Εκτός εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα (βλ. 7.2.3.)η πιο σημαντική εφαρμογή του θέματος είναι τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος περιστροφής. Το υλικό είναι απλό, αλλά ο αναγνώστης πρέπει να είναι προετοιμασμένος: πρέπει να μπορείς να λύσεις αόριστα ολοκληρώματαμέσης πολυπλοκότητας και εφαρμόστε τον τύπο Newton-Leibniz σε οριστική ολοκλήρωμα, nΧρειάζεστε επίσης δυνατές δεξιότητες σχεδίασης. Γενικά, υπάρχουν πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές στον ολοκληρωτικό λογισμό· χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή ενός σχήματος, τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, το μήκος ενός τόξου, την επιφάνεια ενός σώματος και πολλα ΑΚΟΜΑ. Φανταστείτε μια επίπεδη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων. Εισήχθη; ... Τώρα αυτό το σχήμα μπορεί επίσης να περιστραφεί και να περιστραφεί με δύο τρόπους:

– γύρω από τον άξονα x ;

– γύρω από τον άξονα τεταγμένων .

Ας δούμε και τις δύο περιπτώσεις. Η δεύτερη μέθοδος περιστροφής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα· προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα η λύση είναι σχεδόν η ίδια με την πιο κοινή περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Ας ξεκινήσουμε με τον πιο δημοφιλή τύπο περιστροφής.

Υπολογισμός όγκου σώματος, σχηματίζεται με περιστροφήεπίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙ

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από έναν άξονα.

Λύση:Όπως και στο πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής, η λύση ξεκινά με ένα σχέδιο μιας επίπεδης φιγούρας. Σε αεροπλάνο δηλαδή XOYείναι απαραίτητο να κατασκευάσετε ένα σχήμα που οριοθετείται από τις γραμμές και μην ξεχνάτε ότι η εξίσωση καθορίζει τον άξονα. Το σχέδιο εδώ είναι αρκετά απλό:

Η επιθυμητή επίπεδη φιγούρα σκιάζεται με μπλε χρώμα· είναι αυτή που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Ως αποτέλεσμα της περιστροφής, το αποτέλεσμα είναι ένας ελαφρώς ωοειδής ιπτάμενος δίσκος με δύο αιχμηρές κορυφές στον άξονα ΒΟΔΙ, συμμετρικά ως προς τον άξονα ΒΟΔΙ. Στην πραγματικότητα, το σώμα έχει ένα μαθηματικό όνομα, κοιτάξτε στο βιβλίο αναφοράς.

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής; Εάν ένα σώμα σχηματίζεται ως αποτέλεσμα περιστροφής γύρω από έναν άξοναΒΟΔΙ, χωρίζεται νοερά σε παράλληλες στρώσεις μικρού πάχους dx, τα οποία είναι κάθετα στον άξονα ΒΟΔΙ. Ο όγκος ολόκληρου του σώματος είναι προφανώς ίσος με το άθροισμα των όγκων τέτοιων στοιχειωδών στρωμάτων. Κάθε στρώση, σαν μια στρογγυλή φέτα λεμονιού, είναι ένας χαμηλός κύλινδρος σε ύψος dxκαι με ακτίνα βάσης φά(Χ). Τότε ο όγκος ενός στρώματος είναι το γινόμενο του εμβαδού βάσης π φά 2 ανά κύλινδρο ύψος ( dx), ή π∙ φά 2 (Χ)∙dx. Και το εμβαδόν ολόκληρου του σώματος περιστροφής είναι το άθροισμα των στοιχειωδών όγκων ή το αντίστοιχο οριστικό ολοκλήρωμα. Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

.

Το πώς να θέσετε τα όρια ολοκλήρωσης "a" και "be" μπορεί εύκολα να μαντέψει από το ολοκληρωμένο σχέδιο. Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της παραβολής στην κορυφή. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο. Σε πρακτικές εργασίες, μια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - η συνάρτηση στον τύπο είναι τετράγωνο: φά 2 (Χ), Ετσι, ο όγκος ενός σώματος περιστροφής είναι πάντα μη αρνητικός, που είναι πολύ λογικό. Ας υπολογίσουμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο:

.

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.

Απάντηση:

Στην απάντησή σας πρέπει να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί κυβικά μονάδες? Γιατί αυτή είναι η πιο καθολική διατύπωση. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσους πράσινους άντρες μπορεί να βάλει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας το σχήμα που οριοθετείται από τις ευθείες , , και γύρω από τον άξονα της τετμημένης.

Λύση:Ας απεικονίσουμε στο σχέδιο ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τις γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση Χ= 0 καθορίζει τον άξονα OY:

Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙΤο αποτέλεσμα είναι ένα επίπεδο, γωνιακό ντόνατ (ροδέλα με δύο κωνικές επιφάνειες).

Ας υπολογίσουμε τον όγκο του σώματος περιστροφής ως διαφορά στους όγκους των σωμάτων. Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα ΒΟΔΙτο αποτέλεσμα είναι ένας κόλουρος κώνος. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου με V 1 .

Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο πράσινος. Εάν περιστρέψετε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα ΒΟΔΙ, τότε θα έχετε τον ίδιο κολοβωμένο κώνο, μόνο λίγο μικρότερο. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο του με V 2 .

Είναι προφανές ότι η διαφορά στους όγκους V = V 1 - V 2 είναι ο όγκος του «ντόνατ» μας.

Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής:

1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:

3) Όγκος του επιθυμητού σώματος της επανάστασης:

Απάντηση:

Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.

Η ίδια η απόφαση συχνά γράφεται πιο σύντομη, κάπως έτσι:

επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα

Παράδειγμα 3

Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τις γραμμές , , .

1) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.

2) Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.

Προσοχή!Ακόμα κι αν θέλετε να διαβάσετε μόνο το δεύτερο σημείο, πρώτα Αναγκαίωςδιάβασε το πρώτο!

Λύση: Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Ας ξεκινήσουμε με την πλατεία.

1) Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση καθορίζει τον άνω κλάδο της παραβολής και η συνάρτηση καθορίζει τον κάτω κλάδο της παραβολής. Μπροστά μας είναι μια τετριμμένη παραβολή που «βρίσκεται στο πλάι της».

Η επιθυμητή φιγούρα, η περιοχή της οποίας πρέπει να βρεθεί, είναι σκιασμένη με μπλε.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας; Μπορεί να βρεθεί με τον «κανονικό» τρόπο. Επιπλέον, το εμβαδόν του σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των εμβαδών:

- στο τμήμα ;

- στο τμήμα.

Να γιατί:

Υπάρχει μια πιο ορθολογική λύση: συνίσταται στη μετάβαση σε αντίστροφες συναρτήσεις και στην ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα.

Πώς να φτάσετε σε αντίστροφες συναρτήσεις; Σε γενικές γραμμές, πρέπει να εκφράσετε το "x" μέσω του "y". Αρχικά, ας δούμε την παραβολή:

Αυτό είναι αρκετό, αλλά ας βεβαιωθούμε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να προέλθει από τον κάτω κλάδο:

Είναι πιο εύκολο με μια ευθεία γραμμή:

Τώρα κοιτάξτε τον άξονα: παρακαλούμε να γέρνετε περιοδικά το κεφάλι σας προς τα δεξιά 90 μοίρες όπως εξηγείτε (αυτό δεν είναι αστείο!). Το σχήμα που χρειαζόμαστε βρίσκεται στο τμήμα, το οποίο υποδεικνύεται με την κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, στο τμήμα η ευθεία βρίσκεται πάνω από την παραβολή, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εσάς: . Τι έχει αλλάξει στη φόρμουλα; Μόνο ένα γράμμα και τίποτα παραπάνω.

! Σημείωση : Όρια ολοκλήρωσης άξονα πρέπει να τοποθετηθείαυστηρά από κάτω προς τα πάνω !

Εύρεση της περιοχής:

Ως εκ τούτου, στο τμήμα:

Παρακαλώ σημειώστε πώς πραγματοποίησα την ενσωμάτωση, αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος, και στην επόμενη παράγραφο της εργασίας θα είναι σαφές γιατί.

Για τους αναγνώστες που αμφιβάλλουν για την ορθότητα της ολοκλήρωσης, θα βρω παράγωγα:

Λαμβάνεται η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, που σημαίνει ότι η ενσωμάτωση εκτελέστηκε σωστά.

Απάντηση:

2) Ας υπολογίσουμε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα.

Θα ξανασχεδιάσω το σχέδιο σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σχέδιο:

Έτσι, το σχήμα που σκιάζεται με μπλε περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα είναι μια «αιωρούμενη πεταλούδα» που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της.

Για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, θα ενσωματώσουμε κατά μήκος του άξονα. Πρώτα πρέπει να πάμε στις αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό έχει ήδη γίνει και περιγράφεται λεπτομερώς στην προηγούμενη παράγραφο.

Τώρα γέρνουμε πάλι το κεφάλι μας προς τα δεξιά και μελετάμε τη σιλουέτα μας. Προφανώς, ο όγκος ενός σώματος περιστροφής θα πρέπει να βρεθεί ως η διαφορά στους όγκους.

Περιστρέφουμε τη φιγούρα κυκλωμένη με κόκκινο γύρω από τον άξονα, με αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας υποδηλώσουμε αυτόν τον τόμο με .

Περιστρέφουμε το σχήμα με πράσινο κύκλο γύρω από τον άξονα και το συμβολίζουμε με τον όγκο του σώματος περιστροφής που προκύπτει.

Ο όγκος της πεταλούδας μας είναι ίσος με τη διαφορά των όγκων.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής:

Ποια είναι η διαφορά από τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου; Μόνο στην επιστολή.

Αλλά το πλεονέκτημα της ενσωμάτωσης, για το οποίο μίλησα πρόσφατα, είναι πολύ πιο εύκολο να βρεθεί , αντί να ανεβάσουμε πρώτα το ολοκληρωμένο στην 4η δύναμη.

Απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι εάν η ίδια επίπεδη φιγούρα περιστραφεί γύρω από τον άξονα, θα έχετε ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής, με διαφορετικό όγκο, φυσικά.

Παράδειγμα 7

Να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα ενός σχήματος που οριοθετείται από καμπύλες και .

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Στην πορεία, εξοικειωνόμαστε με τα γραφήματα κάποιων άλλων συναρτήσεων. Εδώ είναι ένα ενδιαφέρον γράφημα μιας άρτιας συνάρτησης...

Για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε το δεξί μισό του σχήματος, το οποίο σκίασα με μπλε χρώμα. Και οι δύο συναρτήσεις είναι άρτιες, τα γραφήματα τους είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα και το σχήμα μας είναι συμμετρικό. Έτσι, το σκιασμένο δεξί τμήμα, που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, σίγουρα θα συμπίπτει με το αριστερό μη σκιασμένο τμήμα.

Ι. Όγκοι σωμάτων περιστροφής. Μελετήστε προκαταρκτικά το Κεφάλαιο XII, παράγραφοι 197, 198 από το σχολικό βιβλίο του G. M. Fikhtengolts * Αναλύστε λεπτομερώς τα παραδείγματα που δίνονται στην παράγραφο 198.

508. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται περιστρέφοντας μια έλλειψη γύρω από τον άξονα Ox.

Ετσι,

530. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox του ημιτονοειδούς τόξου y = sin x από το σημείο X = 0 έως το σημείο X = It.

531. Υπολογίστε την επιφάνεια ενός κώνου με ύψος h και ακτίνα r.

532. Να υπολογίσετε την επιφάνεια που σχηματίστηκε

περιστροφή του αστροειδούς x3 -)- y* - a3 γύρω από τον άξονα Ox.

533. Υπολογίστε την επιφάνεια που σχηματίζεται περιστρέφοντας τον βρόχο της καμπύλης 18 ug - x (6 - x) z γύρω από τον άξονα Ox.

534. Να βρείτε την επιφάνεια του δακτύλου που παράγεται από την περιστροφή του κύκλου X2 - j - (y-3)2 = 4 γύρω από τον άξονα Ox.

535. Να υπολογίσετε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του κύκλου X = ένα κόστος, y = ασίντ γύρω από τον άξονα Ox.

536. Να υπολογίσετε την επιφάνεια που σχηματίζεται από την περιστροφή του βρόχου της καμπύλης x = 9t2, y = St - 9t3 γύρω από τον άξονα Ox.

537. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται περιστρέφοντας το τόξο της καμπύλης x = e*sint, y = el κόστος γύρω από τον άξονα Ox

από t = 0 έως t = —.

538. Δείξτε ότι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή του κυκλοειδούς τόξου x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) γύρω από τον άξονα Oy είναι ίση με 16 u2 o2.

539. Βρείτε την επιφάνεια που προκύπτει περιστρέφοντας το καρδιοειδές γύρω από τον πολικό άξονα.

540. Να βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του λεμνίσκου Γύρω από τον πολικό άξονα.

Πρόσθετες εργασίες για το Κεφάλαιο IV

Περιοχές με επίπεδα σχήματα

541. Βρείτε ολόκληρη την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη Και ο άξονας Οξ.

542. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

543. Βρείτε το τμήμα της περιοχής της περιοχής που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και οριοθετείται από την καμπύλη

l συντεταγμένοι άξονες.

544. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα

βρόχοι:

545. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από έναν βρόχο της καμπύλης:

546. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περιέχεται μέσα στον βρόχο:

547. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

548. Βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από την καμπύλη

Και ο άξονας Οξ.

549. Βρείτε την περιοχή της περιοχής που οριοθετείται από τον άξονα Oxr

ευθεία και καμπύλη

Θέμα: «Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος»

Τύπος μαθήματος:σε συνδυασμό.

Σκοπός του μαθήματος:μάθετε να υπολογίζετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.

Καθήκοντα:

εδραιώνουν την ικανότητα αναγνώρισης καμπύλων τραπεζοειδών από μια σειρά γεωμετρικά σχήματακαι εξασκηθείτε στην ικανότητα του υπολογισμού των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών.

εξοικειωθείτε με την έννοια μιας τρισδιάστατης φιγούρας.

μάθουν να υπολογίζουν τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.

προωθήσει την ανάπτυξη λογική σκέψη, ικανή μαθηματική ομιλία, ακρίβεια κατά την κατασκευή σχεδίων.

να καλλιεργήσει ενδιαφέρον για το θέμα, να λειτουργήσει με μαθηματικές έννοιες και εικόνες, να καλλιεργήσει θέληση, ανεξαρτησία και επιμονή για την επίτευξη του τελικού αποτελέσματος.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Ι. Οργανωτική στιγμή.

Χαιρετισμούς από την ομάδα. Κοινοποίηση των στόχων του μαθήματος στους μαθητές.

Θα ήθελα να ξεκινήσω το σημερινό μάθημα με μια παραβολή. «Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε ένας σοφός που ήξερε τα πάντα. Ένας άντρας ήθελε να αποδείξει ότι ο σοφός δεν τα ξέρει όλα. Κρατώντας μια πεταλούδα στις παλάμες του, ρώτησε: «Πες μου, φασκόμηλο, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου: νεκρή ή ζωντανή;» Και σκέφτεται: «Αν πει ο ζωντανός, θα τη σκοτώσω· αν πει ο νεκρός, θα την ελευθερώσω». Ο σοφός, αφού σκέφτηκε, απάντησε: «Όλα είναι στα χέρια σου».

Επομένως, ας εργαστούμε γόνιμα σήμερα, ας αποκτήσουμε ένα νέο απόθεμα γνώσεων και θα εφαρμόσουμε τις αποκτηθείσες δεξιότητες και ικανότητες στη μελλοντική ζωή και στις πρακτικές δραστηριότητες. «Όλα είναι στα χέρια σας».

II. Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως.

Ας θυμηθούμε τα κύρια σημεία του υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως. Για να το κάνετε αυτό, ας ολοκληρώσουμε την εργασία «Εξαίρεση περιττή λέξη”.

(Οι μαθητές λένε μια επιπλέον λέξη.)

σωστά "Διαφορικός".Προσπαθήστε να ονομάσετε τις υπόλοιπες λέξεις με μια κοινή λέξη. (Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ.)

Ας θυμηθούμε τα κύρια στάδια και τις έννοιες που σχετίζονται με τον ολοκληρωτικό λογισμό.

Ασκηση.Ανακτήστε τα κενά. (Ο μαθητής βγαίνει και γράφει με μαρκαδόρο τις λέξεις που ζητούνται.)

Εργασία σε σημειωματάρια.

Ο τύπος Newton-Leibniz προήλθε από τον Άγγλο φυσικό Isaac Newton (1643-1727) και τον Γερμανό φιλόσοφο Gottfried Leibniz (1646-1716). Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που μιλά η ίδια η φύση.

Ας εξετάσουμε πώς χρησιμοποιείται αυτός ο τύπος για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Παράδειγμα 1: Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Λύση:Ας κατασκευάσουμε γραφήματα συναρτήσεων στο επίπεδο συντεταγμένων . Ας επιλέξουμε την περιοχή του σχήματος που πρέπει να βρεθεί.

III. Εκμάθηση νέου υλικού.

Δώστε προσοχή στην οθόνη. Τι φαίνεται στην πρώτη εικόνα; (Το σχήμα δείχνει μια επίπεδη φιγούρα.)

Τι φαίνεται στη δεύτερη εικόνα; Είναι επίπεδη αυτή η φιγούρα; (Το σχήμα δείχνει ένα τρισδιάστατο σχήμα.)

Στο διάστημα, στη γη και μέσα Καθημερινή ζωήσυναντιόμαστε όχι μόνο με επίπεδες φιγούρες, αλλά και ογκομετρικό, αλλά πώς να υπολογίσετε τον όγκο τέτοιων σωμάτων; Για παράδειγμα: ο όγκος ενός πλανήτη, κομήτη, μετεωρίτη κ.λπ.

Οι άνθρωποι σκέφτονται τον όγκο τόσο όταν χτίζουν σπίτια όσο και όταν ρίχνουν νερό από το ένα σκάφος στο άλλο. Έπρεπε να προκύψουν κανόνες και τεχνικές για τον υπολογισμό των όγκων· το πόσο ακριβείς και αιτιολογημένες ήταν είναι άλλο θέμα.

Το έτος 1612 ήταν πολύ καρποφόρο για τους κατοίκους της αυστριακής πόλης Linz, όπου έζησε ο διάσημος αστρονόμος Johannes Kepler, ειδικά για τα σταφύλια. Οι άνθρωποι ετοίμαζαν βαρέλια κρασιού και ήθελαν να μάθουν πώς να προσδιορίζουν πρακτικά τον όγκο τους.

Έτσι, τα εξεταζόμενα έργα του Κέπλερ σηματοδότησαν την αρχή μιας ολόκληρης ροής έρευνας που κορυφώθηκε στο τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα. σχέδιο στα έργα των I. Newton και G.V. Leibniz διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Από εκείνη την εποχή, τα μαθηματικά των μεταβλητών κατέλαβαν ηγετική θέση στο σύστημα της μαθηματικής γνώσης.

Σήμερα θα το κάνουμε αυτό πρακτικές δραστηριότητες, ως εκ τούτου,

Το θέμα του μαθήματός μας: "Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα."

Θα μάθετε τον ορισμό του σώματος περιστροφής ολοκληρώνοντας την παρακάτω εργασία.

"Λαβύρινθος".

Ασκηση.Βρείτε μια διέξοδο από τη μπερδεμένη κατάσταση και γράψτε τον ορισμό.

IVΥπολογισμός όγκων.

Χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός συγκεκριμένου σώματος, ειδικότερα, ενός σώματος περιστροφής.

Ένα σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται με περιστροφή καμπύλο τραπεζοειδέςγύρω από τη βάση του (Εικ. 1, 2)

Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν από τους τύπους:

1. γύρω από τον άξονα OX.

2. , εάν η περιστροφή ενός κυρτού τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα του op-amp.

Οι μαθητές καταγράφουν βασικούς τύπους σε ένα τετράδιο.

Ο δάσκαλος εξηγεί τις λύσεις των παραδειγμάτων στον πίνακα.

1. Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα τεταγμένων ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από ευθείες: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Λύση.

Απάντηση: 1163 cm3.

2. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός παραβολικού τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα x y =, x = 4, y = 0.

Λύση.

V. Μαθηματικός προσομοιωτής.

2. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται

ΕΝΑ) αόριστο ολοκλήρωμα,

Β) λειτουργία,

Β) διαφοροποίηση.

7. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από γραμμές:

Δ/Ζ. Ενοποίηση νέου υλικού

Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή του πετάλου γύρω από τον άξονα x y = x2, y2 = x.

Ας φτιάξουμε γραφήματα της συνάρτησης. y = x2, y2 = x. Ας μετατρέψουμε τη γραφική παράσταση y2 = x στη μορφή y = .

Έχουμε V = V1 - V2 Ας υπολογίσουμε τον όγκο κάθε συνάρτησης:

συμπέρασμα:

Ορισμένο ολοκλήρωμα- αυτό είναι κάποια βάση για τη μελέτη των μαθηματικών, η οποία συμβάλλει αναντικατάστατα στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.

Το θέμα «Ολοκληρωμένο» καταδεικνύει ξεκάθαρα τη σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και φυσικής, βιολογίας, οικονομίας και τεχνολογίας.

Ανάπτυξη σύγχρονη επιστήμηείναι αδιανόητο χωρίς τη χρήση του ολοκληρώματος. Από αυτή την άποψη, είναι απαραίτητο να ξεκινήσει η μελέτη του στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εξειδικευμένης εκπαίδευσης!

VI. Βαθμολόγηση.(Με σχολιασμό.)

Ο μεγάλος Omar Khayyam - μαθηματικός, ποιητής, φιλόσοφος. Μας ενθαρρύνει να είμαστε κύριοι της μοίρας μας. Ας ακούσουμε ένα απόσπασμα από τη δουλειά του:

Λέτε, αυτή η ζωή είναι μια στιγμή.
Εκτιμήστε το, αντλήστε έμπνευση από αυτό.
Όπως το ξοδέψεις, έτσι θα περάσει.
Μην ξεχνάς: είναι η δημιουργία σου.

Ορισμός 3. Σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα γύρω από έναν άξονα που δεν τέμνει το σχήμα και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με αυτό.

Ο άξονας περιστροφής μπορεί να τέμνει το σχήμα εάν είναι ο άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Θεώρημα 2.
, άξονας
και ευθύγραμμα τμήματα
Και

περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα
. Στη συνέχεια, ο όγκος του προκύπτοντος σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

(2)

Απόδειξη. Για τέτοιο σώμα η διατομή με τετμημένη είναι ένας κύκλος ακτίνας
, Που σημαίνει
και ο τύπος (1) δίνει το απαιτούμενο αποτέλεσμα.

Αν το σχήμα περιορίζεται από τα γραφήματα δύο συνεχών συναρτήσεων
Και
και τμήματα γραμμής
Και
, και
Και
, τότε κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα x παίρνουμε ένα σώμα του οποίου ο όγκος

Παράδειγμα 3. Υπολογίστε τον όγκο ενός τόρου που λαμβάνεται περιστρέφοντας έναν κύκλο που οριοθετείται από έναν κύκλο

γύρω από τον άξονα της τετμημένης.

R απόφαση. Ο υποδεικνυόμενος κύκλος περιορίζεται παρακάτω από το γράφημα της συνάρτησης
και από πάνω -
. Η διαφορά των τετραγώνων αυτών των συναρτήσεων:

Απαιτούμενος όγκος

(το γράφημα του ολοκληρώματος είναι το πάνω ημικύκλιο, άρα το ολοκλήρωμα που γράφτηκε παραπάνω είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου).

Παράδειγμα 4. Παραβολικό τμήμα με βάση
, και ύψος , περιστρέφεται γύρω από τη βάση. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει («λεμόνι» του Cavalieri).

R απόφαση. Θα τοποθετήσουμε την παραβολή όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε η εξίσωσή του
, και
. Ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου :
. Έτσι, ο απαιτούμενος όγκος:

Θεώρημα 3. Έστω ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης
, άξονας
και ευθύγραμμα τμήματα
Και
, και
, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα
. Στη συνέχεια, ο όγκος του σώματος περιστροφής που προκύπτει μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

(3)

Η ιδέα της απόδειξης. Διαχωρίζουμε το τμήμα
αποσιωπητικά

, σε μέρη και τραβήξτε ευθείες γραμμές
. Ολόκληρο το τραπεζοειδές θα αποσυντεθεί σε λωρίδες, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν περίπου ορθογώνιες με βάση
και ύψος
.

Κόβουμε τον κύλινδρο που προκύπτει περιστρέφοντας ένα τέτοιο ορθογώνιο κατά μήκος της γεννήτριας του και τον ξεδιπλώνουμε. Παίρνουμε ένα "σχεδόν" παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις:
,
Και
. Ο όγκος του
. Άρα, για τον όγκο ενός σώματος περιστροφής θα έχουμε την κατά προσέγγιση ισότητα

Για να αποκτήσει κανείς την ακριβή ισότητα, πρέπει να φτάσει στο όριο στο
. Το άθροισμα που γράφτηκε παραπάνω είναι το αναπόσπαστο άθροισμα της συνάρτησης
, επομένως, στο όριο παίρνουμε το ολοκλήρωμα από τον τύπο (3). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Σημείωση 1. Στα Θεωρήματα 2 και 3 η συνθήκη
μπορεί να παραλειφθεί: ο τύπος (2) δεν είναι γενικά ευαίσθητος στο πρόσημο
, και στον τύπο (3) είναι αρκετό
αντικαταστάθηκε από
.

Παράδειγμα 5. Παραβολικό τμήμα (βάση
, ύψος ) περιστρέφεται γύρω από το ύψος. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.

Λύση. Ας τοποθετήσουμε την παραβολή όπως φαίνεται στο σχήμα. Και παρόλο που ο άξονας περιστροφής τέμνει το σχήμα, αυτός - ο άξονας - είναι ο άξονας συμμετρίας. Επομένως, πρέπει να εξετάσουμε μόνο το δεξί μισό του τμήματος. Εξίσωση παραβολής
, και
, Που σημαίνει
. Για όγκο έχουμε:

Σημείωση 2. Αν το καμπυλόγραμμο όριο ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις
,
,
Και
,
τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους (2) και (3) με την αντικατάσταση επί
Και
επί
όταν αλλάζει tαπό
πριν .

Παράδειγμα 6. Το σχήμα περιορίζεται από το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς
,
,
και ο άξονας x. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας αυτό το σχήμα γύρω από: 1) άξονα
; 2) άξονες
.

Λύση. 1) Γενικός τύπος
Στην περίπτωσή μας:

2) Γενικός τύπος
Για τη φιγούρα μας:

Καλούμε τους μαθητές να πραγματοποιήσουν μόνοι τους όλους τους υπολογισμούς.

Σημείωση 3. Έστω ένας καμπύλος τομέας που οριοθετείται από μια συνεχή γραμμή
και ακτίνες
,

, περιστρέφεται γύρω από έναν πολικό άξονα. Ο όγκος του σώματος που προκύπτει μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Παράδειγμα 7. Μέρος μιας φιγούρας που οριοθετείται από ένα καρδιοειδές
, που βρίσκεται έξω από τον κύκλο
, περιστρέφεται γύρω από έναν πολικό άξονα. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.

Λύση. Και οι δύο γραμμές, και επομένως το σχήμα που περιορίζουν, είναι συμμετρικές ως προς τον πολικό άξονα. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη μόνο εκείνο το μέρος για το οποίο
. Οι καμπύλες τέμνονται στο
Και

στο
. Επιπλέον, το σχήμα μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά δύο τομέων και επομένως ο όγκος μπορεί να υπολογιστεί ως η διαφορά δύο ολοκληρωμάτων. Εχουμε:

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση.

1. Κυκλικό τμήμα του οποίου η βάση
, ύψος , περιστρέφεται γύρω από τη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.

2. Να βρείτε τον όγκο ενός παραβολοειδούς περιστροφής του οποίου η βάση , και το ύψος είναι .

3. Φιγούρα που οριοθετείται από αστροειδή
,
περιστρέφεται γύρω από τον άξονα της τετμημένης. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.

4. Σχήμα που οριοθετείται από γραμμές
Και
περιστρέφεται γύρω από τον άξονα x. Βρείτε τον όγκο του σώματος περιστροφής.