Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας ειδικός κλάδος των μαθηματικών που μελετάται μόνο από φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές εξοικείωσης με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακριτή διασπορά τυχαία μεταβλητή? Τότε αυτό το θέμα θα είναι πολύ ενδιαφέρον για εσάς. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα πιο σημαντικά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣαυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Ας θυμηθούμε τα βασικά

Ακόμα κι αν θυμάστε τις πιο απλές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, μην παραμελήσετε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το θέμα είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.

Έτσι, συμβαίνει κάποιο τυχαίο γεγονός, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που αναλαμβάνουμε, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά συμβαίνουν πιο συχνά, άλλα λιγότερο συχνά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η αναλογία του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς συνολικός αριθμόςδυνατόν. Μόνο γνωρίζοντας τον κλασικό ορισμό αυτής της έννοιας μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε μαθηματική προσδοκίακαι διακυμάνσεις συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Μέση τιμή

Πίσω στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το βασικό για εμάς είναι αυτή τη στιγμήείναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής.

Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να συνοψίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Ας έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι ίσο με 45, και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.

Διασπορά

Με επιστημονικούς όρους, η διασπορά είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των λαμβανόμενων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο. Συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του υπάρχοντος αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, αθροίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.

Η διασπορά έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμόμαστε για να χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, όταν αυξάνεται μια τυχαία μεταβλητή κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές στο τετράγωνο (δηλαδή X*X). Δεν συμβαίνει ποτέ λιγότερο από το μηδένκαι δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση τιμών κατά ίση τιμή προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επιπλέον, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Ας υποθέσουμε ότι εκτελέσαμε 21 πειράματα και πήραμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε το καθένα από αυτά 1, 2, 2, 3, 4, 4 και 5 φορές, αντίστοιχα. Με τι θα είναι ίση η διακύμανση;

Αρχικά, ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Διαιρέστε το με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρέστε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίστε κάθε τιμή και προσθέστε τα αποτελέσματα μαζί. Το αποτέλεσμα είναι 12. Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Αλλά υπάρχει ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.

Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων

Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να περιέχει έναν από τους δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ή ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία (που είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα). Από τι εξαρτάται αυτό;

Αν ο αριθμός των δοκιμών μετριέται σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε N στον παρονομαστή If σε μονάδες, τότε N-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν το σύνορο αρκετά συμβολικά: σήμερα περνάει από τον αριθμό 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το ποσό με N-1 και αν περισσότερο, τότε με N.

Εργο

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος της διακύμανσης και της μαθηματικής προσδοκίας. Πήραμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με το Ν ή το Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2 = 2.

Αναμενόμενη αξία

Ας περάσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η τιμή που προκύπτει, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρο το πρόβλημα, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα λαμβάνονται υπόψη σε αυτό.

Ο τύπος για τη μαθηματική προσδοκία είναι αρκετά απλός: παίρνουμε το αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια δεν είναι δύσκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών είναι ίσο με την αναμενόμενη τιμή του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Δεν σας επιτρέπει κάθε ποσότητα στη θεωρία πιθανοτήτων να εκτελέσετε τέτοιες απλές πράξεις. Ας πάρουμε το πρόβλημα και ας υπολογίσουμε τη σημασία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Εξάλλου, μας αποσπούσε η θεωρία - ήρθε η ώρα να ασκηθούμε.

Ένα ακόμη παράδειγμα

Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 τύπους αποτελεσμάτων - αριθμούς από το 0 έως το 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστά. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0,1, κλπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε δημοτικό σχολείο: 50/10 = 5.

Τώρα ας μετατρέψουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων «σε κομμάτια» για να διευκολύνουμε την μέτρηση. Λαμβάνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Από κάθε τιμή που λαμβάνεται, αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο, μετά τον οποίο τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που λαμβάνονται. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Επόμενο: (-4) * (-4) = 16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού τα αθροίσετε όλα θα πάρετε 90.

Ας συνεχίσουμε να υπολογίζουμε τη διακύμανση και την αναμενόμενη τιμή διαιρώντας το 90 με το N. Γιατί επιλέγουμε το N αντί του N-1; Σωστό, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10 = 9. Πήραμε τη διακύμανση. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα απλό λάθος στους υπολογισμούς. Τσεκάρετε ξανά αυτό που γράψατε και μάλλον όλα θα μπουν στη θέση τους.

Τέλος, θυμηθείτε τον τύπο για τη μαθηματική προσδοκία. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο μια απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η αναμενόμενη τιμή θα είναι 5,48. Ας θυμηθούμε μόνο τον τρόπο εκτέλεσης λειτουργιών, χρησιμοποιώντας τα πρώτα στοιχεία ως παράδειγμα: 0*0.02 + 1*0.1... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.

Απόκλιση

Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Συμβολίζεται είτε με τα λατινικά γράμματα sd, είτε με το ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η ιδέα δείχνει πόσο κατά μέσο όρο αποκλίνουν οι τιμές από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε Τετραγωνική ρίζααπό τη διασπορά.

Εάν σχεδιάζετε ένα γράφημα κανονικής κατανομής και θέλετε να το δείτε απευθείας σε αυτό τετραγωνική απόκλιση, αυτό μπορεί να γίνει σε διάφορα στάδια. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Το μέγεθος του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα αντιπροσωπεύει την τυπική απόκλιση.

Λογισμικό

Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και των παραδειγμάτων που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και της μαθηματικής προσδοκίας δεν είναι η απλούστερη διαδικασία από αριθμητική άποψη. Για να μην χάνουμε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στην τριτοβάθμια εκπαίδευση Εκπαιδευτικά ιδρύματα- λέγεται "R". Διαθέτει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, καθορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Τελικά

Η διασπορά και η μαθηματική προσδοκία είναι χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, συζητούνται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του θέματος. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα λαμβάνουν κακούς βαθμούς στο τέλος της συνεδρίας, γεγονός που τους στερεί υποτροφίες.

Εξασκηθείτε για τουλάχιστον μία εβδομάδα, μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας εργασίες παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ στη θεωρία πιθανοτήτων, θα μπορείτε να αντεπεξέλθετε στα παραδείγματα χωρίς ξένες συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα μέτρο της εξάπλωσης των τιμών αυτής της μεταβλητής. Η χαμηλή διακύμανση σημαίνει ότι οι τιμές συγκεντρώνονται κοντά. Η μεγάλη διασπορά υποδηλώνει ισχυρή εξάπλωση των τιμών. Η έννοια της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιείται στη στατιστική. Για παράδειγμα, εάν συγκρίνετε τη διακύμανση δύο τιμών (όπως μεταξύ ανδρών και γυναικών ασθενών), μπορείτε να ελέγξετε τη σημασία μιας μεταβλητής. Η διακύμανση χρησιμοποιείται επίσης κατά τη δημιουργία στατιστικών μοντέλων, καθώς η χαμηλή διακύμανση μπορεί να είναι σημάδι ότι προσαρμόζετε υπερβολικά τις τιμές.

Βήματα

Υπολογισμός διακύμανσης δείγματος

  1. Καταγράψτε τις τιμές του δείγματος.Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι στατιστικολόγοι έχουν πρόσβαση μόνο σε δείγματα συγκεκριμένων πληθυσμών. Για παράδειγμα, κατά κανόνα, οι στατιστικολόγοι δεν αναλύουν το κόστος διατήρησης του συνόλου όλων των αυτοκινήτων στη Ρωσία - αναλύουν ένα τυχαίο δείγμα αρκετών χιλιάδων αυτοκινήτων. Ένα τέτοιο δείγμα θα βοηθήσει στον προσδιορισμό του μέσου κόστους ενός αυτοκινήτου, αλλά, πιθανότατα, η προκύπτουσα αξία θα απέχει πολύ από την πραγματική.

    • Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε τον αριθμό των ψωμιών που πωλήθηκαν σε ένα καφέ σε διάστημα 6 ημερών, με τυχαία σειρά. Το δείγμα μοιάζει με αυτό: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Αυτό είναι δείγμα, όχι πληθυσμός, επειδή δεν έχουμε δεδομένα για ψωμάκια που πωλούνται για κάθε μέρα που είναι ανοιχτό το καφέ.
    • Εάν σας δοθεί ένας πληθυσμός αντί για ένα δείγμα τιμών, συνεχίστε στην επόμενη ενότητα.

  2. Γράψτε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος.Η διασπορά είναι ένα μέτρο της διασποράς των τιμών μιας ορισμένης ποσότητας. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή διακύμανσης στο μηδέν, τόσο πιο κοντά ομαδοποιούνται οι τιμές. Όταν εργάζεστε με ένα δείγμα τιμών, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο για να υπολογίσετε τη διακύμανση:

    • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
    • s 2 (\displaystyle s^(2))– αυτό είναι διασπορά. Η διασπορά μετριέται σε τετράγωνες μονάδες.
    • x i (\displaystyle x_(i))– κάθε τιμή στο δείγμα.
    • x i (\displaystyle x_(i))πρέπει να αφαιρέσετε το x, να το τετραγωνίσετε και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
    • x̅ – μέσος όρος δείγματος (μέσος όρος δείγματος).
    • n – αριθμός τιμών στο δείγμα.

  3. Υπολογίστε τη μέση τιμή του δείγματος.Συμβολίζεται ως x̅. Ο μέσος όρος του δείγματος υπολογίζεται ως απλός αριθμητικός μέσος όρος: αθροίστε όλες τις τιμές στο δείγμα και, στη συνέχεια, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο δείγμα.

    • Στο παράδειγμά μας, προσθέστε τις τιμές στο δείγμα: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
      Τώρα διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο δείγμα (στο παράδειγμά μας υπάρχουν 6): 84 ÷ 6 = 14.
      Μέσος όρος δείγματος x = 14.
    • Ο μέσος όρος του δείγματος είναι η κεντρική τιμή γύρω από την οποία κατανέμονται οι τιμές στο δείγμα. Εάν οι τιμές στο δείγμα συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή του δείγματος, τότε η απόκλιση είναι μικρή. διαφορετικά η απόκλιση είναι μεγάλη.

  4. Αφαιρέστε τη μέση τιμή του δείγματος από κάθε τιμή στο δείγμα.Τώρα υπολογίστε τη διαφορά x i (\displaystyle x_(i))- x̅, όπου x i (\displaystyle x_(i))– κάθε τιμή στο δείγμα. Κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει υποδεικνύει τον βαθμό απόκλισης μιας συγκεκριμένης τιμής από τη μέση τιμή του δείγματος, δηλαδή πόσο απέχει αυτή η τιμή από τη μέση τιμή του δείγματος.

    • Στο παράδειγμά μας:
      x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
      x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
      x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
      x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
      x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
      x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
    • Η ορθότητα των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται είναι εύκολο να ελεγχθεί, αφού το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σχετίζεται με τον ορισμό του μέσου όρου, καθώς οι αρνητικές τιμές (αποστάσεις από τον μέσο όρο σε μικρότερες τιμές) αντισταθμίζονται πλήρως από θετικές τιμές (αποστάσεις από τον μέσο όρο σε μεγαλύτερες τιμές).

  5. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, το άθροισμα των διαφορών x i (\displaystyle x_(i))- Το x πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η μέση διακύμανση είναι πάντα μηδέν, κάτι που δεν δίνει καμία ιδέα για την εξάπλωση των τιμών μιας συγκεκριμένης ποσότητας. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, τετραγωνίστε κάθε διαφορά x i (\displaystyle x_(i))- Χ. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα να λαμβάνετε μόνο θετικούς αριθμούς, οι οποίοι δεν θα αθροίζονται ποτέ στο 0.

    • Στο παράδειγμά μας:
      (x 1 (\displaystyle x_(1))- Χ) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
      (x 2 (\displaystyle (x_(2))- Χ) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
      9 2 = 81
      (-7) 2 = 49
      (-5) 2 = 25
      (-1) 2 = 1
    • Βρήκατε το τετράγωνο της διαφοράς - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή στο δείγμα.

  6. Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών.Δηλαδή, βρείτε εκείνο το μέρος του τύπου που γράφεται ως εξής: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))]. Εδώ το πρόσημο Σ σημαίνει το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών για κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))στο δείγμα. Έχετε ήδη βρει τις τετραγωνισμένες διαφορές (x i (\displaystyle (x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))στο δείγμα? τώρα απλά προσθέστε αυτά τα τετράγωνα.

    • Στο παράδειγμά μας: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

  7. Διαιρέστε το αποτέλεσμα με n - 1, όπου n είναι ο αριθμός των τιμών στο δείγμα.Πριν από λίγο καιρό, για να υπολογίσουν τη διακύμανση του δείγματος, οι στατιστικολόγοι απλώς διαίρεσαν το αποτέλεσμα με το n. Σε αυτή την περίπτωση θα λάβετε τον μέσο όρο της τετραγωνικής διακύμανσης, ο οποίος είναι ιδανικός για την περιγραφή της διακύμανσης ενός δεδομένου δείγματος. Αλλά να θυμάστε ότι οποιοδήποτε δείγμα είναι μόνο ένα μικρό μέρος του πληθυσμού των αξιών. Εάν πάρετε άλλο δείγμα και κάνετε τους ίδιους υπολογισμούς, θα έχετε διαφορετικό αποτέλεσμα. Όπως αποδεικνύεται, η διαίρεση με το n - 1 (και όχι μόνο με το n) δίνει μια πιο ακριβή εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού, που είναι αυτό που σας ενδιαφέρει. Η διαίρεση με n – 1 έχει γίνει κοινή, επομένως περιλαμβάνεται στον τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος.

    • Στο παράδειγμά μας, το δείγμα περιλαμβάνει 6 τιμές, δηλαδή n = 6.
      Διακύμανση δείγματος = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

  8. Η διαφορά μεταξύ διακύμανσης και τυπικής απόκλισης.Σημειώστε ότι ο τύπος περιέχει έναν εκθέτη, επομένως η διασπορά μετράται σε τετραγωνικές μονάδες της τιμής που αναλύεται. Μερικές φορές ένα τέτοιο μέγεθος είναι αρκετά δύσκολο να λειτουργήσει. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε την τυπική απόκλιση, η οποία είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η διακύμανση του δείγματος συμβολίζεται ως s 2 (\displaystyle s^(2)), και η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι όπως s (\displaystyle s).

    • Στο παράδειγμά μας, η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι: s = √33,2 = 5,76.

    Υπολογισμός Διακύμανσης Πληθυσμού

    1. Αναλύστε κάποιο σύνολο τιμών.Το σετ περιλαμβάνει όλες τις αξίες της υπό εξέταση ποσότητας. Για παράδειγμα, εάν μελετάτε την ηλικία των κατοίκων της περιοχής του Λένινγκραντ, τότε το σύνολο περιλαμβάνει την ηλικία όλων των κατοίκων αυτής της περιοχής. Όταν εργάζεστε με έναν πληθυσμό, συνιστάται η δημιουργία ενός πίνακα και η εισαγωγή των τιμών πληθυσμού σε αυτόν. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

      • Σε ένα συγκεκριμένο δωμάτιο υπάρχουν 6 ενυδρεία. Κάθε ενυδρείο περιέχει τον ακόλουθο αριθμό ψαριών:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

    2. Γράψτε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.Δεδομένου ότι ο πληθυσμός περιλαμβάνει όλες τις τιμές μιας συγκεκριμένης ποσότητας, ο παρακάτω τύπος σας επιτρέπει να λάβετε την ακριβή τιμή της διακύμανσης του πληθυσμού. Για να διακρίνουν τη διακύμανση του πληθυσμού από τη διακύμανση του δείγματος (η οποία είναι μόνο μια εκτίμηση), οι στατιστικολόγοι χρησιμοποιούν διάφορες μεταβλητές:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))– διασπορά πληθυσμού (διαβάζεται ως «Sigma Squared»). Η διασπορά μετριέται σε τετράγωνες μονάδες.
      • x i (\displaystyle x_(i))– κάθε αξία στο σύνολό της.
      • Σ – σύμβολο αθροίσματος. Δηλαδή από κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))πρέπει να αφαιρέσετε το μ, να το τετραγωνίσετε και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
      • μ – μέσος όρος πληθυσμού.
      • n – αριθμός τιμών στον πληθυσμό.

    3. Υπολογίστε τον μέσο πληθυσμό.Όταν εργάζεστε με έναν πληθυσμό, ο μέσος όρος του συμβολίζεται ως μ (mu). Ο μέσος όρος πληθυσμού υπολογίζεται ως ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος: αθροίστε όλες τις τιμές στον πληθυσμό και, στη συνέχεια, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στον πληθυσμό.

      • Λάβετε υπόψη ότι οι μέσοι όροι δεν υπολογίζονται πάντα ως αριθμητικός μέσος όρος.
      • Στο παράδειγμά μας, η μέση τιμή πληθυσμού: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

    4. Αφαιρέστε τη μέση τιμή του πληθυσμού από κάθε τιμή του πληθυσμού.Όσο πιο κοντά είναι η τιμή της διαφοράς στο μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι η συγκεκριμένη τιμή στη μέση τιμή του πληθυσμού. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ κάθε τιμής στον πληθυσμό και του μέσου όρου της και θα έχετε μια πρώτη ιδέα για την κατανομή των τιμών.

      • Στο παράδειγμά μας:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

    5. Τετράγωνο κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει.Οι τιμές διαφοράς θα είναι θετικές και αρνητικές. Εάν αυτές οι τιμές απεικονίζονται σε μια αριθμητική γραμμή, θα βρίσκονται δεξιά και αριστερά του μέσου όρου του πληθυσμού. Αυτό δεν είναι καλό για τον υπολογισμό της διακύμανσης επειδή οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί αλληλοεξουδετερώνονται. Τετραγωνίστε λοιπόν κάθε διαφορά για να λάβετε αποκλειστικά θετικούς αριθμούς.

      • Στο παράδειγμά μας:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή πληθυσμού (από i = 1 έως i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), Οπου x n (\displaystyle x_(n))– η τελευταία τιμή στον πληθυσμό.
      • Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους και να το διαιρέσετε με το n:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • Τώρα ας γράψουμε την παραπάνω εξήγηση χρησιμοποιώντας μεταβλητές: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n και λάβετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.

.

Αντίθετα, αν είναι μη αρνητικό α.ε. λειτουργούν έτσι ώστε , τότε υπάρχει ένα απολύτως συνεχές μέτρο πιθανότητας σε τέτοιο ώστε να είναι η πυκνότητά του.

    Αντικατάσταση του μέτρου στο ολοκλήρωμα Lebesgue:

,

όπου είναι οποιαδήποτε συνάρτηση Borel που είναι ολοκληρωμένη σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας.

Διασπορά, τύποι και ιδιότητες διασποράς Η έννοια της διασποράς

Διασπορά στις στατιστικέςβρίσκεται ως η τυπική απόκλιση των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού σε τετράγωνο από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ανάλογα με τα αρχικά δεδομένα, προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τους απλούς και σταθμισμένους τύπους διακύμανσης:

1. Απλή διακύμανση(για μη ομαδοποιημένα δεδομένα) υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

2. Σταθμισμένη διακύμανση (για σειρές παραλλαγών):

όπου n είναι η συχνότητα (επαναληψιμότητα του παράγοντα X)

Ένα παράδειγμα εύρεσης διασποράς

Αυτή η σελίδα περιγράφει ένα τυπικό παράδειγμα εύρεσης διακύμανσης, μπορείτε επίσης να εξετάσετε άλλα προβλήματα για την εύρεση της

Παράδειγμα 1. Προσδιορισμός ομάδας, μέσου όρου ομάδας, διαομαδικής και συνολικής διακύμανσης

Παράδειγμα 2. Εύρεση της διακύμανσης και του συντελεστή διακύμανσης σε έναν πίνακα ομαδοποίησης

Παράδειγμα 3. Εύρεση διασποράς σε διακριτή σειρά

Παράδειγμα 4. Τα ακόλουθα δεδομένα είναι διαθέσιμα για μια ομάδα 20 φοιτητών αλληλογραφίας. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια σειρά διαστημάτων της κατανομής του χαρακτηριστικού, να υπολογιστεί η μέση τιμή του χαρακτηριστικού και να μελετηθεί η διασπορά του

Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων. Ας προσδιορίσουμε το εύρος του διαστήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου X max είναι η μέγιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης. X min – ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης. n – αριθμός διαστημάτων:

Δεχόμαστε n=5. Το βήμα είναι: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων

Για περαιτέρω υπολογισμούς, θα φτιάξουμε έναν βοηθητικό πίνακα:

X"i – το μέσο του διαστήματος. (για παράδειγμα, το μέσο του διαστήματος 159 – 165,6 = 162,3)

Καθορίζουμε το μέσο ύψος των μαθητών χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:

Ας προσδιορίσουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ο τύπος μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων των επιλογών και του τετραγώνου και του μέσου όρου.

Διασπορά σε σειρές παραλλαγήςμε ίσα διαστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα της διασποράς (διαιρώντας όλες τις επιλογές με την τιμή του διαστήματος). Προσδιορισμός διακύμανσης, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο είναι λιγότερο εντάσεως εργασίας:

όπου i είναι η τιμή του διαστήματος. Το Α είναι ένα συμβατικό μηδέν, για το οποίο είναι βολικό να χρησιμοποιείται το μέσο του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα. m1 είναι το τετράγωνο της ροπής πρώτης τάξης. m2 - στιγμή δεύτερης παραγγελίας

Εναλλακτική διακύμανση χαρακτηριστικών (εάν σε έναν στατιστικό πληθυσμό ένα χαρακτηριστικό αλλάζει με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές, τότε αυτή η μεταβλητότητα ονομάζεται εναλλακτική) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αντικαθιστώντας q = 1-p σε αυτόν τον τύπο διασποράς, παίρνουμε:

Τύποι διακύμανσης

Ολική διακύμανσημετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκαλούν αυτή τη διακύμανση. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού x από τη συνολική μέση τιμή του x και μπορεί να οριστεί ως απλή διακύμανση ή σταθμισμένη διακύμανση.

Διακύμανση εντός της ομάδας χαρακτηρίζει την τυχαία παραλλαγή, δηλ. μέρος της διακύμανσης που οφείλεται στην επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από τον παράγοντα-ιδιότητα που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Αυτή η διασπορά είναι ίση με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο της ομάδας και μπορεί να υπολογιστεί ως απλή διασπορά ή ως σταθμισμένη διασπορά.

Ετσι, μέτρα διακύμανσης εντός της ομάδαςπαραλλαγή ενός χαρακτηριστικού μέσα σε μια ομάδα και καθορίζεται από τον τύπο:

όπου xi είναι ο μέσος όρος της ομάδας. ni είναι ο αριθμός των μονάδων στην ομάδα.

Για παράδειγμα, οι ενδοομαδικές διακυμάνσεις που πρέπει να προσδιοριστούν στο έργο της μελέτης της επίδρασης των προσόντων των εργαζομένων στο επίπεδο παραγωγικότητας της εργασίας σε ένα εργαστήριο δείχνουν διακυμάνσεις στην παραγωγή σε κάθε ομάδα που προκαλούνται από όλους τους πιθανούς παράγοντες (τεχνική κατάσταση εξοπλισμού, διαθεσιμότητα εργαλεία και υλικά, ηλικία εργαζομένων, ένταση εργασίας κ.λπ. .), εκτός από τις διαφορές στην κατηγορία προσόντων (σε μια ομάδα όλοι οι εργαζόμενοι έχουν τα ίδια προσόντα).

Ο μέσος όρος των διακυμάνσεων εντός της ομάδας αντανακλά την τυχαία διακύμανση, δηλαδή εκείνο το μέρος της διακύμανσης που συνέβη υπό την επίδραση όλων των άλλων παραγόντων, με εξαίρεση τον παράγοντα ομαδοποίησης. Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Διαομαδική διακύμανσηχαρακτηρίζει τη συστηματική παραλλαγή του προκύπτοντος χαρακτηριστικού, η οποία οφείλεται στην επιρροή του παράγοντα-ιδιότητας που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μέσων της ομάδας από το συνολικό μέσο όρο. Η διασπορά μεταξύ ομάδων υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Η προσδοκία και η διακύμανση είναι τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Χαρακτηρίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά της κατανομής: τη θέση και τον βαθμό διασποράς της. Σε πολλά πρακτικά προβλήματα, ένα πλήρες, εξαντλητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής - ο νόμος κατανομής - είτε δεν μπορεί να ληφθεί καθόλου, είτε δεν χρειάζεται καθόλου. Σε αυτές τις περιπτώσεις, περιορίζεται κανείς σε μια κατά προσέγγιση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Η αναμενόμενη τιμή ονομάζεται συχνά η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα χαρακτηριστικό της διασποράς, η εξάπλωση μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της.

Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Ας προσεγγίσουμε την έννοια της μαθηματικής προσδοκίας, βασιζόμενη πρώτα στη μηχανική ερμηνεία της κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Αφήστε τη μοναδιαία μάζα να κατανεμηθεί μεταξύ των σημείων του άξονα x Χ1 , Χ 2 , ..., Χ n, και κάθε υλικό σημείο έχει αντίστοιχη μάζα Π1 , Π 2 , ..., Π n. Απαιτείται η επιλογή ενός σημείου στον άξονα της τετμημένης, που χαρακτηρίζει τη θέση ολόκληρου του συστήματος των υλικών σημείων, λαμβάνοντας υπόψη τις μάζες τους. Είναι φυσικό να λαμβάνεται ως τέτοιο σημείο το κέντρο μάζας του συστήματος των υλικών σημείων. Αυτός είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος της τυχαίας μεταβλητής Χ, στην οποία η τετμημένη κάθε σημείου ΧΕγώμπαίνει με «βάρος» ίσο με την αντίστοιχη πιθανότητα. Η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο Χονομάζεται μαθηματική προσδοκία του.

Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και οι πιθανότητες αυτών των τιμών:

Παράδειγμα 1.Διοργανώθηκε κλήρωση win-win. Υπάρχουν 1000 κέρδη, εκ των οποίων τα 400 είναι 10 ρούβλια. 300 - 20 ρούβλια το καθένα. 200 - 100 ρούβλια το καθένα. και 100 - 200 ρούβλια το καθένα. Ποιος είναι ο μέσος όρος των κερδών για κάποιον που αγοράζει ένα εισιτήριο;

Λύση. Θα βρούμε τα μέσα κέρδη αν διαιρέσουμε το συνολικό ποσό των κερδών, που είναι 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 ρούβλια, με το 1000 (συνολικό ποσό κερδών). Τότε παίρνουμε 50000/1000 = 50 ρούβλια. Αλλά η έκφραση για τον υπολογισμό των μέσων κερδών μπορεί να παρουσιαστεί με την ακόλουθη μορφή:

Από την άλλη πλευρά, σε αυτές τις συνθήκες, το κερδοφόρο μέγεθος είναι μια τυχαία μεταβλητή, η οποία μπορεί να λάβει τιμές 10, 20, 100 και 200 ​​ρούβλια. με πιθανότητες ίσες με 0,4, αντίστοιχα. 0,3; 0,2; 0.1. Επομένως, η αναμενόμενη μέση νίκη ισούται με το άθροισμα των γινομένων του μεγέθους των κερδών και της πιθανότητας λήψης τους.

Παράδειγμα 2.Ο εκδότης αποφάσισε να εκδώσει ένα νέο βιβλίο. Σκοπεύει να πουλήσει το βιβλίο για 280 ρούβλια, από τα οποία ο ίδιος θα λάβει 200, 50 - το βιβλιοπωλείο και 30 - ο συγγραφέας. Ο πίνακας παρέχει πληροφορίες σχετικά με το κόστος έκδοσης ενός βιβλίου και την πιθανότητα πώλησης ενός συγκεκριμένου αριθμού αντιτύπων του βιβλίου.

Βρείτε το αναμενόμενο κέρδος του εκδότη.

Λύση. Η τυχαία μεταβλητή «κέρδος» ισούται με τη διαφορά μεταξύ των εσόδων από τις πωλήσεις και του κόστους των εξόδων. Για παράδειγμα, εάν πωληθούν 500 αντίτυπα ενός βιβλίου, τότε τα έσοδα από την πώληση είναι 200 ​​* 500 = 100.000 και το κόστος δημοσίευσης είναι 225.000 ρούβλια. Έτσι, ο εκδότης αντιμετωπίζει απώλεια 125.000 ρούβλια. Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις αναμενόμενες τιμές της τυχαίας μεταβλητής - κέρδος:

ΑριθμόςΚέρδος ΧΕγώ Πιθανότητα ΠΕγώ ΧΕγώ ΠΕγώ
500 -125000 0,20 -25000
1000 -50000 0,40 -20000
2000 100000 0,25 25000
3000 250000 0,10 25000
4000 400000 0,05 20000
Σύνολο: 1,00 25000

Έτσι, λαμβάνουμε τη μαθηματική προσδοκία του κέρδους του εκδότη:

.

Παράδειγμα 3.Πιθανότητα να χτυπήσει με μία βολή Π= 0,2. Προσδιορίστε την κατανάλωση των βλημάτων που παρέχουν μια μαθηματική προσδοκία για τον αριθμό των χτυπημάτων ίσο με 5.

Λύση. Από τον ίδιο τύπο μαθηματικών προσδοκιών που χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα, εκφραζόμαστε Χ- κατανάλωση κελύφους:

.

Παράδειγμα 4.Προσδιορίστε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χαριθμός χτυπημάτων με τρεις βολές, εάν η πιθανότητα χτυπήματος με κάθε βολή Π = 0,4 .

Συμβουλή: βρείτε την πιθανότητα τυχαίων τιμών μεταβλητών κατά Ο τύπος του Bernoulli .

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Ιδιοκτησία 1.Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με αυτήν τη σταθερά:

Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το σημάδι της μαθηματικής προσδοκίας:

Ιδιοκτησία 3.Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος (διαφορά) των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των μαθηματικών προσδοκιών τους:

Ιδιοκτησία 4.Η μαθηματική προσδοκία ενός γινομένου τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους:

Ιδιοκτησία 5.Εάν όλες οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χμείωση (αύξηση) κατά τον ίδιο αριθμό ΜΕ, τότε η μαθηματική προσδοκία του θα μειωθεί (αυξηθεί) κατά τον ίδιο αριθμό:

Όταν δεν μπορείς να περιοριστείς μόνο σε μαθηματικές προσδοκίες

Στις περισσότερες περιπτώσεις, μόνο η μαθηματική προσδοκία δεν μπορεί να χαρακτηρίσει επαρκώς μια τυχαία μεταβλητή.

Αφήστε τις τυχαίες μεταβλητές ΧΚαι Υδίνονται από τους ακόλουθους νόμους διανομής:

Εννοια Χ Πιθανότητα
-0,1 0,1
-0,01 0,2
0 0,4
0,01 0,2
0,1 0,1
Εννοια Υ Πιθανότητα
-20 0,3
-10 0,1
0 0,2
10 0,1
20 0,3

Οι μαθηματικές προσδοκίες αυτών των μεγεθών είναι οι ίδιες - ίσες με μηδέν:

Ωστόσο, τα πρότυπα διανομής τους είναι διαφορετικά. Τυχαία τιμή Χμπορεί να λάβει μόνο τιμές που διαφέρουν ελάχιστα από τη μαθηματική προσδοκία και την τυχαία μεταβλητή Υμπορεί να λάβει τιμές που αποκλίνουν σημαντικά από τις μαθηματικές προσδοκίες. Ένα παρόμοιο παράδειγμα: ο μέσος μισθός δεν επιτρέπει να κριθεί το μερίδιο των εργαζομένων με υψηλή και χαμηλή αμοιβή. Με άλλα λόγια, δεν μπορεί κανείς να κρίνει από τη μαθηματική προσδοκία ποιες αποκλίσεις από αυτήν, τουλάχιστον κατά μέσο όρο, είναι πιθανές. Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.

Διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαφοράδιακριτή τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής του από τη μαθηματική προσδοκία:

Η τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χη αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας της διακύμανσής της ονομάζεται:

.

Παράδειγμα 5.Υπολογίστε τις διακυμάνσεις και τις τυπικές αποκλίσεις τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ, οι νόμοι κατανομής των οποίων δίνονται στους παραπάνω πίνακες.

Λύση. Μαθηματικές προσδοκίες τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ, όπως βρέθηκε παραπάνω, ισούνται με μηδέν. Σύμφωνα με τον τύπο διασποράς στο μι(Χ)=μι(y)=0 παίρνουμε:

Στη συνέχεια οι τυπικές αποκλίσεις των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υμακιγιάζ

.

Έτσι, με τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες, η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χπολύ μικρή, αλλά μια τυχαία μεταβλητή Υ- σημαντική. Αυτό είναι συνέπεια των διαφορών στην κατανομή τους.

Παράδειγμα 6.Ο επενδυτής έχει 4 εναλλακτικά επενδυτικά σχέδια. Ο πίνακας συνοψίζει το αναμενόμενο κέρδος σε αυτά τα έργα με την αντίστοιχη πιθανότητα.

Έργο 1Έργο 2Έργο 3Έργο 4
500, Π=1 1000, Π=0,5 500, Π=0,5 500, Π=0,5
0, Π=0,5 1000, Π=0,25 10500, Π=0,25
0, Π=0,25 9500, Π=0,25

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση για κάθε εναλλακτική.

Λύση. Ας δείξουμε πώς υπολογίζονται αυτές οι τιμές για την 3η εναλλακτική:

Ο πίνακας συνοψίζει τις τιμές που βρέθηκαν για όλες τις εναλλακτικές.

Όλες οι εναλλακτικές έχουν τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες. Αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα όλοι έχουν το ίδιο εισόδημα. Η τυπική απόκλιση μπορεί να ερμηνευθεί ως μέτρο κινδύνου - όσο υψηλότερος είναι, τόσο μεγαλύτερος είναι ο κίνδυνος της επένδυσης. Ένας επενδυτής που δεν θέλει πολύ ρίσκο θα επιλέξει το έργο 1 αφού έχει τη μικρότερη τυπική απόκλιση (0). Εάν ο επενδυτής προτιμά τον κίνδυνο και τις υψηλές αποδόσεις σε σύντομο χρονικό διάστημα, τότε θα επιλέξει το έργο με τη μεγαλύτερη τυπική απόκλιση - έργο 4.

Ιδιότητες διασποράς

Ας παρουσιάσουμε τις ιδιότητες της διασποράς.

Ιδιοκτησία 1.Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν:

Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς τον:

.

Ιδιοκτησία 3.Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου αυτής της τιμής, από την οποία αφαιρείται το τετράγωνο της μαθηματικής προσδοκίας της ίδιας της τιμής:

,

Οπου .

Ιδιοκτησία 4.Η διακύμανση του αθροίσματος (διαφορά) των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των διακυμάνσεων τους:

Παράδειγμα 7.Είναι γνωστό ότι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει μόνο δύο τιμές: −3 και 7. Επιπλέον, η μαθηματική προσδοκία είναι γνωστή: μι(Χ) = 4 . Βρείτε τη διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε με Πτην πιθανότητα με την οποία μια τυχαία μεταβλητή παίρνει μια τιμή Χ1 = −3 . Τότε η πιθανότητα της τιμής Χ2 = 7 θα είναι 1 − Π. Ας εξαγάγουμε την εξίσωση για τη μαθηματική προσδοκία:

μι(Χ) = Χ 1 Π + Χ 2 (1 − Π) = −3Π + 7(1 − Π) = 4 ,

όπου παίρνουμε τις πιθανότητες: Π= 0,3 και 1 − Π = 0,7 .

Ο νόμος της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής:

Χ −3 7
Π 0,3 0,7

Υπολογίζουμε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας τον τύπο από την ιδιότητα 3 της διασποράς:

ρε(Χ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Βρείτε μόνοι σας τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 8.Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει μόνο δύο τιμές. Δέχεται τη μεγαλύτερη από τις τιμές 3 με πιθανότητα 0,4. Επιπλέον, η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή ρε(Χ) = 6 . Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα 9.Υπάρχουν 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες σε μια τεφροδόχο. 3 μπάλες βγαίνουν από το δοχείο. Ο αριθμός των λευκών σφαιρών μεταξύ των συρόμενων σφαιρών είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. Τυχαία τιμή Χμπορεί να πάρει τιμές 0, 1, 2, 3. Οι αντίστοιχες πιθανότητες μπορούν να υπολογιστούν από κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων. Νόμος κατανομής τυχαίας μεταβλητής:

Χ 0 1 2 3
Π 1/30 3/10 1/2 1/6

Εξ ου και η μαθηματική προσδοκία αυτής της τυχαίας μεταβλητής:

Μ(Χ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Η διακύμανση μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής είναι:

ρε(Χ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Προσδοκία και διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η μηχανική ερμηνεία της μαθηματικής προσδοκίας θα διατηρήσει το ίδιο νόημα: το κέντρο μάζας για μια μονάδα μάζας που κατανέμεται συνεχώς στον άξονα x με πυκνότητα φά(Χ). Σε αντίθεση με μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, της οποίας το όρισμα συνάρτησης ΧΕγώαλλάζει απότομα για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, το όρισμα αλλάζει συνεχώς. Αλλά η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται επίσης με τη μέση τιμή της.

Για να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, πρέπει να βρείτε καθορισμένα ολοκληρώματα . Εάν δοθεί η συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, τότε αυτή μπαίνει απευθείας στο ολοκλήρωμα. Εάν δοθεί μια συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, τότε διαφοροποιώντας την, πρέπει να βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας.

Ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται δικός του μαθηματική προσδοκία, που συμβολίζεται με ή .

Αυτή η σελίδα περιγράφει ένα τυπικό παράδειγμα εύρεσης διακύμανσης, μπορείτε επίσης να εξετάσετε άλλα προβλήματα για την εύρεση της

Παράδειγμα 1. Προσδιορισμός ομάδας, μέσου όρου ομάδας, διαομαδικής και συνολικής διακύμανσης

Παράδειγμα 2. Εύρεση της διακύμανσης και του συντελεστή διακύμανσης σε έναν πίνακα ομαδοποίησης

Παράδειγμα 3. Εύρεση διασποράς σε διακριτή σειρά

Παράδειγμα 4. Τα ακόλουθα δεδομένα είναι διαθέσιμα για μια ομάδα 20 φοιτητών αλληλογραφίας. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια σειρά διαστημάτων της κατανομής του χαρακτηριστικού, να υπολογιστεί η μέση τιμή του χαρακτηριστικού και να μελετηθεί η διασπορά του

Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων. Ας προσδιορίσουμε το εύρος του διαστήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου X max είναι η μέγιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.
X min – ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.
n – αριθμός διαστημάτων:

Δεχόμαστε n=5. Το βήμα είναι: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων

Για περαιτέρω υπολογισμούς, θα φτιάξουμε έναν βοηθητικό πίνακα:

X"i – το μέσο του διαστήματος. (για παράδειγμα, το μέσο του διαστήματος 159 – 165,6 = 162,3)

Καθορίζουμε το μέσο ύψος των μαθητών χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:

Ας προσδιορίσουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ο τύπος μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων των επιλογών και του τετραγώνου και του μέσου όρου.

Διασπορά σε σειρές παραλλαγήςμε ίσα διαστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα της διασποράς (διαιρώντας όλες τις επιλογές με την τιμή του διαστήματος). Προσδιορισμός διακύμανσης, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο είναι λιγότερο εντάσεως εργασίας:

όπου i είναι η τιμή του διαστήματος.
Το Α είναι ένα συμβατικό μηδέν, για το οποίο είναι βολικό να χρησιμοποιείται το μέσο του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα.
m1 είναι το τετράγωνο της ροπής πρώτης τάξης.
m2 - στιγμή δεύτερης παραγγελίας

Εναλλακτική διακύμανση χαρακτηριστικών (εάν σε έναν στατιστικό πληθυσμό ένα χαρακτηριστικό αλλάζει με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές, τότε αυτή η μεταβλητότητα ονομάζεται εναλλακτική) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Αντικαθιστώντας q = 1-p σε αυτόν τον τύπο διασποράς, παίρνουμε:

Τύποι διακύμανσης

Ολική διακύμανσημετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκαλούν αυτή τη διακύμανση. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού x από τη συνολική μέση τιμή του x και μπορεί να οριστεί ως απλή διακύμανση ή σταθμισμένη διακύμανση.

Διακύμανση εντός της ομάδας χαρακτηρίζει την τυχαία παραλλαγή, δηλ. μέρος της διακύμανσης που οφείλεται στην επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από τον παράγοντα-ιδιότητα που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Αυτή η διασπορά είναι ίση με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο της ομάδας και μπορεί να υπολογιστεί ως απλή διασπορά ή ως σταθμισμένη διασπορά.



Ετσι, μέτρα διακύμανσης εντός της ομάδαςπαραλλαγή ενός χαρακτηριστικού μέσα σε μια ομάδα και καθορίζεται από τον τύπο:

όπου xi είναι ο μέσος όρος της ομάδας.
ni είναι ο αριθμός των μονάδων στην ομάδα.

Για παράδειγμα, οι ενδοομαδικές διακυμάνσεις που πρέπει να προσδιοριστούν στο έργο της μελέτης της επίδρασης των προσόντων των εργαζομένων στο επίπεδο παραγωγικότητας της εργασίας σε ένα εργαστήριο δείχνουν διακυμάνσεις στην παραγωγή σε κάθε ομάδα που προκαλούνται από όλους τους πιθανούς παράγοντες (τεχνική κατάσταση εξοπλισμού, διαθεσιμότητα εργαλεία και υλικά, ηλικία εργαζομένων, ένταση εργασίας κ.λπ. .), εκτός από τις διαφορές στην κατηγορία προσόντων (σε μια ομάδα όλοι οι εργαζόμενοι έχουν τα ίδια προσόντα).