Υπάρχουν δύο τύποι εκτιμήσεων στις στατιστικές: σημειακή και μεσοδιάστημα. Σημειακή εκτίμησηείναι ένα ενιαίο δείγμα στατιστικής που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου πληθυσμού. Για παράδειγμα, ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια βαθμολογική εκτίμηση μαθηματική προσδοκίαπληθυσμό και διακύμανση δείγματος S 2- σημειακή εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού σ 2. Έχει αποδειχθεί ότι ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση των μαθηματικών προσδοκιών του πληθυσμού. Ένας μέσος όρος δείγματος ονομάζεται αμερόληπτος επειδή ο μέσος όρος όλων των δειγμάτων σημαίνει (με το ίδιο μέγεθος δείγματος) n) ισούται με τη μαθηματική προσδοκία του γενικού πληθυσμού.

Για τη διακύμανση του δείγματος S 2έγινε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού σ 2, ο παρονομαστής της διακύμανσης του δείγματος πρέπει να οριστεί ίσος με n – 1 , αλλά όχι n. Με άλλα λόγια, η διακύμανση του πληθυσμού είναι ο μέσος όρος όλων των πιθανών διακυμάνσεων του δείγματος.

Κατά την εκτίμηση των παραμέτρων πληθυσμού, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι δειγματοληπτικά στατιστικά στοιχεία όπως , εξαρτώνται από συγκεκριμένα δείγματα. Για να λάβουμε υπόψη αυτό το γεγονός, να αποκτήσουμε εκτίμηση διαστήματοςμαθηματική προσδοκία του γενικού πληθυσμού, αναλύστε την κατανομή των μέσων δειγμάτων (για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ.). Το κατασκευασμένο διάστημα χαρακτηρίζεται από ένα ορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης, το οποίο αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να εκτιμηθεί σωστά η πραγματική παράμετρος πληθυσμού. Παρόμοια διαστήματα εμπιστοσύνης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της αναλογίας ενός χαρακτηριστικού Rκαι η κύρια κατανεμημένη μάζα του πληθυσμού.

Κατεβάστε τη σημείωση σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία του πληθυσμού με γνωστή τυπική απόκλιση

Κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για το μερίδιο ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό

Αυτή η ενότητα επεκτείνει την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης σε κατηγορικά δεδομένα. Αυτό μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε το μερίδιο του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό Rχρησιμοποιώντας κοινόχρηστο δείγμα Rμικρό= X/n. Όπως αναφέρεται, εάν οι ποσότητες nRΚαι n(1 – p)υπερβείτε τον αριθμό 5, η διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί ως κανονική. Επομένως, για να εκτιμηθεί το μερίδιο ενός χαρακτηριστικού στον πληθυσμό Rείναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα διάστημα του οποίου το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι ίσο με (1 – α)χ100%.

Οπου Πμικρό- αναλογία δείγματος του χαρακτηριστικού ίση με Χ/n, δηλ. αριθμός επιτυχιών διαιρούμενος με μέγεθος δείγματος, R- το μερίδιο του χαρακτηριστικού στο γενικό πληθυσμό, Ζ- κρίσιμη τιμή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, n- το μέγεθος του δείγματος.

Παράδειγμα 3.Ας υποθέσουμε ότι ένα δείγμα αποτελούμενο από 100 τιμολόγια που συμπληρώθηκαν τον τελευταίο μήνα εξάγεται από το πληροφοριακό σύστημα. Ας πούμε ότι 10 από αυτά τα τιμολόγια συντάχθηκαν με λάθη. Ετσι, R= 10/100 = 0,1. Το επίπεδο εμπιστοσύνης 95% αντιστοιχεί στην κρίσιμη τιμή Z = 1,96.

Έτσι, η πιθανότητα μεταξύ 4,12% και 15,88% των τιμολογίων να περιέχουν σφάλματα είναι 95%.

Για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος, το διάστημα εμπιστοσύνης που περιέχει την αναλογία του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό φαίνεται ευρύτερο από ό,τι για ένα συνεχές τυχαία μεταβλητή. Αυτό συμβαίνει επειδή οι μετρήσεις μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής περιέχουν περισσότερες πληροφορίες από τις μετρήσεις κατηγορικών δεδομένων. Με άλλα λόγια, τα κατηγορικά δεδομένα που λαμβάνουν μόνο δύο τιμές περιέχουν ανεπαρκείς πληροφορίες για την εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής τους.

ΣΕυπολογισμός εκτιμήσεων που εξάγονται από έναν πεπερασμένο πληθυσμό

Εκτίμηση μαθηματικής προσδοκίας.Διορθωτικός συντελεστής για τον τελικό πληθυσμό ( fpc) χρησιμοποιήθηκε για τη μείωση του τυπικού σφάλματος κατά έναν παράγοντα. Κατά τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης για εκτιμήσεις παραμέτρων πληθυσμού, εφαρμόζεται ένας συντελεστής διόρθωσης σε περιπτώσεις όπου τα δείγματα λαμβάνονται χωρίς να επιστραφούν. Έτσι, ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία που έχει ένα επίπεδο εμπιστοσύνης ίσο με (1 – α)χ100%, υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 4.Για να δείξουμε τη χρήση του συντελεστή διόρθωσης για έναν πεπερασμένο πληθυσμό, ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα του υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης για το μέσο ποσό των τιμολογίων, που συζητήθηκε παραπάνω στο Παράδειγμα 3. Ας υποθέσουμε ότι μια εταιρεία εκδίδει 5.000 τιμολόγια το μήνα και Χ=110,27 δολάρια, μικρό= 28,95 $, Ν = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (6) παίρνουμε:

Εκτίμηση του μεριδίου ενός χαρακτηριστικού.Όταν επιλέγετε χωρίς επιστροφή, το διάστημα εμπιστοσύνης για την αναλογία του χαρακτηριστικού που έχει επίπεδο εμπιστοσύνης ίσο με (1 – α)χ100%, υπολογίζεται με τον τύπο:

Διαστήματα εμπιστοσύνης και ηθικά ζητήματα

Κατά τη δειγματοληψία ενός πληθυσμού και την εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων, συχνά προκύπτουν ηθικά ζητήματα. Το κυριότερο είναι το πώς συμφωνούν τα διαστήματα εμπιστοσύνης και οι σημειακές εκτιμήσεις των δειγματοληπτικών στατιστικών. Οι εκτιμήσεις σημείων δημοσίευσης χωρίς να προσδιορίζονται τα σχετικά μεσοδιαστήματα εμπιστοσύνης (συνήθως στο επίπεδο εμπιστοσύνης 95%) και το μέγεθος του δείγματος από το οποίο προέρχονται μπορεί να δημιουργήσουν σύγχυση. Αυτό μπορεί να δώσει στον χρήστη την εντύπωση ότι η σημειακή εκτίμηση είναι ακριβώς αυτή που χρειάζεται για να προβλέψει τις ιδιότητες ολόκληρου του πληθυσμού. Επομένως, είναι απαραίτητο να γίνει κατανοητό ότι σε οποιαδήποτε έρευνα η εστίαση δεν πρέπει να είναι σε σημειακές εκτιμήσεις, αλλά σε εκτιμήσεις διαστήματος. Εκτός, Ιδιαίτερη προσοχήπρέπει να δοθεί η σωστή επιλογήμεγέθη δειγμάτων.

Τις περισσότερες φορές, τα αντικείμενα της στατιστικής χειραγώγησης είναι τα αποτελέσματα κοινωνιολογικών ερευνών του πληθυσμού για ορισμένα πολιτικά ζητήματα. Σε αυτή την περίπτωση, τα αποτελέσματα της έρευνας δημοσιεύονται στα πρωτοσέλιδα των εφημερίδων, και το λάθος δείγμα έρευναςκαι μεθοδολογία Στατιστική ανάλυσητυπωμένο κάπου στη μέση. Για να αποδειχθεί η εγκυρότητα των ληφθέντων σημειακών εκτιμήσεων, είναι απαραίτητο να υποδειχθεί το μέγεθος του δείγματος βάσει του οποίου ελήφθησαν, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης και το επίπεδο σημαντικότητάς του.

Επόμενη σημείωση

Χρησιμοποιούνται υλικά από το βιβλίο Levin et al Statistics for Managers. – Μ.: Williams, 2004. – Σελ. 448–462

Κεντρικό οριακό θεώρημαδηλώνει ότι με ένα αρκετά μεγάλο μέγεθος δείγματος, η κατανομή του δείγματος των μέσων μπορεί να προσεγγιστεί με μια κανονική κατανομή. Αυτή η ιδιότητα δεν εξαρτάται από τον τύπο κατανομής του πληθυσμού.

Η νοημοσύνη δεν συνίσταται μόνο στη γνώση, αλλά και στην ικανότητα εφαρμογής της γνώσης στην πράξη. (Αριστοτέλης)

Διαστήματα εμπιστοσύνης

γενική αναθεώρηση

Λαμβάνοντας ένα δείγμα από τον πληθυσμό, λαμβάνουμε μια σημειακή εκτίμηση της παραμέτρου που μας ενδιαφέρει και υπολογίζουμε το τυπικό σφάλμα για να υποδείξουμε την ακρίβεια της εκτίμησης.

Ωστόσο, για τις περισσότερες περιπτώσεις το τυπικό σφάλμα δεν είναι αποδεκτό. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να συνδυαστεί αυτό το μέτρο ακρίβειας με μια εκτίμηση διαστήματος για την παράμετρο πληθυσμού.

Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τη γνώση της θεωρητικής κατανομής πιθανοτήτων του στατιστικού δείγματος (παράμετρος) προκειμένου να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης (CI - Διάστημα εμπιστοσύνης, DI - Διάστημα εμπιστοσύνης) για την παράμετρο.

Γενικά, ένα διάστημα εμπιστοσύνης επεκτείνει τις εκτιμήσεις και στις δύο κατευθύνσεις κατά ένα ορισμένο πολλαπλάσιο του τυπικού σφάλματος (μιας δεδομένης παραμέτρου). Οι δύο τιμές (όρια εμπιστοσύνης) που ορίζουν το διάστημα συνήθως χωρίζονται με κόμμα και περικλείονται σε παρενθέσεις.

Διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο όρο

Χρήση Κανονικής Κατανομής

Ο μέσος όρος του δείγματος κατανέμεται κανονικά εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, επομένως μπορείτε να εφαρμόσετε τη γνώση της κανονικής κατανομής κατά την εξέταση του μέσου όρου του δείγματος.

Συγκεκριμένα, το 95% της κατανομής των μέσων δειγμάτων βρίσκεται εντός 1,96 τυπικών αποκλίσεων (SD) του μέσου όρου του πληθυσμού.

Όταν έχουμε μόνο ένα δείγμα, το ονομάζουμε τυπικό σφάλμα του μέσου όρου (SEM) και υπολογίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον μέσο όρο ως εξής:

Εάν επαναλάβουμε αυτό το πείραμα πολλές φορές, το διάστημα θα περιέχει τον πραγματικό μέσο πληθυσμό στο 95% του χρόνου.

Συνήθως αυτό είναι ένα διάστημα εμπιστοσύνης, όπως το διάστημα των τιμών εντός του οποίου ο πραγματικός μέσος όρος πληθυσμού (γενικός μέσος όρος) βρίσκεται με πιθανότητα εμπιστοσύνης 95%.

Αν και δεν είναι εντελώς αυστηρό (ο μέσος όρος του πληθυσμού είναι μια σταθερή τιμή και επομένως δεν μπορεί να συνδεθεί με μια πιθανότητα) να ερμηνεύσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης με αυτόν τον τρόπο, είναι εννοιολογικά ευκολότερο να το κατανοήσουμε.

Χρήση t-διανομή

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κανονική κατανομή εάν γνωρίζετε την τιμή της διακύμανσης στον πληθυσμό. Επίσης, όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό, ο μέσος όρος του δείγματος ακολουθεί μια κανονική κατανομή εάν τα υποκείμενα δεδομένα πληθυσμού κατανέμονται κανονικά.

Εάν τα δεδομένα στα οποία βασίζεται ο πληθυσμός δεν είναι κανονικά κατανεμημένα και/ή η διακύμανση του πληθυσμού είναι άγνωστη, ο μέσος όρος του δείγματος υπακούει Κατανομή t του μαθητή.

Υπολογίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το μέσο όρο του γενικού πληθυσμού ως εξής:

Πού είναι η ποσοστιαία μονάδα (εκατοστη εκατοστιαία μονάδα) t-Κατανομή t του Student με (n-1) βαθμούς ελευθερίας, η οποία δίνει πιθανότητα διπλής όψης 0,05.

Γενικά, παρέχει ευρύτερο εύρος από τη χρήση της κανονικής κατανομής επειδή λαμβάνει υπόψη την πρόσθετη αβεβαιότητα που εισάγεται με την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του πληθυσμού ή/και λόγω του μικρού μεγέθους του δείγματος.

Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (της τάξης του 100 ή περισσότερο), η διαφορά μεταξύ των δύο κατανομών ( τ-Μαθητήςκαι κανονικό) είναι ασήμαντο. Ωστόσο, χρησιμοποιούν πάντα t-κατανομή κατά τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης, ακόμη και αν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο.

Συνήθως αναφέρεται το 95% CI. Μπορούν να υπολογιστούν και άλλα διαστήματα εμπιστοσύνης, όπως το 99% CI για τη μέση τιμή.

Αντί για το γινόμενο του τυπικού σφάλματος και της τιμής του πίνακα t-κατανομή, η οποία αντιστοιχεί σε πιθανότητα διπλής όψης 0,05, πολλαπλασιάστε την (τυπικό σφάλμα) με την τιμή που αντιστοιχεί σε πιθανότητα διπλής όψης 0,01. Αυτό είναι ένα ευρύτερο διάστημα εμπιστοσύνης από το διάστημα εμπιστοσύνης 95%, επειδή αντανακλά αυξημένη εμπιστοσύνη ότι το διάστημα περιλαμβάνει πραγματικά τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Διάστημα εμπιστοσύνης για την αναλογία

Η δειγματοληπτική κατανομή των αναλογιών έχει διωνυμική κατανομή. Ωστόσο, εάν το μέγεθος του δείγματος nείναι αρκετά μεγάλο, τότε η δειγματοληπτική κατανομή της αναλογίας είναι περίπου κανονική με τη μέση τιμή .

Αξιολογούμε με επιλεκτική αναλογία p=r/n(Οπου r- τον αριθμό των ατόμων στο δείγμα με αυτά που μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά), και το τυπικό σφάλμα εκτιμάται:

Το διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την αναλογία εκτιμάται:

Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό (συνήθως όταν n.p.ή n(1-p)πιο λιγο 5 ), τότε είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η διωνυμική κατανομή προκειμένου να υπολογιστούν ακριβή διαστήματα εμπιστοσύνης.

Σημειώστε ότι εάν Πεκφράζεται ως ποσοστό, λοιπόν (1-p)αντικαταστάθηκε από (100-p).

Ερμηνεία των διαστημάτων εμπιστοσύνης

Κατά την ερμηνεία ενός διαστήματος εμπιστοσύνης, μας ενδιαφέρουν οι ακόλουθες ερωτήσεις:

Πόσο μεγάλο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης;

Ένα μεγάλο διάστημα εμπιστοσύνης δείχνει ότι η εκτίμηση είναι ανακριβής. narrow υποδηλώνει ακριβή εκτίμηση.

Το πλάτος του διαστήματος εμπιστοσύνης εξαρτάται από το μέγεθος του τυπικού σφάλματος, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος και, όταν εξετάζουμε μια αριθμητική μεταβλητή, η μεταβλητότητα των δεδομένων παράγει μεγαλύτερα διαστήματα εμπιστοσύνης από τις μελέτες ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων λίγων μεταβλητών .

Το CI περιλαμβάνει αξίες ιδιαίτερου ενδιαφέροντος;

Μπορείτε να ελέγξετε εάν η πιθανή τιμή για μια παράμετρο πληθυσμού εμπίπτει στο διάστημα εμπιστοσύνης. Εάν ναι, τα αποτελέσματα είναι συνεπή με αυτήν την πιθανή τιμή. Εάν όχι, τότε είναι απίθανο (για ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95%, η πιθανότητα είναι σχεδόν 5%) η παράμετρος να έχει αυτήν την τιμή.

Ας έχουμε ένας μεγάλος αριθμός απόαντικείμενα με κανονική κατανομή ορισμένων χαρακτηριστικών (για παράδειγμα, μια πλήρης αποθήκη λαχανικών του ίδιου τύπου, το μέγεθος και το βάρος της οποίας ποικίλλει). Θέλετε να μάθετε τα μέσα χαρακτηριστικά ολόκληρης της παρτίδας αγαθών, αλλά δεν έχετε ούτε τον χρόνο ούτε την επιθυμία να μετρήσετε και να ζυγίσετε κάθε λαχανικό. Καταλαβαίνετε ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο. Αλλά πόσα κομμάτια θα πρέπει να ληφθούν για έναν επιτόπιο έλεγχο;

Πριν δώσουμε διάφορους τύπους χρήσιμους για αυτήν την κατάσταση, ας θυμηθούμε κάποια σημειογραφία.

Πρώτον, αν όντως μετρούσαμε ολόκληρη την αποθήκη λαχανικών (αυτό το σύνολο στοιχείων ονομάζεται γενικός πληθυσμός), τότε θα γνωρίζαμε με όλη την ακρίβεια που έχουμε στη διάθεσή μας το μέσο βάρος ολόκληρης της παρτίδας. Ας το ονομάσουμε αυτό μέσο όρο Χ μέσος όρος .g en . - γενικός μέσος όρος. Γνωρίζουμε ήδη τι καθορίζεται πλήρως εάν η μέση τιμή και η απόκλιση είναι γνωστές . Αλήθεια, ενώ δεν είμαστε ούτε Χ μέσος όρος γενμικρό Δεν γνωρίζουμε τον γενικό πληθυσμό. Μπορούμε να πάρουμε μόνο ένα συγκεκριμένο δείγμα, να μετρήσουμε τις τιμές που χρειαζόμαστε και να υπολογίσουμε για αυτό το δείγμα τόσο τη μέση τιμή X μέσο όρο όσο και την τυπική απόκλιση S που επιλέξαμε.

Είναι γνωστό ότι εάν ο δειγματοληπτικός μας έλεγχος περιέχει μεγάλο αριθμό στοιχείων (συνήθως το n είναι μεγαλύτερο από 30) και λαμβάνονται πραγματικά τυχαίο, μετά s ο γενικός πληθυσμός δύσκολα θα διαφέρει από την επιλογή S ..

Επιπλέον, για την περίπτωση της κανονικής κατανομής μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους τύπους:

Με πιθανότητα 95%

Με πιθανότητα 99%

ΣΕ γενική εικόναμε πιθανότητα P (t)

Η σχέση μεταξύ της τιμής t και της τιμής πιθανότητας P (t), με την οποία θέλουμε να γνωρίζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης, μπορεί να ληφθεί από τον ακόλουθο πίνακα:

Έτσι, προσδιορίσαμε σε ποιο εύρος βρίσκεται η μέση τιμή για τον πληθυσμό (με δεδομένη πιθανότητα).

Αν δεν έχουμε αρκετά μεγάλο δείγμα, δεν μπορούμε να πούμε ότι ο πληθυσμός έχει s = S επιλέξτε Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση η εγγύτητα του δείγματος στην κανονική κατανομή είναι προβληματική. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε επίσης S select αντί s στον τύπο:

αλλά η τιμή του t για μια σταθερή πιθανότητα P(t) θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των στοιχείων στο δείγμα n. Όσο μεγαλύτερο είναι το n, τόσο πιο κοντά θα είναι το προκύπτον διάστημα εμπιστοσύνης στην τιμή που δίνεται από τον τύπο (1). Οι τιμές t σε αυτήν την περίπτωση λαμβάνονται από άλλον πίνακα ( Student's t-test), που παρουσιάζουμε παρακάτω:

Τιμές t-test του Student για πιθανότητα 0,95 και 0,99

Παράδειγμα 3.Επιλέχθηκαν τυχαία 30 άτομα από τους υπαλλήλους της εταιρείας. Σύμφωνα με το δείγμα, αποδείχθηκε ότι ο μέσος μισθός (ανά μήνα) είναι 30 χιλιάδες ρούβλια με τυπική απόκλιση 5 χιλιάδες ρούβλια. Προσδιορίστε τον μέσο μισθό στην εταιρεία με πιθανότητα 0,99.

Λύση:Με συνθήκη έχουμε n = 30, X μέσο. =30000, S=5000, P = 0,99. Για να βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αντιστοιχεί στο τεστ του Student. Από τον πίνακα για n = 30 και P = 0,99 βρίσκουμε t = 2,756, επομένως,

εκείνοι. περιζήτητος διαχειριστήςδιάστημα 27484< Х ср.ген < 32516.

Άρα, με πιθανότητα 0,99 μπορούμε να πούμε ότι το διάστημα (27484; 32516) περιέχει μέσα του τον μέσο μισθό στην εταιρεία.

Ελπίζουμε ότι θα χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο και δεν είναι απαραίτητο να έχετε ένα τραπέζι μαζί σας κάθε φορά. Οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν αυτόματα στο Excel. Ενώ βρίσκεστε στο αρχείο Excel, κάντε κλικ στο κουμπί fx στο επάνω μενού. Στη συνέχεια, επιλέξτε τον «στατιστικό» τύπο μεταξύ των συναρτήσεων και από την προτεινόμενη λίστα στο παράθυρο - STUDAR DISCOVER. Στη συνέχεια, στην προτροπή, τοποθετώντας τον κέρσορα στο πεδίο "πιθανότητα", εισαγάγετε την τιμή της αντίστροφης πιθανότητας (δηλαδή στην περίπτωσή μας, αντί για την πιθανότητα 0,95, πρέπει να πληκτρολογήσετε την πιθανότητα 0,05). Προφανώς, το υπολογιστικό φύλλο έχει σχεδιαστεί με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να απαντά στο ερώτημα πόσο πιθανό είναι να κάνουμε λάθος. Ομοίως, στο πεδίο Degree of Freedom, εισαγάγετε μια τιμή (n-1) για το δείγμα σας.

Στόχος– διδάσκουν στους μαθητές αλγόριθμους για τον υπολογισμό των διαστημάτων εμπιστοσύνης των στατιστικών παραμέτρων.

Κατά την στατιστική επεξεργασία δεδομένων, ο υπολογισμένος αριθμητικός μέσος όρος, ο συντελεστής διακύμανσης, ο συντελεστής συσχέτισης, τα κριτήρια διαφοράς και άλλες σημειακές στατιστικές θα πρέπει να λαμβάνουν ποσοτικά όρια εμπιστοσύνης, τα οποία υποδεικνύουν πιθανές διακυμάνσεις του δείκτη σε μικρότερες και μεγαλύτερες κατευθύνσεις εντός του διαστήματος εμπιστοσύνης.

Παράδειγμα 3.1 . Η κατανομή του ασβεστίου στον ορό του αίματος των πιθήκων, όπως καθορίστηκε προηγουμένως, χαρακτηρίζεται από τους ακόλουθους δείκτες δείγματος: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Απαιτείται να καθοριστεί το διάστημα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο ( ) με πιθανότητα εμπιστοσύνης Π = 0,95.

Ο γενικός μέσος όρος εντοπίζεται με μια ορισμένη πιθανότητα στο διάστημα:

, Οπου – δείγμα αριθμητικού μέσου όρου· t– Τεστ μαθητή· – σφάλμα του αριθμητικού μέσου όρου.

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα «Τιμές δοκιμής t του μαθητή» βρίσκουμε την τιμή με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95 και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας κ= 100-1 = 99. Είναι ίσο με 1,982. Μαζί με τις τιμές του αριθμητικού μέσου όρου και του στατιστικού σφάλματος, το αντικαθιστούμε στον τύπο:

ή 11,69
12,19

Έτσι, με πιθανότητα 95%, μπορούμε να πούμε ότι ο γενικός μέσος όρος αυτής της κανονικής κατανομής είναι μεταξύ 11,69 και 12,19 mg%.

Παράδειγμα 3.2 . Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση ( ) κατανομή του ασβεστίου στο αίμα των πιθήκων, εάν είναι γνωστό ότι
= 1,60, στο n = 100.

Για να λύσετε το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο:

Οπου – στατιστικό σφάλμα διασποράς.

Βρίσκουμε το σφάλμα διακύμανσης δειγματοληψίας χρησιμοποιώντας τον τύπο:
. Είναι ίσο με 0,11. Εννοια t- κριτήριο με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95 και αριθμό βαθμών ελευθερίας κ= 100–1 = 99 είναι γνωστό από το προηγούμενο παράδειγμα.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο και πάρουμε:

ή 1,38
1,82

Ακριβέστερα, το διάστημα εμπιστοσύνης της γενικής διακύμανσης μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας (chi-square) - Τεστ Pearson. Τα κρίσιμα σημεία για αυτό το κριτήριο δίνονται σε ειδικό πίνακα. Όταν χρησιμοποιείτε το κριτήριο Για την κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης, χρησιμοποιείται ένα επίπεδο σημαντικότητας δύο όψεων. Για το κατώτερο όριο, το επίπεδο σημαντικότητας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
, για την κορυφή -
. Για παράδειγμα, για το επίπεδο εμπιστοσύνης = 0,99= 0,010,= 0,990. Αντίστοιχα, σύμφωνα με τον πίνακα κατανομής των κρίσιμων τιμών , με υπολογισμένα επίπεδα εμπιστοσύνης και αριθμό βαθμών ελευθερίας κ= 100 – 1= 99, βρείτε τις τιμές
Και
. Παίρνουμε
ισούται με 135,80 και
ισούται με 70,06.

Για να βρείτε όρια εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση χρησιμοποιώντας Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους: για το κάτω όριο
, για το άνω όριο
. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν για τα δεδομένα του προβλήματος σε τύπους:
= 1,17;
= 2,26. Έτσι, με πιθανότητα εμπιστοσύνης Π= 0,99 ή 99% γενική διακύμανση θα βρίσκεται στην περιοχή από 1,17 έως 2,26 mg% συμπεριλαμβανομένων.

Παράδειγμα 3.3 . Μεταξύ 1000 σπόρων σιταριού από την παρτίδα που παραλήφθηκε στο ασανσέρ, βρέθηκαν 120 σπόροι μολυσμένοι με ερυσιβώτιο. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν τα πιθανά όρια της γενικής αναλογίας μολυσμένων σπόρων σε μια δεδομένη παρτίδα σίτου.

Συνιστάται να προσδιορίσετε τα όρια εμπιστοσύνης για τη γενική μετοχή για όλες τις πιθανές αξίες της χρησιμοποιώντας τον τύπο:

,

Οπου n – αριθμός παρατηρήσεων· Μ– απόλυτο μέγεθος μιας από τις ομάδες. t– κανονικοποιημένη απόκλιση.

Η αναλογία δείγματος των μολυσμένων σπόρων είναι
ή 12%. Με πιθανότητα σιγουριάς R= 95% κανονικοποιημένη απόκλιση ( t-Δοκιμασία μαθητή στο κ =
)t = 1,960.

Αντικαθιστούμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

Επομένως τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι ίσα με = 0,122–0,041 = 0,081 ή 8,1%. = 0,122 + 0,041 = 0,163, ή 16,3%.

Έτσι, με πιθανότητα εμπιστοσύνης 95% μπορούμε να πούμε ότι η γενική αναλογία των μολυσμένων σπόρων είναι μεταξύ 8,1 και 16,3%.

Παράδειγμα 3.4 . Ο συντελεστής διακύμανσης που χαρακτηρίζει τη διακύμανση του ασβεστίου (mg%) στον ορό αίματος των πιθήκων ήταν ίσος με 10,6%. Το μέγεθος του δείγματος n= 100. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική παράμετρο Βιογραφικό.

Όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον γενικό συντελεστή διακύμανσης Βιογραφικό καθορίζονται από τους παρακάτω τύπους:

Και
, Οπου κ ενδιάμεση τιμή που υπολογίζεται με τον τύπο
.

Γνωρίζοντας ότι με σιγουριά πιθανότητα R= 95% κανονικοποιημένη απόκλιση (Δοκιμή μαθητή στο κ =
)t = 1,960, ας υπολογίσουμε πρώτα την τιμή ΠΡΟΣ ΤΗΝ:

.

ή 9,3%

ή 12,3%

Έτσι, ο γενικός συντελεστής διακύμανσης με επίπεδο εμπιστοσύνης 95% κυμαίνεται από 9,3 έως 12,3%. Με επαναλαμβανόμενα δείγματα, ο συντελεστής διακύμανσης δεν θα υπερβαίνει το 12,3% και δεν θα είναι κάτω από 9,3% σε 95 περιπτώσεις από τις 100.

Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο:

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

1. Το μέσο ποσοστό λίπους στο γάλα κατά τη διάρκεια της γαλουχίας των διασταυρούμενων αγελάδων Kholmogory ήταν ως εξής: 3,4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. Καθορίστε διαστήματα εμπιστοσύνης για το γενικό μέσο όρο στο επίπεδο εμπιστοσύνης 95% (20 μονάδες).

2. Σε 400 υβριδικά φυτά σίκαλης, τα πρώτα άνθη εμφανίστηκαν κατά μέσο όρο 70,5 ημέρες μετά τη σπορά. Η τυπική απόκλιση ήταν 6,9 ημέρες. Προσδιορίστε το σφάλμα του μέσου όρου και των διαστημάτων εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο επίπεδο σημαντικότητας W= 0,05 και W= 0,01 (25 βαθμοί).

3. Κατά τη μελέτη του μήκους των φύλλων 502 δειγμάτων φράουλας κήπου, ελήφθησαν τα ακόλουθα δεδομένα: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 εκ. Προσδιορίστε τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο αριθμητικό πληθυσμό με επίπεδα σημαντικότητας 0,01. 0,02; 0,05. (25 βαθμοί).

4. Σε μια μελέτη 150 ενηλίκων ανδρών, το μέσο ύψος ήταν 167 cm, και σ = 6 εκ. Ποια είναι τα όρια του γενικού μέσου όρου και της γενικής διασποράς με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,99 και 0,95; (25 βαθμοί).

5. Η κατανομή του ασβεστίου στον ορό του αίματος των πιθήκων χαρακτηρίζεται από τους ακόλουθους επιλεκτικούς δείκτες: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τον γενικό μέσο όρο αυτής της κατανομής. Υπολογίστε τον συντελεστή διακύμανσης (25 μονάδες).

6. Μελετήθηκε η συνολική περιεκτικότητα σε άζωτο στο πλάσμα του αίματος αλμπίνο αρουραίων σε ηλικία 37 ετών και 180 ημερών. Τα αποτελέσματα εκφράζονται σε γραμμάρια ανά 100 cm 3 πλάσματος. Στην ηλικία των 37 ημερών, 9 αρουραίοι είχαν: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. Στην ηλικία των 180 ημερών, 8 αρουραίοι είχαν: 1,20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1,07; 1.13; 1.12. Ορίστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη διαφορά σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,95 (50 βαθμοί).

7. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση της κατανομής του ασβεστίου (mg%) στον ορό αίματος των πιθήκων, εάν για αυτήν την κατανομή το μέγεθος του δείγματος είναι n = 100, στατιστικό σφάλμα της διακύμανσης του δείγματος μικρό σ 2 = 1,60 (40 βαθμοί).

8. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% για τη γενική διακύμανση της κατανομής 40 σταχυώνων σίτου κατά μήκος (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 βαθμοί).

9. Το κάπνισμα θεωρείται ο κύριος παράγοντας προδιάθεσης για αποφρακτικές πνευμονοπάθειες. Το παθητικό κάπνισμα δεν θεωρείται τέτοιος παράγοντας. Οι επιστήμονες αμφισβήτησαν την αβλαβή του παθητικού καπνίσματος και εξέτασαν τη βατότητα των αεραγωγών μη καπνιστών, παθητικών και ενεργών καπνιστών. Για να χαρακτηρίσουμε την κατάσταση της αναπνευστικής οδού, λάβαμε έναν από τους δείκτες της λειτουργίας εξωτερικής αναπνοής - τον μέγιστο ογκομετρικό ρυθμό ροής της μέσης εκπνοής. Η μείωση αυτού του δείκτη είναι σημάδι απόφραξης των αεραγωγών. Τα δεδομένα της έρευνας φαίνονται στον πίνακα.

	Αριθμός ατόμων που εξετάστηκαν	Μέγιστος ρυθμός ροής μέσης εκπνοής, l/s
			Τυπική απόκλιση
Μη καπνιστές
εργασία σε χώρο μη καπνιστών
δουλεύοντας σε ένα καπνιστό δωμάτιο
Κάπνισμα
οι καπνιστές όχι μεγάλος αριθμόςτσιγάρα
μέσος αριθμός καπνιστών
καπνίζουν μεγάλο αριθμό τσιγάρων

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα, βρείτε διαστήματα εμπιστοσύνης 95% για τον συνολικό μέσο όρο και τη συνολική διακύμανση για κάθε ομάδα. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ των ομάδων; Παρουσιάστε τα αποτελέσματα γραφικά (25 βαθμοί).

10. Προσδιορίστε τα όρια των διαστημάτων εμπιστοσύνης 95% και 99% για τη γενική διακύμανση του αριθμού των χοιριδίων σε 64 θηράματα, εάν το στατιστικό σφάλμα της διακύμανσης του δείγματος μικρό σ 2 = 8,25 (30 βαθμοί).

11. Είναι γνωστό ότι το μέσο βάρος των κουνελιών είναι 2,1 κιλά. Προσδιορίστε τα όρια των διαστημάτων εμπιστοσύνης 95% και 99% για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο n= 30, σ = 0,56 κιλά (25 βαθμοί).

12. Η περιεκτικότητα σε κόκκους του στάχυ μετρήθηκε για 100 στάχυα ( Χ), μήκος αυτιού ( Υ) και τη μάζα των σιτηρών στο στάχυ ( Ζ). Βρείτε διαστήματα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση στο Π 1 = 0,95, Π 2 = 0,99, Π 3 = 0,999 αν = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 βαθμοί).

13. Σε 100 τυχαία επιλεγμένα στάχυα χειμερινού σίτου μετρήθηκε ο αριθμός των σταχυών. Ο πληθυσμός του δείγματος χαρακτηρίστηκε από τους ακόλουθους δείκτες: = 15 στάχυα και σ = 2,28 τεμ. Προσδιορίστε με ποια ακρίβεια λήφθηκε το μέσο αποτέλεσμα ( ) και κατασκευάστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη διακύμανση σε επίπεδα σημαντικότητας 95% και 99% (30 μονάδες).

14. Αριθμός νευρώσεων σε κελύφη απολιθωμάτων μαλακίων Ορθαμπονίτες καλλίγραμμα:

Είναι γνωστό ότι n = 19, σ = 4,25. Προσδιορίστε τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο και τη γενική διακύμανση σε επίπεδο σημαντικότητας W = 0,01 (25 βαθμοί).

15. Για τον προσδιορισμό της απόδοσης γάλακτος σε μια εμπορική γαλακτοκομική φάρμα, προσδιορίστηκε η παραγωγικότητα 15 αγελάδων καθημερινά. Σύμφωνα με στοιχεία για το έτος, κάθε αγελάδα έδινε κατά μέσο όρο την ακόλουθη ποσότητα γάλακτος την ημέρα (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; τριάντα; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Κατασκευάστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση και τον αριθμητικό μέσο όρο. Μπορούμε να περιμένουμε ότι η μέση ετήσια απόδοση γάλακτος ανά αγελάδα θα είναι 10.000 λίτρα; (50 βαθμοί).

16. Για τον προσδιορισμό της μέσης απόδοσης σιταριού για την αγροτική επιχείρηση, πραγματοποιήθηκε κούρεμα σε δοκιμαστικά αγροτεμάχια 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 και 2 εκταρίων. Η παραγωγικότητα (c/ha) από τα αγροτεμάχια ήταν 39,4. 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39.3; 41,6; 33; 42; 29 αντίστοιχα. Κατασκευάστε διαστήματα εμπιστοσύνης για τη γενική διακύμανση και τον αριθμητικό μέσο όρο. Μπορούμε να περιμένουμε ότι η μέση γεωργική απόδοση θα είναι 42 c/ha; (50 βαθμοί).

Μία από τις μεθόδους επίλυσης στατιστικών προβλημάτων είναι ο υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης. Χρησιμοποιείται ως προτιμώμενη εναλλακτική λύση στην εκτίμηση σημείου όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό. Πρέπει να σημειωθεί ότι η ίδια η διαδικασία υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι αρκετά περίπλοκη. Αλλά τα εργαλεία του προγράμματος Excel σάς επιτρέπουν να το απλοποιήσετε κάπως. Ας μάθουμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση διαστήματος διαφόρων στατιστικών μεγεθών. Το κύριο καθήκον αυτού του υπολογισμού είναι να απαλλαγούμε από τις αβεβαιότητες της σημειακής εκτίμησης.

Στο Excel, υπάρχουν δύο κύριες επιλογές για την εκτέλεση υπολογισμών χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο: όταν η διακύμανση είναι γνωστή και πότε είναι άγνωστη. Στην πρώτη περίπτωση, η συνάρτηση χρησιμοποιείται για υπολογισμούς ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ.ΚΑΝΟΝκαι στο δεύτερο - ΕΜΠΙΣΤΕΥΟΣ.ΜΑΘΗΤΗΣ.

Μέθοδος 1: Λειτουργία ΚΑΝΟΝΑΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Χειριστής ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ.ΚΑΝΟΝ, που ανήκει στη στατιστική ομάδα συναρτήσεων, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο Excel 2010. Οι παλαιότερες εκδόσεις αυτού του προγράμματος χρησιμοποιούν το ανάλογό του ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ. Ο σκοπός αυτού του τελεστή είναι να υπολογίσει ένα κανονικά κατανεμημένο διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο όρο του πληθυσμού.

Η σύνταξή του είναι η εξής:

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;size)

"Αλφα"— ένα όρισμα που δείχνει το επίπεδο σημαντικότητας που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του επιπέδου εμπιστοσύνης. Το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι ίσο με την ακόλουθη έκφραση:

(1-"Alpha")*100

"Τυπική απόκλιση"- Αυτό είναι ένα επιχείρημα, η ουσία του οποίου είναι ξεκάθαρη από το όνομα. Αυτή είναι η τυπική απόκλιση του προτεινόμενου δείγματος.

"Μέγεθος"— όρισμα που καθορίζει το μέγεθος του δείγματος.

Όλα τα επιχειρήματα αυτού του χειριστήείναι υποχρεωτικά.

Λειτουργία ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗέχει ακριβώς τα ίδια επιχειρήματα και δυνατότητες με το προηγούμενο. Η σύνταξή του είναι:

TRUST (άλφα, standard_off, μέγεθος)

Όπως μπορείτε να δείτε, οι διαφορές είναι μόνο στο όνομα του χειριστή. Καθορισμένη λειτουργίαγια λόγους συμβατότητας, αφήνεται στο Excel 2010 και νεότερες εκδόσεις σε ειδική κατηγορία "Συμβατότητα". Σε εκδόσεις του Excel 2007 και παλαιότερες, υπάρχει στην κύρια ομάδα στατιστικών τελεστών.

Το όριο διαστήματος εμπιστοσύνης προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

X+(-)ΚΑΝΟΝΑΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Οπου Χείναι η μέση τιμή δείγματος, η οποία βρίσκεται στη μέση του επιλεγμένου εύρους.

Τώρα ας δούμε πώς να υπολογίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης συγκεκριμένο παράδειγμα. Πραγματοποιήθηκαν 12 δοκιμές, με αποτέλεσμα διαφορετικά αποτελέσματα που αναφέρονται στον πίνακα. Αυτή είναι η ολότητά μας. Η τυπική απόκλιση είναι 8. Πρέπει να υπολογίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης στο επίπεδο εμπιστοσύνης 97%.

1. Επιλέξτε το κελί όπου θα εμφανίζεται το αποτέλεσμα της επεξεργασίας δεδομένων. Κάντε κλικ στο κουμπί "Εισαγωγή συνάρτησης".



2. Εμφανίζεται Οδηγός λειτουργιών. Μετάβαση στην κατηγορία "Στατιστικός"και επισημάνετε το όνομα "TRUST.NORM". Μετά από αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



3. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων. Τα πεδία του αντιστοιχούν φυσικά στα ονόματα των ορισμάτων.
   Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πρώτο πεδίο - "Αλφα". Εδώ θα πρέπει να αναφέρουμε το επίπεδο σημασίας. Όπως θυμόμαστε, το επίπεδο εμπιστοσύνης μας είναι 97%. Ταυτόχρονα, είπαμε ότι υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο:

   (1-επίπεδο εμπιστοσύνης)/100

   Δηλαδή, αντικαθιστώντας την τιμή, παίρνουμε:

   Με απλούς υπολογισμούς διαπιστώνουμε ότι το επιχείρημα "Αλφα"ισοδυναμεί 0,03 . Εισαγω δεδομένη αξίαστο χωράφι.

   Όπως είναι γνωστό, κατά συνθήκη η τυπική απόκλιση είναι ίση με 8 . Επομένως, στο χωράφι "Τυπική απόκλιση"απλά σημειώστε αυτόν τον αριθμό.

   Στο χωράφι "Μέγεθος"πρέπει να εισαγάγετε τον αριθμό των στοιχείων δοκιμής που εκτελέστηκαν. Όπως θυμόμαστε, τους 12 . Αλλά για να αυτοματοποιήσουμε τον τύπο και να μην τον επεξεργαστούμε κάθε φορά που διεξάγουμε μια νέα δοκιμή, ας ορίσουμε αυτήν την τιμή όχι με έναν συνηθισμένο αριθμό, αλλά χρησιμοποιώντας τον τελεστή ΕΛΕΓΧΟΣ. Λοιπόν, ας τοποθετήσουμε τον κέρσορα στο πεδίο "Μέγεθος"και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στο τρίγωνο, το οποίο βρίσκεται στα αριστερά της γραμμής τύπων.

   Εμφανίζεται μια λίστα με τις πρόσφατα χρησιμοποιημένες λειτουργίες. Εάν ο χειριστής ΕΛΕΓΧΟΣέχει χρησιμοποιηθεί πρόσφατα από εσάς, θα πρέπει να είναι σε αυτήν τη λίστα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει απλώς να κάνετε κλικ στο όνομά του. Διαφορετικά, αν δεν το βρείτε, τότε πηγαίνετε στο θέμα "Άλλες λειτουργίες...".



4. Εμφανίζεται ένα ήδη γνωστό Οδηγός λειτουργιών. Ας επιστρέψουμε ξανά στην ομάδα "Στατιστικός". Εκεί τονίζουμε το όνομα "ΕΛΕΓΧΟΣ". Κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



5. Εμφανίζεται το παράθυρο ορισμάτων για την παραπάνω δήλωση. Αυτή η συνάρτηση έχει σχεδιαστεί για να υπολογίζει τον αριθμό των κελιών σε μια καθορισμένη περιοχή που περιέχουν αριθμητικές τιμές. Η σύνταξή του είναι η εξής:

   COUNT(τιμή1,τιμή2,…)

   Ομάδα επιχειρημάτων "Αξίες"είναι μια αναφορά στο εύρος στο οποίο θέλετε να υπολογίσετε τον αριθμό των κελιών που είναι γεμάτα με αριθμητικά δεδομένα. Μπορεί να υπάρχουν έως και 255 τέτοια επιχειρήματα συνολικά, αλλά στην περίπτωσή μας χρειαζόμαστε μόνο ένα.

   Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Τιμή 1"και, κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, επιλέξτε στο φύλλο την περιοχή που περιέχει τη συλλογή μας. Στη συνέχεια, η διεύθυνσή του θα εμφανιστεί στο πεδίο. Κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



6. Μετά από αυτό, η εφαρμογή θα εκτελέσει τον υπολογισμό και θα εμφανίσει το αποτέλεσμα στο κελί όπου βρίσκεται. Στη συγκεκριμένη περίπτωσή μας, ο τύπος φαινόταν ως εξής:

   ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ(0.03,8, COUNT(B2:B13))

   Το συνολικό αποτέλεσμα των υπολογισμών ήταν 5,011609 .



7. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Όπως θυμόμαστε, το όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης υπολογίζεται προσθέτοντας και αφαιρώντας το αποτέλεσμα υπολογισμού από τον μέσο όρο του δείγματος ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ.ΚΑΝΟΝ. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζονται τα δεξιά και τα αριστερά όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης αντίστοιχα. Ο ίδιος ο μέσος όρος του δείγματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τελεστή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ.

   Αυτός ο τελεστής έχει σχεδιαστεί για να υπολογίζει τον αριθμητικό μέσο όρο μιας επιλεγμένης περιοχής αριθμών. Έχει την ακόλουθη σχετικά απλή σύνταξη:

   AVERAGE (αριθμός 1, αριθμός 2,…)

   Διαφωνία "Αριθμός"μπορεί να είναι είτε ξεχωριστά αριθμητική αξίακαι έναν σύνδεσμο προς κελιά ή ακόμα και ολόκληρες περιοχές που τα περιέχουν.

   Επομένως, επιλέξτε το κελί στο οποίο θα εμφανιστεί ο υπολογισμός της μέσης τιμής και κάντε κλικ στο κουμπί "Εισαγωγή συνάρτησης".



8. Ανοίγει Οδηγός λειτουργιών. Επιστρέφοντας στην κατηγορία "Στατιστικός"και επιλέξτε ένα όνομα από τη λίστα "ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ". Όπως πάντα, κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



9. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων. Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Νούμερο 1"και κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, επιλέξτε ολόκληρο το εύρος τιμών. Αφού εμφανιστούν οι συντεταγμένες στο πεδίο, κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



10. Μετά από αυτό ΜΕΣΗ ΤΙΜΗεμφανίζει το αποτέλεσμα υπολογισμού σε ένα στοιχείο φύλλου.



11. Υπολογίζουμε το σωστό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα ξεχωριστό κελί και βάλτε το σύμβολο «=» και προσθέστε τα περιεχόμενα των στοιχείων του φύλλου στα οποία βρίσκονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών συνάρτησης ΜΕΣΗ ΤΙΜΗΚαι ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ.ΚΑΝΟΝ. Για να εκτελέσετε τον υπολογισμό, πατήστε το κουμπί Εισαγω. Στην περίπτωσή μας, έχουμε τον ακόλουθο τύπο:

    Αποτέλεσμα υπολογισμού: 6,953276



12. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε το αριστερό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης, μόνο αυτή τη φορά από το αποτέλεσμα του υπολογισμού ΜΕΣΗ ΤΙΜΗαφαιρέστε το αποτέλεσμα του υπολογισμού του τελεστή ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗ.ΚΑΝΟΝ. Ο τύπος που προκύπτει για το παράδειγμά μας είναι του ακόλουθου τύπου:

    Αποτέλεσμα υπολογισμού: -3,06994



13. Προσπαθήσαμε να περιγράψουμε λεπτομερώς όλα τα βήματα για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, οπότε περιγράψαμε λεπτομερώς κάθε τύπο. Αλλά μπορείτε να συνδυάσετε όλες τις ενέργειες σε έναν τύπο. Ο υπολογισμός του δεξιού ορίου του διαστήματος εμπιστοσύνης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

    AVERAGE(B2:B13)+CONFIDENCE.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))



14. Ένας παρόμοιος υπολογισμός για το αριστερό περίγραμμα θα μοιάζει με αυτό:

    AVERAGE(B2:B13)-CONFIDENCE.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))

Μέθοδος 2: Λειτουργία TRUST.STUDENT

Επιπλέον, το Excel έχει μια άλλη λειτουργία που σχετίζεται με τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης - ΕΜΠΙΣΤΕΥΟΣ.ΜΑΘΗΤΗΣ. Εμφανίστηκε μόνο στο Excel 2010. Αυτός ο τελεστής υπολογίζει το διάστημα εμπιστοσύνης πληθυσμού χρησιμοποιώντας την κατανομή Student. Είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείται όταν η διακύμανση και, κατά συνέπεια, η τυπική απόκλιση είναι άγνωστες. Η σύνταξη του τελεστή είναι:

CONFIDENCE.STUDENT(alpha,standard_off, size)

Όπως μπορείτε να δείτε, τα ονόματα των χειριστών παρέμειναν αμετάβλητα σε αυτή την περίπτωση.

Ας δούμε πώς να υπολογίσουμε τα όρια ενός διαστήματος εμπιστοσύνης με άγνωστη τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του ίδιου πληθυσμού που εξετάσαμε στην προηγούμενη μέθοδο. Ας πάρουμε το επίπεδο εμπιστοσύνης όπως την τελευταία φορά στο 97%.

1. Επιλέξτε το κελί στο οποίο θα πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός. Κάντε κλικ στο κουμπί "Εισαγωγή συνάρτησης".



2. Στα ανοιχτά Οδηγός λειτουργιώνμεταβείτε στην κατηγορία "Στατιστικός". Επιλέξτε ένα όνομα "ΕΜΠΙΣΤΟΣ ΜΑΘΗΤΗΣ". Κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



3. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων για τον καθορισμένο τελεστή.

   Στο χωράφι "Αλφα", δεδομένου ότι το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι 97%, σημειώνουμε τον αριθμό 0,03 . Για δεύτερη φορά δεν θα σταθούμε στις αρχές υπολογισμού αυτής της παραμέτρου.

   Μετά από αυτό, τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Τυπική απόκλιση". Αυτή τη φορά αυτός ο δείκτης είναι άγνωστος σε εμάς και πρέπει να υπολογιστεί. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας μια ειδική λειτουργία - STDEV.V. Για να ανοίξετε το παράθυρο αυτού του τελεστή, κάντε κλικ στο τρίγωνο στα αριστερά της γραμμής τύπων. Εάν δεν βρούμε το επιθυμητό όνομα στη λίστα που ανοίγει, τότε μεταβείτε στο αντικείμενο "Άλλες λειτουργίες...".



4. Ξεκινά Οδηγός λειτουργιών. Μετακίνηση στην κατηγορία "Στατιστικός"και σημειώστε το όνομα σε αυτό "STDEV.B". Στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



5. Ανοίγει το παράθυρο ορισμάτων. Έργο χειριστή STDEV.Vείναι ο ορισμός τυπική απόκλισηκατά τη δειγματοληψία. Η σύνταξή του μοιάζει με αυτό:

   ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ.Β(αριθμός1;αριθμός2;…)

   Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι το επιχείρημα "Αριθμός"είναι η διεύθυνση του στοιχείου επιλογής. Εάν η επιλογή τοποθετηθεί σε έναν μόνο πίνακα, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μόνο ένα όρισμα για να παράσχετε μια σύνδεση σε αυτό το εύρος.

   Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Νούμερο 1"και, όπως πάντα, κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, επιλέξτε τη συλλογή. Αφού οι συντεταγμένες είναι στο πεδίο, μην βιαστείτε να πατήσετε το κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ", αφού το αποτέλεσμα θα είναι λανθασμένο. Πρώτα πρέπει να επιστρέψουμε στο παράθυρο ορισμάτων χειριστή ΕΜΠΙΣΤΕΥΟΣ.ΜΑΘΗΤΗΣγια να προσθέσετε το τελικό επιχείρημα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο αντίστοιχο όνομα στη γραμμή τύπων.



6. Το παράθυρο ορισμάτων για την ήδη γνωστή συνάρτηση ανοίγει ξανά. Τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Μέγεθος". Πάλι, κάντε κλικ στο τρίγωνο που γνωρίζουμε ήδη για να μεταβείτε στην επιλογή τελεστών. Όπως καταλαβαίνετε, χρειαζόμαστε ένα όνομα "ΕΛΕΓΧΟΣ". Εφόσον χρησιμοποιήσαμε αυτή τη συνάρτηση στους υπολογισμούς της προηγούμενης μεθόδου, υπάρχει σε αυτήν τη λίστα, οπότε απλώς κάντε κλικ σε αυτήν. Εάν δεν το βρείτε, ακολουθήστε τον αλγόριθμο που περιγράφεται στην πρώτη μέθοδο.



7. Μόλις μπείτε στο παράθυρο ορισμάτων ΕΛΕΓΧΟΣ, τοποθετήστε τον κέρσορα στο πεδίο "Νούμερο 1"και με το κουμπί του ποντικιού πατημένο, επιλέξτε τη συλλογή. Στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "ΕΝΤΑΞΕΙ".



8. Μετά από αυτό, το πρόγραμμα εκτελεί έναν υπολογισμό και εμφανίζει την τιμή του διαστήματος εμπιστοσύνης.



9. Για να καθορίσουμε τα όρια, θα χρειαστεί πάλι να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του δείγματος. Αλλά, δεδομένου ότι ο αλγόριθμος υπολογισμού χρησιμοποιώντας τον τύπο ΜΕΣΗ ΤΙΜΗτο ίδιο όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, και ακόμη και το αποτέλεσμα δεν έχει αλλάξει, δεν θα σταθούμε σε αυτό λεπτομερώς για δεύτερη φορά.



10. Πρόσθεση των αποτελεσμάτων υπολογισμού ΜΕΣΗ ΤΙΜΗΚαι ΕΜΠΙΣΤΕΥΟΣ.ΜΑΘΗΤΗΣ, παίρνουμε το σωστό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης.



11. Αφαίρεση από τα αποτελέσματα υπολογισμού του τελεστή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗαποτέλεσμα υπολογισμού ΕΜΠΙΣΤΕΥΟΣ.ΜΑΘΗΤΗΣ, έχουμε το αριστερό όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης.



12. Εάν ο υπολογισμός είναι γραμμένος σε έναν τύπο, τότε ο υπολογισμός του δεξιού ορίου στην περίπτωσή μας θα μοιάζει με αυτό:

    AVERAGE(B2:B13)+CONFIDENCE.STUDENT(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))



13. Κατά συνέπεια, ο τύπος για τον υπολογισμό του αριστερού περιγράμματος θα μοιάζει με αυτό:

    AVERAGE(B2:B13)-CONFIDENCE.STUDENT(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))

Όπως μπορείτε να δείτε, τα εργαλεία Προγράμματα Excelκαθιστούν δυνατή τη σημαντική απλοποίηση του υπολογισμού του διαστήματος εμπιστοσύνης και των ορίων του. Για τους σκοπούς αυτούς, χρησιμοποιούνται ξεχωριστοί τελεστές για δείγματα των οποίων η διακύμανση είναι γνωστή και άγνωστη.