Στόχοι:

1. Γενική εκπαίδευση: συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με τη χρήση μεθόδων επίλυσης ανισοτήτων.
2. Αναπτυξιακή: αναπτύξτε την ικανότητα των μαθητών να ακούν μια διάλεξη γράφοντάς την σε ένα σημειωματάριο.
3. Εκπαιδευτικό: για τη δημιουργία γνωστικών κινήτρων για τη μελέτη των μαθηματικών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Εισαγωγική συνομιλία:

Τελειώσαμε το θέμα «Επίλυση παράλογων εξισώσεων» και σήμερα αρχίζουμε να μαθαίνουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες.

Αρχικά, ας θυμηθούμε ποιους τύπους ανισοτήτων μπορείτε να λύσετε και με ποιες μεθόδους;

Απάντηση: Γραμμική, τετραγωνική, ορθολογική, τριγωνομετρική. Λύνουμε γραμμικές με βάση τις ιδιότητες των ανισώσεων, τις τριγωνομετρικές τις ανάγουμε στις απλούστερες τριγωνομετρικές που λύνονται με τον τριγωνομετρικό κύκλο και τις υπόλοιπες, κυρίως, με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Ερώτηση: Σε ποια δήλωση βασίζεται η μέθοδος διαστήματος;

Απάντηση: Σχετικά με το θεώρημα που δηλώνει ότι συνεχής λειτουργία, το οποίο δεν εξαφανίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα, διατηρεί το πρόσημά του σε αυτό το διάστημα.

II.Ας δούμε μια παράλογη ανισότητα όπως >

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος διαστήματος για την επίλυσή του;

Απάντηση: Ναι, από τη λειτουργία y =– συνεχής για D(y).

Επίλυση αυτής της ανισότητας μέθοδος διαστήματος .

Συμπέρασμα: λύσαμε πολύ εύκολα αυτήν την παράλογη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, μειώνοντάς την στην επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μια άλλη ανισότητα χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο.

3)f(x)συνεχής ενεργή Δ(στ)

4) Μηδενικά συναρτήσεων:

• Χρειάζεται πολύς χρόνος για την αναζήτηση Δ(στ).
• Δύσκολος ο υπολογισμός των σημείων ελέγχου.

Τίθεται το ερώτημα: «Υπάρχουν άλλοι τρόποι να λυθεί αυτή η ανισότητα;»

Προφανώς υπάρχουν και τώρα θα τους γνωρίσουμε.

III.Ετσι, θέμα σήμερα μάθημα: «Μέθοδοι επίλυσης παράλογων ανισοτήτων».

Το μάθημα θα διεξαχθεί σε μορφή διάλεξης, αφού το σχολικό βιβλίο δεν περιέχει λεπτομερή ανάλυση όλων των μεθόδων. Επομένως μας σημαντικό έργο: Κάντε μια λεπτομερή περίληψη αυτής της διάλεξης.

IV.Έχουμε ήδη μιλήσει για την πρώτη μέθοδο επίλυσης παράλογων ανισοτήτων.

Αυτό - μέθοδος διαστήματος , μια καθολική μέθοδος για την επίλυση όλων των τύπων ανισοτήτων. Αλλά δεν οδηγεί πάντα στον στόχο με σύντομο και απλό τρόπο.

V.Κατά την επίλυση παράλογων ανισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες ιδέες όπως όταν λύνετε παράλογες εξισώσεις, αλλά επειδή η απλή επαλήθευση των λύσεων είναι αδύνατη (εξάλλου, οι λύσεις στις ανισώσεις είναι συνήθως ολόκληρα αριθμητικά διαστήματα), είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ισοδυναμία.

Παρουσιάζουμε σχήματα για την επίλυση των κύριων τύπων παράλογων ανισοτήτων μέθοδος ισοδύναμων μεταβάσεωναπό μια ανισότητα σε ένα σύστημα ανισοτήτων.

2. Ομοίως αποδεικνύεται ότι

Ας γράψουμε αυτά τα διαγράμματα στον πίνακα υποστήριξης. Σκεφτείτε τις αποδείξεις των τύπων 3 και 4 στο σπίτι, θα τις συζητήσουμε στο επόμενο μάθημα.

VI.Ας λύσουμε την ανισότητα με έναν νέο τρόπο.

Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με μια συλλογή συστημάτων.

VII.Και υπάρχει μια τρίτη μέθοδος που συχνά βοηθά στην επίλυση πολύπλοκων παράλογων ανισοτήτων. Έχουμε ήδη μιλήσει για αυτό σε σχέση με τις ανισότητες με συντελεστή. Αυτό μέθοδος αντικατάστασης συναρτήσεων (παράγοντες αντικατάστασης). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης είναι ότι η διαφορά στις τιμές των μονοτονικών συναρτήσεων μπορεί να αντικατασταθεί από τη διαφορά στις τιμές των ορισμάτων τους.

Σκεφτείτε μια παράλογη ανισότητα της μορφής<,

αυτό είναι -< 0.

Κατά θεώρημα, αν p(x)αυξάνεται σε ένα ορισμένο διάστημα στο οποίο ανήκουν έναΚαι σι, και ένα>σι, μετά οι ανισότητες p(a) – p(b) > 0 και α–β> 0 ισοδυναμούν με D(p), αυτό είναι

VIII.Ας λύσουμε την ανισότητα αντικαθιστώντας τους παράγοντες.

Αυτό σημαίνει ότι αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα

Έτσι, είδαμε ότι η χρήση της μεθόδου αντικατάστασης παραγόντων για τη μείωση της λύσης μιας ανισότητας στη μέθοδο του διαστήματος μειώνει σημαντικά την ποσότητα εργασίας.

IX.Τώρα που καλύψαμε τις τρεις κύριες μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων, ας το κάνουμε ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο.

Είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε τους ακόλουθους αριθμούς (σύμφωνα με το εγχειρίδιο του A. M. Mordkovich): 1790 (α) - επίλυση με τη μέθοδο των ισοδύναμων μεταβάσεων, 1791 (α) - επίλυση με τη μέθοδο αντικατάστασης παραγόντων. Για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, προτείνεται η χρήση μεθόδων που συζητήθηκαν προηγουμένως κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων:

• αντικατάσταση μεταβλητών.
• χρήση ODZ.
• χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μονοτονίας των συναρτήσεων.

Η ολοκλήρωση της μελέτης του θέματος είναι τεστ.

Η ανάλυση της δοκιμαστικής εργασίας δείχνει:

• τυπικά λάθη των αδύναμων μαθητών, εκτός από την αριθμητική και την άλγεβρα, είναι εσφαλμένες ισοδύναμες μεταβάσεις σε ένα σύστημα ανισοτήτων.
• Η μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων χρησιμοποιείται με επιτυχία μόνο από δυνατούς μαθητές.

T.D. Ιβάνοβα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΛΟΓΙΚΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

CDO και NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

ΒΒΚ 22. 1Υ72

Συντάχθηκε από την T.D.Ivanova

Κριτής: Baisheva M.I.– Υποψήφιος Παιδαγωγικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος

μαθηματική ανάλυση της Μαθηματικής Σχολής

Ινστιτούτο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Γιακούτσκ

κρατικό Πανεπιστήμιο

Μέθοδοι επίλυσης παράλογων ανισοτήτων: Μεθοδολογικό εγχειρίδιο

M 34 για μαθητές των τάξεων 9-11 / συζ. Ivanova T.D. από το Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 σελ.

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου των σχολείων δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και σε όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια ως μεθοδολογικός οδηγός για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Το εγχειρίδιο εξετάζει λεπτομερώς τις κύριες μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, παρέχει παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισοτήτων με παραμέτρους και προσφέρει επίσης παραδείγματα για την επίλυσή τους μόνοι σας. Οι δάσκαλοι μπορούν να χρησιμοποιήσουν το εγχειρίδιο ως διδακτικό υλικό για ανεξάρτητη εργασία ενώ εξετάζουν το θέμα «Παράλογες ανισότητες».

Το εγχειρίδιο αντικατοπτρίζει την εμπειρία του δασκάλου στη μελέτη του θέματος «Παράλογες ανισότητες» με τους μαθητές.

Οι εργασίες προέρχονται από υλικά εισαγωγικών εξετάσεων, μεθοδολογικές εφημερίδες και περιοδικά, σχολικά βιβλία, κατάλογος των οποίων δίνεται στο τέλος του εγχειριδίου

UDC 511 (O75.3)

ΒΒΚ 22. 1Υ72

 T.D. Ivanova, σύντ., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Πρόλογος 5

Εισαγωγή 6

Ενότητα Ι. Παραδείγματα επίλυσης των απλούστερων παράλογων ανισώσεων 7

Ενότητα ΙΙ. Ανισότητες της μορφής
>g(x), g(x), g(x) 9

Ενότητα III. Ανισότητες της μορφής
;
;

;
13

Ενότητα IV. Ανισώσεις που περιέχουν πολλές ρίζες ζυγού βαθμού 16

Ενότητα V. Μέθοδος αντικατάστασης (εισαγωγή νέας μεταβλητής) 20

Ενότητα VI. Ανισώσεις της μορφής f(x)
0; f(x)0;

Ενότητα VII. Ανισότητες της μορφής
25

Ενότητα VIII. Χρήση ριζικών μετασχηματισμών έκφρασης

σε παράλογες ανισότητες 26

Ενότητα IX. Γραφική λύση παράλογων ανισοτήτων 27

Ενότητα Χ. Ανισότητες μικτού τύπου 31

Ενότητα XI. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μονοτονίας μιας συνάρτησης 41

Ενότητα XII. Μέθοδος αντικατάστασης συνάρτησης 43

Ενότητα XIII. Παραδείγματα άμεσης επίλυσης ανισοτήτων

Μέθοδος διαστήματος 45

Ενότητα XIV. Παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισοτήτων με παραμέτρους 46

Λογοτεχνία 56

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ

Αυτό το διδακτικό βοήθημα προορίζεται για μαθητές των τάξεων 10-11. Όπως δείχνει η πρακτική, οι μαθητές και οι υποψήφιοι αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στα σχολικά μαθηματικά αυτή η ενότητα δεν λαμβάνεται επαρκώς υπόψη· διάφορες μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων δεν εξετάζονται λεπτομερέστερα. Επίσης, οι δάσκαλοι των σχολείων αισθάνονται έλλειψη μεθοδολογικής βιβλιογραφίας, η οποία εκδηλώνεται σε περιορισμένο όγκο προβληματικού υλικού που υποδεικνύει διάφορες προσεγγίσεις και μεθόδους επίλυσης.

Το εγχειρίδιο εξετάζει μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Ivanova T.D. στην αρχή κάθε ενότητας, εισάγει τους μαθητές στην κύρια ιδέα της μεθόδου, στη συνέχεια δείχνει παραδείγματα με επεξηγήσεις και προσφέρει επίσης προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

Ο μεταγλωττιστής χρησιμοποιεί τις πιο «θεαματικές» μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων που εμφανίζονται κατά την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση εκπαιδευτικά ιδρύματαμε αυξημένες απαιτήσεις στις γνώσεις των μαθητών.

Οι μαθητές, έχοντας διαβάσει αυτό το εγχειρίδιο, μπορούν να αποκτήσουν ανεκτίμητη εμπειρία και δεξιότητες στην επίλυση περίπλοκων παράλογων ανισοτήτων. Πιστεύω ότι αυτό το εγχειρίδιο θα είναι χρήσιμο και σε καθηγητές μαθηματικών που εργάζονται σε εξειδικευμένες τάξεις, καθώς και σε προγραμματιστές μαθημάτων επιλογής.

Υποψήφιος Παιδαγωγικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικής Ανάλυσης, Μαθηματική Σχολή, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Πληροφορικής, Yakut State University

Baisheva M.I.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου των σχολείων δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και σε όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια ως μεθοδολογικός οδηγός για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Το εγχειρίδιο εξετάζει λεπτομερώς τις κύριες μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, παρέχει κατά προσέγγιση παραδείγματα για τον τρόπο επίλυσης παράλογων ανισοτήτων, παρέχει παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισοτήτων με παραμέτρους και προσφέρει επίσης παραδείγματα για την επίλυσή τους μόνοι σας· για ορισμένες από αυτές, σύντομες απαντήσεις και οδηγίες είναι δεδομένα.

Κατά την ανάλυση παραδειγμάτων και την επίλυση ανισώσεων ανεξάρτητα, θεωρείται ότι ο μαθητής γνωρίζει πώς να λύνει γραμμικές, τετραγωνικές και άλλες ανισώσεις και γνωρίζει διάφορες μεθόδους για την επίλυση ανισώσεων, ιδίως τη μέθοδο των διαστημάτων. Προτείνεται η επίλυση της ανισότητας με διάφορους τρόπους.

Οι δάσκαλοι μπορούν να χρησιμοποιήσουν το εγχειρίδιο ως διδακτικό υλικό για ανεξάρτητη εργασία ενώ εξετάζουν το θέμα «Παράλογες ανισότητες».

Το εγχειρίδιο αντικατοπτρίζει την εμπειρία του δασκάλου στη μελέτη του θέματος «Παράλογες ανισότητες» με τους μαθητές.

Τα προβλήματα επιλέχθηκαν από υλικά εισαγωγικών εξετάσεων σε ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα, μεθοδολογικές εφημερίδες και περιοδικά για τα μαθηματικά «Πρώτη Σεπτεμβρίου», «Μαθηματικά στο σχολείο», «Quantum», σχολικά βιβλία, μια λίστα των οποίων δίνεται στο τέλος του εγχειριδίου .

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι παράλογες ανισότητες είναι εκείνες στις οποίες οι μεταβλητές ή μια συνάρτηση μιας μεταβλητής μπαίνουν κάτω από το πρόσημο της ρίζας.

Η κύρια τυπική μέθοδος για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων είναι η διαδοχική αύξηση και των δύο πλευρών της ανισότητας σε μια ισχύ προκειμένου να απαλλαγούμε από τη ρίζα. Αλλά αυτή η επέμβαση συχνά οδηγεί στην εμφάνιση ξένων ριζών ή ακόμα και στην απώλεια ριζών, δηλ. οδηγεί σε ανισότητα που είναι άνιση με την αρχική. Επομένως, πρέπει να παρακολουθούμε πολύ προσεκτικά την ισοδυναμία των μετασχηματισμών και να εξετάζουμε μόνο εκείνες τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες έχει νόημα η ανισότητα:

αν η ρίζα είναι άρτιος βαθμός, τότε η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική και η τιμή της ρίζας πρέπει επίσης να είναι μη αρνητικός αριθμός.

αν η ρίζα του βαθμού είναι περιττός αριθμός, τότε η ριζική έκφραση μπορεί να πάρει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και το πρόσημο της ρίζας συμπίπτει με το πρόσημο της ριζικής έκφρασης.

Είναι δυνατό να αυξηθούν και οι δύο πλευρές της ανισότητας σε άρτια ισχύ μόνο αφού πρώτα βεβαιωθείτε ότι δεν είναι αρνητικές.

Η αύξηση και των δύο πλευρών μιας ανισότητας στην ίδια περιττή ισχύ είναι πάντα ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός.

ΚεφάλαιοΕγώ. Παραδείγματα επίλυσης απλών παράλογων ανισοτήτων

Παραδείγματα 1- 6:

Λύση:

1. α)
.

σι)
.

2. α)

σι)

3. α)
.

σι)
.

4. α)

σι)

5. α)
.

σι)

6. α)
.

σι)
.

7.

8. α)
.

σι)

9. α)
.

σι)

11.

12. Βρείτε τον μικρότερο ακέραιο θετική αξία x ικανοποιώντας την ανισότητα

13. α) Να βρείτε το μέσο του διαστήματος λύσης προς την ανίσωση

β) Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των ακέραιων τιμών του x για τις οποίες η ανίσωση έχει λύση 4

14. Βρείτε τη μικρότερη αρνητική λύση της ανίσωσης

15. α)
;

σι)

Ενότητα II. Ανισώσεις της μορφής >g(x), g(x),g(x)

Με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνουμε τα παραδείγματα 1-4, συλλογιζόμαστε όταν λύνουμε ανισότητες του υποδεικνυόμενου τύπου.

Παράδειγμα 7 : Λύστε την ανισότητα
> Χ + 1

Λύση: Ανισότητα DZ: Χ-3. Για τη δεξιά πλευρά υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:

ΕΝΑ) Χ+ 10 (η δεξιά πλευρά είναι μη αρνητική) ή β) Χ + 1

Σκεφτείτε α) Αν Χ+10, δηλ. Χ- 1, τότε και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές. Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές: Χ + 3 >Χ+ 2Χ+ 1. Παίρνουμε τετραγωνική ανισότητα Χ+ Χ – 2 Χ x - 1, παίρνουμε -1

Θεωρήστε β) Αν Χ+1 x x -3

Συνδυασμός λύσεων στην περίπτωση α) -1 και β) Χ-3, ας γράψουμε την απάντηση: Χ
.

Είναι βολικό να γράψετε όλα τα ορίσματα κατά την επίλυση του Παραδείγματος 7 ως εξής:

Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο συστημάτων ανισοτήτων
.

Χ

Απάντηση: .

Αιτιολογία για την επίλυση ανισώσεων της μορφής

1.> σολ(Χ); 2. σολ(Χ); 3. σολ(Χ); 4. σολ(Χ) μπορεί να γραφτεί εν συντομία με τη μορφή των ακόλουθων διαγραμμάτων:

ΕΓΩ. > σολ(Χ)

2. σολ(Χ)

3. σολ(Χ)

4. σολ(Χ)
.

Παράδειγμα 8 :
Χ.

Λύση: Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα

x>0

Απάντηση: Χ
.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

σι)

σι)
.

σι)

σι)

20. α)
Χ

σι)

21. α)

Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, θα δώσουμε διάφορα παραδείγματα.

Θέμα: Εξισώσεις και ανισώσεις. Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων

Μάθημα:Παράλογες ανισότητες

Κατά την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να αυξάνονται και οι δύο πλευρές της ανισότητας σε κάποιο βαθμό· αυτή είναι μια μάλλον υπεύθυνη λειτουργία. Ας θυμηθούμε τα χαρακτηριστικά.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τετραγωνιστούν αν και οι δύο είναι μη αρνητικές, μόνο τότε λαμβάνουμε μια αληθινή ανισότητα από μια αληθινή ανισότητα.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τεθούν σε κύβους σε κάθε περίπτωση· εάν η αρχική ανισότητα ήταν αληθής, τότε όταν τεμαχιστεί σε κύβους παίρνουμε τη σωστή ανισότητα.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές, πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις.

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ είναι μια θετική έκφραση ( Τετραγωνική ρίζα) είναι μεγαλύτερη από μια αρνητική έκφραση, που σημαίνει ότι η ανισότητα ικανοποιείται πάντα.

Έτσι, έχουμε το ακόλουθο σχήμα λύσεων:

Στο πρώτο σύστημα, δεν προστατεύουμε χωριστά τη ριζική έκφραση, αφού όταν ικανοποιηθεί η δεύτερη ανισότητα του συστήματος, η ριζική έκφραση πρέπει αυτόματα να είναι θετική.

Παράδειγμα 1 - επίλυση ανισότητας:

Σύμφωνα με το διάγραμμα, προχωράμε σε ένα ισοδύναμο σύνολο δύο συστημάτων ανισοτήτων:

Ας δείξουμε:

Ρύζι. 1 - απεικόνιση της λύσης στο παράδειγμα 1

Όπως βλέπουμε, όταν απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, για παράδειγμα, όταν κάνουμε τετραγωνισμό, παίρνουμε ένα σύνολο συστημάτων. Μερικές φορές αυτός ο πολύπλοκος σχεδιασμός μπορεί να απλοποιηθεί. Στο σύνολο που προκύπτει, έχουμε το δικαίωμα να απλοποιήσουμε το πρώτο σύστημα και να αποκτήσουμε ένα ισοδύναμο σύνολο:

Ως ανεξάρτητη άσκηση, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ισοδυναμία αυτών των συνόλων.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Παρόμοια με την προηγούμενη ανισότητα, εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ η θετική έκφραση (τετραγωνική ρίζα) είναι μικρότερη από την αρνητική έκφραση, πράγμα που σημαίνει ότι η ανισότητα είναι αντιφατική. Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε το δεύτερο σύστημα.

Έχουμε ένα αντίστοιχο σύστημα:

Μερικές φορές οι παράλογες ανισότητες μπορούν να λυθούν γραφικά. Αυτή η μέθοδοςισχύει όταν τα αντίστοιχα γραφήματα μπορούν να κατασκευαστούν αρκετά εύκολα και μπορούν να βρεθούν τα σημεία τομής τους.

Παράδειγμα 2 - επίλυση ανισώσεων γραφικά:

ΕΝΑ)

σι)

Έχουμε ήδη λύσει την πρώτη ανισότητα και γνωρίζουμε την απάντηση.

Για να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις, πρέπει να κατασκευάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά και ένα γράφημα της συνάρτησης στη δεξιά πλευρά.

Ρύζι. 2. Γραφήματα συναρτήσεων και

Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να μετατρέψετε την παραβολή σε παραβολή (να την αντικατοπτρίσετε σε σχέση με τον άξονα y) και να μετατοπίσετε την καμπύλη που προκύπτει 7 μονάδες προς τα δεξιά. Το γράφημα επιβεβαιώνει ότι αυτή η συνάρτηση μειώνεται μονότονα στον τομέα ορισμού της.

Το γράφημα μιας συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή και είναι εύκολο να κατασκευαστεί. Το σημείο τομής με τον άξονα y είναι (0;-1).

Η πρώτη συνάρτηση μειώνεται μονοτονικά, η δεύτερη αυξάνεται μονότονα. Αν η εξίσωση έχει ρίζα, τότε είναι η μόνη· είναι εύκολο να τη μαντέψει κανείς από το γράφημα: .

Όταν η τιμή του ορίσματος είναι μικρότερη από τη ρίζα, η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή. Όταν η τιμή του ορίσματος είναι μεταξύ τριών και επτά, η ευθεία γραμμή περνά πάνω από την παραβολή.

Έχουμε την απάντηση:

Αποτελεσματική μέθοδοςΗ μέθοδος των διαστημάτων χρησιμοποιείται για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων.

Παράδειγμα 3 - επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος:

ΕΝΑ)

σι)

Σύμφωνα με τη μέθοδο του διαστήματος, είναι απαραίτητο να απομακρυνθούμε προσωρινά από την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, μεταφέρετε τα πάντα στη δεδομένη ανισότητα στο αριστερή πλευρά(πάρτε το μηδέν στα δεξιά) και εισαγάγετε μια συνάρτηση ίση με την αριστερή πλευρά:

Τώρα πρέπει να μελετήσουμε τη συνάρτηση που προκύπτει.

ODZ:

Έχουμε ήδη λύσει αυτή την εξίσωση γραφικά, οπότε δεν μένουμε στον προσδιορισμό της ρίζας.

Τώρα είναι απαραίτητο να επιλέξετε διαστήματα σταθερού πρόσημου και να καθορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 3. Διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου για παράδειγμα 3

Ας θυμηθούμε ότι για να προσδιορίσουμε τα σημάδια σε ένα διάστημα, είναι απαραίτητο να λάβουμε ένα δοκιμαστικό σημείο και να το αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση· η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημο που προκύπτει σε όλο το διάστημα.

Ας ελέγξουμε την τιμή στο οριακό σημείο:

Η απάντηση είναι προφανής:

Εξετάστε τον ακόλουθο τύπο ανισοτήτων:

Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ:

Οι ρίζες υπάρχουν, είναι μη αρνητικές, μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές. Παίρνουμε:

Έχουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

Το προκύπτον σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί. Όταν η δεύτερη και η τρίτη ανισότητα ικανοποιούνται, η πρώτη ισχύει αυτόματα. Εχουμε::

Παράδειγμα 4 - επίλυση ανισότητας:

Ενεργούμε σύμφωνα με το σχήμα - λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα.

Στόχοι:

1. Γενική εκπαίδευση: συστηματοποίηση, γενίκευση, διεύρυνση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών που σχετίζονται με τη χρήση μεθόδων επίλυσης ανισοτήτων.
2. Αναπτυξιακή: αναπτύξτε την ικανότητα των μαθητών να ακούν μια διάλεξη γράφοντάς την σε ένα σημειωματάριο.
3. Εκπαιδευτικό: για τη δημιουργία γνωστικών κινήτρων για τη μελέτη των μαθηματικών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

I. Εισαγωγική συνομιλία:

Τελειώσαμε το θέμα «Επίλυση παράλογων εξισώσεων» και σήμερα αρχίζουμε να μαθαίνουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες.

Αρχικά, ας θυμηθούμε ποιους τύπους ανισοτήτων μπορείτε να λύσετε και με ποιες μεθόδους;

Απάντηση: Γραμμική, τετραγωνική, ορθολογική, τριγωνομετρική. Λύνουμε γραμμικές με βάση τις ιδιότητες των ανισώσεων, τις τριγωνομετρικές τις ανάγουμε στις απλούστερες τριγωνομετρικές που λύνονται με τον τριγωνομετρικό κύκλο και τις υπόλοιπες, κυρίως, με τη μέθοδο των διαστημάτων.

Ερώτηση: Σε ποια δήλωση βασίζεται η μέθοδος διαστήματος;

Απάντηση: Σε ένα θεώρημα που δηλώνει ότι μια συνεχής συνάρτηση που δεν εξαφανίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα διατηρεί το πρόσημό της σε αυτό το διάστημα.

II.Ας δούμε μια παράλογη ανισότητα όπως >

Ερώτηση: Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος διαστήματος για την επίλυσή του;

Απάντηση: Ναι, από τη λειτουργία y =– συνεχής για D(y).

Επίλυση αυτής της ανισότητας μέθοδος διαστήματος .

Συμπέρασμα: λύσαμε πολύ εύκολα αυτήν την παράλογη ανισότητα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος, μειώνοντάς την στην επίλυση μιας παράλογης εξίσωσης.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μια άλλη ανισότητα χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο.

3)f(x)συνεχής ενεργή Δ(στ)

4) Μηδενικά συναρτήσεων:

• Χρειάζεται πολύς χρόνος για την αναζήτηση Δ(στ).
• Δύσκολος ο υπολογισμός των σημείων ελέγχου.

Τίθεται το ερώτημα: «Υπάρχουν άλλοι τρόποι να λυθεί αυτή η ανισότητα;»

Προφανώς υπάρχουν και τώρα θα τους γνωρίσουμε.

III.Ετσι, θέμα σήμερα μάθημα: «Μέθοδοι επίλυσης παράλογων ανισοτήτων».

Το μάθημα θα διεξαχθεί σε μορφή διάλεξης, αφού το σχολικό βιβλίο δεν περιέχει λεπτομερή ανάλυση όλων των μεθόδων. Ως εκ τούτου, το σημαντικό μας καθήκον είναι να συντάξουμε μια λεπτομερή περίληψη αυτής της διάλεξης.

IV.Έχουμε ήδη μιλήσει για την πρώτη μέθοδο επίλυσης παράλογων ανισοτήτων.

Αυτό - μέθοδος διαστήματος , μια καθολική μέθοδος για την επίλυση όλων των τύπων ανισοτήτων. Αλλά δεν οδηγεί πάντα στον στόχο με σύντομο και απλό τρόπο.

V.Κατά την επίλυση παράλογων ανισώσεων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ίδιες ιδέες όπως όταν λύνετε παράλογες εξισώσεις, αλλά επειδή η απλή επαλήθευση των λύσεων είναι αδύνατη (εξάλλου, οι λύσεις στις ανισώσεις είναι συνήθως ολόκληρα αριθμητικά διαστήματα), είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ισοδυναμία.

Παρουσιάζουμε σχήματα για την επίλυση των κύριων τύπων παράλογων ανισοτήτων μέθοδος ισοδύναμων μεταβάσεωναπό μια ανισότητα σε ένα σύστημα ανισοτήτων.

2. Ομοίως αποδεικνύεται ότι

Ας γράψουμε αυτά τα διαγράμματα στον πίνακα υποστήριξης. Σκεφτείτε τις αποδείξεις των τύπων 3 και 4 στο σπίτι, θα τις συζητήσουμε στο επόμενο μάθημα.

VI.Ας λύσουμε την ανισότητα με έναν νέο τρόπο.

Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με μια συλλογή συστημάτων.

VII.Και υπάρχει μια τρίτη μέθοδος που συχνά βοηθά στην επίλυση πολύπλοκων παράλογων ανισοτήτων. Έχουμε ήδη μιλήσει για αυτό σε σχέση με τις ανισότητες με συντελεστή. Αυτό μέθοδος αντικατάστασης συναρτήσεων (παράγοντες αντικατάστασης). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης είναι ότι η διαφορά στις τιμές των μονοτονικών συναρτήσεων μπορεί να αντικατασταθεί από τη διαφορά στις τιμές των ορισμάτων τους.

Σκεφτείτε μια παράλογη ανισότητα της μορφής<,

αυτό είναι -< 0.

Κατά θεώρημα, αν p(x)αυξάνεται σε ένα ορισμένο διάστημα στο οποίο ανήκουν έναΚαι σι, και ένα>σι, μετά οι ανισότητες p(a) – p(b) > 0 και α–β> 0 ισοδυναμούν με D(p), αυτό είναι

VIII.Ας λύσουμε την ανισότητα αντικαθιστώντας τους παράγοντες.

Αυτό σημαίνει ότι αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα

Έτσι, είδαμε ότι η χρήση της μεθόδου αντικατάστασης παραγόντων για τη μείωση της λύσης μιας ανισότητας στη μέθοδο του διαστήματος μειώνει σημαντικά την ποσότητα εργασίας.

IX.Τώρα που καλύψαμε τις τρεις κύριες μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων, ας το κάνουμε ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο.

Είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε τους ακόλουθους αριθμούς (σύμφωνα με το εγχειρίδιο του A. M. Mordkovich): 1790 (α) - επίλυση με τη μέθοδο των ισοδύναμων μεταβάσεων, 1791 (α) - επίλυση με τη μέθοδο αντικατάστασης παραγόντων. Για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, προτείνεται η χρήση μεθόδων που συζητήθηκαν προηγουμένως κατά την επίλυση παράλογων εξισώσεων:

• αντικατάσταση μεταβλητών.
• χρήση ODZ.
• χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μονοτονίας των συναρτήσεων.

Η ολοκλήρωση της μελέτης του θέματος είναι τεστ.

Η ανάλυση της δοκιμαστικής εργασίας δείχνει:

• τυπικά λάθη των αδύναμων μαθητών, εκτός από την αριθμητική και την άλγεβρα, είναι εσφαλμένες ισοδύναμες μεταβάσεις σε ένα σύστημα ανισοτήτων.
• Η μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων χρησιμοποιείται με επιτυχία μόνο από δυνατούς μαθητές.

Κάθε ανισότητα που περιλαμβάνει μια συνάρτηση κάτω από τη ρίζα ονομάζεται παράλογος. Υπάρχουν δύο τύποι τέτοιων ανισοτήτων:

Στην πρώτη περίπτωση, η ρίζα είναι μικρότερη από τη συνάρτηση g(x), στη δεύτερη είναι μεγαλύτερη. Αν g(x) - συνεχής, η ανισότητα απλοποιείται πολύ. Παρακαλώ σημειώστε: εξωτερικά αυτές οι ανισότητες είναι πολύ παρόμοιες, αλλά τα σχήματα επίλυσής τους είναι θεμελιωδώς διαφορετικά.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες του πρώτου τύπου - είναι οι απλούστερες και πιο κατανοητές. Το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι αυστηρό ή μη. Η ακόλουθη δήλωση ισχύει για αυτούς:

Θεώρημα. Κάθε παράλογη ανισότητα της μορφής

Ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτων:

Δεν είναι αδύναμο; Ας δούμε από πού προέρχεται αυτό το σύστημα:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - όλα είναι ξεκάθαρα εδώ. Αυτή είναι η αρχική ανισότητα στο τετράγωνο.
2. f (x) ≥ 0 είναι το ODZ της ρίζας. Να σας θυμίσω: η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικόαριθμοί?
3. g(x) ≥ 0 είναι το εύρος της ρίζας. Τετραγωνίζοντας την ανισότητα, καίμε τα αρνητικά. Ως αποτέλεσμα, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Η ανισότητα g(x) ≥ 0 τα κόβει.

Πολλοί μαθητές «κλείνουν» την πρώτη ανισότητα του συστήματος: f (x) ≤ g 2 (x) - και ξεχνάνε εντελώς τις άλλες δύο. Το αποτέλεσμα είναι προβλέψιμο: λάθος απόφαση, χαμένοι βαθμοί.

Δεδομένου ότι οι παράλογες ανισότητες είναι ένα αρκετά περίπλοκο θέμα, ας δούμε 4 παραδείγματα ταυτόχρονα. Από βασικό έως πραγματικά πολύπλοκο. Όλα τα προβλήματα λαμβάνονται από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. M. V. Lomonosov.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Μπροστά μας είναι ένα κλασικό παράλογη ανισότητα: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - σταθερά. Εχουμε:

Από τις τρεις ανισότητες, μόνο δύο παρέμειναν στο τέλος της λύσης. Επειδή η ανίσωση 2 ≥ 0 ισχύει πάντα. Ας διασχίσουμε τις υπόλοιπες ανισότητες:

Άρα, x ∈ [−1,5; 0,5]. Όλα τα σημεία είναι σκιασμένα γιατί οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Εφαρμόζουμε το θεώρημα:

Ας λύσουμε την πρώτη ανισότητα. Για να γίνει αυτό, θα αποκαλύψουμε το τετράγωνο της διαφοράς. Εχουμε:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα. Εκεί επίσης τετραγωνικό τριώνυμο:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)