Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;
Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου
Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:
Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.
Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:
η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.
Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.
Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . μέση ταχύτηταγια ορισμένο χρονικό διάστημα:
Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:
Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά
Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .
Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:
Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων
Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.
Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων
Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:
Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:
Λύση: 
Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Παράγωγο σύνθετη λειτουργίαισούται με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.
Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:
Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.
Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων
Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:
Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.
Για οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με την υπηρεσία σπουδαστών. Πίσω βραχυπρόθεσμαΘα σας βοηθήσουμε να λύσετε τις πιο δύσκολες δοκιμές και να λύσετε προβλήματα, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.
Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την έννοια της συνάρτησης δύο μεταβλητών και επίσης θα εξετάσουμε λεπτομερώς την πιο κοινή εργασία - την εύρεση μερικώς παράγωγαπρώτης και δεύτερης τάξης, πλήρες διαφορικό μιας συνάρτησης.
Για να μελετήσετε αποτελεσματικά το παρακάτω υλικό, εσείς απαραίτητηνα είναι σε θέση να βρίσκει λίγο πολύ με σιγουριά «συνήθεις» παραγώγους συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Μπορείτε να μάθετε πώς να χειρίζεστε σωστά τα παράγωγα στα μαθήματα Πώς να βρείτε το παράγωγο; και Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Χρειαζόμαστε επίσης έναν πίνακα παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι τους κανόνες διαφοροποίησης, είναι πιο βολικό εάν είναι διαθέσιμο σε έντυπη μορφή.
Ας ξεκινήσουμε με την ίδια την έννοια της συνάρτησης δύο μεταβλητών, θα προσπαθήσουμε να περιοριστούμε στο ελάχιστο της θεωρίας, αφού ο ιστότοπος έχει πρακτικό προσανατολισμό. Μια συνάρτηση δύο μεταβλητών συνήθως γράφεται ως , με τις μεταβλητές να καλούνται ανεξάρτητες μεταβλητέςή επιχειρήματα.
Παράδειγμα: - συνάρτηση δύο μεταβλητών.
Μερικές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός. Υπάρχουν επίσης εργασίες όπου χρησιμοποιείται το γράμμα αντί για ένα γράμμα.
Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τη γεωμετρική σημασία των συναρτήσεων. Μια συνάρτηση μιας μεταβλητής αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη γραμμή σε ένα επίπεδο, για παράδειγμα, τη γνωστή σχολική παραβολή. Οποιαδήποτε συνάρτηση δύο μεταβλητών με γεωμετρικό σημείοΗ όψη αντιπροσωπεύει μια επιφάνεια σε τρισδιάστατο χώρο (επίπεδα, κύλινδροι, μπάλες, παραβολοειδή κ.λπ.). Αλλά, στην πραγματικότητα, αυτό είναι ήδη αναλυτική γεωμετρία και η μαθηματική ανάλυση είναι στην ατζέντα μας.
Ας προχωρήσουμε στο ζήτημα της εύρεσης μερικών παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. Πρέπει να αναφέρετε καλα ΝΕΑγια όσους έχουν πιει μερικά φλιτζάνια καφέ και έχουν συντονιστεί σε αφάνταστα δύσκολο υλικό: οι μερικές παράγωγοι είναι σχεδόν ίδιες με τις «συνήθεις» παράγωγες μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής.
Για τις μερικές παραγώγους ισχύουν όλοι οι κανόνες διαφοροποίησης και ο πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Υπάρχουν μόνο μερικές μικρές διαφορές, στις οποίες θα φτάσουμε σε λίγο.
Παράδειγμα 1
Να βρείτε τις μερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης
Αρχικά, ας βρούμε τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης. Υπάρχουν δύο από αυτούς.
Ονομασίες:
Ή - μερική παράγωγος σε σχέση με το "x"
Ή - μερική παράγωγος σε σχέση με το "y"
Ας ξεκινήσουμε με .
Σπουδαίος! Όταν βρούμε τη μερική παράγωγο ως προς το «x», τότε τη μεταβλητή θεωρείται σταθερά (σταθερός αριθμός).
Ας αποφασίσουμε. Σε αυτό το μάθημα θα παρέχουμε αμέσως την πλήρη λύση και θα δώσουμε σχόλια παρακάτω.
Σχόλια για τις ενέργειες που πραγματοποιήθηκαν:
(1) Το πρώτο πράγμα που κάνουμε όταν βρίσκουμε τη μερική παράγωγο είναι να συμπεράνουμε όλαλειτουργία σε αγκύλες κάτω από τον αστάρι με δείκτη.
Προσοχή, σημαντικό!ΔΕΝ ΧΑΝΟΥΜΕ συνδρομητές κατά τη διαδικασία λύσης. Σε αυτήν την περίπτωση, εάν σχεδιάσετε ένα "εγκεφαλικό επεισόδιο" κάπου χωρίς , τότε ο δάσκαλος, τουλάχιστον, μπορεί να το βάλει δίπλα στην εργασία (να δαγκώσει αμέσως μέρος του σημείου για απροσεξία).
(2) Χρησιμοποιούμε τους κανόνες διαφοροποίησης 
; . Για απλό παράδειγμαόπως αυτός, και οι δύο κανόνες μπορούν εύκολα να εφαρμοστούν σε ένα βήμα. Προσοχή στον πρώτο όρο: αφού θεωρείται σταθερά και οποιαδήποτε σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο, μετά το βάζουμε εκτός παρένθεσης. Δηλαδή, σε αυτή την κατάσταση δεν είναι καλύτερο από έναν συνηθισμένο αριθμό. Ας δούμε τώρα τον τρίτο όρο: εδώ, αντίθετα, δεν υπάρχει τίποτα να βγάλουμε. Δεδομένου ότι είναι μια σταθερά, είναι επίσης μια σταθερά, και από αυτή την άποψη δεν είναι καλύτερο από τον τελευταίο όρο - "επτά".
(2) Χρησιμοποιούμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων. Ας αλλάξουμε νοερά όλα τα «Χ» στον πίνακα σε «Εγώ». Δηλαδή, αυτός ο πίνακας ισχύει εξίσου (και γενικά για οποιοδήποτε γράμμα).Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι που χρησιμοποιούμε είναι: και .
Έτσι, βρίσκονται οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης
Η αριθμομηχανή υπολογίζει τις παραγώγους όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, δίνοντας αναλυτική λύση. Η μεταβλητή διαφοροποίησης προσδιορίζεται αυτόματα.
Παράγωγος συνάρτησης- μια από τις πιο σημαντικές έννοιες σε μαθηματική ανάλυση. Η εμφάνιση της παραγώγου οδήγησε σε τέτοια προβλήματα όπως, για παράδειγμα, ο υπολογισμός της στιγμιαίας ταχύτητας ενός σημείου σε μια χρονική στιγμή, εάν είναι γνωστή η διαδρομή ανάλογα με το χρόνο, το πρόβλημα της εύρεσης της εφαπτομένης σε μια συνάρτηση σε ένα σημείο.
Τις περισσότερες φορές, η παράγωγος μιας συνάρτησης ορίζεται ως το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, εάν υπάρχει.
Ορισμός.Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου. Τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο ονομάζεται όριο, αν υπάρχει
Πώς να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης;
Για να μάθετε να διαφοροποιείτε τις λειτουργίες, πρέπει να μάθετε και να κατανοήσετε κανόνες διαφοροποίησηςκαι μάθε να χρησιμοποιείς πίνακας παραγώγων.
Κανόνες διαφοροποίησης
Έστω και είναι αυθαίρετες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής και είναι κάποια πραγματική σταθερά. Επειτα
— κανόνας για τη διαφοροποίηση του γινομένου των συναρτήσεων
— κανόνας διαφοροποίησης συναρτήσεων πηλίκου
0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — διαφοροποίηση συνάρτησης με μεταβλητό εκθέτη
— κανόνας για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης
— κανόνας για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης ισχύος
Παράγωγο μιας συνάρτησης σε απευθείας σύνδεση
Η αριθμομηχανή μας θα υπολογίσει γρήγορα και με ακρίβεια την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης στο διαδίκτυο. Το πρόγραμμα δεν θα κάνει λάθη κατά τον υπολογισμό της παραγώγου και θα σας βοηθήσει να αποφύγετε μεγάλους και κουραστικούς υπολογισμούς. Ηλεκτρονική αριθμομηχανήΘα είναι επίσης χρήσιμο στην περίπτωση που υπάρχει ανάγκη να ελέγξετε την ορθότητα της λύσης σας και εάν είναι λανθασμένη, βρείτε γρήγορα το σφάλμα.
Κάθε μερική παράγωγος (από Χκαι από y) μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι η συνήθης παράγωγος μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής για μια σταθερή τιμή της άλλης μεταβλητής:
(Οπου y= const),
(Οπου Χ= const).
Επομένως, οι επιμέρους παράγωγοι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τύπους και κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων συναρτήσεων μιας μεταβλητής, ενώ εξετάζουμε την άλλη μεταβλητή σταθερά.
Εάν δεν χρειάζεστε ανάλυση παραδειγμάτων και την ελάχιστη θεωρία που απαιτείται για αυτό, αλλά χρειάζεστε μόνο μια λύση στο πρόβλημά σας, τότε μεταβείτε στο διαδικτυακή αριθμομηχανή μερικής παραγώγου .
Εάν είναι δύσκολο να συγκεντρωθείτε για να παρακολουθείτε πού βρίσκεται η σταθερά στη συνάρτηση, τότε στην πρόχειρη λύση του παραδείγματος, αντί για μια μεταβλητή με σταθερή τιμή, μπορείτε να αντικαταστήσετε οποιονδήποτε αριθμό - τότε μπορείτε γρήγορα να υπολογίσετε τη μερική παράγωγο ως η συνήθης παράγωγος μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Απλώς πρέπει να θυμάστε να επιστρέψετε τη σταθερά (μια μεταβλητή με σταθερή τιμή) στη θέση της όταν τελειώσετε την τελική σχεδίαση.
Η ιδιότητα των μερικών παραγώγων που περιγράφεται παραπάνω προκύπτει από τον ορισμό της μερικής παραγώγου, η οποία μπορεί να εμφανίζεται σε ερωτήσεις εξετάσεων. Επομένως, για να εξοικειωθείτε με τον παρακάτω ορισμό, μπορείτε να ανοίξετε τη θεωρητική αναφορά.
Έννοια της συνέχειας της λειτουργίας z= φά(Χ, y) σε ένα σημείο ορίζεται παρόμοια με αυτήν την έννοια για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής.
Λειτουργία z = φά(Χ, y) ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο αν
Διαφορά (2) ονομάζεται η συνολική αύξηση της συνάρτησης z(λαμβάνεται ως αποτέλεσμα προσαυξήσεων και των δύο ορισμάτων).
Αφήστε τη συνάρτηση να δοθεί z= φά(Χ, y) και περίοδο
Εάν αλλάξει η λειτουργία zεμφανίζεται όταν αλλάζει μόνο ένα από τα ορίσματα, για παράδειγμα, Χ, με μια σταθερή τιμή ενός άλλου ορίσματος y, τότε η συνάρτηση θα λάβει μια αύξηση
ονομάζεται μερική αύξηση της συνάρτησης φά(Χ, y) Με Χ.
Εξετάζοντας μια αλλαγή συνάρτησης zανάλογα με την αλλαγή μόνο ενός από τα ορίσματα, μεταβαίνουμε ουσιαστικά σε μια συνάρτηση μιας μεταβλητής.
Εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο
τότε ονομάζεται μερική παράγωγος της συνάρτησης φά(Χ, y) με επιχείρημα Χκαι υποδεικνύεται με ένα από τα σύμβολα
(4)
Η μερική αύξηση προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο zΜε y:
και μερική παράγωγο φά(Χ, y) Με y:
(6)
Παράδειγμα 1.
Λύση. Βρίσκουμε τη μερική παράγωγο σε σχέση με τη μεταβλητή "x":
(yσταθερός);
Βρίσκουμε τη μερική παράγωγο σε σχέση με τη μεταβλητή "y":
(Χσταθερός).
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν έχει σημασία σε ποιο βαθμό η μεταβλητή είναι σταθερή: στην περίπτωση αυτή είναι απλώς ένας συγκεκριμένος αριθμός που είναι ένας παράγοντας (όπως στην περίπτωση της συνήθους παραγώγου) της μεταβλητής με την οποία βρίσκουμε τη μερική παράγωγο . Εάν η σταθερή μεταβλητή δεν πολλαπλασιαστεί με τη μεταβλητή με την οποία βρίσκουμε τη μερική παράγωγο, τότε αυτή η μοναχική σταθερά, ανεξάρτητα από το βαθμό, όπως στην περίπτωση της συνηθισμένης παραγώγου, εξαφανίζεται.
Παράδειγμα 2.Δίνεται μια λειτουργία
Βρείτε μερικές παραγώγους
(κατά Χ) και (κατά Υ) και υπολογίστε τις τιμές τους στο σημείο ΕΝΑ (1; 2).
Λύση. Στα σταθερά yη παράγωγος του πρώτου όρου βρίσκεται ως η παράγωγος της συνάρτησης ισχύος ( πίνακας παραγώγων συναρτήσεων μιας μεταβλητής):
.
Στα σταθερά Χη παράγωγος του πρώτου όρου βρίσκεται ως παράγωγος εκθετικη συναρτησηκαι το δεύτερο – ως παράγωγο σταθεράς:
Τώρα ας υπολογίσουμε τις τιμές αυτών των μερικών παραγώγων στο σημείο ΕΝΑ (1; 2):
Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σε προβλήματα μερικής παραγώγου στο διαδικτυακή αριθμομηχανή μερικής παραγώγου .
Παράδειγμα 3.Να βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης
Λύση. Σε ένα βήμα βρίσκουμε
(y Χ, σαν το όρισμα του ημιτονοειδούς να ήταν 5 Χ: με τον ίδιο τρόπο, το 5 εμφανίζεται πριν από το σύμβολο της συνάρτησης).
(Χείναι σταθερό και σε αυτή την περίπτωση είναι πολλαπλασιαστής στο y).
Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σε προβλήματα μερικής παραγώγου στο διαδικτυακή αριθμομηχανή μερικής παραγώγου .
Οι επιμέρους παράγωγοι μιας συνάρτησης τριών ή περισσότερων μεταβλητών ορίζονται παρόμοια.
Εάν κάθε σύνολο τιμών ( Χ; y; ...; t) ανεξάρτητες μεταβλητές από το σύνολο ρεαντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή uαπό πολλούς μι, Οτι uονομάζεται συνάρτηση μεταβλητών Χ, y, ..., tκαι δηλώνουν u= φά(Χ, y, ..., t).
Για συναρτήσεις τριών ή περισσότερων μεταβλητών, δεν υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία.
Μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών προσδιορίζονται επίσης και υπολογίζονται με την παραδοχή ότι μόνο μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές αλλάζει, ενώ οι άλλες είναι σταθερές.
Παράδειγμα 4.Να βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης
.
Λύση. yΚαι zσταθερός:
ΧΚαι zσταθερός:
ΧΚαι yσταθερός:
Βρείτε μόνοι σας μερικές παραγώγους και μετά δείτε τις λύσεις
Παράδειγμα 5.
Παράδειγμα 6.Να βρείτε μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης.
Η μερική παράγωγος μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών έχει την ίδια η μηχανική σημασία είναι η ίδια με την παράγωγο μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, είναι ο ρυθμός αλλαγής της συνάρτησης σε σχέση με μια αλλαγή σε ένα από τα ορίσματα.
Παράδειγμα 8.Ποσοτική τιμή ροής Πεπιβάτες σιδηροδρόμωνμπορεί να εκφραστεί με μια συνάρτηση
Οπου Π– αριθμός επιβατών, Ν– αριθμός κατοίκων ανταποκριτών σημείων, R– απόσταση μεταξύ σημείων.
Μερική παράγωγος συνάρτησης ΠΜε R, ίσος
δείχνει ότι η μείωση της ροής επιβατών είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ αντίστοιχων σημείων με τον ίδιο αριθμό κατοίκων σε σημεία.
Μερική παράγωγος ΠΜε Ν, ίσος
δείχνει ότι η αύξηση της ροής επιβατών είναι ανάλογη με το διπλάσιο του αριθμού των κατοίκων των οικισμών στην ίδια απόσταση μεταξύ των σημείων.
Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σε προβλήματα μερικής παραγώγου στο διαδικτυακή αριθμομηχανή μερικής παραγώγου .
Πλήρες διαφορικό
Το γινόμενο μιας μερικής παραγώγου και η αύξηση της αντίστοιχης ανεξάρτητης μεταβλητής ονομάζεται μερική διαφορική. Τα μερικά διαφορικά σημειώνονται ως εξής:
Το άθροισμα των μερικών διαφορών για όλες τις ανεξάρτητες μεταβλητές δίνει τη συνολική διαφορά. Για μια συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, η συνολική διαφορά εκφράζεται με την ισότητα
(7)
Παράδειγμα 9.Να βρείτε το πλήρες διαφορικό μιας συνάρτησης
Λύση. Το αποτέλεσμα της χρήσης του τύπου (7):
Μια συνάρτηση που έχει μια συνολική διαφορά σε κάθε σημείο ενός συγκεκριμένου τομέα λέγεται ότι είναι διαφορίσιμη σε αυτόν τον τομέα.
Βρείτε μόνοι σας το συνολικό διαφορικό και μετά δείτε τη λύση
Ακριβώς όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο πεδίο συνεπάγεται τη συνέχειά της σε αυτό το πεδίο, αλλά όχι το αντίστροφο.
Ας διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη μια επαρκή συνθήκη για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης.
Θεώρημα.Εάν η συνάρτηση z= φά(Χ, y) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους
σε μια δεδομένη περιοχή, τότε είναι διαφοροποιήσιμο σε αυτήν την περιοχή και η διαφορά του εκφράζεται με τον τύπο (7).
Μπορεί να φανεί ότι, όπως στην περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, το διαφορικό της συνάρτησης είναι το κύριο γραμμικό μέρος της αύξησης της συνάρτησης, έτσι και στην περίπτωση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, η συνολική διαφορά είναι η κύρια, γραμμική ως προς τις αυξήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών, μέρος της συνολικής αύξησης της συνάρτησης.
Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, η συνολική αύξηση της συνάρτησης έχει τη μορφή
(8)
όπου τα α και β είναι απειροελάχιστα στο και .
Μερικά παράγωγα υψηλότερης τάξης
Μερικές παράγωγοι και συναρτήσεις φά(Χ, y) οι ίδιες είναι κάποιες συναρτήσεις των ίδιων μεταβλητών και, με τη σειρά τους, μπορούν να έχουν παράγωγα σε σχέση με διαφορετικές μεταβλητές, οι οποίες ονομάζονται μερικές παράγωγοι υψηλότερης τάξης.
Συναρτήσεις δύο μεταβλητών, μερικών παραγώγων, διαφορικών και κλίσης
Θέμα 5.Συναρτήσεις δύο μεταβλητών.
μερικώς παράγωγα
Ορισμός συνάρτησης δύο μεταβλητών, μέθοδοι ρύθμισης.
Μερικά παράγωγα.
Διαβάθμιση συνάρτησης μιας μεταβλητής
Εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε έναν κλειστό περιορισμένο τομέα
1. Ορισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών, μέθοδοι ρύθμισης
Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών
τομέα ορισμού
είναι μερικά σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο
και το εύρος τιμών είναι το διάστημα στον άξονα 
.
Για οπτική αναπαράσταση συναρτήσεις δύο αλλαγών nyh εφαρμόζονται γραμμές επιπέδου.
Παράδειγμα
.
Για λειτουργία 
δημιουργήστε ένα γράφημα και τις γραμμές επιπέδου. Γράψτε την εξίσωση της γραμμής επιπέδου που διέρχεται από το σημείο 
.
Πρόγραμμα γραμμική συνάρτηση είναι επίπεδοστο διάστημα.
Για μια συνάρτηση, το γράφημα είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία 
, 
, 
.
Γραμμές επιπέδου λειτουργίαςείναι παράλληλες ευθείες των οποίων η εξίσωση είναι 
.
Για γραμμική συνάρτηση δύο μεταβλητών
Οι γραμμές επιπέδου δίνονται από την εξίσωση 
και αντιπροσωπεύουν μια οικογένεια παράλληλων ευθειών σε ένα επίπεδο.
4
Γράφημα μιας συνάρτησης 0 1 2 X
Γραμμές επιπέδου λειτουργίας
Ιδιωτικά έργαπαράγωγες συναρτήσεις δύο μεταβλητών
Εξετάστε τη συνάρτηση 
. Ας δώσουμε τη μεταβλητή 
στο σημείο 
αυθαίρετη αύξηση 
, φεύγοντας μεταβλητή τιμή 
αμετάβλητος. Αντίστοιχη Αύξηση Συνάρτησης
που ονομάζεται ιδιωτική αύξηση συνάρτησης ανά μεταβλητήστο σημείο 
.
Ορίζεται ομοίως μερική αύξηση συνάρτησηςκατά μεταβλητή: .
Ονομασίαμερικό παράγωγο σε σχέση με: 
, 
,
, 
.
Μερική παράγωγος συνάρτησης σε σχέση με μεταβλητή 
ονομάζεται το τελικό όριο :
Ονομασίες: 
, 
,
, 
.
Να βρεθεί η μερική παράγωγος 
ανά μεταβλητή, χρησιμοποιούνται οι κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, υποθέτοντας ότι η μεταβλητή είναι σταθερή..
Ομοίως, να βρεθεί η μερική παράγωγος σε σχέση με μια μεταβλητή μια μεταβλητή θεωρείται σταθερή 
.
Παράδειγμα
. Για λειτουργία 
βρείτε μερικά παράγωγα 
, 
και υπολογίστε τις τιμές τους στο σημείο 
.
Μερική παράγωγος συνάρτησης 
κατά μεταβλητή είναι υπό την παραδοχή ότι είναι σταθερή:
Ας βρούμε τη μερική παράγωγο της συνάρτησης σε σχέση με , υποθέτοντας σταθερά:
Ας υπολογίσουμε τις τιμές των μερικών παραγώγων στο 
, 
:
; 
.
Μερικά παράγωγα δεύτερης τάξης Οι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ονομάζονται μερικές παράγωγοι μερικών παραγώγων πρώτης τάξης.
Ας γράψουμε τις επιμέρους παραγώγους 2ης τάξης για τη συνάρτηση:
; 
;
; 
.
; 
και τα λοιπά.
Εάν οι μικτές μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών είναι συνεχείς σε κάποιο σημείο 
, Τότε αυτοί ίσα μεταξύ τουςσε αυτό το σημείο. Αυτό σημαίνει ότι για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, οι τιμές των μικτών μερικών παραγώγων δεν εξαρτώνται από τη σειρά διαφοροποίησης:
.
Παράδειγμα.
Για τη συνάρτηση, βρείτε τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης 
Και 
.
Λύση
Η μικτή μερική παράγωγος βρίσκεται διαφοροποιώντας πρώτα τη συνάρτηση διαδοχικά 
με (υποθέτοντας σταθερό), στη συνέχεια διαφοροποιώντας την παράγωγο 
από (θεωρώντας σταθερά).
Η παράγωγος βρίσκεται διαφοροποιώντας πρώτα τη συνάρτηση ως προς το , και μετά την παράγωγο ως προς το .
Οι μικτές μερικές παράγωγοι είναι ίσες μεταξύ τους: 
.
3. Διαβάθμιση συνάρτησης δύο μεταβλητών
Ιδιότητες κλίσης
Παράδειγμα
. Δίνεται μια λειτουργία 
. Βρείτε την κλίση 
στο σημείο 
και χτίστε το.
Λύση
Ας βρούμε τις συντεταγμένες της βαθμίδας - μερικών παραγώγων.
Στο σημείο 
βαθμίδα
ίσο με . Αρχή του διανύσματος 
στο σημείο και το τέλος στο σημείο.
5 
4. Εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε μια κλειστή περιορισμένη περιοχή
Διατύπωση του προβλήματος.
Αφήστε να υπάρχει μια κλειστή οριοθετημένη περιοχή στο επίπεδο 
δίνεται από ένα σύστημα ανισοτήτων της μορφής 
. Απαιτείται η εύρεση σημείων στην περιοχή στην οποία η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.
Σημαντικό είναι πρόβλημα εύρεσης εξτρέμ, μαθηματικό μοντέλοπου περιέχει γραμμικόςπεριορισμούς (εξισώσεις, ανισότητες) και γραμμικόςλειτουργία 
.
Διατύπωση του προβλήματος.
Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης 
(2.1)
υπό περιορισμούς
(2.2)
. (2.3)
Αφού για μια γραμμική συνάρτηση δεν υπάρχουν πολλές μεταβλητές κρίσιμα σημεία μέσαπεριοχή 
, τότε επιτυγχάνεται μόνο η βέλτιστη λύση, η οποία αποδίδει ένα άκρο στην αντικειμενική συνάρτηση στα σύνορα της περιοχής. Για μια περιοχή που ορίζεται από γραμμικούς περιορισμούς, τα σημεία του πιθανού άκρου είναι γωνιακά σημεία. Αυτό μας επιτρέπει να εξετάσουμε τη λύση στο πρόβλημα γραφική μέθοδος.
Γραφική λύση συστήματος γραμμικών ανισώσεων
Για γραφική λύσηΓια αυτό το πρόβλημα, πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε γραφικά συστήματα γραμμικών ανισοτήτων με δύο μεταβλητές.
Διαδικασία:
Σημειώστε ότι η ανισότητα 
ορίζει δεξιά συντεταγμένη ημιεπίπεδο(από άξονα 
), και την ανισότητα 
- άνω ημιεπίπεδο συντεταγμένων(από άξονα 
).
Παράδειγμα.
Λύστε γραφικά την ανισότητα 
.
Ας γράψουμε την εξίσωση της οριακής γραμμής 
και χτίστε το με βάση δύο σημεία, για παράδειγμα, 
Και 
. Μια ευθεία γραμμή χωρίζει ένα επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα.
Συντεταγμένες σημείων 
ικανοποιεί την ανισότητα ( 
– true), που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες όλων των σημείων του ημιεπιπέδου που περιέχει το σημείο ικανοποιούν την ανισότητα. Η λύση στην ανισότητα θα είναι οι συντεταγμένες των σημείων του ημιεπίπεδου που βρίσκονται στα δεξιά της οριακής γραμμής, συμπεριλαμβανομένων των σημείων στο όριο. Το επιθυμητό ημιεπίπεδο επισημαίνεται στο σχήμα.
Λύση 
σύστημα ανισοτήτων ονομάζεται δεκτός, αν οι συντεταγμένες του είναι μη αρνητικές, . Το σύνολο των εφικτών λύσεων στο σύστημα των ανισοτήτων σχηματίζει μια περιοχή που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων.
Παράδειγμα. Κατασκευάστε το πεδίο επίλυσης του συστήματος των ανισοτήτων
Οι λύσεις στις ανισότητες είναι:
1) 
- ημιεπίπεδο που βρίσκεται αριστερά και κάτω σε σχέση με την ευθεία ( 
) 
;
2) 
– ημιεπίπεδο που βρίσκεται στο κάτω δεξιό μισό επίπεδο σε σχέση με την ευθεία ( 
) 
;
3) 
- ημιεπίπεδο που βρίσκεται στα δεξιά της ευθείας γραμμής ( 
) 
;
4) - ημιεπίπεδο πάνω από τον άξονα x, δηλαδή ευθεία γραμμή ( 
) 
.
0 
Σειρά εφικτών λύσεωνενός δεδομένου συστήματος γραμμικών ανισώσεων είναι ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται μέσα και πάνω στο όριο του τετράπλευρου 
, το οποίο είναι σημείο τομήςτέσσερα μισά αεροπλάνα.
Γεωμετρική αναπαράσταση γραμμικής συνάρτησης
(γραμμές επιπέδου και κλίση)
Ας διορθώσουμε την τιμή 
, παίρνουμε την εξίσωση 
, που ορίζει γεωμετρικά μια ευθεία γραμμή. Σε κάθε σημείο της γραμμής η συνάρτηση παίρνει την τιμή 
και είναι γραμμή επιπέδου.Δίνοντας 
διαφορετικές έννοιες, Για παράδειγμα, 
, ... , έχουμε πολλές γραμμές επιπέδου - σύνολο παράλληλων
απευθείας.
Ας χτίσουμε βαθμίδα- διάνυσμα 
, των οποίων οι συντεταγμένες είναι ίσες με τις τιμές των συντελεστών των μεταβλητών στη συνάρτηση 
. Αυτό το διάνυσμα: 1) κάθετη σε κάθε ευθεία (γραμμή επιπέδου) 
; 2) δείχνει την κατεύθυνση αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης.
Παράδειγμα
. Γραμμές επιπέδου γραφικής παράστασης και συναρτήσεις κλίσης 
.
Οι γραμμές επιπέδου στο , , είναι ευθείες 
, 
, 
, παράλληλα μεταξύ τους. Η κλίση είναι ένα διάνυσμα κάθετο σε κάθε γραμμή επιπέδου.
Γραφική εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας γραμμικής συνάρτησης σε μια περιοχή
Γεωμετρική διατύπωση του προβλήματος. Να βρείτε στο πεδίο ορισμού του συστήματος των γραμμικών ανισώσεων το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία επιπέδου, που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας γραμμικής συνάρτησης με δύο μεταβλητές.
Αλληλουχία:
4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α λύνοντας το σύστημα εξισώσεων των ευθειών που τέμνονται στο σημείο Α και να υπολογίσετε μικρότερη τιμήλειτουργίες 
. Ομοίως για το σημείο Β και υψηλότερη τιμήλειτουργίες 
. χτισμένο σε σημεία.μεταβλητές Ιδιωτικόςπαράγωγαλειτουργίεςαρκετά μεταβλητέςκαι τεχνική διαφοροποίησης. Ακραίο λειτουργίεςδύομεταβλητέςκαι είναι απαραίτητο...