Έννοια επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, μετατρέψτε την σε μία ή περισσότερες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η επίλυση μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης καταλήγει τελικά στην επίλυση των τεσσάρων βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Υπάρχουν 4 τύποι βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων:
• sin x = a; cos x = α
• tan x = a; ctg x = α
• Η επίλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων περιλαμβάνει την εξέταση διαφορετικών θέσεων x στον κύκλο της μονάδας, καθώς και τη χρήση ενός πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανής).
• Παράδειγμα 1. sin x = 0,866. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: 2π/3. Θυμηθείτε: όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, δηλαδή οι τιμές τους επαναλαμβάνονται. Για παράδειγμα, η περιοδικότητα των sin x και cos x είναι 2πn και η περιοδικότητα των tg x και ctg x είναι πn. Επομένως η απάντηση γράφεται ως εξής:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Παράδειγμα 2. cos x = -1/2. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών (ή αριθμομηχανή) θα λάβετε την απάντηση: x = 2π/3. Ο μοναδιαίος κύκλος δίνει άλλη απάντηση: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Παράδειγμα 3. tg (x - π/4) = 0.
• Απάντηση: x = π/4 + πn.
• Παράδειγμα 4. ctg 2x = 1,732.
• Απάντηση: x = π/12 + πn.

Μετασχηματισμοί που χρησιμοποιούνται στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

• Για τον μετασχηματισμό τριγωνομετρικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται αλγεβρικοί μετασχηματισμοί (παραγοντοποίηση, αναγωγή ομοιογενή μέληκ.λπ.) και τριγωνομετρικές ταυτότητες.
• Παράδειγμα 5: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, η εξίσωση sin x + sin 2x + sin 3x = 0 μετατρέπεται στην εξίσωση 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Έτσι, οι ακόλουθες βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις πρέπει να λυθεί: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Εύρεση γωνιών από γνωστές αξίεςλειτουργίες.

  • Πριν μάθετε πώς να λύνετε τριγωνομετρικές εξισώσεις, πρέπει να μάθετε πώς να βρίσκετε γωνίες χρησιμοποιώντας γνωστές τιμές συνάρτησης. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών ή μια αριθμομηχανή.
  • Παράδειγμα: cos x = 0,732. Η αριθμομηχανή θα δώσει την απάντηση x = 42,95 μοίρες. Ο μοναδιαίος κύκλος θα δώσει πρόσθετες γωνίες, το συνημίτονο του οποίου είναι επίσης 0,732.

• Αφήστε το διάλυμα στην άκρη στον κύκλο της μονάδας.

  • Μπορείτε να σχεδιάσετε λύσεις σε μια τριγωνομετρική εξίσωση στον μοναδιαίο κύκλο. Οι λύσεις μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης στον μοναδιαίο κύκλο είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου.
  • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/3 + πn/2 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές του τετραγώνου.
  • Παράδειγμα: Οι λύσεις x = π/4 + πn/3 στον μοναδιαίο κύκλο αντιπροσωπεύουν τις κορυφές ενός κανονικού εξαγώνου.

• Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

  • Αν μια δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση περιέχει μόνο ένα τριγωνομετρική συνάρτηση, λύστε αυτή την εξίσωση ως βασική τριγωνομετρική εξίσωση. Αν δεδομένη εξίσωσηπεριλαμβάνει δύο ή περισσότερες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τότε υπάρχουν 2 μέθοδοι για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης (ανάλογα με την πιθανότητα μετασχηματισμού της).
    • Μέθοδος 1.
  • Μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: f(x)*g(x)*h(x) = 0, όπου f(x), g(x), h(x) είναι οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις.
  • Παράδειγμα 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο διπλής γωνίας sin 2x = 2*sin x*cos x, αντικαταστήστε το sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Λύστε τώρα τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos x = 0 και (sin x + 1) = 0.
  • Παράδειγμα 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της μορφής: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2cos x + 1) = 0.
  • Παράδειγμα 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Λύση: Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, μετατρέψτε αυτή την εξίσωση σε μια εξίσωση της μορφής: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Τώρα λύστε τις δύο βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: cos 2x = 0 και (2sin x + 1) = 0 .
    • Μέθοδος 2.
  • Μετατρέψτε τη δεδομένη τριγωνομετρική εξίσωση σε εξίσωση που περιέχει μόνο μία τριγωνομετρική συνάρτηση. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τριγωνομετρική συνάρτηση με κάποια άγνωστη, για παράδειγμα t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, κ.λπ.).
  • Παράδειγμα 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Λύση. Σε αυτήν την εξίσωση, αντικαταστήστε το (cos^2 x) με το (1 - sin^2 x) (σύμφωνα με την ταυτότητα). Η μετασχηματισμένη εξίσωση είναι:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Αντικαταστήστε το sin x με t. Τώρα η εξίσωση μοιάζει με: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Αυτή είναι μια τετραγωνική εξίσωση που έχει δύο ρίζες: t1 = -1 και t2 = 9/5. Η δεύτερη ρίζα t2 δεν ικανοποιεί το εύρος συναρτήσεων (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Παράδειγμα 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Λύση. Αντικαταστήστε το tg x με το t. Ξαναγράψτε την αρχική εξίσωση σε την παρακάτω φόρμα: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Τώρα βρείτε το t και μετά βρείτε το x για t = tan x.

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την Τράπεζα Εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισότητες, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: είναι απαραίτητο να καθοριστεί ποιος τύπος προβλήματος επιλύεται, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν σε το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Με εμφάνισηεξίσωση, μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. ξεδιπλώνομαι αριστερή πλευράεξισώσεις παραγοντοποίησης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να μειώσετε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 ( ομοιογενής εξίσωσηπρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Τριγωνομετρικές εξισώσειςκατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εγχειρίδια και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για τον βαθμό 10 από 1C
Λύνουμε προβλήματα γεωμετρίας. Διαδραστικές εργασίες για οικοδόμηση στο χώρο
Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Τι θα μελετήσουμε:
1. Τι είναι οι τριγωνομετρικές εξισώσεις;

3. Δύο βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.
4. Ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις.
5. Παραδείγματα.

Τι είναι οι τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Παιδιά, έχουμε ήδη μελετήσει arcsine, arccosine, arctangent και arccotangent. Ας δούμε τώρα τις τριγωνομετρικές εξισώσεις γενικά.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι εξισώσεις στις οποίες μια μεταβλητή περιέχεται κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Ας επαναλάβουμε τη μορφή επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων:

1)Αν |a|≤ 1, τότε η εξίσωση cos(x) = a έχει λύση:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Αν |a|≤ 1, τότε η εξίσωση sin(x) = a έχει λύση:

3) Αν |a| > 1, τότε η εξίσωση sin(x) = a και cos(x) = a δεν έχουν λύσεις 4) Η εξίσωση tg(x)=a έχει λύση: x=arctg(a)+ πk

5) Η εξίσωση ctg(x)=a έχει λύση: x=arcctg(a)+ πk

Για όλους τους τύπους το k είναι ακέραιος

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις έχουν τη μορφή: T(kx+m)=a, T είναι κάποια τριγωνομετρική συνάρτηση.

Παράδειγμα.

Λύστε τις εξισώσεις: α) sin(3x)= √3/2

Λύση:

Α) Ας συμβολίσουμε 3x=t και μετά θα ξαναγράψουμε την εξίσωσή μας με τη μορφή:

Η λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Από τον πίνακα τιμών παίρνουμε: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Ας επιστρέψουμε στη μεταβλητή μας: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Τότε x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Απάντηση: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, όπου n είναι ακέραιος. (-1)^n – μείον ένα στη δύναμη του n.

Περισσότερα παραδείγματα τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Λύστε τις εξισώσεις: α) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Λύση:

Α) Αυτή τη φορά ας προχωρήσουμε απευθείας στον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Τότε x/5= πk => x=5πk

Απάντηση: x=5πk, όπου k είναι ακέραιος.

Β) Το γράφουμε με τη μορφή: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Γνωρίζουμε ότι: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Απάντηση: x=2π/9 + πk/3, όπου k είναι ακέραιος.

Λύστε τις εξισώσεις: cos(4x)= √2/2. Και βρείτε όλες τις ρίζες στο τμήμα.

Λύση:

Θα αποφασίσουμε μέσα γενική εικόναη εξίσωσή μας: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Τώρα ας δούμε ποιες ρίζες πέφτουν στο τμήμα μας. Στο k Στο k=0, x= π/16, βρισκόμαστε στο δεδομένο τμήμα.
Με k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ξαναχτυπάμε.
Για k=2, x= π/16+ π=17π/16, αλλά εδώ δεν χτυπήσαμε, που σημαίνει ότι για μεγάλο k επίσης προφανώς δεν θα χτυπήσουμε.

Απάντηση: x= π/16, x= 9π/16

Δύο βασικές μέθοδοι λύσης.

Εξετάσαμε τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις, αλλά υπάρχουν και πιο σύνθετες. Για την επίλυσή τους χρησιμοποιείται η μέθοδος εισαγωγής νέας μεταβλητής και η μέθοδος παραγοντοποίησης. Ας δούμε παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Λύση:
Για να λύσουμε την εξίσωσή μας, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής, που δηλώνει: t=tg(x).

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης παίρνουμε: t 2 + 2t -1 = 0

Ας βρούμε τις ρίζες τετραγωνική εξίσωση: t=-1 και t=1/3

Τότε tg(x)=-1 και tg(x)=1/3, παίρνουμε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση, ας βρούμε τις ρίζες της.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Απάντηση: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Παράδειγμα επίλυσης εξίσωσης

Λύστε εξισώσεις: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Λύση:

Ας χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ας εισαγάγουμε την αντικατάσταση t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Η λύση της τετραγωνικής μας εξίσωσης είναι οι ρίζες: t=2 και t=-1/2

Τότε cos(x)=2 και cos(x)=-1/2.

Επειδή Το συνημίτονο δεν μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από ένα, τότε το cos(x)=2 δεν έχει ρίζες.

Για cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Απάντηση: x= ±2π/3 + 2πk

Ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Ορισμός: Οι εξισώσεις της μορφής a sin(x)+b cos(x) ονομάζονται ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Εξισώσεις της φόρμας

ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού.

Για να λύσετε μια ομοιογενή τριγωνομετρική εξίσωση πρώτου βαθμού, διαιρέστε την με το cos(x): Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το συνημίτονο αν είναι ίσο με μηδέν, ας βεβαιωθούμε ότι δεν ισχύει αυτό:
Έστω cos(x)=0, τότε asin(x)+0=0 => sin(x)=0, αλλά το ημίτονο και το συνημίτονο δεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, παίρνουμε μια αντίφαση, ώστε να μπορούμε να διαιρέσουμε με ασφάλεια κατά μηδέν.

Λύστε την εξίσωση:
Παράδειγμα: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Λύση:

Ας βγάλουμε τον κοινό παράγοντα: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Τότε πρέπει να λύσουμε δύο εξισώσεις:

Cos(x)=0 και cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 στο x= π/2 + πk;

Θεωρήστε την εξίσωση cos(x)+sin(x)=0 Διαιρέστε την εξίσωσή μας με cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Απάντηση: x= π/2 + πk και x= -π/4+πk

Πώς να λύσετε ομοιογενείς τριγωνομετρικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού;
Παιδιά, να ακολουθείτε πάντα αυτούς τους κανόνες!

1. Δείτε με τι ισούται ο συντελεστής a, αν a=0 τότε η εξίσωσή μας θα πάρει τη μορφή cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), ένα παράδειγμα της λύσης της οποίας βρίσκεται στην προηγούμενη διαφάνεια

2. Εάν a≠0, τότε πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το συνημίτονο στο τετράγωνο, παίρνουμε:

Αλλάζουμε τη μεταβλητή t=tg(x) και παίρνουμε την εξίσωση:

Λύστε το παράδειγμα αρ.:3

Λύστε την εξίσωση:
Λύση:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το συνημίτονο:

Αλλάζουμε τη μεταβλητή t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Ας βρούμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: t=-3 και t=1

Τότε: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Απάντηση: x=-arctg(3) + πk και x= π/4+ πk

Λύστε το παράδειγμα αρ.:4

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:
Ας μεταμορφώσουμε την έκφρασή μας:

Μπορούμε να λύσουμε τέτοιες εξισώσεις: x= - π/4 + 2πk και x=5π/4 + 2πk

Απάντηση: x= - π/4 + 2πk και x=5π/4 + 2πk

Λύστε το παράδειγμα αρ.:5

Λύστε την εξίσωση:

Λύση:
Ας μεταμορφώσουμε την έκφρασή μας:

Ας εισαγάγουμε την αντικατάσταση tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Η λύση της τετραγωνικής μας εξίσωσης θα είναι οι ρίζες: t=-2 και t=1/2

Τότε παίρνουμε: tg(2x)=-2 και tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Απάντηση: x=-arctg(2)/2 + πk/2 και x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

1) Λύστε την εξίσωση

Α) sin(7x)= 1/2 β) cos(3x)= √3/2 γ) cos(-x) = -1 δ) tg(4x) = √3 δ) ctg(0.5x) = -1.7

2) Λύστε τις εξισώσεις: sin(3x)= √3/2. Και βρείτε όλες τις ρίζες στο τμήμα [π/2; π].

3) Λύστε την εξίσωση: κούνια 2 (x) + 2 κούνια (x) + 1 =0

4) Λύστε την εξίσωση: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Λύστε την εξίσωση: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Λύστε την εξίσωση: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Απαιτεί γνώση των βασικών τύπων της τριγωνομετρίας - το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου, η έκφραση της εφαπτομένης μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου και άλλα. Για όσους τα έχουν ξεχάσει ή δεν τα γνωρίζουν, συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο "".
Έτσι, γνωρίζουμε τους βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους, ήρθε η ώρα να τους χρησιμοποιήσουμε στην πράξη. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνμε τη σωστή προσέγγιση - αρκετά συναρπαστική δραστηριότητα, όπως, για παράδειγμα, η επίλυση ενός κύβου του Ρούμπικ.

Με βάση το ίδιο το όνομα, είναι σαφές ότι μια τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης.
Υπάρχουν οι λεγόμενες απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. Δείτε πώς μοιάζουν: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Ας σκεφτούμε πώς να λύσετε τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, για λόγους σαφήνειας θα χρησιμοποιήσουμε τον ήδη γνωστό τριγωνομετρικό κύκλο.

sinx = α

cos x = α

ταν x = α

κούνια x = α

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση λύνεται σε δύο στάδια: ανάγουμε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή της και στη συνέχεια τη λύνουμε ως απλή τριγωνομετρική εξίσωση.
Υπάρχουν 7 βασικές μέθοδοι με τις οποίες λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Μεταβλητή υποκατάσταση και μέθοδος αντικατάστασης

Λύστε την εξίσωση 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Χρησιμοποιώντας τους τύπους μείωσης παίρνουμε:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Αντικαταστήστε το cos(x + /6) με το y για να απλοποιήσετε και να πάρετε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:

2 ετών 2 – 3 ετών + 1 + 0

Οι ρίζες των οποίων είναι y 1 = 1, y 2 = 1/2

Τώρα ας πάμε με την αντίστροφη σειρά

Αντικαθιστούμε τις τιμές του y που βρέθηκαν και παίρνουμε δύο επιλογές απάντησης:

2. Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης

Πώς να λύσετε την εξίσωση sin x + cos x = 1;

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά, ώστε το 0 να παραμείνει στα δεξιά:

sin x + cos x – 1 = 0

Ας χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες που συζητήθηκαν παραπάνω για να απλοποιήσουμε την εξίσωση:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Ας παραγοντοποιήσουμε:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Παίρνουμε δύο εξισώσεις

3. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Μια εξίσωση είναι ομοιογενής ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο αν όλοι οι όροι της είναι σχετικοί με το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας ισχύος της ίδιας γωνίας. Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση, προχωρήστε ως εξής:

α) μεταφέρει όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά·

β) αφαιρέστε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.

γ) εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με 0.

δ) λαμβάνεται μια ομοιογενής εξίσωση χαμηλότερου βαθμού σε αγκύλες, η οποία με τη σειρά της χωρίζεται σε ημίτονο ή συνημίτονο υψηλότερου βαθμού.

ε) να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει για το tg.

Λύστε την εξίσωση 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο sin 2 x + cos 2 x = 1 και ας απαλλαγούμε από τα ανοιχτά δύο στα δεξιά:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Διαιρέστε με το cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Αντικαταστήστε το tan x με y και λάβετε μια τετραγωνική εξίσωση:

y 2 + 4y +3 = 0, των οποίων οι ρίζες είναι y 1 =1, y 2 = 3

Από εδώ βρίσκουμε δύο λύσεις στην αρχική εξίσωση:

x 2 = αρκτάν 3 + k

4. Επίλυση εξισώσεων μέσω της μετάβασης σε μισή γωνία

Λύστε την εξίσωση 3sin x – 5cos x = 7

Ας προχωρήσουμε στο x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ας μετακινήσουμε τα πάντα προς τα αριστερά:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Διαιρέστε με συν(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Για εξέταση, ας πάρουμε μια εξίσωση της μορφής: a sin x + b cos x = c,

όπου a, b, c είναι κάποιοι αυθαίρετοι συντελεστές και το x είναι ένας άγνωστος.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με:



Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης, σύμφωνα με τριγωνομετρικούς τύπους, έχουν τις ιδιότητες sin και cos, δηλαδή: ο συντελεστής τους δεν είναι μεγαλύτερος από 1 και το άθροισμα των τετραγώνων = 1. Ας τους συμβολίσουμε αντίστοιχα ως cos και sin, όπου - αυτό είναι η λεγόμενη βοηθητική γωνία. Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

cos * sin x + sin * cos x = C

ή sin(x + ) = C

Η λύση σε αυτή την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση είναι

x = (-1) k * arcsin C - + k, όπου



Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συμβολισμοί cos και sin είναι εναλλάξιμοι.

Λύστε την εξίσωση sin 3x – cos 3x = 1

Οι συντελεστές σε αυτή την εξίσωση είναι:

a = , b = -1, οπότε διαιρέστε και τις δύο πλευρές με = 2