Μια γραμμική εξίσωση σε δύο μεταβλητές είναι κάθε εξίσωση που έχει επόμενη προβολή: a*x + b*y =с. Εδώ το x και το y είναι δύο μεταβλητές, οι a,b,c είναι μερικοί αριθμοί.

Με απόφαση γραμμική εξίσωση a*x + b*y = c είναι οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (x,y) που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση, δηλαδή μετατρέπει την εξίσωση με τις μεταβλητές x και y σε σωστή αριθμητική ισότητα. Μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρο σύνολοαποφάσεις.

Αν κάθε ζεύγος αριθμών που είναι λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές απεικονίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων ως σημεία, τότε όλα αυτά τα σημεία σχηματίζουν τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές. Οι συντεταγμένες των σημείων θα είναι οι τιμές x και y μας. Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή x θα είναι η τετμημένη και η τιμή y θα είναι η τεταγμένη.

Γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με δύο μεταβλητές είναι το σύνολο όλων των πιθανών σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, οι συντεταγμένες των οποίων θα είναι λύσεις αυτής της γραμμικής εξίσωσης. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το γράφημα θα είναι μια ευθεία γραμμή. Γι' αυτό τέτοιες εξισώσεις ονομάζονται γραμμικές.

Αλγόριθμος κατασκευής

Αλγόριθμος για τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης σε δύο μεταβλητές.

1. Σχεδιάστε άξονες συντεταγμένων, σημειώστε τους και σημειώστε την κλίμακα μονάδας.

2. Σε μια γραμμική εξίσωση, βάλτε x = 0 και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το y. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα.

3. Σε μια γραμμική εξίσωση, πάρτε τον αριθμό 0 ως y, και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το x. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα

4. Εάν χρειάζεται, πάρτε μια αυθαίρετη τιμή του x και λύστε την εξίσωση που προκύπτει για το y. Σημειώστε το σημείο που προκύπτει στο γράφημα.

5. Συνδέστε τα σημεία που προκύπτουν και συνεχίστε το γράφημα πέρα ​​από αυτά. Υπογράψτε την προκύπτουσα ευθεία γραμμή.

Παράδειγμα:Γράφημα την εξίσωση 3*x - 2*y =6;

Ας βάλουμε x=0, τότε - 2*y =6; y= -3;

Ας βάλουμε y=0, μετά 3*x = 6. x=2;

Σημειώνουμε τα σημεία που έχουμε στο γράφημα, τραβάμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά και το επισημαίνουμε. Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα, το γράφημα πρέπει να μοιάζει ακριβώς με αυτό.

ΣΚΟΠΟΣ:1) Να εισαγάγει τους μαθητές στην έννοια της «εξίσωσης με δύο μεταβλητές».

2) Μάθετε να προσδιορίζετε τον βαθμό μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές.

3) Διδάξτε να αναγνωρίζετε από δεδομένη λειτουργίατο οποίο σχήμα είναι γράφημα

δεδομένη εξίσωση;

4) Εξετάστε μετασχηματισμούς γραφημάτων με δύο μεταβλητές.

δεδομένη εξίσωση με δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Agrapher.

6) Αναπτύξτε λογική σκέψηΦοιτητές.

Ι. Νέο υλικό – επεξηγηματική διάλεξη με στοιχεία συνομιλίας.

(η διάλεξη διεξάγεται χρησιμοποιώντας τις διαφάνειες του συγγραφέα, τα γραφήματα σχεδιάζονται στο πρόγραμμα Agrapher)

Τ: Κατά τη μελέτη των γραμμών, προκύπτουν δύο προβλήματα:

Χρησιμοποιώντας τις γεωμετρικές ιδιότητες μιας δεδομένης γραμμής, βρείτε την εξίσωσή της.

Αντίστροφο πρόβλημα: με δεδομένη την εξίσωση μιας ευθείας, μελετήστε τις γεωμετρικές της ιδιότητες.

Εξετάσαμε το πρώτο πρόβλημα στο μάθημα της γεωμετρίας σε σχέση με κύκλους και ευθείες.

Σήμερα θα εξετάσουμε το αντίστροφο πρόβλημα.

Εξετάστε τις εξισώσεις της μορφής:

ΕΝΑ) x(x-y)=4;σι) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

είναι παραδείγματα εξισώσεων με δύο μεταβλητές.

Εξισώσεις με δύο μεταβλητές ΧΚαι στο μοιάζει με f(x,y)=(x,y), Οπου φάΚαι – εκφράσεις με μεταβλητές ΧΚαι u.

Αν στην Εξ. x(x-y)=4υποκατάστατο στη θέση της μεταβλητής Χη τιμή του είναι -1, και αντ' αυτού στο– τιμή 3, τότε θα προκύψει η σωστή ισότητα: 1*(-1-3)=4,

Ζεύγος (-1; 3) τιμών μεταβλητών ΧΚαι στοείναι λύση της εξίσωσης x(x-y)=4.

Αυτό είναι λύνοντας την εξίσωση με δύο μεταβλητές καλείται το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών τιμών των μεταβλητών που σχηματίζουν αυτήν την εξίσωση σε μια αληθινή ισότητα.

Οι εξισώσεις με δύο μεταβλητές έχουν συνήθως άπειρες λύσεις. Εξαιρέσειςσχηματίζουν, για παράδειγμα, εξισώσεις όπως Χ 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 ή

2 x 2 + στο 2 = 0 .

Το πρώτο από αυτά έχει δύο λύσεις (0; -2) και (0; 2), το δεύτερο έχει ένα διάλυμα (0; 0).

Η εξίσωση x 4 + y 4 +3 = 0 δεν έχει καθόλου λύσεις. Έχει ενδιαφέρον όταν οι τιμές των μεταβλητών στην εξίσωση είναι ακέραιοι. Λύνοντας τέτοιες εξισώσεις με δύο μεταβλητές, βρίσκουμε ζεύγη ακεραίων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η εξίσωση λέγεται ότι λύνεται σε ακέραιους αριθμούς.

Καλούνται δύο εξισώσεις που έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων ισοδύναμες εξισώσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση x(x + y 2) = x + 1 είναι μια εξίσωση τρίτου βαθμού, αφού μπορεί να μετατραπεί στην εξίσωση xy 2 + x 2 - x-1 = 0, η δεξιά πλευρά της οποίας είναι ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής του τρίτου βαθμού.

Ο βαθμός μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές, που παριστάνονται με τη μορφή F(x, y) = 0, όπου F(x, y) είναι πολυώνυμο τυπικής μορφής, ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου F(x, y).

Εάν όλες οι λύσεις μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές απεικονίζονται ως σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων, θα λάβετε ένα γράφημα μιας εξίσωσης με δύο μεταβλητές.

Πρόγραμμαεξίσωση με δύο μεταβλητές είναι το σύνολο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες χρησιμεύουν ως λύσεις αυτής της εξίσωσης.

Άρα, το γράφημα της εξίσωσης τσεκούρι + κατά + γ = 0είναι ευθεία εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές έναή σι δεν ισούται με μηδέν (Εικ. 1). Αν α = β = γ = 0, τότε η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 2), αν a = b = 0, ΕΝΑ c0, τότε το γράφημα είναι κενό σύνολο (Εικ. 3).

Γράφημα εξίσωσης y = a x 2 + κατά + γείναι μια παραβολή (Εικ. 4), μια γραφική παράσταση της εξίσωσης xy=k (k0) – υπερβολή (Εικ. 5). Γράφημα εξίσωσης Χ 2 + y 2 = r, όπου x και y είναι μεταβλητές, το r είναι θετικός αριθμός, είναι κύκλοςμε κέντρο στην αρχή και ακτίνα ίση με r(Εικ. 6). Η γραφική παράσταση της εξίσωσης είναι έλλειψη, Οπου έναΚαι σι– κύριοι και δευτερεύοντες ημιάξονες της έλλειψης (Εικ. 7).

Η κατασκευή γραφημάτων ορισμένων εξισώσεων διευκολύνεται από τη χρήση των μετασχηματισμών τους. Ας σκεφτούμε μετατροπή γραφημάτων εξισώσεων σε δύο μεταβλητέςκαι να διατυπώσετε τους κανόνες με τους οποίους εκτελούνται οι απλούστεροι μετασχηματισμοί των γραφημάτων εξισώσεων

1) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (-x, y) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 χρησιμοποιώντας συμμετρία ως προς τον άξονα u.

2) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, -y) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 χρησιμοποιώντας συμμετρία ως προς τον άξονα Χ.

3) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (-x, -y) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 χρησιμοποιώντας κεντρική συμμετρία ως προς την αρχή.

4) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x-a, y) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 μετακινώντας παράλληλα στον άξονα x κατά |a| μονάδες (στα δεξιά, αν ένα> 0 και προς τα αριστερά αν ΕΝΑ < 0).

5) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y-b) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 μεταβαίνοντας στο |b| μονάδες παράλληλες προς τον άξονα στο(πάνω αν σι> 0 και κάτω αν σι < 0).

6) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (ax, y) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 με συμπίεση στον άξονα y και a φορές, αν ΕΝΑ> 1, και με τάνυση από τον άξονα y κατά φορές, αν 0< ΕΝΑ < 1.

7) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, by) = 0 προκύπτει από τη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 χρησιμοποιώντας συμπίεση στον άξονα x στο σιφορές αν σι> 1, και τεντώνοντας από τον άξονα x κατά φορές αν είναι 0 < b < 1.

Εάν το γράφημα κάποιας εξίσωσης περιστραφεί κατά μια ορισμένη γωνία κοντά στην αρχή, τότε το νέο γράφημα θα είναι το γράφημα μιας άλλης εξίσωσης. Οι ειδικές περιπτώσεις περιστροφής σε γωνίες 90 0 και 45 0 είναι σημαντικές.

8) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 ως αποτέλεσμα δεξιόστροφης περιστροφής κοντά στην αρχή των συντεταγμένων κατά γωνία 90 0 μετατρέπεται στη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (-y, x) = 0, και αριστερόστροφα στη γραφική παράσταση της εξίσωσης F (y , -x) = 0.

9) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F (x, y) = 0 ως αποτέλεσμα δεξιόστροφης περιστροφής κοντά στην αρχή των συντεταγμένων κατά γωνία 45 0 μετατρέπεται στη γραφική παράσταση της εξίσωσης F = 0 και αριστερόστροφα στη γραφική παράσταση του η εξίσωση F = 0.

Από τους κανόνες που εξετάσαμε για το μετασχηματισμό γραφημάτων εξισώσεων με δύο μεταβλητές, προκύπτουν εύκολα κανόνες για τον μετασχηματισμό γραφημάτων συναρτήσεων.

Παράδειγμα 1. Ας δείξουμε ότι σχηματίζοντας γραφικά την εξίσωση Χ 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0είναι κύκλος (Εικ. 17).

Ας μετατρέψουμε την εξίσωση ως εξής:

1) ομαδοποιήστε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή Χκαι περιέχει μια μεταβλητή στο, και φανταστείτε κάθε ομάδα όρων με τη μορφή ενός πλήρους τετραγωνικού τριωνύμου: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) Γράψτε τα τριώνυμα που προκύπτουν ως το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά) δύο παραστάσεων: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) ας αναλύσουμε, σύμφωνα με τους κανόνες μετατροπής γραφημάτων εξισώσεων με δύο μεταβλητές, την εξίσωση (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο (-1; 4) και ακτίνα 3 μονάδων .

Παράδειγμα 2: Ας σχηματίσουμε γραφικά την εξίσωση Χ 2 + 4ου 2 = 9 .

Ας φανταστούμε το 4y 2 με τη μορφή (2y) 2, παίρνουμε την εξίσωση x 2 + (2y) 2 = 9, η γραφική παράσταση της οποίας μπορεί να ληφθεί από τον κύκλο x 2 + y 2 = 9 συμπιέζοντας τον άξονα x κατά ένα συντελεστής 2.

Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 3 μονάδων.

Ας μειώσουμε την απόσταση κάθε σημείου από τον άξονα Χ κατά 2 φορές και ας πάρουμε ένα γράφημα της εξίσωσης

x 2 + (2y) 2 = 9.

Λάβαμε το σχήμα συμπιέζοντας τον κύκλο σε μία από τις διαμέτρους του (στη διάμετρο που βρίσκεται στον άξονα Χ). Αυτό το σχήμα ονομάζεται έλλειψη (Εικ. 18).

Παράδειγμα 3. Ας βρούμε ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 - y 2 = 8.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο F= 0.

Αντικαθιστώντας σε αυτή την εξίσωση αντί για X και αντί για Y, παίρνουμε:

Τ: Ποια είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = ;

Δ: Η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = είναι υπερβολή.

U: Μετατρέψαμε την εξίσωση της μορφής x 2 - y 2 = 8 στην εξίσωση y =.

Ποια ευθεία θα είναι η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης;

Δ: Άρα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 - y 2 = 8 είναι υπερβολή.

U: Ποιες ευθείες είναι ασύμπτωτες της υπερβολής y = .

Δ: Οι ασύμπτωτες της υπερβολής y = είναι οι ευθείες y = 0 και x = 0.

U: Όταν ολοκληρωθεί η περιστροφή, αυτές οι ευθείες θα μετατραπούν σε ευθείες = 0 και = 0, δηλαδή σε ευθείες y = x και y = - x. (Εικ. 19).

Παράδειγμα 4: Ας μάθουμε ποια μορφή θα πάρει η εξίσωση y = x 2 της παραβολής όταν περιστραφεί γύρω από την αρχή κατά γωνία 90 0 δεξιόστροφα.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο F (-y; x) = 0, στην εξίσωση y = x 2 αντικαθιστούμε τη μεταβλητή x με – y και τη μεταβλητή y με x. Λαμβάνουμε την εξίσωση x = (-y) 2, δηλαδή x = y 2 (Εικ. 20).

Εξετάσαμε παραδείγματα γραφημάτων εξισώσεων δεύτερου βαθμού με δύο μεταβλητές και ανακαλύψαμε ότι τα γραφήματα τέτοιων εξισώσεων μπορεί να είναι μια παραβολή, μια υπερβολή, μια έλλειψη (ιδίως ένας κύκλος). Επιπλέον, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης δεύτερου βαθμού μπορεί να είναι ένα ζεύγος ευθειών (τεμνόμενων ή παράλληλων) Πρόκειται για τη λεγόμενη εκφυλισμένη περίπτωση. Άρα η γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 - y 2 = 0 είναι ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών (Εικ. 21a), και η γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 είναι παράλληλες ευθείες.

II Ενοποίηση.

(Δίνονται στους μαθητές «Κάρτες με οδηγίες» για την κατασκευή γραφημάτων εξισώσεων με δύο μεταβλητές στο πρόγραμμα Agrapher (Παράρτημα 2) και κάρτες «Πρακτικής εργασίας» (Παράρτημα 3) με τη διατύπωση των εργασιών 1-8. Ο δάσκαλος επιδεικνύει γραφήματα εξισώσεων για εργασίες 4-5 σε διαφάνειες ).

Ασκηση 1. Ποια από τα ζεύγη (5;4), (1;0), (-5;-4) και (-1; -) είναι λύσεις της εξίσωσης:

α) x 2 - y 2 = 0, β) x 3 - 1 = x 2 y + 6y;

Λύση:

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στη δεδομένη εξίσωση, είμαστε πεπεισμένοι ότι κανένα δεδομένο ζεύγος δεν είναι λύση στην εξίσωση x 2 - y 2 = 0, και οι λύσεις της εξίσωσης x 3 - 1 = x 2 y + 6y είναι τα ζεύγη (5;4), (1;0) και (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 – 1 = - - (I)

Απάντηση:ΕΝΑ); β) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Εργασία 2. Βρείτε λύσεις στην εξίσωση xy 2 - x 2 y = 12 στην οποία η τιμή Χισούται με 3.

Λύση: 1) Αντικαταστήστε την τιμή 3 αντί για Χ στη δεδομένη εξίσωση.

2) Παίρνουμε τετραγωνική εξίσωσησε σχέση με τη μεταβλητή Y, που έχει τη μορφή:

3 ε 2 - 9 ε = 12.

4) Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση:

3 ε 2 - 9 ε - 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Απάντηση: τα ζεύγη (3;4) και (3;-1) είναι λύσεις της εξίσωσης xy 2 - x 2 y = 12

Εργασία 3. Προσδιορίστε το βαθμό της εξίσωσης:

α) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; γ) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

β) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; δ) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Απάντηση: α) 3; β) 5; στο 4? δ) 4.

Εργασία 4. Ποιο σχήμα είναι η γραφική παράσταση της εξίσωσης:

α) 2x = 5 + 3y; β) 6 x 2 - 5x = y – 1; γ) 2(x + 1) = x 2 - y;

δ) (x - 1,5) (x – 4) = 0; ε) xy – 1,2 = 0; ε) x 2 + y 2 = 9.

Εργασία 5. Γράψτε μια εξίσωση της οποίας η γραφική παράσταση είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x 2 - xy + 3 = 0 (Εικ. 24) ως προς: α) άξονα Χ; β) άξονες στο; γ) ευθεία y = x; δ) ευθεία y = -x.

Εργασία 6. Δημιουργήστε μια εξίσωση, η γραφική παράσταση της οποίας προκύπτει τεντώνοντας τη γραφική παράσταση της εξίσωσης y = x 2 -3 (Εικ. 25):

α) από τον άξονα x 2 φορές. β) από τον άξονα y 3 φορές.

Ελέγξτε με το πρόγραμμα Agrapher ότι η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά.

Απάντηση: α)y - x 2 + 3 = 0 (Εικ. 25a); β) y-(x) 2 + 3 = 0 (Εικ. 25β).

β) οι ευθείες είναι παράλληλες, κινούνται παράλληλα προς τον άξονα x 1 μονάδα προς τα δεξιά και παράλληλες προς τον άξονα y 3 μονάδες προς τα κάτω (Εικ. 26b).

γ) ευθείες γραμμές τέμνονται, συμμετρική απεικόνιση σε σχέση με τον άξονα x (Εικ. 26c).

δ) ευθείες γραμμές τέμνονται, συμμετρική απεικόνιση σε σχέση με τον άξονα y (Εικ. 26d).

ε) οι γραμμές είναι παράλληλες, συμμετρική απεικόνιση σε σχέση με την αρχή (Εικ. 26e).

ε) ευθείες γραμμές τέμνονται, περιστροφή γύρω από την αρχή κατά 90 δεξιόστροφα και συμμετρική απεικόνιση σε σχέση με τον άξονα x (Εικ. 26e).

III. Ανεξάρτητο εκπαιδευτικό έργο.

(Στους μαθητές δίνονται κάρτες «Ανεξάρτητη εργασία» και «Πίνακας αναφοράς των αποτελεσμάτων ανεξάρτητης εργασίας», όπου οι μαθητές σημειώνουν τις απαντήσεις τους και, μετά από αυτοέλεγχο, αξιολογούν την εργασία σύμφωνα με το προτεινόμενο σχήμα) Παράρτημα 4 ..

Ι. επιλογή.

α) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; β) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2 (x + y).

α) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; β) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

α) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

β) x 2 -y 2 = 1;

γ) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Καθορίστε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου και της ακτίνας του.

6. Πώς πρέπει να μετακινηθεί η υπερβολή y = στο επίπεδο συντεταγμένων ώστε η εξίσωσή της να πάρει τη μορφή x 2 - y 2 = 16;

Ελέγξτε την απάντησή σας σχηματίζοντας γραφικά χρησιμοποιώντας το Agrapher.

7. Πώς πρέπει να μετακινηθεί η παραβολή y = x 2 στο επίπεδο συντεταγμένων ώστε η εξίσωσή της να πάρει τη μορφή x = y 2 - 1

Επιλογή II.

1. Προσδιορίστε το βαθμό της εξίσωσης:

α)3xy = (y-x 3)(x2 +y); β) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Είναι το ζεύγος των αριθμών (-2;3) λύση της εξίσωσης:

α) x 2 -y 2 -3x = 1; β) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Τι είδους καμπύλη (υπερβολή, κύκλος, παραβολή) είναι ένα σύνολο σημείων αν η εξίσωση αυτής της καμπύλης έχει τη μορφή:

α) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

β) y 2 - x 2 =1

γ) x = y 2 - 1.

(ελέγξτε με το πρόγραμμα Agrapher ότι η εργασία ολοκληρώθηκε σωστά)

5. Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Agrapher, σχεδιάστε την εξίσωση:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Πώς πρέπει να μετακινηθεί η υπερβολή y = στο επίπεδο συντεταγμένων ώστε η εξίσωσή της να πάρει τη μορφή x 2 - y 2 = 28;

7. Πώς πρέπει να μετακινηθεί η παραβολή y = x 2 στο επίπεδο συντεταγμένων ώστε η εξίσωσή της να πάρει τη μορφή x = y 2 + 9.

Ας δοθεί εξίσωση με δύο μεταβλητές F(x; y). Έχετε ήδη εξοικειωθεί με τρόπους αναλυτικής επίλυσης τέτοιων εξισώσεων. Πολλές λύσεις τέτοιων εξισώσεων μπορούν να αναπαρασταθούν σε μορφή γραφήματος.

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης F(x; y) είναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων xOy των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση.

Για να απεικονίσετε τις εξισώσεις σε δύο μεταβλητές, αρχικά εκφράστε τη μεταβλητή y στην εξίσωση ως προς τη μεταβλητή x.

Σίγουρα γνωρίζετε ήδη πώς να δημιουργείτε διάφορα γραφήματα εξισώσεων με δύο μεταβλητές: ax + b = c – ευθεία γραμμή, yx = k – υπερβολή, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – κύκλος του οποίου η ακτίνα είναι ίσο με το R και το κέντρο βρίσκεται στο σημείο O(a; b).

Παράδειγμα 1.

Γράφημα την εξίσωση x 2 – 9y 2 = 0.

Λύση.

Ας παραγοντοποιήσουμε αριστερή πλευράεξισώσεις

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, δηλαδή y = x/3 ή y = -x/3.

Απάντηση: Εικόνα 1.

Ξεχωριστή θέση κατέχει ο ορισμός των ψηφίων στο επίπεδο από εξισώσεις που περιέχουν το σύμβολο απόλυτη τιμή, το οποίο θα συζητήσουμε αναλυτικά. Ας εξετάσουμε τα στάδια κατασκευής γραφημάτων εξισώσεων της μορφής |y| = f(x) και |y| = |f(x)|.

Η πρώτη εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ή y = -f(x).

Δηλαδή, η γραφική παράσταση του αποτελείται από γραφήματα δύο συναρτήσεων: y = f(x) και y = -f(x), όπου f(x) ≥ 0.

Για να σχεδιάσετε τη δεύτερη εξίσωση, σχεδιάστε δύο συναρτήσεις: y = f(x) και y = -f(x).

Παράδειγμα 2.

Γράφημα την εξίσωση |y| = 2 + x.

Λύση.

Η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ή y = -x – 2.

Χτίζουμε πολλά σημεία.

Απάντηση: Εικόνα 2.

Παράδειγμα 3.

Σχεδιάστε την εξίσωση |y – x| = 1.

Λύση.

Αν y ≥ x, τότε y = x + 1, αν y ≤ x, τότε y = x – 1.

Απάντηση: Εικόνα 3.

Κατά την κατασκευή γραφημάτων εξισώσεων που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το σύμβολο συντελεστή, είναι βολικό και λογικό να χρησιμοποιείται μέθοδος περιοχής, με βάση τη διαίρεση του επιπέδου συντεταγμένων σε μέρη στα οποία κάθε υποαρθρωτή έκφραση διατηρεί το πρόσημο της.

Παράδειγμα 4.

Γράφημα την εξίσωση x + |x| + y + |y| = 2.

Λύση.

ΣΕ σε αυτό το παράδειγματο πρόσημο κάθε υποαρθρωτής έκφρασης εξαρτάται από το τεταρτημόριο συντεταγμένων.

1) Στο πρώτο τέταρτο συντεταγμένων x ≥ 0 και y ≥ 0. Μετά την επέκταση της ενότητας, η εξίσωση που δίνεται θα μοιάζει με:

2x + 2y = 2, και μετά από απλοποίηση x + y = 1.

2) Στο δεύτερο τρίμηνο, όπου x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Στο τρίτο τρίμηνο x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Στο τέταρτο τρίμηνο, όταν x ≥ 0, και y< 0 получим, что x = 1.

Θα σχεδιάσουμε αυτή την εξίσωση κατά τέταρτα.

Απάντηση: Εικόνα 4.

Παράδειγμα 5.

Σχεδιάστε ένα σύνολο σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την ισότητα |x – 1| + |y – 1| = 1.

Λύση.

Τα μηδενικά των υπομονάδων παραστάσεων x = 1 και y = 1 διαιρούν το επίπεδο συντεταγμένων σε τέσσερις περιοχές. Ας αναλύσουμε τις ενότητες ανά περιοχή. Ας το κανονίσουμε αυτό σε μορφή πίνακα.

Περιοχή	Υπομοναδιαίο σημάδι έκφρασης	Η εξίσωση που προκύπτει μετά την επέκταση της ενότητας
Εγώ	x ≥ 1 και y ≥ 1	x + y = 3
II	Χ< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	Χ< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 και y< 1	x – y = 1

Απάντηση: Εικόνα 5.

Στο επίπεδο συντεταγμένων, οι αριθμοί μπορούν να καθοριστούν και ανισότητες.

Γράφημα ανισότηταςμε δύο μεταβλητές είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου συντεταγμένων των οποίων οι συντεταγμένες είναι λύσεις αυτής της ανισότητας.

Ας σκεφτούμε αλγόριθμος κατασκευής μοντέλου επίλυσης ανισώσεων με δύο μεταβλητές:

1. Να γράψετε την εξίσωση που αντιστοιχεί στην ανισότητα.
2. Γράφημα την εξίσωση από το βήμα 1.
3. Επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο σε ένα από τα ημιεπίπεδα. Ελέγξτε εάν οι συντεταγμένες του επιλεγμένου σημείου ικανοποιούν αυτήν την ανισότητα.
4. Σχεδιάστε γραφικά το σύνολο όλων των λύσεων της ανισότητας.

Ας εξετάσουμε πρώτα την ανισότητα ax + bx + c > 0. Η εξίσωση ax + bx + c = 0 ορίζει μια ευθεία γραμμή που χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα. Σε καθένα από αυτά η συνάρτηση f(x) = ax + bx + c διατηρεί το πρόσημό της. Για να προσδιορίσετε αυτό το πρόσημο, αρκεί να λάβετε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στο ημιεπίπεδο και να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Αν το πρόσημο της συνάρτησης συμπίπτει με το πρόσημο της ανισότητας, τότε αυτό το ημιεπίπεδο θα είναι η λύση της ανισότητας.

Ας δούμε παραδείγματα γραφική λύσηοι πιο συνηθισμένες ανισότητες με δύο μεταβλητές.

1) ax + bx + c ≥ 0. Εικόνα 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Εικόνα 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Εικόνα 8.

4) y ≥ x 2 . Εικόνα 9.

5) xy ≤ 1. Εικόνα 10.

Εάν έχετε ερωτήσεις ή θέλετε να εξασκηθείτε στο να σχεδιάζετε σε ένα επίπεδο μοντέλο τα σύνολα όλων των λύσεων σε ανισώσεις σε δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας μαθηματική μοντελοποίηση, μπορείτε να κάνετε δωρεάν μάθημα διάρκειας 25 λεπτών με διαδικτυακό δάσκαλοαφού εγγραφείτε. Για να συνεχίσετε να εργάζεστε με έναν δάσκαλο, θα έχετε την ευκαιρία να επιλέξετε ένα πρόγραμμα τιμολόγησης που σας ταιριάζει.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να σχεδιάσετε ένα σχήμα σε ένα επίπεδο συντεταγμένων;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι ένα ζεύγος κάθετων γραμμών συντεταγμένων, που ονομάζονται άξονες συντεταγμένων, που τοποθετούνται έτσι ώστε να τέμνονται στην αρχή τους.

Ονομασία άξονες συντεταγμένωνΤα γράμματα x και y είναι γενικά αποδεκτά, αλλά τα γράμματα μπορούν να είναι οποιαδήποτε. Εάν χρησιμοποιούνται τα γράμματα x και y, τότε καλείται το επίπεδο xy-plane. Διαφορετικές εφαρμογές μπορεί να χρησιμοποιούν γράμματα διαφορετικά από τα x και y, και όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα, υπάρχουν UV αεροπλάνοΚαι ts-plane.

Παραγγελία ζευγαριού

Με τον όρο διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, εννοούμε δύο πραγματικούς αριθμούς σε συγκεκριμένη σειρά. Κάθε σημείο P στο επίπεδο συντεταγμένων μπορεί να συσχετιστεί με ένα μοναδικό διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών σχεδιάζοντας δύο ευθείες μέσω του P: μία κάθετη στον άξονα x και η άλλη κάθετη στον άξονα y.

Για παράδειγμα, αν πάρουμε (a,b)=(4,3), τότε στη λωρίδα συντεταγμένων

Για να κατασκευάσετε ένα σημείο P(a,b) σημαίνει να προσδιορίσετε ένα σημείο με συντεταγμένες (a,b) στο επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, διάφορα σημεία απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, οι άξονες συντεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερις περιοχές που ονομάζονται τεταρτημόρια. Είναι αριθμημένα αριστερόστροφα με λατινικούς αριθμούς, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ορισμός γραφήματος

Πρόγραμμαεξίσωση με δύο μεταβλητές x και y, είναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο xy των οποίων οι συντεταγμένες είναι μέλη του συνόλου των λύσεων αυτής της εξίσωσης

Παράδειγμα: σχεδιάστε μια γραφική παράσταση y = x 2

Επειδή το 1/x είναι απροσδιόριστο όταν x=0, μπορούμε να σχεδιάσουμε μόνο σημεία για τα οποία x ≠0

Παράδειγμα: Βρείτε όλες τις διασταυρώσεις με άξονες
(α) 3x + 2y = 6
(β) x = y 2 -2y
(γ) y = 1/x

Έστω y = 0, μετά 3x = 6 ή x = 2

είναι η επιθυμητή τομή x.

Έχοντας διαπιστώσει ότι x=0, βρίσκουμε ότι το σημείο τομής του άξονα y είναι το σημείο y=3.

Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να λύσετε την εξίσωση (β) και η λύση για το (γ) δίνεται παρακάτω

x-τομή

Έστω y = 0

1/x = 0 => x δεν μπορεί να προσδιοριστεί, δηλαδή δεν υπάρχει τομή με τον άξονα y

Έστω x = 0

y = 1/0 => y είναι επίσης απροσδιόριστο, => δεν υπάρχει τομή με τον άξονα y

Στο παρακάτω σχήμα, τα σημεία (x,y), (-x,y), (x,-y) και (-x,-y) αντιπροσωπεύουν τις γωνίες του ορθογωνίου.

Ένα γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x αν για κάθε σημείο (x,y) του γραφήματος, το σημείο (x,-y) είναι επίσης ένα σημείο στο γράφημα.

Ένα γράφημα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y αν για κάθε σημείο του γραφήματος (x,y), το σημείο (-x,y) ανήκει επίσης στο γράφημα.

Μια γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς το κέντρο των συντεταγμένων αν για κάθε σημείο (x,y) της γραφικής παράστασης, το σημείο (-x,-y) ανήκει επίσης σε αυτό το γράφημα.

Ορισμός:

Πρόγραμμα λειτουργίεςστο επίπεδο συντεταγμένων ορίζεται ως η γραφική παράσταση της εξίσωσης y = f(x)

Οικόπεδο f(x) = x + 2

Παράδειγμα 2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της f(x) = |x|

Το γράφημα συμπίπτει με την ευθεία y = x για το x > 0 και με ευθεία y = -x

για x< 0 .

γράφημα της f(x) = -x

Συνδυάζοντας αυτά τα δύο γραφήματα παίρνουμε

γράφημα f(x) = |x|

Παράδειγμα 3: Σχεδιάστε ένα γράφημα

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Επομένως, αυτή η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως

y = x + 2 x ≠ 2

Γράφημα h(x)= x 2 - 4 Ή x - 2

γράφημα y = x + 2 x ≠ 2

Παράδειγμα 4: Σχεδιάστε ένα γράφημα

Γραφήματα συναρτήσεων με μετατόπιση

Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) είναι γνωστή

Τότε μπορούμε να βρούμε τα γραφήματα

y = f(x) + c - γράφημα της συνάρτησης f(x), μετακινήθηκε

UP c τιμές

y = f(x) - c - γράφημα της συνάρτησης f(x), μετακινήθηκε

ΚΑΤΩ κατά τιμές c

y = f(x + c) - γράφημα της συνάρτησης f(x), μετακινήθηκε

LEFT με τιμές c

y = f(x - c) - γράφημα της συνάρτησης f(x), μετακινήθηκε

Δεξιά με τιμές c

Παράδειγμα 5: Κατασκευή

γράφημα y = f(x) = |x - 3| + 2

Ας μετακινήσουμε το γράφημα y = |x| 3 τιμές προς τα δεξιά για να λάβετε το γράφημα

Ας μετακινήσουμε το γράφημα y = |x - 3| UP 2 τιμές για να λάβετε το γράφημα y = |x - 3| + 2

Σχεδιάστε ένα γράφημα

y = x 2 - 4x + 5

Ας μετατρέψουμε τη δεδομένη εξίσωση ως εξής, προσθέτοντας 4 και στις δύο πλευρές:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Εδώ βλέπουμε ότι αυτό το γράφημα μπορεί να ληφθεί μετακινώντας το γράφημα του y = x 2 προς τα δεξιά κατά 2 τιμές, επειδή x - 2, και πάνω κατά 1 τιμή, επειδή +1.

y = x 2 - 4x + 5

Αντανακλάσεις

Το (-x, y) είναι μια αντανάκλαση του (x, y) γύρω από τον άξονα y

Το (x, -y) είναι μια αντανάκλαση του (x, y) γύρω από τον άξονα x

Τα γραφήματα y = f(x) και y = f(-x) είναι αντανακλάσεις μεταξύ τους σε σχέση με τον άξονα y

Τα γραφήματα y = f(x) και y = -f(x) είναι αντανακλάσεις μεταξύ τους σε σχέση με τον άξονα x

Το γράφημα μπορεί να ληφθεί αντανακλώντας και μετακινώντας:

Σχεδιάστε ένα γράφημα

Ας βρούμε την αντανάκλασή του σε σχέση με τον άξονα y και ας πάρουμε ένα γράφημα

Ας μετακινήσουμε αυτό το γράφημα σωστάκατά 2 τιμές και παίρνουμε ένα γράφημα

Εδώ είναι το γράφημα που ψάχνετε

Αν η f(x) πολλαπλασιαστεί με μια θετική σταθερά c, τότε

το γράφημα f(x) συμπιέζεται κατακόρυφα αν 0< c < 1

το γράφημα f(x) τεντώνεται κατακόρυφα αν c > 1

Η καμπύλη δεν είναι γραφική παράσταση y = f(x) για οποιαδήποτε συνάρτηση f