετρικά – συντελεστής παλινδρόμησης. Μια οπτική αναπαράσταση αυτής της παραμέτρου και της θέσης των γραμμών παλινδρόμησης ΥΜε ΧΚαι ΧΜε Υστο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνει το Σχ. 1.

Ρύζι. 1 Γραμμές παλινδρόμησης του Υ κατά Χ και Χ κατά Υ στο σύστημα

ορθογώνιες συντεταγμένες

Οι γραμμές παλινδρόμησης, όπως φαίνεται στο Σχ. 1, τέμνονται στο σημείο O (,), που αντιστοιχεί στις μέσες αριθμητικές τιμές των χαρακτηριστικών που συσχετίζονται μεταξύ τους ΥΚαι Χ. Κατά την κατασκευή γραφημάτων παλινδρόμησης, οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής X σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ή της συνάρτησης Y σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Η γραμμή AB που διέρχεται από το σημείο O (, ) αντιστοιχεί στην πλήρη (λειτουργική) σχέση μεταξύ των μεταβλητών ΥΚαι Χ, όταν ο συντελεστής συσχέτισης . Όσο ισχυρότερη είναι η σύνδεση μεταξύ ΥΚαι Χ, όσο πιο κοντά είναι οι γραμμές παλινδρόμησης στο ΑΒ και, αντίθετα, όσο πιο αδύναμη είναι η σύνδεση μεταξύ αυτών των μεγεθών, τόσο πιο απομακρυσμένες είναι οι γραμμές παλινδρόμησης από το ΑΒ. Εάν δεν υπάρχει σύνδεση μεταξύ των χαρακτηριστικών, οι γραμμές παλινδρόμησης βρίσκονται σε ορθή γωνία μεταξύ τους και .

Εφόσον οι δείκτες παλινδρόμησης εκφράζουν τη σχέση συσχέτισης διμερώς, η εξίσωση παλινδρόμησης (1) θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:

Ο πρώτος τύπος καθορίζει τις μέσες τιμές όταν αλλάζει το χαρακτηριστικό Χανά μονάδα μέτρησης, για τη δεύτερη - μέσες τιμές κατά την αλλαγή κατά μία μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού Υ.

Συντελεστής παλινδρόμησης.Ο συντελεστής παλινδρόμησης δείχνει πόσο κατά μέσο όρο είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού yαλλάζει όταν το μέτρο ενός άλλου, συσχετισμένο με, αλλάζει κατά ένα Υσημάδι Χ. Αυτός ο δείκτης καθορίζεται από τον τύπο

Εδώ είναι οι αξίες μικρόπολλαπλασιαζόμενο με το μέγεθος των διαστημάτων τάξης λ , εάν βρέθηκαν από σειρές παραλλαγών ή πίνακες συσχέτισης.

Ο συντελεστής παλινδρόμησης μπορεί να υπολογιστεί χωρίς τον υπολογισμό των μέσων όρων τετράγωνες αποκλίσεις μικρό yΚαι μικρό Χσύμφωνα με τον τύπο

Εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι άγνωστος, ο συντελεστής παλινδρόμησης προσδιορίζεται ως εξής:

Σχέση παλινδρόμησης και συντελεστών συσχέτισης.Συγκρίνοντας τους τύπους (11.1) (θέμα 11) και (12.5), βλέπουμε: ο αριθμητής τους έχει την ίδια τιμή, γεγονός που υποδεικνύει μια σύνδεση μεταξύ αυτών των δεικτών. Αυτή η σχέση εκφράζεται με την ισότητα

Έτσι, ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με τον γεωμετρικό μέσο όρο των συντελεστών σι yxΚαι σι xy. Ο τύπος (6) επιτρέπει, πρώτον, με βάση τις γνωστές τιμές των συντελεστών παλινδρόμησης σι yxΚαι σι xyπροσδιορίστε τον συντελεστή παλινδρόμησης R xy, και δεύτερον, ελέγξτε την ορθότητα του υπολογισμού αυτού του δείκτη συσχέτισης R xyμεταξύ διαφορετικών χαρακτηριστικών ΧΚαι Υ.

Όπως ο συντελεστής συσχέτισης, ο συντελεστής παλινδρόμησης χαρακτηρίζει μόνο μια γραμμική σχέση και συνοδεύεται από ένα πρόσημο συν για μια θετική σχέση και ένα πρόσημο μείον για μια αρνητική σχέση.

Προσδιορισμός παραμέτρων γραμμικής παλινδρόμησης.Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων είναι μια παραλλαγή Χ Εγώαπό τον μέσο όρο είναι η μικρότερη τιμή, δηλαδή αυτό το θεώρημα αποτελεί τη βάση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Σχετικά με τη γραμμική παλινδρόμηση [βλ τύπος (1)] η απαίτηση αυτού του θεωρήματος ικανοποιείται από ένα ορισμένο σύστημα εξισώσεων που ονομάζεται κανονικός:

Κοινή λύση αυτών των εξισώσεων ως προς τις παραμέτρους έναΚαι σιοδηγεί στα ακόλουθα αποτελέσματα:

;

;

, από πού και.

Λαμβάνοντας υπόψη την αμφίδρομη φύση της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών ΥΚαι Χ, τύπος για τον προσδιορισμό της παραμέτρου ΕΝΑπρέπει να εκφραστεί ως εξής:

Και . (7)

Παράμετρος σι, ή ο συντελεστής παλινδρόμησης, προσδιορίζεται από τους ακόλουθους τύπους:

Κατασκευή σειρών εμπειρικής παλινδρόμησης.Υπό την παρουσία του μεγάλος αριθμόςπαρατηρήσεις, η ανάλυση παλινδρόμησης ξεκινά με την κατασκευή εμπειρικών σειρών παλινδρόμησης. Σειρά εμπειρικής παλινδρόμησηςσχηματίζεται με τον υπολογισμό των τιμών ενός ποικίλου χαρακτηριστικού Χμέσες τιμές ενός άλλου, συσχετισμένες με Χσημάδι Υ. Με άλλα λόγια, η κατασκευή των σειρών εμπειρικής παλινδρόμησης καταλήγει στην εύρεση ομαδικών μέσων όρων από τις αντίστοιχες τιμές των χαρακτηριστικών Y και X.

Μια σειρά εμπειρικής παλινδρόμησης είναι μια διπλή σειρά αριθμών που μπορεί να αναπαρασταθεί με σημεία σε ένα επίπεδο και στη συνέχεια, συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, μπορεί να ληφθεί μια εμπειρική γραμμή παλινδρόμησης. Οι σειρές εμπειρικής παλινδρόμησης, ειδικά τα γραφήματα τους, καλούνται γραμμές παλινδρόμησης, δίνουν μια σαφή ιδέα για τη μορφή και την εγγύτητα της συσχέτισης μεταξύ διαφορετικών χαρακτηριστικών.

Ευθυγράμμιση σειρών εμπειρικής παλινδρόμησης.Τα γραφήματα των σειρών εμπειρικής παλινδρόμησης αποδεικνύονται, κατά κανόνα, ότι δεν είναι ομαλές, αλλά διακεκομμένες γραμμές. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι, μαζί με τους κύριους λόγους που καθορίζουν το γενικό μοτίβο της μεταβλητότητας των συσχετισμένων χαρακτηριστικών, το μέγεθός τους επηρεάζεται από την επίδραση πολλών δευτερευόντων λόγων που προκαλούν τυχαίες διακυμάνσεις στα κομβικά σημεία παλινδρόμησης. Για να προσδιοριστεί η κύρια τάση (τάση) της συζυγούς παραλλαγής των συσχετισμένων χαρακτηριστικών, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι διακεκομμένες γραμμές με ομαλές, ομαλά τρέχουσες γραμμές παλινδρόμησης. Η διαδικασία αντικατάστασης σπασμένων γραμμών με λείες ονομάζεται ευθυγράμμιση εμπειρικών σειρώνΚαι γραμμές παλινδρόμησης.

Γραφική μέθοδος ευθυγράμμισης.Αυτή είναι η απλούστερη μέθοδος που δεν απαιτεί υπολογιστική εργασία. Η ουσία του συνοψίζεται στα εξής. Η σειρά εμπειρικής παλινδρόμησης απεικονίζεται ως γράφημα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Στη συνέχεια σκιαγραφούνται οπτικά τα μεσαία σημεία παλινδρόμησης, κατά μήκος των οποίων χαράσσεται μια σταθερή γραμμή χρησιμοποιώντας έναν χάρακα ή ένα σχέδιο. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι προφανές: δεν αποκλείει την επίδραση των επιμέρους ιδιοτήτων του ερευνητή στα αποτελέσματα της ευθυγράμμισης των εμπειρικών γραμμών παλινδρόμησης. Επομένως, σε περιπτώσεις όπου απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια κατά την αντικατάσταση σπασμένων γραμμών παλινδρόμησης με ομαλές, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι ευθυγράμμισης εμπειρικών σειρών.

Μέθοδος κινητού μέσου όρου.Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στον διαδοχικό υπολογισμό των αριθμητικών μέσων όρων από δύο ή τρεις παρακείμενους όρους της εμπειρικής σειράς. Αυτή η μέθοδος είναι ιδιαίτερα βολική σε περιπτώσεις όπου η εμπειρική σειρά αντιπροσωπεύεται από μεγάλο αριθμό όρων, έτσι ώστε η απώλεια δύο από αυτούς - των ακραίων, η οποία είναι αναπόφευκτη με αυτήν τη μέθοδο ευθυγράμμισης, δεν θα επηρεάσει αισθητά τη δομή της.

Μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου.Αυτή η μέθοδος προτάθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα από τον A.M. Legendre και, ανεξάρτητα από αυτόν, K. Gauss. Σας επιτρέπει να ευθυγραμμίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις εμπειρικές σειρές. Αυτή η μέθοδος, όπως φαίνεται παραπάνω, βασίζεται στην υπόθεση ότι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων είναι μια επιλογή Χ Εγώ από τον μέσο όρο τους υπάρχει μια ελάχιστη τιμή, δηλαδή εξ ου και το όνομα της μεθόδου, η οποία χρησιμοποιείται όχι μόνο στην οικολογία, αλλά και στην τεχνολογία. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων είναι αντικειμενική και καθολική· χρησιμοποιείται περισσότερο διάφορες περιπτώσειςκατά την εύρεση εμπειρικών εξισώσεων για σειρές παλινδρόμησης και τον προσδιορισμό των παραμέτρων τους.

Η απαίτηση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων είναι ότι τα θεωρητικά σημεία της γραμμής παλινδρόμησης πρέπει να λαμβάνονται με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από αυτά τα σημεία για τις εμπειρικές παρατηρήσεις y Εγώήταν ελάχιστη, δηλ.

Υπολογίζοντας το ελάχιστο αυτής της έκφρασης σύμφωνα με τις αρχές της μαθηματικής ανάλυσης και μετασχηματίζοντας το με έναν ορισμένο τρόπο, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα σύστημα των λεγόμενων κανονικές εξισώσεις, στην οποία οι άγνωστες τιμές είναι οι απαιτούμενες παράμετροι της εξίσωσης παλινδρόμησης και οι γνωστοί συντελεστές καθορίζονται από τις εμπειρικές τιμές των χαρακτηριστικών, συνήθως τα αθροίσματα των τιμών τους και τα διασταυρούμενα γινόμενα τους.

Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση.Η σχέση μεταξύ πολλών μεταβλητών εκφράζεται συνήθως με μια εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης, η οποία μπορεί να είναι γραμμικόςΚαι μη γραμμικό. Στην απλούστερη μορφή της, η πολλαπλή παλινδρόμηση εκφράζεται ως εξίσωση με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές ( Χ, z):

Οπου ένα– ελεύθερος όρος της εξίσωσης. σιΚαι ντο– παράμετροι της εξίσωσης. Για την εύρεση των παραμέτρων της εξίσωσης (10) (με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων), χρησιμοποιείται το ακόλουθο σύστημα κανονικών εξισώσεων:

Δυναμική σειρά. Ευθυγράμμιση σειρών.Οι αλλαγές στα χαρακτηριστικά με την πάροδο του χρόνου σχηματίζουν τα λεγόμενα χρονική σειράή δυναμική σειρά. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα τέτοιων σειρών είναι ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή X εδώ είναι πάντα ο παράγοντας χρόνου και η εξαρτημένη μεταβλητή Y είναι ένα μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό. Ανάλογα με τη σειρά παλινδρόμησης, η σχέση μεταξύ των μεταβλητών X και Y είναι μονόπλευρη, αφού ο παράγοντας χρόνος δεν εξαρτάται από τη μεταβλητότητα των χαρακτηριστικών. Παρά αυτά τα χαρακτηριστικά, οι σειρές δυναμικής μπορούν να παρομοιαστούν με σειρές παλινδρόμησης και να υποβληθούν σε επεξεργασία χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους.

Όπως οι σειρές παλινδρόμησης, οι σειρές εμπειρικής δυναμικής επηρεάζονται όχι μόνο από τους κύριους, αλλά και από πολλούς δευτερεύοντες (τυχαίους) παράγοντες που συγκαλύπτουν την κύρια τάση στη μεταβλητότητα των χαρακτηριστικών, η οποία στη γλώσσα της στατιστικής ονομάζεται τάση.

Η ανάλυση των χρονοσειρών ξεκινά με τον προσδιορισμό του σχήματος της τάσης. Για να γίνει αυτό, η χρονοσειρά απεικονίζεται ως γραμμικό γράφημασε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτή την περίπτωση, τα χρονικά σημεία (έτη, μήνες και άλλες μονάδες χρόνου) σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Υ απεικονίζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Εάν υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών X και Y (γραμμική τάση), η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων είναι η καταλληλότερη για την ευθυγράμμιση της χρονοσειράς είναι μια εξίσωση παλινδρόμησης με τη μορφή αποκλίσεων των όρων της σειράς της εξαρτημένης μεταβλητής Y από τον αριθμητικό μέσο όρο της σειράς των ανεξάρτητων μεταβλητή Χ:

Εδώ είναι η παράμετρος γραμμικής παλινδρόμησης.

Αριθμητικά χαρακτηριστικά δυναμικών σειρών.Τα κύρια γενικευτικά αριθμητικά χαρακτηριστικά των δυναμικών σειρών περιλαμβάνουν γεωμετρικό μέσοκαι έναν αριθμητικό μέσο όρο κοντά σε αυτό. Χαρακτηρίζουν το μέσο ρυθμό με τον οποίο η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής μεταβάλλεται σε ορισμένες χρονικές περιόδους:

Μια αξιολόγηση της μεταβλητότητας των μελών της σειράς δυναμικής είναι τυπική απόκλιση. Κατά την επιλογή των εξισώσεων παλινδρόμησης για την περιγραφή χρονοσειρών, λαμβάνεται υπόψη το σχήμα της τάσης, το οποίο μπορεί να είναι γραμμικό (ή μειωμένο σε γραμμικό) και μη γραμμικό. Η ορθότητα της επιλογής της εξίσωσης παλινδρόμησης συνήθως κρίνεται από την ομοιότητα των εμπειρικά παρατηρούμενων και υπολογισμένων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Μια πιο ακριβής λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η μέθοδος ανάλυσης διακύμανσης παλινδρόμησης (θέμα 12, παράγραφος 4).

Συσχέτιση χρονοσειρών.Είναι συχνά απαραίτητο να συγκρίνουμε τη δυναμική των παράλληλων χρονοσειρών που σχετίζονται μεταξύ τους με ορισμένες γενικές συνθήκες, για παράδειγμα, για να ανακαλύψουμε τη σχέση μεταξύ της γεωργικής παραγωγής και της αύξησης του αριθμού των ζώων σε μια ορισμένη χρονική περίοδο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το χαρακτηριστικό της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών X και Y είναι συντελεστής συσχέτισης R xy (παρουσία γραμμικής τάσης).

Είναι γνωστό ότι η τάση των χρονοσειρών συγκαλύπτεται, κατά κανόνα, από διακυμάνσεις στη σειρά της εξαρτημένης μεταβλητής Y. Αυτό δημιουργεί ένα διπλό πρόβλημα: τη μέτρηση της εξάρτησης μεταξύ των συγκριμένων σειρών, χωρίς να αποκλείεται η τάση, και η μέτρηση της εξάρτηση μεταξύ γειτονικών μελών της ίδιας σειράς, εξαιρουμένης της τάσης. Στην πρώτη περίπτωση, ο δείκτης της εγγύτητας της σύνδεσης μεταξύ των συγκριμένων χρονοσειρών είναι συντελεστής συσχέτισης(αν η σχέση είναι γραμμική), στο δεύτερο – συντελεστής αυτοσυσχέτισης. Αυτοί οι δείκτες έχουν διαφορετική σημασία, αν και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ίδιους τύπους (βλ. θέμα 11).

Είναι εύκολο να δούμε ότι η τιμή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης επηρεάζεται από τη μεταβλητότητα των μελών της σειράς της εξαρτημένης μεταβλητής: όσο λιγότερο τα μέλη της σειράς αποκλίνουν από την τάση, τόσο υψηλότερος είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης και αντίστροφα.