Ορισμός.Έστω η συνάρτηση \(y = f(x)\) να οριστεί σε ένα συγκεκριμένο διάστημα που περιέχει το σημείο \(x_0\). Ας δώσουμε στο όρισμα μια αύξηση \(\Delta x \) έτσι ώστε να μην φεύγει από αυτό το διάστημα. Ας βρούμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y \) (όταν μετακινούμαστε από το σημείο \(x_0 \) στο σημείο \(x_0 + \Delta x \)) και ας συνθέσουμε τη σχέση \(\frac(\Delta y)(\Δέλτα x) \). Εάν υπάρχει ένα όριο σε αυτόν τον λόγο στο \(\Δέλτα x \δεξιό βέλος 0\), τότε το καθορισμένο όριο καλείται παράγωγο συνάρτησης\(y=f(x) \) στο σημείο \(x_0 \) και δηλώνει \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Το σύμβολο y χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει την παράγωγο." Σημειώστε ότι το y" = f(x) είναι νέο χαρακτηριστικό, αλλά φυσικά συνδέεται με τη συνάρτηση y = f(x), που ορίζεται σε όλα τα σημεία x στα οποία υπάρχει το παραπάνω όριο. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται ως εξής: παράγωγος της συνάρτησης y = f(x).
Γεωμετρική σημασία της παραγώγουείναι όπως ακολουθεί. Αν είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο με τετμημένη x=a, που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα y, τότε η f(a) εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης. :
\(k = f"(a)\)
Εφόσον \(k = tg(a) \), τότε η ισότητα \(f"(a) = tan(a) \) είναι αληθής.
Τώρα ας ερμηνεύσουμε τον ορισμό της παραγώγου από την άποψη των κατά προσέγγιση ισοτήτων. Έστω η συνάρτηση \(y = f(x)\) να έχει παράγωγο σε ένα συγκεκριμένο σημείο \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Αυτό σημαίνει ότι κοντά στο σημείο x η κατά προσέγγιση ισότητα \(\frac(\Δέλτα y)(\Δέλτα x) \περίπου f"(x)\), δηλ. \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot\ Δέλτα x\). Η ουσιαστική σημασία της προκύπτουσας κατά προσέγγιση ισότητας είναι η εξής: η αύξηση της συνάρτησης είναι «σχεδόν ανάλογη» με την αύξηση του ορίσματος και ο συντελεστής αναλογικότητας είναι η τιμή της παραγώγου στο δεδομένο σημείοΧ. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση \(y = x^2\) ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Delta y \περίπου 2x \cdot \Delta x \). Αν αναλύσουμε προσεκτικά τον ορισμό μιας παραγώγου, θα διαπιστώσουμε ότι περιέχει έναν αλγόριθμο για την εύρεση της.
Ας το διατυπώσουμε.
Πώς να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = f(x);
1. Διορθώστε την τιμή του \(x\), βρείτε το \(f(x)\)
2. Δώστε στο όρισμα \(x\) μια αύξηση \(\Delta x\), μεταβείτε σε ένα νέο σημείο \(x+ \Delta x\), βρείτε \(f(x+ \Delta x) \)
3. Βρείτε την αύξηση της συνάρτησης: \(\Δέλτα y = f(x + \Δέλτα x) - f(x) \)
4. Δημιουργήστε τη σχέση \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Υπολογίστε $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Αυτό το όριο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο x.
Αν μια συνάρτηση y = f(x) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x, τότε ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο x. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου της συνάρτησης y = f(x) ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισησυναρτήσεις y = f(x).
Ας συζητήσουμε το ακόλουθο ερώτημα: πώς σχετίζονται μεταξύ τους η συνέχεια και η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο;
Έστω η συνάρτηση y = f(x) διαφορίσιμη στο σημείο x. Στη συνέχεια, μια εφαπτομένη μπορεί να σχεδιαστεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο M(x; f(x)), και, θυμηθείτε, ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης είναι ίσος με f "(x). Ένα τέτοιο γράφημα δεν μπορεί να "σπάσει" στο σημείο Μ, δηλαδή η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής στο σημείο x.
Αυτά ήταν «πρακτικά» επιχειρήματα. Ας δώσουμε ένα πιο αυστηρό σκεπτικό. Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο x, τότε ισχύει η κατά προσέγγιση ισότητα \(\Δέλτα y \περίπου f"(x) \cdot \Δέλτα x\). Εάν σε αυτήν την ισότητα \(\Δέλτα x \) τείνει στο μηδέν, τότε το \(\Delta y\) θα τείνει στο μηδέν, και αυτή είναι η προϋπόθεση για τη συνέχεια της συνάρτησης σε ένα σημείο.
Ετσι, αν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο x, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.
Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή. Για παράδειγμα: συνάρτηση y = |x| είναι συνεχής παντού, ιδιαίτερα στο σημείο x = 0, αλλά η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο «σημείο διασταύρωσης» (0; 0) δεν υπάρχει. Αν κάποια στιγμή δεν μπορεί να σχεδιαστεί μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει σε αυτό το σημείο.
Ένα ακόμη παράδειγμα. Η συνάρτηση \(y=\sqrt(x)\) είναι συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0. Και η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης υπάρχει σε οποιοδήποτε σημείο, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x = 0 Αλλά σε αυτό το σημείο η εφαπτομένη συμπίπτει με τον άξονα y, δηλ. είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, η εξίσωσή της έχει τη μορφή x = 0. Μια τέτοια ευθεία γραμμή δεν έχει συντελεστή γωνίας, που σημαίνει ότι \(f "(0)\) δεν υπάρχει.
Έτσι, γνωρίσαμε μια νέα ιδιότητα μιας συνάρτησης - τη διαφοροποίηση. Πώς μπορεί κανείς να συμπεράνει από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ότι είναι διαφοροποιήσιμη;
Η απάντηση δίνεται στην πραγματικότητα παραπάνω. Εάν σε κάποιο σημείο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που δεν είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη. Αν σε κάποιο σημείο η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν υπάρχει ή είναι κάθετη στον άξονα της τετμημένης, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη.
Κανόνες διαφοροποίησης
Η πράξη εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Κατά την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας, συχνά πρέπει να εργαστείτε με πηλίκα, αθροίσματα, γινόμενα συναρτήσεων, καθώς και "συναρτήσεις συναρτήσεων", δηλαδή σύνθετες συναρτήσεις. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, μπορούμε να εξαγάγουμε κανόνες διαφοροποίησης που διευκολύνουν αυτήν την εργασία. Αν το C είναι σταθερός αριθμός και οι f=f(x), g=g(x) είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύουν τα ακόλουθα κανόνες διαφοροποίησης:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Πίνακας παραγώγων ορισμένων συναρτήσεων
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\κείμενο(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Ας δοθεί η συνάρτηση σιωπηρά ως εξίσωση 
. Διαφοροποίηση αυτής της εξίσωσης σε σχέση με Χκαι επίλυση της εξίσωσης που προκύπτει ως προς την παράγωγο 
, ας βρούμε την παράγωγο πρώτης τάξης (πρώτη παράγωγο). Διαφοροποίηση από Χτην πρώτη παράγωγο παίρνουμε τη δεύτερη παράγωγο της άρρητης συνάρτησης. Αντικατάσταση της τιμής που έχει ήδη βρεθεί 
στην έκφραση για τη δεύτερη παράγωγο, εκφράζουμε 
διά μέσου ΧΚαι u.Προχωράμε παρόμοια για να βρούμε την παράγωγο τρίτης τάξης (και περαιτέρω).
Παράδειγμα.Βρείτε 
, Αν 
.
Λύση: διαφοροποιήστε την εξίσωση ως προς Χ:
. Από εδώ βρίσκουμε 
. Περαιτέρω .
Παράγωγα υψηλότερων τάξεων από συναρτήσεις που καθορίζονται παραμετρικά.
Αφήστε τη λειτουργία 
δίνονται με παραμετρικές εξισώσεις 
.
Ως γνωστόν, η πρώτη παράγωγος 
βρίσκεται από τον τύπο 
. Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο 
, δηλ. 
. Επίσης 
.
Παράδειγμα. Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο 
.
Λύση: βρείτε την πρώτη παράγωγο 
. Εύρεση της δεύτερης παραγώγου 
.
Διαφορικό λειτουργίας.
Αφήστε τη λειτουργία 
διαφοροποιήσιμο σε 
. Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης σε κάποιο σημείο 
καθορίζεται από την ισότητα 
. Στάση 
στο 
, επομένως διαφορετικό από το παράγωγο 
κατά το ποσό των β.μ., δηλ. μπορεί να καταγραφεί 
(
). Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα επί 
, παίρνουμε 
. Αύξηση συνάρτησης 
αποτελείται από δύο όρους. πρώτος όρος 
- το κύριο μέρος της αύξησης, υπάρχει μια διαφορική συνάρτηση.
Def. Διαφορικό λειτουργίας 
Το γινόμενο της παραγώγου και της προσαύξησης του ορίσματος λέγεται. Ορίστηκε 
.
Το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής συμπίπτει με την αύξησή της 
.
(). Έτσι, ο τύπος για το διαφορικό μπορεί να γραφτεί 
. Το διαφορικό μιας συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της παραγώγου της και το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής. Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι η παράγωγος μπορεί να θεωρηθεί ως λόγος διαφορικών 
.
Το διαφορικό χρησιμοποιείται σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Αφού στην έκφραση 
δεύτερη περίοδος 
μια απειροελάχιστη ποσότητα απολαμβάνει την κατά προσέγγιση ισότητα 
ή σε διευρυμένη μορφή
Παράδειγμα: Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή 
.
Λειτουργία 
έχει παράγωγο 
.
Σύμφωνα με τον τύπο (*) : .
Παράδειγμα: βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης
Γεωμετρική έννοια του διαφορικού.
Στο γράφημα της συνάρτησης 
στο σημείο Μ( Χ;y) σχεδιάστε μια εφαπτομένη και θεωρήστε την τεταγμένη αυτής της εφαπτομένης για το σημείο Χ+∆
Χ. Στο σχήμα ΑΜ=Δ Χ AM 1 =∆ στοαπό το ∆MAB 
, από εδώ 
, αλλά σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία της εφαπτομένης 
. Να γιατί 
. Συγκρίνοντας αυτόν τον τύπο με τον διαφορικό τύπο παίρνουμε ότι 
, δηλ. διαφορική λειτουργία 
στο σημείο Χισούται με την προσαύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, όταν Χπαίρνει προσαύξηση ∆χ.
Κανόνες για τον υπολογισμό του διαφορικού.
Δεδομένου ότι το διαφορικό συνάρτησης 
διαφέρει από την παράγωγο κατά έναν παράγοντα 
, τότε χρησιμοποιούνται όλοι οι κανόνες για τον υπολογισμό της παραγώγου για τον υπολογισμό της διαφοράς (εξ ου και ο όρος «διαφοροποίηση»).
Έστω δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις 
Και 
, τότε η διαφορά βρίσκεται σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:
1)
2)
Με -συνθ
3)
4)
(
)
5) για μια σύνθετη συνάρτηση 
, Οπου 
(επειδή 
).
Το διαφορικό μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίσο με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και το διαφορικό αυτού του ενδιάμεσου ορίσματος.
Εφαρμογές παραγώγων.
Θεωρήματα μέσης τιμής.
Θεώρημα Rolle. Εάν η συνάρτηση 
συνεχής στο τμήμα 
και διαφοροποιήσιμο στο ανοιχτό διάστημα 
και αν παίρνει ίσες τιμές στα άκρα του τμήματος 
, στη συνέχεια στο διάστημα 
υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο σημείο Με, στην οποία η παράγωγος πηγαίνει στο μηδέν, δηλ. 
,
ένα<
ντο<
σι.
Γεωμετρικά, το θεώρημα του Rolle σημαίνει ότι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 
υπάρχει ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης είναι παράλληλη προς τον άξονα Ω.
Θεώρημα Lagrange. Εάν η συνάρτηση 
συνεχής στο τμήμα 
και διαφοροποιήσιμο στο διάστημα 
, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο 
τέτοια ώστε η ισότητα .
Ο τύπος ονομάζεται τύπος Lagrange ή τύπος πεπερασμένης αύξησης: η αύξηση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης σε ένα διάστημα 
ισούται με την αύξηση του ορίσματος πολλαπλασιαζόμενη με την τιμή της παραγώγου σε κάποιο εσωτερικό σημείο αυτού του τμήματος.
Γεωμετρική σημασία του θεωρήματος του Lagrange: συναρτήσεις στο γράφημα 
υπάρχει ένα σημείο C(s;φά(ντο))
, στην οποία η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παράλληλη προς τη διατομή ΑΒ.
Θεώρημα Cauchy. Εάν οι λειτουργίες 
Και 
συνεχής στο τμήμα 
, διαφοροποιήσιμο στο διάστημα 
, και 
Για 
, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο 
έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα 
.
Το θεώρημα του Cauchy παρέχει τη βάση για έναν νέο κανόνα για τον υπολογισμό των ορίων.
Ο κανόνας του L'Hopital.
Θεώρημα:(Κανόνας L'Hopital - αποκάλυψη αβεβαιοτήτων της φόρμας 
). Αφήστε τις συναρτήσεις 
Και 
συνεχής και διαφοροποιήσιμος σε μια γειτονιά ενός σημείου Χ 0
και εξαφανίζονται σε αυτό το σημείο 
. Αστο να πάει 
κοντά σε ένα σημείο Χ 0
. αν υπάρχει όριο 
, Οτι 
.
Απόδειξη: Εφαρμογή σε λειτουργίες 
Και 
Θεώρημα Cauchy για ένα τμήμα 
Ξαπλωμένη κοντά σε ένα σημείο Χ 0
. Επειτα 
, Οπου Χ 0
<
ντο<
Χ. Επειδή 
παίρνουμε 
. Ας πάμε στο όριο στο 
. Επειδή 
, Οτι 
, Να γιατί 
.
Άρα το όριο του λόγου των δύο β.μ. ίσο με το όριο του λόγου των παραγώγων τους, αν υπάρχει το τελευταίο 
.
Θεώρημα.(Ο κανόνας του L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων του εντύπου 
) Αφήστε τις συναρτήσεις 
Και 
συνεχής και διαφοροποιήσιμος σε μια γειτονιά ενός σημείου Χ 0
(εκτός ίσως από την ουσία Χ 0
), σε αυτήν την περιοχή 
,
. Αν υπάρχει όριο
, Οτι 
.
Αβεβαιότητες της μορφής ( 
) μειώνονται σε δύο κύριες ( 
),
μέσα από ταυτόσημους μετασχηματισμούς.
Παράδειγμα: 
Πολύ συχνά, κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων (για παράδειγμα, στην ανώτερη γεωδαισία ή στην αναλυτική φωτογραμμετρία), εμφανίζονται σύνθετες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, π.χ. x, y, z μία λειτουργία f(x,y,z) ) είναι οι ίδιες συναρτήσεις νέων μεταβλητών U, V, W ).
Αυτό, για παράδειγμα, συμβαίνει όταν μετακινείστε από ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων Oxyz στο κινητό σύστημα Ο 0 UVW και πίσω. Ταυτόχρονα, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε όλες τις επιμέρους παραγώγους σε σχέση με τις «σταθερές» - «παλιές» και «κινούμενες» - «νέα» μεταβλητές, καθώς αυτές οι μερικές παράγωγοι συνήθως χαρακτηρίζουν τη θέση ενός αντικειμένου σε αυτά τα συστήματα συντεταγμένων. , και, ειδικότερα, επηρεάζουν την αντιστοιχία αεροφωτογραφιών με πραγματικό αντικείμενο. Σε τέτοιες περιπτώσεις ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
Δίνεται δηλαδή μια σύνθετη συνάρτηση Τ τρεις «νέες» μεταβλητές U, V, W μέσω τριών «παλιών» μεταβλητών x, y, z, Επειτα:
Σχόλιο. Μπορεί να υπάρχουν διακυμάνσεις στον αριθμό των μεταβλητών. Για παράδειγμα: αν
Ειδικότερα, εάν z = f(xy), y = y(x) , τότε παίρνουμε τον λεγόμενο τύπο "συνολικής παραγώγου":
Ο ίδιος τύπος για τη «συνολική παράγωγο» στην περίπτωση:
θα λάβει τη μορφή:
Άλλες παραλλαγές των τύπων (1.27) - (1.32) είναι επίσης δυνατές.
Σημείωση: ο τύπος «συνολική παράγωγος» χρησιμοποιείται στο μάθημα της φυσικής, ενότητα «Υδροδυναμική» κατά την εξαγωγή του θεμελιώδους συστήματος εξισώσεων κίνησης ρευστού.
Παράδειγμα 1.10. Δεδομένος:
Σύμφωνα με (1.31):
§7 Μερικές παράγωγοι μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης πολλών μεταβλητών
Όπως είναι γνωστό, μια σιωπηρά καθορισμένη συνάρτηση μιας μεταβλητής ορίζεται ως εξής: η συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ λέγεται άρρητο αν δίνεται από μια εξίσωση που δεν λύνεται ως προς y :
Παράδειγμα 1.11.
Η εξίσωση
καθορίζει σιωπηρά δύο λειτουργίες:
Και η εξίσωση
δεν καθορίζει καμία λειτουργία.
Θεώρημα 1.2 (ύπαρξη άρρητης συνάρτησης).
Αφήστε τη λειτουργία z =f(x,y) και τα επιμέρους παράγωγά του φά" Χ Και φά" y καθορισμένη και συνεχής σε κάποια γειτονιά U Μ0 σημεία Μ 0 (Χ 0 y 0 ) . Εκτός, f(x 0 , y 0 )=0 Και στ" (χ 0 , y 0 )≠0 , τότε η εξίσωση (1.33) ορίζει στη γειτονιά U Μ0 άρρητη λειτουργία y=y(x) , συνεχής και διαφοροποιήσιμος σε ορισμένο διάστημα ρε με κέντρο σε ένα σημείο Χ 0 , και y(x 0 )=υ 0 .
Καμία απόδειξη.
Από το Θεώρημα 1.2 προκύπτει ότι σε αυτό το διάστημα ρε :
δηλαδή υπάρχει ταυτότητα μέσα
όπου η παράγωγος «σύνολο» βρίσκεται σύμφωνα με το (1.31)
Δηλαδή, το (1.35) δίνει τον τύπο για την άρρητη εύρεση της παραγώγου δεδομένη λειτουργίαμία μεταβλητή Χ .
Μια άρρητη συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών ορίζεται παρόμοια.
Για παράδειγμα, εάν σε κάποια περιοχή V χώρος Oxyz ισχύει η ακόλουθη εξίσωση:
τότε υπό ορισμένες συνθήκες στη συνάρτηση φά ορίζει σιωπηρά μια συνάρτηση
Επιπλέον, κατ' αναλογία με το (1.35), οι επί μέρους παράγωγοί του βρίσκονται ως εξής.
Θεωρήστε τη συνάρτηση y(x), η οποία είναι γραμμένη έμμεσα γενική εικόνα$ F(x,y(x)) = 0 $. Η παράγωγος μιας άρρητης συνάρτησης βρίσκεται με δύο τρόπους:
- Διαφοροποιώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης
- Χρησιμοποιώντας τον έτοιμο τύπο $ y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $
Πως να βρεις?
Μέθοδος 1
Δεν χρειάζεται να μεταδοθεί ρητά η συνάρτηση. Πρέπει να αρχίσετε αμέσως να διαφοροποιείτε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε σχέση με $ x $. Αξίζει να σημειωθεί ότι η παράγωγος $ y" $ υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης. Για παράδειγμα, $ (y^2)"_x = 2yy" $. Μετά την εύρεση της παραγώγου, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε $ y" $ από την εξίσωση που προκύπτει και τοποθετήστε $ y" $ στην αριστερή πλευρά.
Μέθοδος 2
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο που χρησιμοποιεί τις μερικές παραγώγους της άρρητης συνάρτησης $ F(x,y(x)) = 0 $ στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Για να βρείτε τον αριθμητή, πάρτε την παράγωγο ως προς το $ x $, και για τον παρονομαστή, πάρτε την παράγωγο ως προς το $ y $.
Η δεύτερη παράγωγος της άρρητης συνάρτησης μπορεί να βρεθεί διαφοροποιώντας επανειλημμένα την πρώτη παράγωγο της άρρητης συνάρτησης.
Παραδείγματα λύσεων
Ας δούμε πρακτικά παραδείγματα λύσεων για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας σιωπηρώς καθορισμένης συνάρτησης.
| Παράδειγμα 1 |
|
Βρείτε την παράγωγο της άρρητης συνάρτησης $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ |
| Λύση |
|
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Νο. 1. Δηλαδή, διαφοροποιούμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Κατά τη διαφοροποίηση, μην ξεχάσετε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την παράγωγο ενός γινομένου συναρτήσεων: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. θα παρέχουμε αναλυτική λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα! |
| Απάντηση |
| $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ |
| Παράδειγμα 2 |
|
Η συνάρτηση δίνεται σιωπηρά, βρείτε την παράγωγο $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
| Λύση |
|
Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Νο. 2. Εύρεση μερικών παραγώγων της συνάρτησης $ F(x,y) = 0 $ Έστω το $ y $ σταθερό και διαφοροποιείται ως προς το $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ Τώρα θεωρούμε το $ x $ σταθερά και διαφοροποιούμε σε σχέση με το $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ Τώρα αντικαθιστούμε $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ στον τύπο και παίρνουμε: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$ |
| Απάντηση |
| $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$ |
Παράγωγο συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά.
Παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης
Σε αυτό το άρθρο θα δούμε δύο ακόμη τυπικές εργασίες που βρίσκονται συχνά σε τεστ στα ανώτερα μαθηματικά. Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε παράγωγα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Μπορείτε να μάθετε να βρίσκετε παράγωγα πρακτικά από την αρχή σε δύο βασικά μαθήματα και Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Εάν οι δεξιότητές σας στη διαφοροποίηση είναι εντάξει, τότε πάμε.
Παράγωγο συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά
Ή, εν συντομία, η παράγωγος μιας άρρητης συνάρτησης. Τι είναι μια άρρητη συνάρτηση; Ας θυμηθούμε πρώτα τον ίδιο τον ορισμό της συνάρτησης μιας μεταβλητής:
Μονή μεταβλητή συνάρτησηείναι ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία και μόνο τιμή της συνάρτησης.
Η μεταβλητή ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητήή διαφωνία.
Η μεταβλητή ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητήή λειτουργία
.
Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει τις λειτουργίες που ορίζονται στο σαφήςμορφή. Τι σημαίνει? Ας κάνουμε μια απολογιστική χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.
Εξετάστε τη συνάρτηση 
Βλέπουμε ότι στα αριστερά έχουμε έναν μοναχικό "παίχτη" και στα δεξιά - μόνο "Χ". Δηλαδή η συνάρτηση ρητάεκφράζεται μέσω της ανεξάρτητης μεταβλητής.
Ας δούμε μια άλλη λειτουργία:
Εδώ ανακατεύονται οι μεταβλητές. Εξάλλου αδύνατο με κάθε τρόποεκφράστε το "Y" μόνο μέσω του "X". Ποιες είναι αυτές οι μέθοδοι; Μεταφορά όρων από μέρος σε μέρος με αλλαγή πρόσημου, μετατόπισή τους εκτός παρένθεσης, ρίψη παραγόντων σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας κ.λπ. Ξαναγράψτε την ισότητα και προσπαθήστε να εκφράσετε ρητά το «y»: . Μπορείτε να περιστρέφετε την εξίσωση για ώρες, αλλά δεν θα τα καταφέρετε.
Επιτρέψτε μου να σας παρουσιάσω: – παράδειγμα άρρητη λειτουργία.
Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκε ότι η άρρητη συνάρτηση υπάρχει(ωστόσο, όχι πάντα), έχει ένα γράφημα (ακριβώς όπως μια "κανονική" συνάρτηση). Η σιωπηρή συνάρτηση είναι ακριβώς η ίδια υπάρχειπρώτο παράγωγο, δεύτερο παράγωγο κ.λπ. Όπως λένε, όλα τα δικαιώματα των σεξουαλικών μειονοτήτων γίνονται σεβαστά.
Και σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης που καθορίζεται σιωπηρά. Δεν είναι τόσο δύσκολο! Όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης, πίνακας παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίεςπαραμένουν σε ισχύ. Η διαφορά βρίσκεται σε μια ιδιόμορφη στιγμή, την οποία θα δούμε τώρα.
Ναι, θα σας ενημερώσω καλα ΝΕΑ– οι εργασίες που συζητούνται παρακάτω εκτελούνται σύμφωνα με έναν αρκετά αυστηρό και σαφή αλγόριθμο χωρίς μια πέτρα μπροστά από τρεις πίστες.
Παράδειγμα 1
1) Στο πρώτο στάδιο, προσαρμόζουμε κτυπήματα και στα δύο μέρη:
2) Χρησιμοποιούμε τους κανόνες γραμμικότητας της παραγώγου (οι δύο πρώτοι κανόνες του μαθήματος Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παραδείγματα λύσεων):
3) Άμεση διαφοροποίηση.
Ο τρόπος διαφοροποίησης είναι απολύτως ξεκάθαρος. Τι να κάνετε όπου υπάρχουν «παιχνίδια» κάτω από τα εγκεφαλικά επεισόδια;
- σε σημείο ντροπής, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ίση με την παράγωγό της: .
Πώς να διαφοροποιήσετε
Εδώ έχουμε σύνθετη λειτουργία. Γιατί; Φαίνεται ότι κάτω από το ημίτονο υπάρχει μόνο ένα γράμμα "Y". Αλλά το γεγονός είναι ότι υπάρχει μόνο ένα γράμμα "y" - ΕΙΝΑΙ Ο ΙΔΙΟΣ ΜΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ(βλ. ορισμό στην αρχή του μαθήματος). Έτσι, το ημίτονο είναι μια εξωτερική συνάρτηση, - εσωτερική λειτουργία. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης 
:
Διαφοροποιούμε το προϊόν σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα 
:
Σημειώστε ότι – είναι επίσης μια πολύπλοκη συνάρτηση, οποιοδήποτε «παιχνίδι με κουδούνια και σφυρίχτρες» είναι μια πολύπλοκη λειτουργία:
Η ίδια η λύση θα πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:
Εάν υπάρχουν αγκύλες, επεκτείνετε τις:
4) Στην αριστερή πλευρά συλλέγουμε τους όρους που περιέχουν «Υ» με πρώτο. Μετακινήστε όλα τα άλλα στη δεξιά πλευρά:
5) Στην αριστερή πλευρά βγάζουμε την παράγωγο από αγκύλες:
6) Και σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, ρίχνουμε αυτές τις αγκύλες στον παρονομαστή της δεξιάς πλευράς:
Το παράγωγο βρέθηκε. Ετοιμος.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να ξαναγραφτεί σιωπηρά. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 
μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: 
. Και διαφοροποιήστε το χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που μόλις συζητήθηκε. Στην πραγματικότητα, οι φράσεις "σιωπηρή λειτουργία" και "σιωπηρή λειτουργία" διαφέρουν σε μία σημασιολογική απόχρωση. Η φράση "σιωπηρά καθορισμένη λειτουργία" είναι πιο γενική και σωστή, 
– αυτή η συνάρτηση καθορίζεται σιωπηρά, αλλά εδώ μπορείτε να εκφράσετε το «παιχνίδι» και να παρουσιάσετε τη συνάρτηση ρητά. Η φράση "σιωπηρή συνάρτηση" αναφέρεται στην "κλασική" άρρητη συνάρτηση όταν το "y" δεν μπορεί να εκφραστεί.
Δεύτερη λύση
Προσοχή!Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τη δεύτερη μέθοδο μόνο εάν ξέρετε πώς να βρίσκετε με σιγουριά μερικώς παράγωγα. Αρχάριοι για μελέτη μαθηματική ανάλυσηκαι τσαγιέρες παρακαλώ μην διαβάσετε και παραλείψετε αυτό το σημείο, διαφορετικά το κεφάλι σας θα είναι ένα πλήρες χάος.
Ας βρούμε την παράγωγο της άρρητης συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο.
Μεταφέρουμε όλους τους όρους σε αριστερή πλευρά:
Και θεωρήστε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών:
Στη συνέχεια, η παράγωγή μας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
Ας βρούμε τις μερικές παραγώγους:
Ετσι:
Η δεύτερη λύση σάς επιτρέπει να εκτελέσετε έναν έλεγχο. Αλλά δεν είναι σκόπιμο να γράψουν την τελική έκδοση της εργασίας, καθώς οι μερικές παράγωγοι κατακτώνται αργότερα και ένας μαθητής που μελετά το θέμα "Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής" δεν πρέπει να γνωρίζει ακόμη μερικές παραγώγους.
Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα.
Παράδειγμα 2
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται σιωπηρά
Προσθέστε πινελιές και στα δύο μέρη:
Χρησιμοποιούμε κανόνες γραμμικότητας:
Εύρεση παραγώγων:
Ανοίγοντας όλες τις αγκύλες:
Μετακινούμε όλους τους όρους με στην αριστερή πλευρά, τους υπόλοιπους στη δεξιά πλευρά:
Τελική απάντηση: 
Παράδειγμα 3
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται σιωπηρά 
Πλήρης λύση και σχέδιο δείγματος στο τέλος του μαθήματος.
Δεν είναι ασυνήθιστο να προκύπτουν κλάσματα μετά τη διαφοροποίηση. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να απαλλαγείτε από κλάσματα. Ας δούμε δύο ακόμη παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται σιωπηρά 
Κλείνουμε και τα δύο μέρη κάτω από πινελιές και χρησιμοποιούμε τον κανόνα γραμμικότητας: 
Διαφοροποίηση χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης 
και ο κανόνας της διαφοροποίησης των πηλίκων 
:
Επέκταση των παρενθέσεων: 
Τώρα πρέπει να απαλλαγούμε από το κλάσμα. Αυτό μπορεί να γίνει αργότερα, αλλά είναι πιο λογικό να το κάνετε αμέσως. Ο παρονομαστής του κλάσματος περιέχει . Πολλαπλασιάζω επί . Αναλυτικά, θα μοιάζει με αυτό:
Μερικές φορές μετά τη διαφοροποίηση εμφανίζονται 2-3 κλάσματα. Αν είχαμε ένα άλλο κλάσμα, για παράδειγμα, τότε η πράξη θα έπρεπε να επαναληφθεί - πολλαπλασιαστεί κάθε όρος κάθε μέρουςεπί
Στην αριστερή πλευρά το βάζουμε εκτός παρενθέσεων:
Τελική απάντηση: 
Παράδειγμα 5
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται σιωπηρά
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Το μόνο πράγμα είναι ότι πριν απαλλαγείτε από το κλάσμα, θα χρειαστεί πρώτα να απαλλαγείτε από την τριώροφη δομή του ίδιου του κλάσματος. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Παράγωγος παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης
Ας μην αγχώνουμε, όλα σε αυτήν την παράγραφο είναι επίσης αρκετά απλά. Μπορείτε να γράψετε γενικός τύποςπαραμετρικά καθορισμένη συνάρτηση, αλλά, για να γίνει σαφές, θα γράψω αμέσως συγκεκριμένο παράδειγμα. Σε παραμετρική μορφή, η συνάρτηση δίνεται από δύο εξισώσεις: . Συχνά οι εξισώσεις δεν γράφονται κάτω από σγουρές αγκύλες, αλλά διαδοχικά: , .
Η μεταβλητή ονομάζεται παράμετροςκαι μπορεί να πάρει τιμές από "μείον άπειρο" έως "συν άπειρο". Εξετάστε, για παράδειγμα, την τιμή και αντικαταστήστε την και στις δύο εξισώσεις: 
. Ή με ανθρώπινους όρους: «αν το x είναι ίσο με τέσσερα, τότε το y είναι ίσο με ένα». Μπορείτε να επισημάνετε ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων και αυτό το σημείο θα αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου. Ομοίως, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου "te". Όσο για μια «κανονική» συνάρτηση, για τους Ινδιάνους της Αμερικής μιας παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης, όλα τα δικαιώματα είναι επίσης σεβαστά: μπορείτε να δημιουργήσετε ένα γράφημα, να βρείτε παράγωγα κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, εάν χρειάζεται να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμά μου.
Στις απλούστερες περιπτώσεις, είναι δυνατή η ρητή αναπαράσταση της συνάρτησης. Ας εκφράσουμε την παράμετρο από την πρώτη εξίσωση: 
– και αντικαταστήστε το στη δεύτερη εξίσωση: 
. Το αποτέλεσμα είναι μια συνηθισμένη κυβική συνάρτηση.
Σε πιο «σοβαρές» περιπτώσεις, αυτό το κόλπο δεν λειτουργεί. Αλλά δεν πειράζει, γιατί υπάρχει ένας τύπος για την εύρεση της παραγώγου μιας παραμετρικής συνάρτησης:
Βρίσκουμε την παράγωγο του «παιχνιδιού σε σχέση με τη μεταβλητή te»:
Όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης και ο πίνακας παραγώγων ισχύουν, φυσικά, για το γράμμα, επομένως, δεν υπάρχει καινοτομία στη διαδικασία εύρεσης παραγώγων. Απλώς αντικαταστήστε νοερά όλα τα «Χ» στον πίνακα με το γράμμα «Τε».
Βρίσκουμε την παράγωγο του «x ως προς τη μεταβλητή te»: 
Τώρα το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στον τύπο μας: 
Ετοιμος. Η παράγωγος, όπως και η ίδια η συνάρτηση, εξαρτάται επίσης από την παράμετρο.
Όσον αφορά τη σημείωση, αντί να τη γράψει κανείς στον τύπο, θα μπορούσε απλώς να την γράψει χωρίς δείκτη, αφού πρόκειται για «κανονική» παράγωγο «σε σχέση με το Χ». Αλλά στη βιβλιογραφία υπάρχει πάντα μια επιλογή, οπότε δεν θα παρεκκλίνω από τα πρότυπα.
Παράδειγμα 6
Χρησιμοποιούμε τον τύπο
Σε αυτήν την περίπτωση:
Ετσι: 
Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της εύρεσης της παραγώγου μιας παραμετρικής συνάρτησης είναι το γεγονός ότι σε κάθε βήμα είναι ωφέλιμο να απλοποιήσετε το αποτέλεσμα όσο το δυνατόν περισσότερο. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, όταν το βρήκα, άνοιξα τις παρενθέσεις κάτω από τη ρίζα (αν και μπορεί να μην το έκανα αυτό). Υπάρχει μια καλή πιθανότητα κατά την αντικατάσταση στη φόρμουλα, πολλά πράγματα να μειωθούν καλά. Αν και, φυσικά, υπάρχουν παραδείγματα με αδέξιες απαντήσεις.
Παράδειγμα 7
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης που καθορίζεται παραμετρικά 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.
Στο άρθρο Τα απλούστερα τυπικά προβλήματα με τα παράγωγαεξετάσαμε παραδείγματα στα οποία έπρεπε να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης. Για μια παραμετρικά καθορισμένη συνάρτηση, μπορείτε επίσης να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, η οποία βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: . Είναι προφανές ότι για να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, πρέπει πρώτα να βρείτε την πρώτη παράγωγο.
Παράδειγμα 8
Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά
Αρχικά, ας βρούμε την πρώτη παράγωγο.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο
Σε αυτήν την περίπτωση: 
Αντικαθιστούμε τα παράγωγα που βρέθηκαν στον τύπο. Για λόγους απλοποίησης, χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο: 