Ορισμός και ιδιότητες

Το μιγαδικό μηδέν δεν έχει λογάριθμο επειδή ο μιγαδικός εκθέτης δεν παίρνει την τιμή μηδέν. Μη μηδενικό textvc μπορεί να αναπαρασταθεί σε αποδεικτική μορφή:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;,Οπου Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): k- αυθαίρετος ακέραιος αριθμός

Επειτα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \mathrm(Ln)\,zβρίσκεται με τον τύπο:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \δεξιά)

Εδώ Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln\,r= \ln\,|z|- πραγματικός λογάριθμος. Από αυτό προκύπτει:

Είναι σαφές από τον τύπο ότι μία και μόνο μία από τις τιμές έχει ένα φανταστικό μέρος στο διάστημα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvc . Αυτή η τιμή ονομάζεται κύρια σημασίασύνθετος φυσικός λογάριθμος. Καλείται η αντίστοιχη (ήδη μονοσήμαντη) συνάρτηση κύριο κατάστημαλογάριθμος και συμβολίζεται Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln\,z. Μερικές φορές μέσω Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln\, zυποδηλώνουν επίσης την τιμή του λογάριθμου που δεν βρίσκεται στον κύριο κλάδο. Αν Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): zείναι ένας πραγματικός αριθμός, τότε η κύρια τιμή του λογαρίθμου του συμπίπτει με τον συνηθισμένο πραγματικό λογάριθμο.

Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει επίσης ότι το πραγματικό μέρος του λογάριθμου προσδιορίζεται ως εξής μέσω των συνιστωσών του ορίσματος:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Το σχήμα δείχνει ότι το πραγματικό μέρος σε συνάρτηση με τα συστατικά είναι κεντρικά συμμετρικό και εξαρτάται μόνο από την απόσταση από την αρχή. Λαμβάνεται περιστρέφοντας τη γραφική παράσταση του πραγματικού λογάριθμου γύρω από τον κατακόρυφο άξονα. Καθώς πλησιάζει το μηδέν, η συνάρτηση τείνει να Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): -\infty.

Ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού βρίσκεται με τον τύπο:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ μ.μ. 2\κουκκίδες)

Παραδείγματα μιγαδικών λογαριθμικών τιμών

Ας παρουσιάσουμε την κύρια τιμή του λογαρίθμου ( Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln) και τη γενική του έκφραση ( Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \mathrm(Ln)) για ορισμένα επιχειρήματα:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Θα πρέπει να είστε προσεκτικοί κατά τη μετατροπή σύνθετων λογαρίθμων, λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι πολλαπλών τιμών, και επομένως η ισότητα των λογαρίθμων οποιωνδήποτε παραστάσεων δεν συνεπάγεται την ισότητα αυτών των παραστάσεων. Παράδειγμα σφαλερόςαιτιολογία:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- προφανές λάθος.

Σημειώστε ότι στα αριστερά είναι η κύρια τιμή του λογαρίθμου και στα δεξιά είναι η τιμή από τον υποκείμενο κλάδο ( Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): k=-1). Η αιτία του σφάλματος είναι η αλόγιστη χρήση του ακινήτου Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, το οποίο, μιλώντας γενικά, συνεπάγεται στη σύνθετη περίπτωση ολόκληρο το άπειρο σύνολο τιμών του λογαρίθμου και όχι μόνο την κύρια τιμή.

Σύνθετη λογαριθμική συνάρτηση και επιφάνεια Riemann

Λόγω της απλής σύνδεσής της, η επιφάνεια Riemann του λογαρίθμου είναι ένα καθολικό κάλυμμα για το σύνθετο επίπεδο χωρίς σημείο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvc .

Αναλυτική συνέχεια

Ο λογάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί επίσης να οριστεί ως η αναλυτική συνέχεια του πραγματικού λογάριθμου σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Αφήστε την καμπύλη Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvc ξεκινά από το ένα, δεν διέρχεται από το μηδέν και δεν διασχίζει το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα. Τότε η κύρια τιμή του λογαρίθμου στο τελικό σημείο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): wανέντιμος Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \Gammaμπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Αν Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \Gamma- μια απλή καμπύλη (χωρίς αυτοτομές), στη συνέχεια, για αριθμούς που βρίσκονται σε αυτήν, λογαριθμικές ταυτότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς φόβο, για παράδειγμα:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ο κύριος κλάδος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμος σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός από το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα, στο οποίο το φανταστικό μέρος αλλάζει απότομα σε Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): 2\pi. Αλλά αυτό το γεγονός είναι συνέπεια του τεχνητού περιορισμού του φανταστικού μέρους της κύριας τιμής από το διάστημα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): (-\pi, \pi]. Αν εξετάσουμε όλους τους κλάδους της συνάρτησης, τότε η συνέχεια εμφανίζεται σε όλα τα σημεία εκτός από το μηδέν, όπου η συνάρτηση δεν ορίζεται. Εάν επιλύσετε την καμπύλη Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \Gammaδιασχίζουν το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα, τότε η πρώτη τέτοια τομή μεταφέρει το αποτέλεσμα από τον κλάδο της κύριας τιμής στον παρακείμενο κλάδο και κάθε επόμενη τομή προκαλεί παρόμοια μετατόπιση κατά μήκος των κλάδων της λογαριθμικής συνάρτησης (βλ. σχήμα).

Από τον τύπο της αναλυτικής συνέχειας προκύπτει ότι σε οποιονδήποτε κλάδο του λογαρίθμου:

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\πάνω z)

Για οποιονδήποτε κύκλο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): S, καλύπτοντας το σημείο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): 0 :

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται στη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα). Αυτή η ταυτότητα βρίσκεται στη βάση της θεωρίας των υπολειμμάτων.

Μπορούμε επίσης να ορίσουμε την αναλυτική συνέχεια του μιγαδικού λογάριθμου χρησιμοποιώντας σειρές γνωστές για την πραγματική περίπτωση:

Ωστόσο, από τη μορφή αυτών των σειρών προκύπτει ότι στο ένα το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή, η σειρά σχετίζεται μόνο με τον κύριο κλάδο της συνάρτησης πολλαπλών τιμών του μιγαδικού λογάριθμου. Η ακτίνα σύγκλισης και των δύο σειρών είναι 1.

Σύνδεση με αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε μαθηματικά/README - βοήθεια με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- αντίστροφο υπερβολικό συνημίτονο Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- αντίστροφη υπερβολική εφαπτομένη Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Ανατρέξτε στο math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτομένη

Ιστορικό σκίτσο

Οι πρώτες προσπάθειες επέκτασης των λογαρίθμων σε μιγαδικούς αριθμούς έγιναν στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα από τους Leibniz και Johann Bernoulli, αλλά απέτυχαν να δημιουργήσουν μια ολιστική θεωρία, κυρίως επειδή η ίδια η έννοια του λογάριθμου δεν είχε ακόμη καθοριστεί με σαφήνεια. Η συζήτηση για αυτό το θέμα έγινε αρχικά μεταξύ Leibniz και Bernoulli και στα μέσα του 18ου αιώνα μεταξύ D’Alembert και Euler. Ο Bernoulli και ο D'Alembert πίστευαν ότι έπρεπε να καθοριστεί Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε τα μαθηματικά/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): \log(-x) = \log(x), ενώ ο Leibniz απέδειξε ότι ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού είναι ένας φανταστικός αριθμός. Η πλήρης θεωρία των λογαρίθμων αρνητικών και μιγαδικών αριθμών δημοσιεύτηκε από τον Euler το 1747-1751 και ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη σύγχρονη. Αν και η συζήτηση συνεχίστηκε (ο D'Alembert υπερασπίστηκε την άποψή του και την υποστήριξε λεπτομερώς σε ένα άρθρο στην Εγκυκλοπαίδεια του και σε άλλα έργα), η προσέγγιση του Euler έλαβε παγκόσμια αναγνώριση μέχρι τα τέλη του 18ου αιώνα.

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Σύνθετος λογάριθμος"

Βιβλιογραφία

Θεωρία λογαρίθμων

• Korn G., Korn T.. - Μ.: Nauka, 1973. - 720 σελ.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N.Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. - Μ.: Nauka, 1967. - 304 σελ.
• Fikhtengolts G. M.Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. - εκδ. 6η. - Μ.: Nauka, 1966. - 680 p.

Ιστορία των λογαρίθμων

• Μαθηματικά XVIII αιώνα// / Επιμέλεια A. P. Yushkevich, in τρεις τόμοι. - Μ.: Επιστήμη, 1972. - Τ. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (επιμ.).Μαθηματικά του 19ου αιώνα. Γεωμετρία. Θεωρία αναλυτικών συναρτήσεων. - Μ.: Επιστήμη, 1981. - Τ. II.

Σημειώσεις

1. Λογαριθμική συνάρτηση. // . - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1982. - Τ. 3.
2. , Τόμος Β', σελ. 520-522..
3. , Με. 623..
4. , Με. 92-94..
5. , Με. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvant Library, τεύχος 21).
7. , Τόμος II, σελ. 522-526..
8. , Με. 624..
9. , Με. 325-328..
10. Ρίμπνικοφ Κ. Α.Ιστορία των μαθηματικών. Σε δύο τόμους. - Μ.: Εκδοτικός οίκος. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, 1963. - T. II. - Σ. 27, 230-231..
11. , Με. 122-123..
12. Κλάιν Φ.. - Μ.: Επιστήμη, 1987. - Τ. II. Γεωμετρία. - σελ. 159-161. - 416 s.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον Μιγαδικό λογάριθμο

Από την άγρια ​​φρίκη που μας έπιασε, ορμήσαμε σαν σφαίρες σε μια φαρδιά κοιλάδα, χωρίς καν να σκεφτούμε ότι θα μπορούσαμε να πάμε γρήγορα σε άλλο «πάτωμα»... Απλώς δεν είχαμε χρόνο να το σκεφτούμε - φοβηθήκαμε πολύ.
Το πλάσμα πέταξε ακριβώς από πάνω μας, χτυπώντας δυνατά το ανοιχτό οδοντωτό ράμφος του, και ορμήσαμε όσο πιο γρήγορα μπορούσαμε, πιτσιλίζοντας άθλιες γλοιώδεις πιτσιλιές στα πλάγια και προσευχόμενοι νοερά να ενδιέφερε κάτι άλλο ξαφνικά αυτό το ανατριχιαστικό «θαυματουργό πουλί»... ότι ήταν πολύ πιο γρήγορη και απλά δεν είχαμε καμία ευκαιρία να ξεφύγουμε από αυτήν. Όπως θα το είχε η τύχη, δεν φύτρωσε ούτε ένα δέντρο κοντά, δεν υπήρχαν θάμνοι, ούτε καν πέτρες πίσω από τις οποίες μπορούσε κανείς να κρυφτεί, μόνο ένας δυσοίωνος μαύρος βράχος φαινόταν από μακριά.
- Εκεί! – φώναξε η Στέλλα δείχνοντας το δάχτυλό της στον ίδιο βράχο.
Αλλά ξαφνικά, απροσδόκητα, ακριβώς μπροστά μας, από κάπου εμφανίστηκε ένα πλάσμα, το θέαμα του οποίου πάγωσε κυριολεκτικά το αίμα μας στις φλέβες μας... Έμοιαζε σαν «κατευθείαν από τον αέρα» και ήταν πραγματικά τρομακτικό... Το τεράστιο μαύρο κουφάρι ήταν εντελώς καλυμμένο με μακριά, χοντρά μαλλιά, που τον έκανε να μοιάζει με αρκούδα με κοιλιά, μόνο που αυτή η "αρκούδα" ήταν ψηλή όσο ένα τριώροφο σπίτι... Το σβώλο κεφάλι του τέρατος "στεφανώθηκε" με δύο τεράστιες καμπύλες κέρατα, και το απόκοσμο στόμα ήταν διακοσμημένο με ένα ζευγάρι απίστευτα μακριές κυνόδοντες, κοφτούς σαν μαχαίρια, κοιτάζοντας τους οποίους, με τρόμο, υποχώρησαν τα πόδια μας... Και τότε, εκπλήσσοντάς μας απίστευτα, το τέρας πήδηξε εύκολα και. .. μάζεψε το ιπτάμενο «βούρκο» σε έναν από τους τεράστιους κυνόδοντες του... Παγώσαμε από σοκ.
- Ας τρέξουμε!!! – ψέλλισε η Στέλλα. – Ας τρέξουμε όσο είναι «απασχολημένος»!..
Και ήμασταν έτοιμοι να ορμήσουμε ξανά χωρίς να κοιτάξουμε πίσω, όταν ξαφνικά ακούστηκε μια λεπτή φωνή πίσω από την πλάτη μας:
- Κορίτσια, περιμένετε!!! Δεν χρειάζεται να τρέξεις μακριά!.. Ο Ντιν σε έσωσε, δεν είναι εχθρός!
Γυρίσαμε απότομα - ένα μικροσκοπικό, πολύ όμορφο μαυρομάτικο κορίτσι στεκόταν πίσω μας... και χάιδευε ήρεμα το τέρας που την είχε πλησιάσει!.. Τα μάτια μας άνοιξαν διάπλατα από την έκπληξη... Ήταν απίστευτο! Σίγουρα - ήταν μια μέρα εκπλήξεων!.. Η κοπέλα, κοιτώντας μας, χαμογέλασε φιλόξενα, χωρίς καθόλου να φοβάται το γούνινο τέρας που στεκόταν δίπλα μας.
- Σε παρακαλώ, μην τον φοβάσαι. Είναι πολύ ευγενικός. Είδαμε ότι η Ovara σε κυνηγούσε και αποφασίσαμε να βοηθήσουμε. Ο Ντιν ήταν υπέροχος, τα κατάφερε στην ώρα του. Αλήθεια, καλή μου;
Το «Καλό» γουργούρισε, που ακουγόταν σαν ελαφρύς σεισμός, και, σκύβοντας το κεφάλι του, έγλειψε το πρόσωπο του κοριτσιού.
– Ποια είναι η Owara και γιατί μας επιτέθηκε; - Ρώτησα.
«Επιτίθεται σε όλους, είναι αρπακτικό». Και πολύ επικίνδυνο», απάντησε ήρεμα το κορίτσι. – Να ρωτήσω τι κάνεις εδώ; Δεν είστε από εδώ, κορίτσια;
- Όχι από εδώ. Απλώς περπατούσαμε. Αλλά η ίδια ερώτηση για εσάς - τι κάνετε εδώ;
«Θα πάω να δω τη μητέρα μου…» λυπήθηκε το κοριτσάκι. «Πεθάναμε μαζί, αλλά για κάποιο λόγο κατέληξε εδώ». Και τώρα μένω εδώ, αλλά δεν της το λέω αυτό, γιατί δεν θα συμφωνήσει ποτέ με αυτό. Νομίζει ότι μόλις έρχομαι...
– Δεν είναι καλύτερα να έρθεις; Είναι τόσο τρομερό εδώ!.. – Η Στέλλα ανασήκωσε τους ώμους της.
«Δεν μπορώ να την αφήσω εδώ μόνη της, την παρακολουθώ για να μην της συμβεί τίποτα». Και εδώ ο Ντιν είναι μαζί μου... Με βοηθάει.
Απλώς δεν μπορούσα να το πιστέψω... Αυτό το μικρό γενναίο κορίτσι άφησε οικειοθελώς το όμορφο και ευγενικό «πάτωμά» του για να ζήσει σε αυτόν τον κρύο, τρομερό και εξωγήινο κόσμο, προστατεύοντας τη μητέρα της, η οποία ήταν πολύ «ένοχη» κατά κάποιο τρόπο! Δεν νομίζω ότι θα υπήρχαν πολλοί άνθρωποι τόσο γενναίοι και ανιδιοτελείς (ακόμα και ενήλικες!) που θα τολμούσαν να αναλάβουν ένα τέτοιο κατόρθωμα... Και αμέσως σκέφτηκα - ίσως απλώς δεν κατάλαβε σε τι θα καταδικάσει τον εαυτό της ;!
– Πόσο καιρό είσαι εδώ, κορίτσι, αν δεν είναι μυστικό;
«Πρόσφατα...» απάντησε λυπημένα το μωρό με τα μαύρα μάτια, τραβώντας με τα δάχτυλά του μια μαύρη τούφα από τα σγουρά μαλλιά της. - Μπήκα σε αυτό Ομορφος ΚΟΣΜΟΣόταν πέθανε!.. Ήταν τόσο ευγενικός και λαμπερός!.. Και τότε είδα ότι η μητέρα μου δεν ήταν μαζί μου και όρμησα να την αναζητήσω. Ήταν τόσο τρομακτικό στην αρχή! Για κάποιο λόγο δεν ήταν πουθενά... Και μετά έπεσα σε αυτό τρομερός κόσμος... Και μετά τη βρήκα. Φοβόμουν τόσο πολύ εδώ... Τόσο μόνος... Η μαμά μου είπε να φύγω, με μάλωσε κιόλας. Αλλά δεν μπορώ να την αφήσω... Τώρα έχω έναν φίλο, τον καλό μου Ντιν, και μπορώ ήδη με κάποιο τρόπο να υπάρχω εδώ.
Η «καλή της φίλη» γρύλισε ξανά, κάτι που χάρισε στη Στέλλα και σε εμένα τεράστια «κάτω αστρικά» χήνα... Έχοντας συγκεντρωθεί, προσπάθησα να ηρεμήσω λίγο και άρχισα να κοιτάζω πιο προσεκτικά αυτό το γούνινο θαύμα... Κι εκείνος, αμέσως νιώθοντας ότι έγινε αντιληπτός, ξεγύμνωσε τρομερά το στόμα του με κυνόδοντα... Πήδηξα πίσω.
- Ω, μη φοβάσαι, σε παρακαλώ! «Σου χαμογελάει», «καθησύχασε το κορίτσι».
Ναι... Θα μάθεις να τρέχεις γρήγορα από ένα τέτοιο χαμόγελο... - σκέφτηκα μέσα μου.
- Πώς έγινε που γίνατε φίλοι μαζί του; – ρώτησε η Στέλλα.
– Όταν πρωτοήρθα εδώ, φοβήθηκα πολύ, ειδικά όταν επιτίθεντο τέρατα όπως εσύ σήμερα. Και τότε μια μέρα, όταν κόντεψα να πεθάνω, ο Ντιν με έσωσε από ένα σωρό ανατριχιαστικά ιπτάμενα «πουλιά». Κι εγώ τον τρόμαξα στην αρχή, αλλά μετά κατάλαβα τι χρυσή καρδιά έχει... Είναι ο πιο ο καλύτερος φίλος! Δεν είχα ποτέ κάτι τέτοιο, ακόμα και όταν ζούσα στη Γη.
- Πώς το συνηθίσατε τόσο γρήγορα; Η εμφάνισή του δεν είναι, ας πούμε, οικεία...
– Και εδώ κατάλαβα μια πολύ απλή αλήθεια, που για κάποιο λόγο δεν παρατήρησα στη Γη - η εμφάνιση δεν έχει σημασία αν ένα άτομο ή ένα πλάσμα έχει καλή καρδιά... Η μητέρα μου ήταν πολύ όμορφη, αλλά κάποιες στιγμές ήταν και πολύ θυμωμένη. Και τότε κάπου χάθηκε όλη της η ομορφιά... Και ο Ντιν, αν και τρομακτικός, είναι πάντα πολύ ευγενικός, και πάντα με προστατεύει, νιώθω την καλοσύνη του και δεν φοβάμαι τίποτα. Μπορείς όμως να συνηθίσεις την εμφάνιση...
– Ξέρεις ότι θα είσαι εδώ για πολύ καιρό, πολύ περισσότερο από όσο ζουν οι άνθρωποι στη Γη; Θέλετε πραγματικά να μείνετε εδώ; ..
«Η μητέρα μου είναι εδώ, οπότε πρέπει να τη βοηθήσω». Κι όταν εκείνη «φύγει» για να ζήσει ξανά στη Γη, θα φύγω κι εγώ... Εκεί που υπάρχει περισσότερη καλοσύνη. Σε αυτό τρομακτικός κόσμοςκαι οι άνθρωποι είναι πολύ περίεργοι - σαν να μην ζουν καθόλου. Γιατί αυτό? Ξέρετε τίποτα για αυτό;
– Ποιος σου είπε ότι η μητέρα σου θα έφευγε για να ξαναζήσει; – Ενδιαφέρθηκε η Στέλλα.
- Ντιν, φυσικά. Ξέρει πολλά, ζει εδώ για πολύ καιρό. Είπε επίσης ότι όταν (η μητέρα μου και εγώ) ζήσουμε ξανά, οι οικογένειές μας θα είναι διαφορετικές. Και τότε δεν θα έχω πια αυτή τη μητέρα... Γι' αυτό θέλω να είμαι μαζί της τώρα.
- Πώς του μιλάς, κοσμήτοράς σου; – ρώτησε η Στέλλα. – Και γιατί δεν θέλεις να μας πεις το όνομά σου;
Αλλά είναι αλήθεια - δεν ξέραμε ακόμα το όνομά της! Και δεν ήξεραν από πού ήρθε…
– Με έλεγαν Μαρία... Μα έχει σημασία αυτό εδώ;
- Ασφαλώς! – Η Στέλλα γέλασε. - Πώς μπορώ να επικοινωνήσω μαζί σας; Όταν φύγεις, θα σου δώσουν νέο όνομα, αλλά όσο είσαι εδώ, θα πρέπει να ζήσεις με το παλιό. Μίλησες με κανέναν άλλο εδώ, κοπέλα Μαρία; – ρώτησε η Στέλλα, πηδώντας από θέμα σε θέμα από συνήθεια.
«Ναι, μίλησα...» είπε διστακτικά το κοριτσάκι. «Αλλά είναι τόσο περίεργα εδώ». Και τόσο δυστυχισμένοι... Γιατί είναι τόσο δυστυχισμένοι;
– Αυτό που βλέπετε εδώ συμβάλλει στην ευτυχία; – Με εξέπληξε η ερώτησή της. – Ακόμα και η ίδια η τοπική «πραγματικότητα» σκοτώνει τις όποιες ελπίδες εκ των προτέρων!.. Πώς μπορείς να είσαι ευτυχισμένος εδώ;
- Δεν ξέρω. Όταν είμαι με τη μητέρα μου, μου φαίνεται ότι θα μπορούσα να είμαι χαρούμενος και εδώ... Αλήθεια, είναι πολύ τρομακτικό εδώ, και πραγματικά δεν της αρέσει εδώ... Όταν είπα ότι συμφώνησα να μείνω μαζί της, μου φώναξε και μου είπε ότι είμαι η «ανεγκέφαλη ατυχία» της... Αλλά δεν προσβάλλομαι... Ξέρω ότι απλά φοβάται. Σαν εμένα...
– Ίσως ήθελε απλώς να σας προστατεύσει από την «ακραία» σας απόφαση, και ήθελε μόνο να επιστρέψετε στο «πάτωμά» σας; – ρώτησε προσεκτικά η Στέλλα, για να μην προσβάλει.
– Όχι, φυσικά... Ευχαριστώ όμως για τα καλά λόγια. Η μαμά με φώναζε συχνά κάτι άλλο καλά ονόματα, ακόμα και στη Γη... Ξέρω όμως ότι αυτό δεν είναι από θυμό. Ήταν απλώς δυστυχισμένη που γεννήθηκα και συχνά μου έλεγε ότι της κατέστρεψα τη ζωή. Αλλά δεν έφταιγα εγώ, έτσι; Πάντα προσπαθούσα να την κάνω ευτυχισμένη, αλλά για κάποιο λόγο δεν είχα μεγάλη επιτυχία... Και δεν είχα ποτέ μπαμπά. – Η Μαρία ήταν πολύ λυπημένη, και η φωνή της έτρεμε, σαν να ήταν έτοιμος να κλάψει.
Με τη Στέλλα κοιταχτήκαμε και ήμουν σχεδόν σίγουρος ότι την επισκέφτηκαν παρόμοιες σκέψεις... Δεν μου άρεσε ήδη αυτή η κακομαθημένη, εγωίστρια «μάνα», που αντί να ανησυχεί για το ίδιο το παιδί της, αδιαφορούσε για την ηρωική του θυσία καθόλου κατάλαβα και, επιπλέον, την πλήγωσα και οδυνηρά.
«Αλλά ο Ντιν λέει ότι είμαι καλά και ότι τον κάνω πολύ χαρούμενο!» – φλυαρούσε πιο εύθυμα το κοριτσάκι. «Και θέλει να είναι φίλος μαζί μου». Και άλλοι που έχω γνωρίσει εδώ είναι πολύ ψυχροί και αδιάφοροι, και μερικές φορές ακόμη και κακοί... Ειδικά αυτοί που έχουν τέρατα κολλημένα...
«Τέρατα – τι;…» δεν καταλάβαμε.
- Λοιπόν, έχουν τρομερά τέρατα που κάθονται στην πλάτη τους και τους λένε τι πρέπει να κάνουν. Και αν δεν ακούσουν, τα τέρατα τους κοροϊδεύουν τρομερά... Προσπάθησα να τους μιλήσω, αλλά αυτά τα τέρατα δεν μου το επιτρέπουν.
Δεν καταλάβαμε απολύτως τίποτα από αυτήν την «εξήγηση», αλλά το ίδιο το γεγονός ότι κάποια αστρικά όντα βασάνιζαν ανθρώπους δεν μπορούσε να παραμείνει «εξερευνημένο» από εμάς, οπότε τη ρωτήσαμε αμέσως πώς μπορούσαμε να δούμε αυτό το εκπληκτικό φαινόμενο.
- Α, ναι παντού! Ειδικά στο «μαύρο βουνό». Εκεί είναι, πίσω από τα δέντρα. Θέλετε να πάμε και εμείς μαζί σας;
- Φυσικά, θα είμαστε πολύ χαρούμενοι! – απάντησε αμέσως η χαρούμενη Στέλλα.
Για να είμαι ειλικρινής, επίσης δεν χαμογέλασα πραγματικά με την προοπτική να βγω με κάποιον άλλο, «ανατριχιαστικό και ακατανόητο», ειδικά μόνος. Αλλά το ενδιαφέρον ξεπέρασε τον φόβο, και φυσικά θα είχαμε φύγει, παρά το γεγονός ότι φοβόμασταν λίγο... Αλλά όταν ένας τέτοιος αμυντικός όπως ο Ντιν περπάτησε μαζί μας, έγινε αμέσως πιο διασκεδαστικό...
Και μετά, μετά από μια σύντομη στιγμή, η πραγματική Κόλαση ξεδιπλώθηκε μπροστά στα μάτια μας, ορθάνοιχτη από κατάπληξη... Το όραμα θύμιζε τους πίνακες του Bosch (ή Bosc, ανάλογα με τη γλώσσα που το μεταφράζετε), ενός «τρελού» καλλιτέχνη. που κάποτε συγκλόνισε όλο τον κόσμο με τον καλλιτεχνικό του κόσμο... Αυτός, φυσικά, δεν ήταν τρελός, αλλά ήταν απλώς ένας μάντης που για κάποιο λόγο μπορούσε να δει μόνο το κατώτερο Αστρικό. Αλλά πρέπει να του δώσουμε την τιμητική του - τον απεικόνισε υπέροχα... Είδα τους πίνακές του σε ένα βιβλίο που υπήρχε στη βιβλιοθήκη του μπαμπά μου και θυμόμουν ακόμα την απόκοσμη αίσθηση που είχαν οι περισσότεροι πίνακές του...
«Τι φρίκη!...» ψιθύρισε η σοκαρισμένη Στέλλα.
Θα μπορούσε να πει κανείς ότι έχουμε ήδη δει πολλά εδώ, στα «πάτωμα»... Αλλά ούτε εμείς δεν μπορούσαμε να το φανταστούμε στον πιο τρομερό μας εφιάλτη!.. Πίσω από τον «μαύρο βράχο» κάτι άνοιξε τελείως αδιανόητο. .. Έμοιαζε με ένα τεράστιο, επίπεδο «καζάνι» λαξευμένο στο βράχο, στον πάτο του οποίου έσκαγε κατακόκκινη «λάβα»... Ο ζεστός αέρας «έσκαζε» παντού με περίεργες κοκκινωπές φυσαλίδες που αναβοσβήνουν, από τις οποίες έβγαινε ζεματιστός ατμός. και έπεσε με μεγάλες σταγόνες στο έδαφος, ή στους ανθρώπους που έπεσαν κάτω από αυτό εκείνη τη στιγμή... Ακούστηκαν σπαραχτικές κραυγές, αλλά αμέσως σώπασαν, καθώς τα πιο αηδιαστικά πλάσματα κάθισαν στις πλάτες των ίδιων ανθρώπων, που με ένα Το ικανοποιημένο βλέμμα «έλεγχε» τα θύματά τους, μη δίνοντας την παραμικρή σημασία στα βάσανά τους... Κάτω από τα γυμνά πόδια των ανθρώπων, οι καυτές πέτρες έγιναν κόκκινες, η κατακόκκινη γη, που σκάει από ζέστη, φυσαλίδες και «έλιωσε»... Πιτσιλιές καυτού ατμός έσκασε μέσα από τεράστιες ρωγμές και, καίγοντας τα πόδια των ανθρώπων που λυγίζουν από τον πόνο, μεταφέρθηκαν στα ύψη, εξατμίζοντας με ελαφρύ καπνό… Και στη μέση του «λάκκου» έρεε ένα έντονο κόκκινο, φαρδύ πύρινο ποτάμι, στο οποίο, κατά καιρούς, τα ίδια αποκρουστικά τέρατα έριχναν απροσδόκητα τη μία ή την άλλη βασανισμένη οντότητα, η οποία, πέφτοντας, προκάλεσε μόνο μια σύντομη βουτιά πορτοκαλί σπίθες, και στη συνέχεια, αλλά, μετατρεπόμενη για μια στιγμή σε ένα χνουδωτό λευκό σύννεφο, εξαφανίστηκε. .. για πάντα... Ήταν πραγματική Κόλαση, και η Στέλλα κι εγώ θέλαμε να «εξαφανιστούμε» από εκεί το συντομότερο δυνατό...
«Τι θα κάνουμε;» ψιθύρισε η Στέλλα με φρίκη. - Θέλεις να πάμε εκεί κάτω; Υπάρχει κάτι που μπορούμε να κάνουμε για να τους βοηθήσουμε; Δείτε πόσοι είναι!..
Σταθήκαμε σε έναν μαύρο-καφέ, ξεραμένο από τη ζέστη γκρεμό, παρατηρώντας τον «πολτό» του πόνου, της απελπισίας και της βίας που απλώνονταν από κάτω, γεμάτη τρόμο και νιώθαμε τόσο παιδικά ανίσχυροι που ακόμη και η μαχητική μου Στέλλα αυτή τη φορά δίπλωσε κατηγορηματικά το αναστατωμένο της». φτερά.» «και ήταν έτοιμη με την πρώτη κλήση να φύγει βιαστικά στον δικό της, τόσο αγαπητό και αξιόπιστο, πάνω «πάτωμα»...

Υλικό από τη Wikipedia - την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Ορισμός και ιδιότητες

Το μιγαδικό μηδέν δεν έχει λογάριθμο επειδή ο μιγαδικός εκθέτης δεν παίρνει την τιμή μηδέν. Μη μηδενικό $z$μπορεί να αναπαρασταθεί σε αποδεικτική μορφή:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$Οπου $\kappa$- αυθαίρετος ακέραιος αριθμός

Επειτα $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$βρίσκεται με τον τύπο:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$

Εδώ $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- πραγματικός λογάριθμος. Από αυτό προκύπτει:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Παραδείγματα μιγαδικών λογαριθμικών τιμών

Ας παρουσιάσουμε την κύρια τιμή του λογαρίθμου ( $\backslash n$) και τη γενική του έκφραση ( $\backslash mathrm(Ln)$) για ορισμένα επιχειρήματα:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Θα πρέπει να είστε προσεκτικοί κατά τη μετατροπή σύνθετων λογαρίθμων, λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι πολλαπλών τιμών, και επομένως η ισότητα των λογαρίθμων οποιωνδήποτε παραστάσεων δεν συνεπάγεται την ισότητα αυτών των παραστάσεων. Παράδειγμα σφαλερόςαιτιολογία:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- προφανές λάθος.

Σημειώστε ότι στα αριστερά είναι η κύρια τιμή του λογαρίθμου και στα δεξιά είναι η τιμή από τον υποκείμενο κλάδο ( $k=-1$). Η αιτία του σφάλματος είναι η αλόγιστη χρήση του ακινήτου $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; \beta$, το οποίο, μιλώντας γενικά, συνεπάγεται στη σύνθετη περίπτωση ολόκληρο το άπειρο σύνολο τιμών του λογαρίθμου και όχι μόνο την κύρια τιμή.

Σύνθετη λογαριθμική συνάρτηση και επιφάνεια Riemann

Λόγω της απλής σύνδεσής της, η επιφάνεια Riemann του λογαρίθμου είναι ένα καθολικό κάλυμμα για το σύνθετο επίπεδο χωρίς σημείο $0$.

Αναλυτική συνέχεια

Ο λογάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί επίσης να οριστεί ως η αναλυτική συνέχεια του πραγματικού λογάριθμου σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Αφήστε την καμπύλη $\backslash \Gamma ά\mu \mu \alpha$ξεκινά από το ένα, δεν διέρχεται από το μηδέν και δεν διασχίζει το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα. Τότε η κύρια τιμή του λογαρίθμου στο τελικό σημείο $w$ανέντιμος $\backslash \Gamma ά\mu \mu \alpha$μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Αν $\backslash \Gamma ά\mu \mu \alpha$- μια απλή καμπύλη (χωρίς αυτοτομές), στη συνέχεια, για αριθμούς που βρίσκονται σε αυτήν, λογαριθμικές ταυτότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς φόβο, για παράδειγμα:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash \gamma \iota \alpha \; ό\lambda \alpha \; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Ο κύριος κλάδος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμος σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός από το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα, στο οποίο το φανταστικό μέρος αλλάζει απότομα σε $2\backslash pi$. Αλλά αυτό το γεγονός είναι συνέπεια του τεχνητού περιορισμού του φανταστικού μέρους της κύριας τιμής από το διάστημα $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Αν εξετάσουμε όλους τους κλάδους της συνάρτησης, τότε η συνέχεια εμφανίζεται σε όλα τα σημεία εκτός από το μηδέν, όπου η συνάρτηση δεν ορίζεται. Εάν επιλύσετε την καμπύλη $\backslash \Gamma ά\mu \mu \alpha$διασχίζουν το αρνητικό τμήμα του πραγματικού άξονα, τότε η πρώτη τέτοια τομή μεταφέρει το αποτέλεσμα από τον κλάδο της κύριας τιμής στον παρακείμενο κλάδο και κάθε επόμενη τομή προκαλεί παρόμοια μετατόπιση κατά μήκος των κλάδων της λογαριθμικής συνάρτησης (βλ. σχήμα).

Από τον τύπο της αναλυτικής συνέχειας προκύπτει ότι σε οποιονδήποτε κλάδο του λογαρίθμου:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash \pi ά\nu \omega \; z)$

Για οποιονδήποτε κύκλο $\mu \iota \kappa \rho ό$, καλύπτοντας το σημείο $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Το ολοκλήρωμα λαμβάνεται στη θετική κατεύθυνση (αριστερόστροφα). Αυτή η ταυτότητα βρίσκεται στη βάση της θεωρίας των υπολειμμάτων.

Μπορούμε επίσης να ορίσουμε την αναλυτική συνέχεια του μιγαδικού λογάριθμου χρησιμοποιώντας σειρές γνωστές για την πραγματική περίπτωση:

{{{2}}}

(Σειρά 1)

{{{2}}}

(Σειρά 2)

Ωστόσο, από τη μορφή αυτών των σειρών προκύπτει ότι στο ένα το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή, η σειρά σχετίζεται μόνο με τον κύριο κλάδο της συνάρτησης πολλαπλών τιμών του μιγαδικού λογάριθμου. Η ακτίνα σύγκλισης και των δύο σειρών είναι 1.

Σύνδεση με αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις

$\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arsh)z\; =\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arch)z=\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$- αντίστροφο υπερβολικό συνημίτονο $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$- αντίστροφη υπερβολική εφαπτομένη $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$- αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτομένη

Ιστορικό σκίτσο

Οι πρώτες προσπάθειες επέκτασης των λογαρίθμων σε μιγαδικούς αριθμούς έγιναν στο γύρισμα του 17ου-18ου αιώνα από τους Leibniz και Johann Bernoulli, αλλά απέτυχαν να δημιουργήσουν μια ολιστική θεωρία, κυρίως επειδή η ίδια η έννοια του λογάριθμου δεν είχε ακόμη καθοριστεί με σαφήνεια. Η συζήτηση για αυτό το θέμα έγινε αρχικά μεταξύ Leibniz και Bernoulli και στα μέσα του 18ου αιώνα μεταξύ D’Alembert και Euler. Ο Bernoulli και ο D'Alembert πίστευαν ότι έπρεπε να καθοριστεί $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, ενώ ο Leibniz απέδειξε ότι ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού είναι ένας φανταστικός αριθμός. Η πλήρης θεωρία των λογαρίθμων αρνητικών και μιγαδικών αριθμών δημοσιεύτηκε από τον Euler το 1747-1751 και ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη σύγχρονη. Αν και η συζήτηση συνεχίστηκε (ο D'Alembert υπερασπίστηκε την άποψή του και την υποστήριξε λεπτομερώς σε ένα άρθρο στην Εγκυκλοπαίδεια του και σε άλλα έργα), η προσέγγιση του Euler έλαβε παγκόσμια αναγνώριση μέχρι τα τέλη του 18ου αιώνα.

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Σύνθετος λογάριθμος"

Βιβλιογραφία

Θεωρία λογαρίθμων

• Korn G., Korn T.. - Μ.: Nauka, 1973. - 720 σελ.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N.Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. - Μ.: Nauka, 1967. - 304 σελ.
• Fikhtengolts G. M.Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. - εκδ. 6η. - Μ.: Nauka, 1966. - 680 p.

Ιστορία των λογαρίθμων

• Μαθηματικά του 18ου αιώνα // / Επιμέλεια A. P. Yushkevich, σε τρεις τόμους. - Μ.: Επιστήμη, 1972. - Τ. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (επιμ.).Μαθηματικά του 19ου αιώνα. Γεωμετρία. Θεωρία αναλυτικών συναρτήσεων. - Μ.: Επιστήμη, 1981. - Τ. II.

Σημειώσεις

1. Λογαριθμική συνάρτηση. // . - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 1982. - Τ. 3.
2. , Τόμος Β', σελ. 520-522..
3. , Με. 623..
4. , Με. 92-94..
5. , Με. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvant Library, τεύχος 21).
7. , Τόμος II, σελ. 522-526..
8. , Με. 624..
9. , Με. 325-328..
10. Ρίμπνικοφ Κ. Α.Ιστορία των μαθηματικών. Σε δύο τόμους. - Μ.: Εκδοτικός οίκος. Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, 1963. - T. II. - Σ. 27, 230-231..
11. , Με. 122-123..
12. Κλάιν Φ.. - Μ.: Επιστήμη, 1987. - Τ. II. Γεωμετρία. - σελ. 159-161. - 416 s.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον Μιγαδικό λογάριθμο

Ήταν ξεκάθαρο ότι αυτός ο δυνατός, παράξενος άντρας βρισκόταν κάτω από την ακαταμάχητη επιρροή που άσκησε πάνω του αυτό το σκοτεινό, χαριτωμένο, στοργικό κορίτσι.
Ο Ροστόφ παρατήρησε κάτι νέο μεταξύ του Ντολόχοφ και της Σόνιας. αλλά δεν όρισε στον εαυτό του τι είδους νέα σχέση ήταν αυτή. «Όλοι είναι ερωτευμένοι με κάποιον εκεί», σκέφτηκε για τη Σόνια και τη Νατάσα. Αλλά δεν ήταν τόσο άνετα με τη Sonya και τον Dolokhov όσο πριν, και άρχισε να είναι στο σπίτι λιγότερο συχνά.
Από το φθινόπωρο του 1806, όλα άρχισαν πάλι να μιλούν για τον πόλεμο με τον Ναπολέοντα ακόμη πιο ένθερμα από πέρυσι. Όχι μόνο διορίστηκαν νεοσύλλεκτοι, αλλά και άλλοι 9 πολεμιστές στους χίλιους. Παντού έβριζαν τον Βοναπάρτη με ανάθεμα και στη Μόσχα μιλούσαν μόνο για τον επερχόμενο πόλεμο. Για την οικογένεια Ροστόφ, το όλο ενδιαφέρον αυτών των προετοιμασιών για πόλεμο έγκειται μόνο στο γεγονός ότι η Nikolushka δεν θα συμφωνούσε ποτέ να μείνει στη Μόσχα και περίμενε μόνο το τέλος της άδειας του Ντενίσοφ για να πάει μαζί του στο σύνταγμα μετά τις διακοπές. Η επικείμενη αποχώρηση όχι μόνο δεν τον εμπόδισε να διασκεδάσει, αλλά και τον ενθάρρυνε να το κάνει. Περνούσε τον περισσότερο χρόνο του έξω από το σπίτι, σε δείπνα, βράδια και μπάλες.

XI
Την τρίτη ημέρα των Χριστουγέννων, ο Νικολάι δείπνησε στο σπίτι, το οποίο Πρόσφατασπάνια του συνέβαινε. Ήταν επίσημα ένα αποχαιρετιστήριο δείπνο, αφού μαζί με τον Ντενίσοφ έφευγαν για το σύνταγμα μετά τα Θεοφάνεια. Περίπου είκοσι άτομα γευμάτιζαν, μεταξύ των οποίων ο Ντολόχοφ και ο Ντενίσοφ.
Ποτέ στο σπίτι του Ροστόφ δεν έγινε αισθητό ο αέρας της αγάπης, η ατμόσφαιρα της αγάπης με τόση δύναμη όπως αυτές τις γιορτές. «Πιάστε στιγμές ευτυχίας, πιέστε τον εαυτό σας να αγαπήσει, ερωτευτείτε τον εαυτό σας! Μόνο αυτό το ένα πράγμα είναι πραγματικό στον κόσμο - τα υπόλοιπα είναι όλα ανοησίες. Και αυτό είναι το μόνο που κάνουμε εδώ», είπε η ατμόσφαιρα. Ο Νικολάι, όπως πάντα, έχοντας βασανίσει δύο ζευγάρια άλογα και χωρίς να προλάβει να επισκεφτεί όλα τα μέρη όπου έπρεπε και όπου τον κάλεσαν, έφτασε στο σπίτι λίγο πριν το μεσημεριανό γεύμα. Μόλις μπήκε, παρατήρησε και ένιωσε την τεταμένη, αγαπησιάρικη ατμόσφαιρα στο σπίτι, αλλά παρατήρησε και μια περίεργη σύγχυση να επικρατεί ανάμεσα σε κάποια μέλη της κοινωνίας. Η Sonya, ο Dolokhov, η παλιά κόμισσα και η μικρή Νατάσα ήταν ιδιαίτερα ενθουσιασμένοι. Ο Νικολάι συνειδητοποίησε ότι κάτι επρόκειτο να συμβεί πριν από το δείπνο μεταξύ της Σόνιας και του Ντολόχοφ, και με τη χαρακτηριστική ευαισθησία της καρδιάς του ήταν πολύ ευγενικός και προσεκτικός κατά τη διάρκεια του δείπνου στην αντιμετώπιση και των δύο. Το ίδιο βράδυ της τρίτης ημέρας των διακοπών θα γινόταν μια από αυτές τις μπάλες στο Yogel (ο δάσκαλος χορού), που έδωσε στις διακοπές για όλους τους μαθητές και τις μαθήτριές του.
- Νικολένκα, θα πας στο Γιόγκελ; Σε παρακαλώ, πήγαινε», του είπε η Νατάσα, «σε ρώτησε ειδικά και ο Βασίλι Ντμίτριχ (ήταν ο Ντενίσοφ) θα πάει».
«Όπου κι αν πάω κατόπιν εντολής του κυρίου Αθηνάς!» είπε ο Ντενίσοφ, ο οποίος χαριτολογώντας τοποθετήθηκε στο σπίτι του Ροστόφ στα πόδια της ιππότη Νατάσα, «ο pas de chale [χορός με σάλι] είναι έτοιμος να χορέψει».
- Αν έχω χρόνο! «Υποσχέθηκα στους Arkharovs, είναι το βράδυ τους», είπε ο Νικολάι.
«Και εσύ;...» γύρισε στον Ντολόχοφ. Και μόλις τώρα ρώτησα αυτό, παρατήρησα ότι αυτό δεν έπρεπε να μου ζητηθεί.
«Ναι, ίσως…» απάντησε ψυχρά και θυμωμένα ο Ντολόχοφ, κοιτάζοντας τη Σόνια και, συνοφρυωμένος, με το ίδιο ακριβώς βλέμμα που κοίταξε τον Πιέρ στο δείπνο του κλαμπ, κοίταξε ξανά τον Νικολάι.
«Υπάρχει κάτι», σκέφτηκε ο Νικολάι, και αυτή η υπόθεση επιβεβαιώθηκε περαιτέρω από το γεγονός ότι ο Dolokhov έφυγε αμέσως μετά το δείπνο. Κάλεσε τη Νατάσα και ρώτησε τι ήταν;
«Σε έψαχνα», είπε η Νατάσα τρέχοντας προς το μέρος του. «Σου είπα, ακόμα δεν ήθελες να πιστέψεις», είπε θριαμβευτικά, «έκανε πρόταση γάμου στη Σόνια».
Ανεξάρτητα από το πόσο λίγο έκανε ο Νικολάι με τη Σόνια κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, κάτι φαινόταν να ξεκολλάει μέσα του όταν το άκουσε αυτό. Ο Dolokhov ήταν ένα αξιοπρεπές και από ορισμένες απόψεις ένα λαμπρό ταίρι για την ορφανή Sonya χωρίς προίκα. Από τη σκοπιά της παλιάς κόμισσας και του κόσμου, ήταν αδύνατο να τον αρνηθεί. Και επομένως το πρώτο συναίσθημα του Νικολάι όταν το άκουσε αυτό ήταν ο θυμός εναντίον της Σόνιας. Ετοιμαζόταν να πει: «Και καλά, φυσικά, πρέπει να ξεχάσουμε τις παιδικές μας υποσχέσεις και να δεχθούμε την προσφορά». αλλά δεν πρόλαβε να το πει ακόμα...
- Μπορείς να φανταστείς! Εκείνη αρνήθηκε, αρνήθηκε εντελώς! – μίλησε η Νατάσα. «Είπε ότι αγαπά κάποιον άλλο», πρόσθεσε μετά από μια σύντομη σιωπή.
«Ναι, η Σόνια μου δεν θα μπορούσε να κάνει διαφορετικά!» σκέφτηκε ο Νικολάι.
«Όσο και αν τη ρώτησε η μητέρα μου, εκείνη αρνήθηκε και ξέρω ότι δεν θα αλλάξει αυτό που είπε…
- Και τη ρώτησε η μαμά! – είπε ο Νικολάι επικριτικά.
«Ναι», είπε η Νατάσα. - Ξέρεις, Νικολένκα, μην θυμώνεις. αλλά ξέρω ότι δεν θα την παντρευτείς. Ξέρω, ένας Θεός ξέρει γιατί, ξέρω σίγουρα, δεν θα παντρευτείς.
«Λοιπόν, δεν το ξέρεις αυτό», είπε ο Νικολάι. – αλλά πρέπει να της μιλήσω. Τι ωραία που είναι αυτή η Σόνια! – πρόσθεσε χαμογελώντας.
- Αυτό είναι τόσο υπέροχο! Θα σου το στείλω. - Και η Νατάσα, φιλώντας τον αδερφό της, έφυγε τρέχοντας.
Ένα λεπτό αργότερα μπήκε η Σόνια, φοβισμένη, μπερδεμένη και ένοχη. Ο Νικολάι την πλησίασε και της φίλησε το χέρι. Αυτή ήταν η πρώτη φορά σε αυτή την επίσκεψη που μίλησαν πρόσωπο με πρόσωπο και για τον έρωτά τους.
«Σόφι», είπε δειλά στην αρχή, και μετά όλο και πιο τολμηρά, «αν θέλεις να αρνηθείς όχι μόνο ένα λαμπρό, κερδοφόρο αγώνα. αλλά είναι υπέροχος, ευγενής άνθρωπος... είναι φίλος μου...
τον διέκοψε η Σόνια.
«Έχω ήδη αρνηθεί», είπε βιαστικά.
- Αν αρνηθείς για μένα, τότε φοβάμαι ότι πάνω μου...
Η Σόνια τον διέκοψε ξανά. Τον κοίταξε με παρακλητικά, τρομαγμένα μάτια.
«Νικόλα, μη μου το λες αυτό», είπε.
- Όχι, πρέπει. Ίσως αυτό είναι αρκετή [αλαζονεία] από την πλευρά μου, αλλά είναι καλύτερα να το πω. Αν αρνηθείς για μένα, τότε πρέπει να σου πω όλη την αλήθεια. Σε αγαπώ, νομίζω, περισσότερο από όλους...
«Αυτό είναι αρκετό για μένα», είπε η Σόνια κοκκινίζοντας.
- Όχι, αλλά έχω ερωτευτεί χιλιάδες φορές και θα συνεχίσω να ερωτεύομαι, αν και δεν έχω τόσο αίσθημα φιλίας, εμπιστοσύνης, αγάπης για κανέναν όσο για σένα. Τότε είμαι νέος. Η μαμά δεν το θέλει αυτό. Λοιπόν, απλά δεν υπόσχομαι τίποτα. Και σας ζητώ να σκεφτείτε την πρόταση του Dolokhov», είπε, δυσκολεύοντας να προφέρει το επίθετο του φίλου του.
-Μη μου το λες αυτό. Δεν θέλω τίποτα. Σε αγαπώ σαν αδερφό, και θα σε αγαπώ πάντα, και δεν χρειάζομαι τίποτα περισσότερο.
"Είσαι ένας άγγελος, δεν είμαι άξιός σου, αλλά φοβάμαι μόνο να σε εξαπατήσω." – Ο Νικολάι της φίλησε ξανά το χέρι.

Ο Yogel είχε τις πιο διασκεδαστικές μπάλες στη Μόσχα. Αυτό είπαν οι μητέρες, κοιτάζοντας τα έφηβά τους [κορίτσια] που εκτελούσαν τα πρόσφατα μαθημένα τους βήματα. Αυτό το είπαν οι ίδιοι οι έφηβοι και οι έφηβοι, [κορίτσια και αγόρια] που χόρευαν μέχρι να πέσουν. αυτά τα ενήλικα κορίτσια και οι νεαροί άντρες που ήρθαν σε αυτές τις μπάλες με την ιδέα να τους συγκαταλάβουν και να βρουν την καλύτερη διασκέδαση σε αυτές. Την ίδια χρονιά, σε αυτές τις μπάλες έγιναν δύο γάμοι. Οι δύο όμορφες πριγκίπισσες των Γκορτσάκοφ βρήκαν μνηστήρες και παντρεύτηκαν, και ακόμη περισσότερο εκτόξευσαν αυτές τις μπάλες στη δόξα. Το ιδιαίτερο με αυτές τις μπάλες ήταν ότι δεν υπήρχε οικοδεσπότης και οικοδέσποινα: υπήρχε ο καλόβολος Γιόγκελ, σαν να πετάει πούπουλα, που ανακατευόταν σύμφωνα με τους κανόνες της τέχνης, που δεχόταν εισιτήρια για μαθήματα από όλους τους καλεσμένους του. ήταν ότι μόνο όσες ήθελαν να χορέψουν και να διασκεδάσουν, όπως κορίτσια 13 και 14 ετών που φορούσαν μακριά φορέματα για πρώτη φορά, θέλουν να πάνε σε αυτές τις μπάλες. Όλοι, με σπάνιες εξαιρέσεις, ήταν ή φαίνονταν όμορφοι: όλοι χαμογέλασαν τόσο ενθουσιωδώς και τα μάτια τους έλαμπαν τόσο πολύ. Μερικές φορές ακόμη και οι καλύτεροι μαθητές χόρευαν pas de chale, από τους οποίους η καλύτερη ήταν η Νατάσα, που ξεχώριζε για τη χάρη της. αλλά σε αυτό το τελευταίο χορό χορεύονταν μόνο οικοσάιζ, ανγκλέιζ και η μαζούρκα, που μόλις έμπαινε στη μόδα. Η αίθουσα μεταφέρθηκε από τον Γιόγκελ στο σπίτι του Μπεζούχοφ και η μπάλα είχε μεγάλη επιτυχία, όπως είπαν όλοι. Υπήρχαν πολλά όμορφα κορίτσια και οι κυρίες του Ροστόφ ήταν από τις καλύτερες. Ήταν και οι δύο ιδιαίτερα χαρούμενοι και χαρούμενοι. Εκείνο το βράδυ, η Σόνια, περήφανη για την πρόταση του Ντολόχοφ, την άρνησή της και την εξήγησή της με τον Νικολάι, στριφογύριζε ακόμα στο σπίτι, δεν άφηνε την κοπέλα να τελειώσει τις πλεξούδες της, και τώρα έλαμπε με ορμητική χαρά.
Η Νατάσα, όχι λιγότερο περήφανη που ήταν μέσα μακρύ φόρεμα, στην πραγματική μπάλα, ήταν ακόμα πιο χαρούμενη. Και οι δύο φορούσαν λευκά φορέματα από μουσελίνα με ροζ κορδέλες.
Η Νατάσα ερωτεύτηκε από τη στιγμή που μπήκε στην μπάλα. Δεν ήταν ερωτευμένη με κανέναν συγκεκριμένα, αλλά ήταν ερωτευμένη με όλους. Αυτή που κοίταξε τη στιγμή που κοίταξε ήταν αυτή με την οποία ήταν ερωτευμένη.
- Α, τι καλά! – έλεγε συνέχεια τρέχοντας προς τη Σόνια.
Ο Νικολάι και ο Ντενίσοφ περπάτησαν στις αίθουσες, κοιτάζοντας τους χορευτές με στοργή και ευγένεια.
«Τι γλυκιά θα είναι», είπε ο Ντενίσοφ.
- ΠΟΥ?
«Αθηνά Νατάσα», απάντησε ο Ντενίσοφ.
«Και πώς χορεύει, τι γαρ!» μετά από μια σύντομη σιωπή, είπε ξανά.
- Για ποιον μιλάς?
«Σχετικά με την αδερφή σου», φώναξε θυμωμένος ο Ντενίσοφ.
Ο Ροστόφ χαμογέλασε.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", είπε ο μικρός Jogel, πλησιάζοντας τον Νικολάι. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Αγαπητέ μου Κόμη, είσαι ένας από τους καλύτερους μαθητές μου. Πρέπει να χορέψεις. Κοιτάξτε πόσο όμορφα κορίτσια!] – Έκανε το ίδιο αίτημα στον Ντενίσοφ, επίσης πρώην μαθητή του.
«Όχι, μον cher, je fe"ai tapisse"δηλαδή, [Όχι, αγαπητέ μου, θα κάτσω δίπλα στον τοίχο», είπε ο Ντενίσοφ. «Δεν θυμάσαι πόσο άσχημα χρησιμοποιούσα τα μαθήματά σου;»
- Ωχ όχι! – είπε βιαστικά ο Τζόγκελ παρηγορώντας τον. – Ήσουν απλώς απρόσεκτος, αλλά είχες ικανότητες, ναι, είχες ικανότητες.
Η μαζούρκα που εισήχθη πρόσφατα παίχτηκε. Ο Νικολάι δεν μπορούσε να αρνηθεί τον Γιόγκελ και κάλεσε τη Σόνια. Ο Ντενίσοφ κάθισε δίπλα στις ηλικιωμένες κυρίες και, ακουμπώντας τους αγκώνες του στο σπαθί του, χτυπώντας τον χτύπημα του, είπε κάτι χαρούμενα και έκανε τις ηλικιωμένες κυρίες να γελάσουν, κοιτάζοντας τους νέους που χορεύανε. Ο Γιόγκελ, στο πρώτο ζευγάρι, χόρεψε με τη Νατάσα, την περηφάνια και την καλύτερη μαθήτριά του. Απαλά, κουνώντας τρυφερά τα πόδια του στα παπούτσια του, ο Γιόγκελ ήταν ο πρώτος που πέταξε στην αίθουσα με τη Νατάσα, η οποία ήταν δειλή, αλλά έκανε επιμελώς βήματα. Ο Ντενίσοφ δεν πήρε τα μάτια του από πάνω της και χτύπησε τον χτύπημα με το σπαθί του, με μια έκφραση που έλεγε ξεκάθαρα ότι ο ίδιος δεν χόρευε μόνο επειδή δεν ήθελε και όχι επειδή δεν μπορούσε. Στη μέση της φιγούρας, κάλεσε κοντά του τον Ροστόφ, που περνούσε.
«Δεν είναι καθόλου το ίδιο», είπε. - Είναι πολωνική μαζούρκα; Και χορεύει άριστα. - Γνωρίζοντας ότι ο Ντενίσοφ ήταν ακόμη και διάσημος στην Πολωνία για την ικανότητά του να χορεύει την πολωνική μαζούρκα, ο Νικολάι έτρεξε στη Νατάσα:
- Πήγαινε και διάλεξε τον Ντενίσοφ. Εδώ χορεύει! Θαύμα! - αυτός είπε.
Όταν ήρθε πάλι η σειρά της Νατάσας, σηκώθηκε και χτύπησε γρήγορα τα παπούτσια της με φιόγκους, δειλά, έτρεξε μόνη της στο διάδρομο στη γωνία όπου καθόταν ο Ντενίσοφ. Είδε ότι όλοι την κοιτούσαν και περίμεναν. Ο Νικολάι είδε ότι ο Ντενίσοφ και η Νατάσα μάλωναν χαμογελώντας και ότι ο Ντενίσοφ αρνιόταν, αλλά χαμογελούσε χαρούμενα. Έτρεξε πάνω.
«Σε παρακαλώ, Βασίλι Ντμίτριχ», είπε η Νατάσα, «πάμε, σε παρακαλώ».
«Ναι, αυτό είναι, γ’αθένα», είπε ο Ντενίσοφ.
«Λοιπόν, φτάνει, Βάσια», είπε ο Νικολάι.
«Είναι σαν να προσπαθούν να πείσουν τη Βάσκα τη γάτα», είπε αστειευόμενος ο Ντενίσοφ.
«Θα σου τραγουδάω όλο το βράδυ», είπε η Νατάσα.
- Η μάγισσα θα μου κάνει τα πάντα! - είπε ο Ντενίσοφ και έλυσε το σπαθί του. Βγήκε από πίσω από τις καρέκλες, πήρε σταθερά την κυρία του από το χέρι, σήκωσε το κεφάλι του και έβαλε το πόδι του κάτω, περιμένοντας τακτ. Μόνο έφιππος και στη μαζούρκα δεν φαινόταν κάθετα αμφισβητείταιΝτενίσοφ, και φαινόταν να είναι ο ίδιος νεαρός που ένιωθε ότι ήταν. Αφού περίμενε τον ρυθμό, κοίταξε θριαμβευτικά και παιχνιδιάρικα την κυρία του από το πλάι, χτύπησε ξαφνικά το ένα πόδι του και, σαν μπάλα, αναπήδησε ελαστικά από το πάτωμα και πέταξε μαζί σε κύκλο, σέρνοντας την κυρία του μαζί του. Πέταξε σιωπηλά στα μισά του διαδρόμου με το ένα πόδι, και φαινόταν ότι δεν είδε τις καρέκλες να στέκονται μπροστά του και όρμησε κατευθείαν προς το μέρος τους. αλλά ξαφνικά, χτυπώντας τα σπιρούνια του και απλώνοντας τα πόδια του, σταμάτησε στις φτέρνες του, στάθηκε εκεί για ένα δευτερόλεπτο, με το βρυχηθμό των σπιρουνιών, χτύπησε τα πόδια του σε ένα σημείο, γύρισε γρήγορα και, κάνοντας κλικ στο δεξί του πόδι με το αριστερό του πόδι, πέταξε ξανά σε κύκλο. Η Νατάσα μάντεψε τι σκόπευε να κάνει και, χωρίς να ξέρει πώς, τον ακολούθησε - παραδόθηκε σε αυτόν. Τώρα την έκανε κύκλο, τώρα στο δεξί του, τώρα στο αριστερό του χέρι, τώρα πέφτοντας στα γόνατά του, την έκανε κύκλο γύρω του, και πάλι πήδηξε και έτρεξε μπροστά με τόση ταχύτητα, σαν να είχε σκοπό να τρέξει σε όλα τα δωμάτια χωρίς να πάρεις ανάσα. τότε ξαφνικά σταμάτησε ξανά και ξανά έκανε ένα νέο και απροσδόκητο γόνατο. Όταν εκείνος, στριφογυρίζοντας βιαστικά την κυρία μπροστά στη θέση της, έσπασε το κίνητρό του, υποκλινόμενος μπροστά της, η Νατάσα δεν του έβαλε καν το βλέμμα. Τον κοίταξε σαστισμένη, χαμογελώντας σαν να μην τον αναγνώριζε. - Τι είναι αυτό? - είπε.
Παρά το γεγονός ότι ο Γιόγκελ δεν αναγνώρισε αυτή τη μαζούρκα ως πραγματική, όλοι ήταν ευχαριστημένοι με την ικανότητα του Ντενίσοφ, άρχισαν να τον επιλέγουν ασταμάτητα και οι ηλικιωμένοι, χαμογελώντας, άρχισαν να μιλούν για την Πολωνία και τις παλιές καλές μέρες. Ο Ντενίσοφ, κοκκινισμένος από τη μαζούρκα και σκουπιζόμενος με ένα μαντήλι, κάθισε δίπλα στη Νατάσα και δεν έφυγε από το πλευρό της σε όλη τη διάρκεια της μπάλας.

Λογαριθμική συνάρτηση

Μια λογαριθμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής f(x) = logax, που ορίζεται στο

Τομέα: . Εύρος τιμών: . Η συνάρτηση είναι αυστηρά αύξουσα για > 1 και αυστηρά φθίνουσα για 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Η ευθεία x = 0 είναι αριστερή κατακόρυφη ασύμπτωτη, αφού για a > 1 και για 0< a < 1.

Η παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης είναι ίση με:

Η λογαριθμική συνάρτηση εκτελεί έναν ισομορφισμό μεταξύ της πολλαπλασιαστικής ομάδας των θετικών πραγματικών αριθμών και της αθροιστικής ομάδας όλων των πραγματικών αριθμών.

Μιγαδικός λογάριθμος

Ορισμός και ιδιότητες

Για μιγαδικούς αριθμούς, ο λογάριθμος ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ένας πραγματικός. Στην πράξη χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά ο φυσικός μιγαδικός λογάριθμος, τον οποίο συμβολίζουμε και ορίζουμε ως το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών z έτσι ώστε ez = w. Ο σύνθετος λογάριθμος υπάρχει για οποιονδήποτε και το πραγματικό του μέρος καθορίζεται μοναδικά, ενώ το φανταστικό μέρος έχει άπειρο σύνολοαξίες. Για το λόγο αυτό ονομάζεται συνάρτηση πολλαπλών τιμών. Αν αναπαραστήσουμε το w σε εκθετική μορφή:

τότε ο λογάριθμος βρίσκεται με τον τύπο:

Εδώ είναι ένας πραγματικός λογάριθμος, r = | w | , το k είναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός. Η τιμή που προκύπτει όταν k = 0 ονομάζεται η κύρια τιμή του μιγαδικού φυσικού λογάριθμου. Συνηθίζεται να παίρνουμε την τιμή του ορίσματος στο διάστημα (? р,р]. Η αντίστοιχη (ήδη μονοτιμής) συνάρτηση ονομάζεται κύριος κλάδος του λογαρίθμου και συμβολίζεται. Μερικές φορές η τιμή του λογαρίθμου που δεν ξαπλώνω στον κύριο κλάδο συμβολίζεται επίσης με.

Από τον τύπο προκύπτει:

Το πραγματικό μέρος του λογάριθμου καθορίζεται από τον τύπο:

Ο λογάριθμος ενός αρνητικού αριθμού βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Η εκθετική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (με θετική βάση) προσδιορίζεται σε πολλά βήματα. Πρώτον, για τις φυσικές αξίες - ως προϊόν ίσων παραγόντων. Στη συνέχεια, ο ορισμός επεκτείνεται σε αρνητικούς ακέραιους και μη μηδενικές τιμές για τους κανόνες. Στη συνέχεια, εξετάζουμε τους κλασματικούς δείκτες στους οποίους η τιμή εκθετικη συναρτησηπροσδιορίζεται χρησιμοποιώντας ρίζες: . Για τις παράλογες τιμές, ο ορισμός συνδέεται ήδη με τη βασική έννοια της μαθηματικής ανάλυσης - με το πέρασμα στο όριο, για λόγους συνέχειας. Όλες αυτές οι εκτιμήσεις δεν ισχύουν σε καμία περίπτωση για προσπάθειες επέκτασης της εκθετικής συνάρτησης σε μιγαδικές τιμές του δείκτη και τι είναι, για παράδειγμα, είναι εντελώς ασαφές.

Για πρώτη φορά, μια ισχύς με μιγαδικό εκθέτη με φυσική βάση εισήχθη από τον Euler με βάση μια ανάλυση ενός αριθμού κατασκευών του ολοκληρωτικού λογισμού. Μερικές φορές πολύ παρόμοιες αλγεβρικές εκφράσεις, όταν ενσωματωθούν, δίνουν εντελώς διαφορετικές απαντήσεις:

Ταυτόχρονα, εδώ το δεύτερο ολοκλήρωμα λαμβάνεται τυπικά από το πρώτο όταν αντικαθίσταται από

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι με τον σωστό ορισμό μιας εκθετικής συνάρτησης με μιγαδικό εκθέτη, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχετίζονται με λογάριθμους και επομένως η εκθετική συνάρτηση σχετίζεται με τριγωνομετρικές.

Ο Euler είχε το θάρρος και τη φαντασία να δώσει έναν εύλογο ορισμό για μια εκθετική συνάρτηση με βάση, δηλαδή,

Αυτός είναι ένας ορισμός, και επομένως αυτός ο τύπος δεν μπορεί να αποδειχθεί· μπορεί κανείς μόνο να αναζητήσει επιχειρήματα υπέρ της λογικής και της σκοπιμότητας ενός τέτοιου ορισμού. Μαθηματική ανάλυσηπαρέχει πολλά επιχειρήματα αυτού του είδους. Θα περιοριστούμε σε ένα μόνο.

Είναι γνωστό ότι στην πραγματικότητα υπάρχει μια περιοριστική σχέση: . Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένα πολυώνυμο που έχει επίσης νόημα για μιγαδικές τιμές για . Το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών καθορίζεται φυσικά. Μια ακολουθία θεωρείται συγκλίνουσα εάν οι ακολουθίες των πραγματικών και φανταστικών μερών συγκλίνουν και γίνεται αποδεκτή

Ας το βρούμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε στην τριγωνομετρική φόρμα και για το όρισμα θα επιλέξουμε τιμές από το διάστημα. Με αυτή την επιλογή είναι σαφές ότι για . Περαιτέρω,

Για να μεταβείτε στο όριο, πρέπει να επαληθεύσετε την ύπαρξη ορίων για και και να βρείτε αυτά τα όρια. Είναι ξεκάθαρο ότι

Έτσι, στην έκφραση

το πραγματικό μέρος τείνει σε , το φανταστικό μέρος τείνει σε αυτό

Αυτό το απλό όρισμα παρέχει ένα από τα επιχειρήματα υπέρ του ορισμού της εκθετικής συνάρτησης από τον Euler.

Ας καθορίσουμε τώρα ότι όταν πολλαπλασιάζουμε τις τιμές μιας εκθετικής συνάρτησης, οι εκθέτες αθροίζονται. Πραγματικά:

2. Οι τύποι του Euler.

Ας βάλουμε τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης . Παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας το b με -b, παίρνουμε

Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις ισότητες όρο προς όρο, βρίσκουμε τους τύπους

που ονομάζονται τύποι του Euler. Δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ τριγωνομετρικές συναρτήσειςκαι εκθετική με φανταστικούς εκθέτες.

3. Φυσικός λογάριθμος μιγαδικού αριθμού.

Ένας μιγαδικός αριθμός που δίνεται σε τριγωνομετρική μορφή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού ονομάζεται εκθετική. Διατηρεί όλες τις καλές ιδιότητες της τριγωνομετρικής μορφής, αλλά είναι ακόμη πιο συνοπτικό. Περαιτέρω, Επομένως, είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι το πραγματικό μέρος του λογάριθμου ενός μιγαδικού αριθμού είναι ο λογάριθμος του συντελεστή του και το φανταστικό μέρος είναι το επιχείρημά του. Αυτό εξηγεί σε κάποιο βαθμό την «λογαριθμική» ιδιότητα του επιχειρήματος - το όρισμα του γινομένου είναι ίσο με το άθροισμα των επιχειρημάτων των παραγόντων.

Η εκθετική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (με θετική βάση) προσδιορίζεται σε πολλά βήματα. Πρώτον, για τις φυσικές αξίες - ως προϊόν ίσων παραγόντων. Στη συνέχεια, ο ορισμός επεκτείνεται σε αρνητικούς ακέραιους και μη μηδενικές τιμές για τους κανόνες. Στη συνέχεια, θεωρούμε κλασματικούς εκθέτες στους οποίους η τιμή της εκθετικής συνάρτησης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας ρίζες: . Για τις παράλογες τιμές, ο ορισμός συνδέεται ήδη με τη βασική έννοια της μαθηματικής ανάλυσης - με το πέρασμα στο όριο, για λόγους συνέχειας. Όλες αυτές οι εκτιμήσεις δεν ισχύουν σε καμία περίπτωση για προσπάθειες επέκτασης της εκθετικής συνάρτησης σε μιγαδικές τιμές του δείκτη και τι είναι, για παράδειγμα, είναι εντελώς ασαφές.

Για πρώτη φορά, μια ισχύς με μιγαδικό εκθέτη με φυσική βάση εισήχθη από τον Euler με βάση μια ανάλυση ενός αριθμού κατασκευών του ολοκληρωτικού λογισμού. Μερικές φορές πολύ παρόμοιες αλγεβρικές εκφράσεις, όταν ενσωματωθούν, δίνουν εντελώς διαφορετικές απαντήσεις:

Ταυτόχρονα, εδώ το δεύτερο ολοκλήρωμα λαμβάνεται τυπικά από το πρώτο όταν αντικαθίσταται από

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι με τον σωστό ορισμό μιας εκθετικής συνάρτησης με μιγαδικό εκθέτη, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχετίζονται με λογάριθμους και επομένως η εκθετική συνάρτηση σχετίζεται με τριγωνομετρικές.

Ο Euler είχε το θάρρος και τη φαντασία να δώσει έναν εύλογο ορισμό για μια εκθετική συνάρτηση με βάση, δηλαδή,

Αυτός είναι ένας ορισμός, και επομένως αυτός ο τύπος δεν μπορεί να αποδειχθεί· μπορεί κανείς μόνο να αναζητήσει επιχειρήματα υπέρ της λογικής και της σκοπιμότητας ενός τέτοιου ορισμού. Η μαθηματική ανάλυση παρέχει πολλά επιχειρήματα αυτού του είδους. Θα περιοριστούμε σε ένα μόνο.

Είναι γνωστό ότι στην πραγματικότητα υπάρχει μια περιοριστική σχέση: . Στη δεξιά πλευρά υπάρχει ένα πολυώνυμο που έχει επίσης νόημα για μιγαδικές τιμές για . Το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών καθορίζεται φυσικά. Μια ακολουθία θεωρείται συγκλίνουσα εάν οι ακολουθίες των πραγματικών και φανταστικών μερών συγκλίνουν και γίνεται αποδεκτή

Ας το βρούμε. Για να το κάνουμε αυτό, ας στραφούμε στην τριγωνομετρική φόρμα και για το όρισμα θα επιλέξουμε τιμές από το διάστημα. Με αυτή την επιλογή είναι σαφές ότι για . Περαιτέρω,

Για να μεταβείτε στο όριο, πρέπει να επαληθεύσετε την ύπαρξη ορίων για και και να βρείτε αυτά τα όρια. Είναι ξεκάθαρο ότι

Έτσι, στην έκφραση

το πραγματικό μέρος τείνει σε , το φανταστικό μέρος τείνει σε αυτό

Αυτό το απλό όρισμα παρέχει ένα από τα επιχειρήματα υπέρ του ορισμού της εκθετικής συνάρτησης από τον Euler.

Ας καθορίσουμε τώρα ότι όταν πολλαπλασιάζουμε τις τιμές μιας εκθετικής συνάρτησης, οι εκθέτες αθροίζονται. Πραγματικά:

2. Οι τύποι του Euler.

Ας βάλουμε τον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης . Παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας το b με -b, παίρνουμε

Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις ισότητες όρο προς όρο, βρίσκουμε τους τύπους

που ονομάζεται τύποι του Euler. Δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων και εκθετικών συναρτήσεων με φανταστικούς εκθέτες.

3. Φυσικός λογάριθμος μιγαδικού αριθμού.

Ένας μιγαδικός αριθμός που δίνεται σε τριγωνομετρική μορφή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού ονομάζεται εκθετική. Διατηρεί όλες τις καλές ιδιότητες της τριγωνομετρικής μορφής, αλλά είναι ακόμη πιο συνοπτικό. Περαιτέρω, Επομένως, είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι το πραγματικό μέρος του λογάριθμου ενός μιγαδικού αριθμού είναι ο λογάριθμος του συντελεστή του και το φανταστικό μέρος είναι το επιχείρημά του. Αυτό εξηγεί σε κάποιο βαθμό την «λογαριθμική» ιδιότητα του επιχειρήματος - το όρισμα του γινομένου είναι ίσο με το άθροισμα των επιχειρημάτων των παραγόντων.