Εύρεση αντίστροφη μήτρα - ένα πρόβλημα που συχνά επιλύεται με δύο μεθόδους:
- τη μέθοδο των αλγεβρικών προσθηκών, η οποία απαιτεί την εύρεση οριζόντων και τη μεταφορά πινάκων.
- με εξάλειψη άγνωστος Γκάους, στις οποίες είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί πινάκων (προσθήκη σειρών, πολλαπλασιασμός σειρών με τον ίδιο αριθμό κ.λπ.).
Για όσους είναι ιδιαίτερα περίεργοι, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, για παράδειγμα, η μέθοδος των γραμμικών μετασχηματισμών. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε τις τρεις αναφερόμενες μεθόδους και αλγόριθμους για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους.
Αντίστροφος πίνακας ΕΝΑ, μια τέτοια μήτρα ονομάζεται
ΕΝΑ
. (1)
Αντίστροφος πίνακας , το οποίο πρέπει να βρεθεί για έναν δεδομένο τετραγωνικό πίνακα ΕΝΑ, μια τέτοια μήτρα ονομάζεται
το γινόμενο του οποίου οι πίνακες ΕΝΑστα δεξιά είναι ο πίνακας ταυτότητας, δηλ.
. (1)
Ένας πίνακας ταυτότητας είναι ένας διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα.
Θεώρημα.Για κάθε μη ενικό (μη εκφυλισμένο, μη ενικό) τετραγωνικό πίνακα, μπορεί κανείς να βρει έναν αντίστροφο πίνακα και μόνο έναν. Για έναν ειδικό (εκφυλισμένο, ενικό) τετραγωνικό πίνακα, ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.
Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται όχι ιδιαίτερο(ή μη εκφυλισμένος, μη ενικός), αν η ορίζουσα του δεν είναι μηδέν, και ειδικός(ή εκφυλισμένος, ενικός) αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.
Το αντίστροφο ενός πίνακα μπορεί να βρεθεί μόνο για έναν τετράγωνο πίνακα. Φυσικά, ο αντίστροφος πίνακας θα είναι επίσης τετράγωνος και της ίδιας τάξης με τον δεδομένο πίνακα. Ένας πίνακας για τον οποίο μπορεί να βρεθεί ένας αντίστροφος πίνακας ονομάζεται αντιστρέψιμος πίνακας.
Για αντίστροφη μήτρα Υπάρχει σχετική αναλογία με το αντίστροφο ενός αριθμού. Για κάθε αριθμό ένα, όχι ίσο με μηδέν, υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός σιότι το έργο έναΚαι σιισούται με ένα: αβ= 1 . Αριθμός σιονομάζεται το αντίστροφο ενός αριθμού σι. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 7 το αντίστροφο είναι 1/7, αφού 7*1/7=1.
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των αλγεβρικών προσθηκών (συμμαχικός πίνακας)
Για μη ενικό τετράγωνο πίνακα ΕΝΑτο αντίστροφο είναι η μήτρα
πού είναι η ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ, το a είναι ένας πίνακας που συνδέεται με τον πίνακα ΕΝΑ.
Συμμαχία με τετράγωνη μήτρα ΕΝΑείναι ένας πίνακας ίδιας τάξης, τα στοιχεία του οποίου είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων της ορίζουσας του πίνακα που μετατίθεται ως προς τον πίνακα Α. Έτσι, αν
Οτι 
Και 
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των αλγεβρικών προσθηκών
1. Βρείτε την ορίζουσα αυτού του πίνακα ΕΝΑ. Εάν η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα σταματά, αφού ο πίνακας είναι ενικός και το αντίστροφό του δεν υπάρχει.
2. Βρείτε τον πίνακα που μετατίθεται σε σχέση με ΕΝΑ.
3. Υπολογίστε στοιχεία μήτρα ένωσηςως αλγεβρικά συμπληρώματα του maritz που βρέθηκαν στο βήμα 2.
4. Εφαρμόστε τον τύπο (2): πολλαπλασιάστε το αντίστροφο της ορίζουσας του πίνακα ΕΝΑ, στον πίνακα ένωσης που βρέθηκε στο βήμα 4.
5. Ελέγξτε το αποτέλεσμα που προκύπτει στο βήμα 4 πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον πίνακα ΕΝΑστον αντίστροφο πίνακα. Εάν το γινόμενο αυτών των πινάκων είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας, τότε ο αντίστροφος πίνακας βρέθηκε σωστά. Διαφορετικά, ξεκινήστε ξανά τη διαδικασία επίλυσης.
Παράδειγμα 1.Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση. Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ. Βρίσκουμε με τον κανόνα των τριγώνων:
Επομένως, η μήτρα ΕΝΑ– μη ενικό (non-degenerate, non-singular) και υπάρχει αντίστροφο για αυτό.
Ας βρούμε μια μήτρα που να σχετίζεται με αυτήν τη μήτρα ΕΝΑ.
Ας βρούμε τον πίνακα μεταφερόμενο σε σχέση με τον πίνακα ΕΝΑ:
Υπολογίζουμε τα στοιχεία του συμμαχικού πίνακα ως αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα που μετατίθεται σε σχέση με τον πίνακα ΕΝΑ:
Επομένως, η μήτρα συμφώνησε με τη μήτρα ΕΝΑ, έχει τη μορφή
Σχόλιο.Η σειρά με την οποία υπολογίζονται τα στοιχεία και μεταφέρεται ο πίνακας μπορεί να είναι διαφορετική. Μπορείτε πρώτα να υπολογίσετε τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα ΕΝΑ, και μετά μεταφέρετε τον αλγεβρικό συμπληρωματικό πίνακα. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι τα ίδια στοιχεία του πίνακα ένωσης.
Εφαρμόζοντας τον τύπο (2), βρίσκουμε τον πίνακα αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ:
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian άγνωστης εξάλειψης
Το πρώτο βήμα για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάλειψης Gauss είναι να αντιστοιχίσετε στον πίνακα ΕΝΑμήτρα ταυτότητας ίδιας σειράς, χωρίζοντάς τα με κάθετη ράβδο. Θα πάρουμε έναν διπλό πίνακα. Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτού του πίνακα με το , και μετά παίρνουμε
,
Αλγόριθμος για την εύρεση της αντίστροφης μήτρας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian άγνωστης εξάλειψης
1. Στη μήτρα ΕΝΑαντιστοιχίστε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς.
2. Μεταμορφώστε τον διπλό πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε στην αριστερή του πλευρά να λάβετε έναν πίνακα μονάδας, στη συνέχεια στη δεξιά πλευρά, στη θέση του πίνακα ταυτότητας, να λάβετε αυτόματα έναν αντίστροφο πίνακα. Μήτρα ΕΝΑστην αριστερή πλευρά μετατρέπεται στον πίνακα ταυτότητας με μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.
2. Αν στη διαδικασία μετασχηματισμού μήτρας ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας θα υπάρχουν μόνο μηδενικά σε οποιαδήποτε γραμμή ή σε οποιαδήποτε στήλη, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν και, κατά συνέπεια, ο πίνακας ΕΝΑθα είναι ενικός και δεν έχει αντίστροφο πίνακα. Σε αυτή την περίπτωση, ο περαιτέρω προσδιορισμός του αντίστροφου πίνακα σταματά.
Παράδειγμα 2.Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
και θα το μεταμορφώσουμε έτσι ώστε στην αριστερή πλευρά να έχουμε έναν πίνακα ταυτότητας. Ξεκινάμε τη μεταμόρφωση.
Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά του αριστερού και δεξιού πίνακα με (-3) και προσθέστε τη στη δεύτερη σειρά και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με (-4) και προσθέστε την στην τρίτη σειρά, τότε παίρνουμε
.
Έτσι ώστε αν είναι δυνατόν να μην υπάρχει κλασματικοί αριθμοίκατά τη διάρκεια των επόμενων μετασχηματισμών, θα δημιουργήσουμε πρώτα μια μονάδα στη δεύτερη σειρά στην αριστερή πλευρά του διπλού πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη γραμμή με 2 και αφαιρέστε την τρίτη γραμμή από αυτήν, τότε παίρνουμε
.
Ας προσθέσουμε την πρώτη γραμμή με τη δεύτερη και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή με (-9) και την προσθέτουμε με την τρίτη γραμμή. Μετά παίρνουμε
.
Στη συνέχεια, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 8
.
Πολλαπλασιάστε την τρίτη γραμμή επί 2 και προσθέστε τη στη δεύτερη γραμμή. Αποδεικνύεται:
.
Ας ανταλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή και τελικά παίρνουμε:
.
Βλέπουμε ότι στην αριστερή πλευρά έχουμε τον πίνακα ταυτότητας, επομένως, στη δεξιά πλευρά έχουμε τον αντίστροφο πίνακα. Ετσι:
.
Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα με τον αντίστροφο πίνακα που βρέθηκε:
Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας αντίστροφος πίνακας.
Παράδειγμα 3.Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση. Σύνταξη διπλού πίνακα
και θα το μεταμορφώσουμε.
Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με 3, και τη δεύτερη με 2, και αφαιρούμε από τη δεύτερη, και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με 5, και την τρίτη με 2 και αφαιρούμε από την τρίτη γραμμή, τότε παίρνουμε
.
Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή επί 2 και την προσθέτουμε στη δεύτερη και στη συνέχεια αφαιρούμε τη δεύτερη από την τρίτη γραμμή, τότε παίρνουμε
.
Βλέπουμε ότι στην τρίτη γραμμή στην αριστερή πλευρά όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, ο πίνακας είναι ενικός και δεν έχει αντίστροφη μήτρα. Σταματάμε να βρίσκουμε περαιτέρω την αντίστροφη maritz.
Ορισμός 1:ένας πίνακας λέγεται ενικός αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.
Ορισμός 2:ένας πίνακας ονομάζεται μη ενικός εάν η ορίζοντή του δεν είναι ίση με μηδέν.
Ο πίνακας "Α" ονομάζεται αντίστροφη μήτρα, εάν η συνθήκη A*A-1 = A-1 *A = E (μονάδα πίνακα) ικανοποιείται.
Ένας τετράγωνος πίνακας είναι αντιστρέψιμος μόνο αν είναι μη ενικός.
Σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:
1) Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα "Α" αν ∆ A = 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.
2) Βρείτε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα "Α".
3) Δημιουργήστε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών (Aij)
4) Μεταθέστε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων (Aij )T
5) Πολλαπλασιάστε τον μετατιθέμενο πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας αυτού του πίνακα.
6) Πραγματοποιήστε έλεγχο:
Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ απλά. Όλες οι λύσεις βασίζονται σε απλές αριθμητικές πράξεις, το κύριο πράγμα κατά την επίλυση είναι να μην μπερδεύεστε με τα σημάδια "-" και "+" και να μην τα χάσετε.
Τώρα ας λύσουμε μια πρακτική εργασία μαζί υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα.
Εργασία: βρείτε τον αντίστροφο πίνακα "A" που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα "A":
Εξήγηση:
Απλοποιήσαμε την ορίζοντή μας χρησιμοποιώντας τις βασικές της συναρτήσεις. Αρχικά, προσθέσαμε στη 2η και 3η γραμμή τα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό.
Δεύτερον, αλλάξαμε τη 2η και την 3η στήλη της ορίζουσας και σύμφωνα με τις ιδιότητές της, αλλάξαμε το πρόσημο μπροστά της.
Τρίτον, βγάλαμε τον κοινό παράγοντα (-1) της δεύτερης γραμμής, αλλάζοντας ξανά το πρόσημο και έγινε θετικός. Απλοποιήσαμε επίσης τη γραμμή 3 με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχή του παραδείγματος.
Έχουμε μια τριγωνική ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν και με την ιδιότητα 7 ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων. Στο τέλος πήραμε ∆ A = 26, επομένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 = -1*(9+2) = -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Το επόμενο βήμα είναι η σύνταξη ενός πίνακα από τις προσθήκες που προκύπτουν:
5. Πολλαπλασιάστε αυτόν τον πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας, δηλαδή με το 1/26:
6. Τώρα πρέπει απλώς να ελέγξουμε:
Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, λάβαμε μια μήτρα ταυτότητας, επομένως, η λύση εκτελέστηκε απολύτως σωστά.
2 τρόπος υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα.
1. Μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα
2. Αντίστροφος πίνακας μέσω στοιχειώδους μετατροπέα.
Ο μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνει:
1. Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν.
2. Προσθήκη σε οποιαδήποτε γραμμή άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένης με έναν αριθμό.
3. Αλλάξτε τις σειρές του πίνακα.
4. Εφαρμόζοντας μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών, παίρνουμε έναν άλλο πίνακα.
ΕΝΑ -1 = ?
1. (Α|Ε) ~ (Ε|Α -1 )
2.Α -1 * A = E
Ας το δούμε αυτό χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς.
Ασκηση:Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση:
Ας ελέγξουμε:
Μια μικρή διευκρίνηση για τη λύση:
Αρχικά, αναδιατάξαμε τις σειρές 1 και 2 του πίνακα και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-1).
Μετά από αυτό, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-2) και την προσθέσαμε με τη δεύτερη σειρά του πίνακα. Στη συνέχεια πολλαπλασιάσαμε τη γραμμή 2 επί 1/4.
Το τελικό στάδιο του μετασχηματισμού ήταν ο πολλαπλασιασμός της δεύτερης γραμμής επί 2 και η πρόσθεσή της με την πρώτη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε τον πίνακα ταυτότητας στα αριστερά, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας είναι ο πίνακας στα δεξιά.
Μετά από έλεγχο, πειστήκαμε ότι η απόφαση ήταν σωστή.
Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα είναι πολύ απλός.
Στο τέλος αυτής της διάλεξης, θα ήθελα επίσης να αφιερώσω λίγο χρόνο στις ιδιότητες μιας τέτοιας μήτρας.
Ας δοθεί τετράγωνη μήτρα. Πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Πρώτος τρόπος. Το θεώρημα 4.1 της ύπαρξης και της μοναδικότητας ενός αντίστροφου πίνακα υποδεικνύει έναν από τους τρόπους εύρεσης του.
1. Υπολογίστε την ορίζουσα αυτού του πίνακα. Εάν, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει (ο πίνακας είναι ενικός).
2. Κατασκευάστε έναν πίνακα από αλγεβρικά συμπληρώματα στοιχείων πίνακα.
3.
Μεταφέρετε τη μήτρα για να λάβετε την πρόσθετη μήτρα 
.
4. Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα (4.1) διαιρώντας όλα τα στοιχεία του παρακείμενου πίνακα με την ορίζουσα
Δεύτερος τρόπος. Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.
1. Κατασκευάστε έναν πίνακα μπλοκ αναθέτοντας σε έναν δεδομένο πίνακα έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.
2. Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς που πραγματοποιούνται στις σειρές του πίνακα, φέρτε το αριστερό του μπλοκ στην απλούστερη μορφή του. Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας μπλοκ μειώνεται στη μορφή όπου είναι ένας τετράγωνος πίνακας που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών από τον πίνακα ταυτότητας.
3. Αν , τότε το μπλοκ είναι ίσο με το αντίστροφο του πίνακα, δηλ. Εάν, τότε ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο.
Στην πραγματικότητα, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα, είναι δυνατό να μειωθεί το αριστερό του μπλοκ σε απλοποιημένη μορφή (βλ. Εικ. 1.5). Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας μπλοκ μετατρέπεται στη μορφή όπου υπάρχει ένας στοιχειώδης πίνακας που ικανοποιεί την ισότητα. Εάν ο πίνακας δεν είναι εκφυλισμένος, τότε σύμφωνα με την παράγραφο 2 των Παρατηρήσεων 3.3 η απλοποιημένη μορφή του συμπίπτει με τον πίνακα ταυτότητας. Τότε από την ισότητα προκύπτει ότι. Εάν ο πίνακας είναι μοναδικός, τότε η απλοποιημένη του μορφή διαφέρει από τον πίνακα ταυτότητας και ο πίνακας δεν έχει αντίστροφο.
11. Εξισώσεις μήτρας και η επίλυσή τους. Μορφή μήτρας εγγραφής SLAE. Μέθοδος μήτρας(μέθοδος αντίστροφης μήτρας) λύση SLAE και προϋποθέσεις εφαρμογής της.
Οι εξισώσεις μήτρας είναι εξισώσεις της μορφής: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C όπου μήτρα A,B,Cείναι γνωστοί, ο πίνακας X δεν είναι γνωστός, εάν οι πίνακες A και B δεν είναι μοναδικοί, τότε οι λύσεις στους αρχικούς πίνακες θα γραφτούν με την κατάλληλη μορφή: X = A -1 * C; X=C*A -1; Χ=Α -1 *Γ*Β -1 Μορφή μήτρας συστημάτων γραφής γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.Μπορούν να συσχετιστούν αρκετοί πίνακες με κάθε SLAE. Επιπλέον, το ίδιο το SLAE μπορεί να γραφτεί με τη μορφή εξίσωσης πίνακα. Για το SLAE (1), εξετάστε τους ακόλουθους πίνακες:
Ο πίνακας Α ονομάζεται μήτρα του συστήματος. Τα στοιχεία αυτού του πίνακα αντιπροσωπεύουν τους συντελεστές ενός δεδομένου SLAE.
Ο πίνακας A˜ ονομάζεται σύστημα εκτεταμένης μήτρας. Λαμβάνεται προσθέτοντας στον πίνακα συστήματος μια στήλη που περιέχει ελεύθερους όρους b1,b2,...,bm. Συνήθως αυτή η στήλη χωρίζεται από μια κάθετη γραμμή για σαφήνεια.
Ο πίνακας στήλης Β ονομάζεται μήτρα ελεύθερων μελών, και ο πίνακας στήλης X είναι μήτρα αγνώστων.
Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό που εισήχθη παραπάνω, το SLAE (1) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή εξίσωσης πίνακα: A⋅X=B.
Σημείωση
Οι πίνακες που σχετίζονται με το σύστημα μπορούν να γραφτούν με διάφορους τρόπους: όλα εξαρτώνται από τη σειρά των μεταβλητών και των εξισώσεων του SLAE που εξετάζουμε. Αλλά σε κάθε περίπτωση, η σειρά των αγνώστων σε κάθε εξίσωση ενός δεδομένου SLAE πρέπει να είναι η ίδια.
Η μέθοδος του πίνακα είναι κατάλληλη για την επίλυση SLAE στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν. Εάν το σύστημα περιέχει περισσότερες από τρεις εξισώσεις, τότε η εύρεση της αντίστροφης μήτρας απαιτεί σημαντική υπολογιστική προσπάθεια, επομένως, σε αυτήν την περίπτωση συνιστάται η χρήση Γκαουσιανή μέθοδος.
12. Ομογενή SLAE, προϋποθέσεις για την ύπαρξη μη μηδενικών λύσεών τους. Ιδιότητες μερικών διαλυμάτων ομοιογενών SLAE.
Μια γραμμική εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής αν ο ελεύθερος όρος της είναι ίσος με μηδέν, και ανομοιογενής διαφορετικά. Ένα σύστημα που αποτελείται από ομοιογενείς εξισώσεις ονομάζεται ομογενές και έχει τη γενική μορφή:
13 .Η έννοια της γραμμικής ανεξαρτησίας και εξάρτησης μερικών λύσεων ενός ομοιογενούς SLAE. Θεμελιώδες σύστημα λύσεων (FSD) και ο προσδιορισμός του. Αναπαράσταση της γενικής λύσης ενός ομοιογενούς SLAE μέσω του FSR.
Σύστημα λειτουργίας y 1 (Χ ), y 2 (Χ ), …, y n (Χ ) λέγεται γραμμικά εξαρτώμενηστο μεσοδιάστημα ( ένα , σι ), εάν υπάρχει σετ σταθερούς συντελεστές, όχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα, έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων να είναι πανομοιότυπα ίσος με μηδέν στο ( ένα , σι ): Για . Εάν η ισότητα για είναι δυνατή μόνο για , το σύστημα συναρτήσεων y 1 (Χ ), y 2 (Χ ), …, y n (Χ ) λέγεται γραμμικά ανεξάρτητηστο μεσοδιάστημα ( ένα , σι ). Με άλλα λόγια, οι λειτουργίες y 1 (Χ ), y 2 (Χ ), …, y n (Χ ) γραμμικά εξαρτώμενηστο μεσοδιάστημα ( ένα , σι ), αν υπάρχει ίσο με μηδέν στο ( ένα , σι ) ο μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους. Λειτουργίες y 1 (Χ ),y 2 (Χ ), …, y n (Χ ) γραμμικά ανεξάρτητηστο μεσοδιάστημα ( ένα , σι ), εάν μόνο ο τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους είναι πανομοιότυπα ίσος με μηδέν στο ( ένα , σι ).
Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεων (FSR)Ένα ομοιογενές SLAE είναι η βάση αυτού του συστήματος στηλών.
Ο αριθμός των στοιχείων στο FSR είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων του συστήματος μείον την κατάταξη του πίνακα συστήματος. Οποιαδήποτε λύση στο αρχικό σύστημα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός Αποφάσεις FSR.
Θεώρημα
Η γενική λύση ενός μη ομοιογενούς SLAE ισούται με το άθροισμα της συγκεκριμένης λύσης ενός μη ομοιογενούς SLAE και γενική λύσηαντίστοιχο ομοιογενές SLAE.
1 . Εάν οι στήλες είναι λύσεις σε ένα ομοιογενές σύστημα εξισώσεων, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους είναι επίσης λύση στο ομογενές σύστημα.
Πράγματι, από τις ισότητες προκύπτει ότι
εκείνοι. ένας γραμμικός συνδυασμός διαλυμάτων είναι μια λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα.
2. Εάν η κατάταξη του πίνακα ενός ομοιογενούς συστήματος είναι ίση με , τότε το σύστημα έχει γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις.
Πράγματι, χρησιμοποιώντας τους τύπους (5.13) για τη γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος, βρίσκουμε συγκεκριμένες λύσεις, δίνοντας στις ελεύθερες μεταβλητές τα ακόλουθα σύνολα τυπικών τιμών (κάθε φορά υποθέτοντας ότι μία από τις ελεύθερες μεταβλητές είναι ίση με μία και οι υπόλοιπες είναι ίσες με μηδέν):
που είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Στην πραγματικότητα, εάν δημιουργήσετε έναν πίνακα από αυτές τις στήλες, τότε οι τελευταίες του σειρές σχηματίζουν τον πίνακα ταυτότητας. Κατά συνέπεια, το δευτερεύον που βρίσκεται στις τελευταίες γραμμές δεν ισούται με μηδέν (είναι ίσο με ένα), δηλ. είναι βασικό. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα θα είναι ίση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι στήλες αυτού του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες (βλ. Θεώρημα 3.4).
Οποιαδήποτε συλλογή γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα (σύνολο) λύσεων .
14 Ελάσσονα τής τάξης, βασικό δευτερεύον, κατάταξη του πίνακα. Υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα.
Η τάξη k ελάσσονα ενός πίνακα Α είναι η ορίζουσα ορισμένου τετραγωνικού υπομήτρας της τάξης k.
Σε έναν πίνακα Α με διαστάσεις m x n, μια ελάσσονα τάξης r ονομάζεται βασικός εάν είναι μη μηδενικός και όλα τα ελάσσονα ανώτερης τάξης, αν υπάρχουν, είναι ίσα με μηδέν.
Οι στήλες και οι σειρές του πίνακα Α, στην τομή του οποίου υπάρχει ελάσσονος βάσης, ονομάζονται στήλες και σειρές βάσης του Α.
Θεώρημα 1. (Σχετικά με την κατάταξη του πίνακα). Για οποιονδήποτε πίνακα, η δευτερεύουσα κατάταξη είναι ίση με την κατάταξη της γραμμής και ίση με την κατάταξη της στήλης.
Θεώρημα 2. (Με βάση το ελάσσονα). Κάθε στήλη μήτρας αποσυντίθεται σε έναν γραμμικό συνδυασμό των στηλών βάσης της.
Η κατάταξη μιας μήτρας (ή δευτερεύουσας κατάταξης) είναι η τάξη της ελάσσονος βάσης ή, με άλλα λόγια, η μεγαλύτερη τάξη για την οποία υπάρχουν μη μηδενικά δευτερεύοντα. Η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα θεωρείται εξ ορισμού 0.
Ας σημειώσουμε δύο προφανείς ιδιότητες δευτερεύουσας κατάταξης.
1) Η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει κατά τη μεταφορά, αφού όταν μεταφέρεται ένας πίνακας, μεταφέρονται όλες οι υπομήτρες του και οι δευτερεύουσες δεν αλλάζουν.
2) Εάν το Α’ είναι υποπίνακας του πίνακα Α, τότε η κατάταξη του Α’ δεν υπερβαίνει την κατάταξη του Α, αφού ένα μη μηδενικό δευτερεύον που περιλαμβάνεται στο Α’ περιλαμβάνεται και στο Α.
15. Η έννοια ενός -διάστατου αριθμητικού διανύσματος. Ισότητα διανυσμάτων. Πράξεις σε διανύσματα (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός με αριθμό, πολλαπλασιασμός με πίνακα). Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.
Παραγγελθείσα συλλογή nέγκυρη ή μιγαδικοί αριθμοίπου ονομάζεται διάνυσμα n διαστάσεων. Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένες.
Δύο (μη μηδενικά) διανύσματα έναΚαι σιείναι ίσα εάν είναι εξίσου κατευθυνόμενα και έχουν την ίδια ενότητα. Όλα τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, τα διανύσματα δεν είναι ίσα.
Διάνυσμα προσθήκη. Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα: 1. Κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσουμε τα διανύσματα και, τοποθετούμε την αρχή και των δύο στο ίδιο σημείο. Χτίζουμε μέχρι ένα παραλληλόγραμμο και από το ίδιο σημείο σχεδιάζουμε μια διαγώνιο του παραλληλογράμμου. Αυτό θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων.
2. Η δεύτερη μέθοδος προσθήκης διανυσμάτων είναι ο κανόνας του τριγώνου. Ας πάρουμε τα ίδια διανύσματα και . Θα προσθέσουμε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Τώρα ας συνδέσουμε την αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτό είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και . Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα. Τα τακτοποιούμε το ένα μετά το άλλο και μετά συνδέουμε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.
Αφαίρεση διανυσμάτων. Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα. Τα μήκη των διανυσμάτων είναι ίσα. Τώρα είναι σαφές τι είναι η διανυσματική αφαίρεση. Η διανυσματική διαφορά και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος .
Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό
Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό k δημιουργείται ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι k επί του μήκους. Είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα εάν το k είναι μεγαλύτερο από μηδέν και αντίθετα κατευθύνεται εάν το k είναι μικρότερο από μηδέν.
Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο τους είναι μηδέν. Και κάπως έτσι κλιμακωτό προϊόνεκφράζεται μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων και .
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων
Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων 
ονομάζεται διάνυσμα
Οπου 
- γραμμικοί συντελεστές συνδυασμού. Αν 
ένας συνδυασμός ονομάζεται τετριμμένος αν είναι μη τετριμμένος.
16 .Καλώδες γινόμενο αριθμητικών διανυσμάτων. Διάνυσμα μήκος και γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Η έννοια της διανυσματικής ορθογωνικότητας.
Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b είναι ο αριθμός
Το κλιμακωτό γινόμενο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό: 1) για την εύρεση της γωνίας μεταξύ τους, 2) για την εύρεση της προβολής των διανυσμάτων, 3) για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος, 4) των συνθηκών καθετότητας των διανυσμάτων.
Το μήκος του τμήματος ΑΒ ονομάζεται απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων Α και Β ονομάζεται γωνία α = (a, b), 0≤ α ≤P. Με το οποίο πρέπει να περιστρέψετε 1 διάνυσμα έτσι ώστε η κατεύθυνσή του να συμπίπτει με ένα άλλο διάνυσμα. Με την προϋπόθεση ότι η προέλευσή τους συμπίπτει.
Ένα ορτόμ α είναι ένα διάνυσμα a που έχει μοναδιαίο μήκος και διεύθυνση α.
17. Σύστημα διανυσμάτων και ο γραμμικός συνδυασμός του. Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων. Θεώρημα για τις αναγκαίες και επαρκείς συνθήκες για τη γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων.
Ένα σύστημα διανυσμάτων a1,a2,...,an ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο αν υπάρχουν αριθμοί λ1,λ2,...,λn τέτοιοι ώστε τουλάχιστον ένας από αυτούς να είναι μη μηδενικός και λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . Διαφορετικά, το σύστημα ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητο.
Δύο διανύσματα a1 και a2 ονομάζονται συγγραμμικά αν οι κατευθύνσεις τους είναι ίδιες ή αντίθετες.
Τρία διανύσματα a1, a2 και a3 ονομάζονται συνεπίπεδα αν είναι παράλληλα σε κάποιο επίπεδο.
Γεωμετρικά κριτήρια γραμμικής εξάρτησης:
α) το σύστημα (a1,a2) εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν τα διανύσματα a1 και a2 είναι συγγραμμικά.
β) το σύστημα (a1,a2,a3) εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν τα διανύσματα a1,a2 και a3 είναι συνεπίπεδα.
θεώρημα. (Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για γραμμική εξάρτηση συστήματαφορείς.)
Διανυσματικό σύστημα διάνυσμα χώροςείναι γραμμικόςεξαρτάται αν και μόνο αν ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διάνυσμααυτό το σύστημα.
Συμπέρασμα 1. Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο είναι γραμμικά ανεξάρτητο εάν και μόνο εάν κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν εκφράζεται γραμμικά ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος.2. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα ή δύο ίσα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.
Για κάθε μη ενικό πίνακα A υπάρχει ένας μοναδικός πίνακας A -1 τέτοιος ώστε
A*A -1 =A -1 *A = E,
όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας των ίδιων τάξεων με τον A. Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος του πίνακα A.
Σε περίπτωση που κάποιος ξέχασε, στον πίνακα ταυτότητας, εκτός από τη διαγώνιο που είναι γεμάτη με μονάδες, όλες οι άλλες θέσεις γεμίζονται με μηδενικά, ένα παράδειγμα πίνακα ταυτότητας:
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο του πρόσθετου πίνακα
Ο αντίστροφος πίνακας ορίζεται από τον τύπο:
όπου Α ij - στοιχεία α ij.
Εκείνοι. Για να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει να υπολογίσετε την ορίζουσα αυτού του πίνακα. Στη συνέχεια, βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα για όλα τα στοιχεία του και συνθέστε έναν νέο πίνακα από αυτά. Στη συνέχεια, πρέπει να μεταφέρετε αυτόν τον πίνακα. Και διαιρέστε κάθε στοιχείο του νέου πίνακα με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Βρείτε το A -1 για έναν πίνακα
Λύση Ας βρούμε το A -1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πρόσθετου πίνακα. Έχουμε det A = 2. Ας βρούμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα Α. Στην περίπτωση αυτή, τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα θα είναι τα αντίστοιχα στοιχεία του ίδιου του πίνακα, που λαμβάνονται με πρόσημο σύμφωνα με τον τύπο
Έχουμε Α 11 = 3, Α 12 = -4, Α 21 = -1, Α 22 = 2. Σχηματίζουμε τον συνημμένο πίνακα
Μεταφέρουμε τον πίνακα A*:
Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Παίρνουμε:
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθετου πίνακα, βρείτε το A -1 if
Λύση Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε τον ορισμό αυτού του πίνακα για να επαληθεύσουμε την ύπαρξη του αντίστροφου πίνακα. Εχουμε
Εδώ προσθέσαμε στα στοιχεία της δεύτερης σειράς τα στοιχεία της τρίτης σειράς, πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με (-1), και στη συνέχεια επεκτείναμε την ορίζουσα για τη δεύτερη σειρά. Δεδομένου ότι ο ορισμός αυτού του πίνακα είναι μη μηδενικός, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας του. Για να κατασκευάσουμε τον συνημμένο πίνακα, βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων αυτού του πίνακα. Εχουμε
Σύμφωνα με τον τύπο
πίνακας μεταφοράς A*:
Στη συνέχεια σύμφωνα με τον τύπο
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών
Εκτός από τη μέθοδο εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, που προκύπτει από τον τύπο (μέθοδος πρόσθετου πίνακα), υπάρχει μια μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, που ονομάζεται μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών.
Μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα
Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα:
1) αναδιάταξη σειρών (στήλες).
2) πολλαπλασιασμός μιας σειράς (στήλης) με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.
3) προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με έναν ορισμένο αριθμό.
Για να βρούμε τον πίνακα A -1, κατασκευάζουμε έναν ορθογώνιο πίνακα B = (A|E) τάξεων (n; 2n), εκχωρώντας στον πίνακα A στα δεξιά τον πίνακα ταυτότητας E μέσω μιας διαχωριστικής γραμμής:
Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, βρείτε το Α -1 αν
Λύση Σχηματίζουμε τον πίνακα Β:
Ας συμβολίσουμε τις σειρές του πίνακα Β με α 1, α 2, α 3. Ας εκτελέσουμε τους παρακάτω μετασχηματισμούς στις σειρές του πίνακα Β.
Παρόμοιο με το αντίστροφο σε πολλές ιδιότητες.
Εγκυκλοπαιδικό YouTube
1 / 5
✪ Πώς να βρείτε το αντίστροφο μιας μήτρας - bezbotvy
✪ Αντίστροφος πίνακας (2 τρόποι εύρεσης)
✪ Αντίστροφος πίνακας #1
✪ 28-01-2015. Αντίστροφη μήτρα 3x3
✪ 27-01-2015. Αντίστροφος πίνακας 2x2
Υπότιτλοι
Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Οπου det (\displaystyle \\det )δηλώνει την ορίζουσα.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))για δύο τετράγωνους αντιστρέψιμους πίνακες A (\displaystyle A)Και B (\displaystyle B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Οπου (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))υποδηλώνει έναν μετατιθέμενο πίνακα.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))για οποιοδήποτε συντελεστή k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Εάν είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, (b είναι μη μηδενικό διάνυσμα) όπου x (\displaystyle x)είναι το επιθυμητό διάνυσμα, και αν A − 1 (\displaystyle A^(-1))υπάρχει λοιπόν x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Διαφορετικά, είτε η διάσταση του χώρου λύσης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, είτε δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις.
Μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα
Εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, τότε για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις ακόλουθες μεθόδους:
Ακριβείς (άμεσες) μέθοδοι
Μέθοδος Gauss-Jordan
Ας πάρουμε δύο πίνακες: το ΕΝΑκαι single μι. Ας παρουσιάσουμε τη μήτρα ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Jordan, εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς κατά μήκος των γραμμών (μπορείτε επίσης να εφαρμόσετε μετασχηματισμούς κατά μήκος των στηλών, αλλά όχι αναμεμειγμένους). Αφού εφαρμόσετε κάθε πράξη στον πρώτο πίνακα, εφαρμόστε την ίδια πράξη στον δεύτερο. Όταν ολοκληρωθεί η αναγωγή του πρώτου πίνακα σε μορφή μονάδας, ο δεύτερος πίνακας θα είναι ίσος με A−1.
Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian, ο πρώτος πίνακας θα πολλαπλασιαστεί στα αριστερά με έναν από τους στοιχειώδεις πίνακες Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(μετατομή ή διαγώνιος πίνακας με μονάδες στην κύρια διαγώνιο, εκτός από μία θέση):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Δεξί βέλος \Λάμδα =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Λάμδα _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).Ο δεύτερος πίνακας μετά την εφαρμογή όλων των πράξεων θα είναι ίσος με Λ (\displaystyle \Lambda), δηλαδή θα είναι το επιθυμητό. Πολυπλοκότητα αλγορίθμου - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Χρησιμοποιώντας τον αλγεβρικό συμπληρωματικό πίνακα
Πίνακας αντίστροφος πίνακας A (\displaystyle A), μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Οπου adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- πρόσθετος πίνακας.
Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του αλγορίθμου για τον υπολογισμό της ορίζουσας O det και είναι ίση με O(n²)·O det.
Χρήση αποσύνθεσης LU/LUP
Εξίσωση μήτρας A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))για τον αντίστροφο πίνακα X (\displaystyle X)μπορεί να θεωρηθεί ως συλλογή n (\displaystyle n)συστήματα της μορφής A x = b (\displaystyle Ax=b). Ας υποδηλώσουμε i (\displaystyle i)η στήλη του πίνακα X (\displaystyle X)διά μέσου X i (\displaystyle X_(i)); Επειτα A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),επειδή η i (\displaystyle i)η στήλη του πίνακα I n (\displaystyle I_(n))είναι το μοναδιαίο διάνυσμα e i (\displaystyle e_(i)). Με άλλα λόγια, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα καταλήγει στην επίλυση n εξισώσεων με τον ίδιο πίνακα και διαφορετικές δεξιές πλευρές. Μετά την εκτέλεση της αποσύνθεσης LUP (χρόνος O(n³), η επίλυση καθεμίας από τις n εξισώσεις απαιτεί χρόνο O(n²), επομένως αυτό το μέρος της εργασίας απαιτεί επίσης χρόνο O(n³).
Εάν ο πίνακας Α είναι μη μοναδικός, τότε η αποσύνθεση LUP μπορεί να υπολογιστεί γι' αυτόν P A = L U (\displaystyle PA=LU). Αφήνω P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Τότε από τις ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα μπορούμε να γράψουμε: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Εάν πολλαπλασιάσετε αυτήν την ισότητα με U και L, μπορείτε να πάρετε δύο ισότητες της φόρμας U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Και D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Η πρώτη από αυτές τις ισότητες αντιπροσωπεύει ένα σύστημα n² γραμμικές εξισώσειςΓια n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))από το οποίο είναι γνωστές οι δεξιές πλευρές (από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Το δεύτερο αντιπροσωπεύει επίσης ένα σύστημα n² γραμμικών εξισώσεων για n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))από το οποίο είναι γνωστές οι δεξιές πλευρές (επίσης από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Μαζί αντιπροσωπεύουν ένα σύστημα n² ισοτήτων. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ισότητες, μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά όλα τα στοιχεία n² του πίνακα D. Στη συνέχεια από την ισότητα (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. λαμβάνουμε την ισότητα A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
Στην περίπτωση χρήσης της αποσύνθεσης LU, δεν απαιτείται μετάθεση των στηλών του πίνακα D, αλλά η λύση μπορεί να αποκλίνει ακόμα κι αν ο πίνακας Α είναι μη μοναδικός.
Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι O(n³).
Επαναληπτικές μέθοδοι
Μέθοδοι Schultz
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\άθροισμα _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end (περιπτώσεις)))
Εκτίμηση σφάλματος
Επιλογή αρχικής προσέγγισης
Το πρόβλημα της επιλογής της αρχικής προσέγγισης στις διαδικασίες αναστροφής επαναληπτικού πίνακα που εξετάζονται εδώ δεν μας επιτρέπει να τις αντιμετωπίσουμε ως ανεξάρτητες καθολικές μεθόδους που ανταγωνίζονται τις μεθόδους άμεσης αναστροφής που βασίζονται, για παράδειγμα, στην αποσύνθεση πινάκων LU. Υπάρχουν ορισμένες συστάσεις για την επιλογή U 0 (\displaystyle U_(0)), διασφαλίζοντας την εκπλήρωση της προϋπόθεσης ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (η φασματική ακτίνα του πίνακα είναι μικρότερη από τη μονάδα), η οποία είναι απαραίτητη και επαρκής για τη σύγκλιση της διαδικασίας. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, καταρχάς, απαιτείται να γνωρίζουμε από πάνω την εκτίμηση για το φάσμα του αντιστρέψιμου πίνακα Α ή του πίνακα A A T (\displaystyle AA^(T))(δηλαδή, εάν το Α είναι ένας συμμετρικός θετικός καθορισμένος πίνακας και ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), τότε μπορείτε να πάρετε U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Οπου ; αν το Α είναι ένας αυθαίρετος μη ενικός πίνακας και ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), τότε πιστεύουν U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), όπου επίσης α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Μπορείτε, φυσικά, να απλοποιήσετε την κατάσταση και να επωφεληθείτε από το γεγονός ότι ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), βάζω U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Δεύτερον, όταν προσδιορίζεται η αρχική μήτρα με αυτόν τον τρόπο, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)θα είναι μικρό (ίσως και να αποδειχτεί ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), και ένα υψηλό ποσοστό σύγκλισης δεν θα αποκαλυφθεί αμέσως.
Παραδείγματα
Matrix 2x2
A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- βγ))(\αρχή(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)Η αντιστροφή ενός πίνακα 2x2 είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση ότι a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).