Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα- μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων και αόριστων ολοκληρωμάτων, όταν ένα από τα ολοκληρώματα είναι εύκολα ολοκληρώσιμο και το άλλο διαφοροποιήσιμο. Μια αρκετά κοινή μέθοδος εύρεσης ολοκληρωμάτων, τόσο αόριστων όσο και ορισμένων. Το κύριο σημάδι όταν πρέπει να το χρησιμοποιήσετε είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση που αποτελείται από το γινόμενο δύο συναρτήσεων που δεν μπορούν να ενσωματωθούν σε κενό σημείο.
Τύπος
Για να χρησιμοποιήσετε με επιτυχία αυτή τη μέθοδο, πρέπει να κατανοήσετε και να μάθετε τους τύπους.
Φόρμουλα για ενσωμάτωση από εξαρτήματα σε μη οριστικό ολοκλήρωμα:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Τύπος για την ενσωμάτωση με μέρη σε ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα:
$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$
Παραδείγματα λύσεων
Ας εξετάσουμε στην πράξη παραδείγματα λύσεων για την ενσωμάτωση ανά μέρη, τα οποία προτείνονται συχνά από τους δασκάλους κατά τη διάρκεια των δοκιμών. Λάβετε υπόψη ότι κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος υπάρχει ένα γινόμενο δύο συναρτήσεων. Αυτό είναι ένα σημάδι ότι αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη για τη λύση.
| Παράδειγμα 1 |
| Βρείτε το ολοκλήρωμα $ \int xe^xdx $ |
| Λύση |
|
Βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα αποτελείται από δύο συναρτήσεις, η μία από τις οποίες, μετά τη διαφοροποίηση, μετατρέπεται αμέσως σε ενότητα και η άλλη ενσωματώνεται εύκολα. Για να λύσουμε το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης με μέρη. Ας υποθέσουμε $ u = x \rightarrow du=dx $ και $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν στον πρώτο τύπο ολοκλήρωσης και παίρνουμε: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Εάν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, στείλτε το σε εμάς. Θα δώσουμε λεπτομερή λύση. Θα μπορείτε να δείτε την πρόοδο του υπολογισμού και να λάβετε πληροφορίες. Αυτό θα σας βοηθήσει να πάρετε τον βαθμό σας από τον δάσκαλό σας έγκαιρα! |
| Απάντηση |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$ |
| Παράδειγμα 4 |
| Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Λύση |
|
Κατ' αναλογία με τα προηγούμενα λυμένα παραδείγματα, θα καταλάβουμε ποια συνάρτηση να ενσωματώσουμε χωρίς προβλήματα, ποια να διαφοροποιήσουμε. Λάβετε υπόψη ότι εάν διαφοροποιήσουμε το $ (x+5) $, τότε αυτή η έκφραση θα μετατραπεί αυτόματα σε ενότητα, κάτι που θα είναι προς όφελός μας. Κάνουμε λοιπόν αυτό: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Τώρα όλες οι άγνωστες συναρτήσεις έχουν βρεθεί και μπορούν να τεθούν στον δεύτερο τύπο για την ολοκλήρωση με μέρη για ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
| Απάντηση |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη χρησιμοποιείται κυρίως όταν το ολοκλήρωμα αποτελείται από το γινόμενο δύο παραγόντων συγκεκριμένου τύπου. Ο τύπος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα μοιάζει με:
Καθιστά δυνατή τη μείωση του υπολογισμού ενός δεδομένου ολοκληρώματος 
στον υπολογισμό του ολοκληρώματος 
, το οποίο αποδεικνύεται πιο απλό από αυτό.
Τα περισσότερα από τα ολοκληρώματα που υπολογίζονται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά μέρη μπορούν να χωριστούν σε τρεις ομάδες:
1. Ολοκληρώματα της φόρμας 
,
,
, Οπου 
- πολυώνυμο, 
– αριθμός όχι ίσος με μηδέν
Σε αυτή την περίπτωση, μέσω 
δηλώνουν πολυώνυμο 
.
2. Ολοκληρώματα της φόρμας 
,
,
,
,
, Οπου 
– πολυώνυμο.
Σε αυτή την περίπτωση, μέσω 
δείχνω 
, και το υπόλοιπο integrand μέσω 
:
3. Ολοκληρώματα της φόρμας 
,
, Οπου 
– αριθμοί.
Σε αυτή την περίπτωση, μέσω 
δείχνω 
και εφαρμόστε τον τύπο ολοκλήρωσης κατά μέρη δύο φορές, επιστρέφοντας ως αποτέλεσμα στο αρχικό ολοκλήρωμα, μετά από το οποίο το αρχικό ολοκλήρωμα εκφράζεται από την ισότητα.
Σχόλιο: Σε ορισμένες περιπτώσεις, για να βρείτε ένα δεδομένο ολοκλήρωμα, ο τύπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα πρέπει να εφαρμοστεί πολλές φορές. Επίσης, η μέθοδος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα συνδυάζεται με άλλες μεθόδους.
Παράδειγμα 26.
Βρείτε ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κατά μέρη: α) 
; σι) 
.
Λύση.
σι) 
3.1.4. Ολοκλήρωση κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων
Κλασματική ορθολογική συνάρτηση(ορθολογικό κλάσμα) είναι μια συνάρτηση ίση με τον λόγο δύο πολυωνύμων: 
, Οπου 
– πολυώνυμο βαθμού 
,
– πολυώνυμο βαθμού
.
Το λογικό κλάσμα λέγεται σωστός, αν ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή, δηλ. 
, διαφορετικά (αν 
) λογικό κλάσμα λέγεται λανθασμένος.
Οποιοδήποτε ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου 
και ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση πολυωνύμων:
,
Οπου 
– ολόκληρο μέρος από τη διαίρεση, 
– σωστό ορθολογικό κλάσμα, 
- το υπόλοιπο τμήμα.
Τα σωστά ορθολογικά κλάσματα της μορφής:
ΕΓΩ. 
;
II. 
;
III. 
;
IV. 
,
Οπου 
,
,
,
,
,
,
– πραγματικοί αριθμοί και 
(δηλαδή το τετράγωνο τριώνυμο στον παρονομαστή των III και IV κλασμάτων δεν έχει ρίζες - η διάκριση είναι αρνητική) ονομάζονται απλά ρητά κλάσματα I, II, III και IV τύπους.
Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων
Τα ολοκληρώματα των απλούστερων κλασμάτων τεσσάρων τύπων υπολογίζονται ως εξής.
ΕΓΩ) 
.
II), 
.
III) Για την ένταξη απλούστερο κλάσμαΠληκτρολογήστε III, επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή και αντικαταστήστε 
. Μετά την αντικατάσταση, το ολοκλήρωμα χωρίζεται σε δύο ολοκληρώματα. Το πρώτο ολοκλήρωμα υπολογίζεται απομονώνοντας την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή, που δίνει ένα ολοκλήρωμα πίνακα και το δεύτερο ολοκλήρωμα μετατρέπεται στη μορφή 
, επειδή 
, που δίνει και το ολοκλήρωμα του πίνακα.
;
IV) Για να ενσωματώσετε το απλούστερο κλάσμα του τύπου IV, επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή και αντικαταστήστε 
. Μετά την αντικατάσταση, το ολοκλήρωμα χωρίζεται σε δύο ολοκληρώματα. Το πρώτο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με αντικατάσταση 
, και το δεύτερο χρησιμοποιώντας σχέσεις επανάληψης.
Παράδειγμα 27.
Βρείτε ολοκληρώματα απλών κλασμάτων:
ΕΝΑ) 
; σι) 
; V) 
.
Λύση.
ΕΝΑ) 
.
Οποιοδήποτε σωστό ορθολογικό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής μπορεί να παραγοντοποιηθεί μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών κλασμάτων. Η αποσύνθεση στο άθροισμα των απλών κλασμάτων πραγματοποιείται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών. Είναι ως εξής:
αντιστοιχεί σε ένα κλάσμα της μορφής 
;
– κάθε παράγοντας του παρονομαστή 
αντιστοιχεί στο ποσό 
κλάσματα της μορφής
αντιστοιχεί σε ένα κλάσμα της μορφής 
;
– κάθε τετραγωνικός παράγοντας του παρονομαστή 
αντιστοιχεί στο ποσό 
κλάσματα της μορφής
όπου είναι οι απροσδιόριστοι συντελεστές.
Για την εύρεση αόριστων συντελεστών, η δεξιά πλευρά με τη μορφή αθροίσματος απλών κλασμάτων φέρεται σε κοινό παρονομαστή και μετατρέπεται. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή όπως στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης. Τότε οι παρονομαστές απορρίπτονται και οι αριθμητές εξισώνονται. Το αποτέλεσμα είναι μια πανομοιότυπη ισότητα στην οποία η αριστερή πλευρά είναι ένα πολυώνυμο με γνωστούς συντελεστές και η δεξιά είναι ένα πολυώνυμο με άγνωστους συντελεστές.
Υπάρχουν δύο τρόποι για τον προσδιορισμό άγνωστων συντελεστών: η μέθοδος των άγνωστων συντελεστών και η μέθοδος των μερικών τιμών.
Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών.
Επειδή τα πολυώνυμα είναι πανομοιότυπα ίσα, τότε οι συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις είναι ίσοι 
. Εξίσωση συντελεστών στις ίδιες μοίρες 
στα πολυώνυμα της αριστερής και της δεξιάς πλευράς, παίρνουμε το σύστημα γραμμικές εξισώσεις. Κατά την επίλυση του συστήματος, προσδιορίζουμε τους αβέβαιους συντελεστές.
Μέθοδος ιδιωτικών αξιών.
Επειδή Τα πολυώνυμα είναι πανομοιότυπα ίσα, λοιπόν, υποκαθιστώντας 
στην αριστερή και δεξιά πλευρά οποιουδήποτε αριθμού, λαμβάνουμε μια αληθινή ισότητα, γραμμική ως προς τους άγνωστους συντελεστές. Αντικαθιστώντας τόσες πολλές αξίες 
, πόσοι άγνωστοι συντελεστές υπάρχουν, παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Αντί 
Μπορείτε να αντικαταστήσετε οποιουσδήποτε αριθμούς στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά, αλλά είναι πιο βολικό να αντικαταστήσετε τις ρίζες των παρονομαστών των κλασμάτων.
Αφού βρεθούν οι τιμές των άγνωστων συντελεστών, το αρχικό κλάσμα γράφεται ως άθροισμα απλών κλασμάτων στο ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση που συζητήθηκε προηγουμένως πραγματοποιείται σε κάθε απλό κλάσμα.
Σχέδιο ενσωμάτωσης λογικά κλάσματα:
1. Εάν το ολοκλήρωμα είναι ακατάλληλο, τότε είναι απαραίτητο να το παρουσιάσουμε ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου και ενός σωστού ορθολογικού κλάσματος (δηλαδή, διαιρέστε το πολυώνυμο του αριθμητή με το πολυώνυμο παρονομαστή με ένα υπόλοιπο). Εάν το ολοκλήρωμα είναι σωστό, προχωράμε αμέσως στο δεύτερο σημείο του διαγράμματος.
2. Υπολογίστε τον παρονομαστή ενός σωστού ρητού κλάσματος, αν είναι δυνατόν.
3. Να αποσυνθέσετε ένα σωστό ρητό κλάσμα στο άθροισμα απλών ρητά κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών.
4. Ολοκληρώστε το άθροισμα των πολυωνύμων και απλών κλασμάτων που προκύπτει.
Παράδειγμα 28.
Να βρείτε ολοκληρώματα ορθολογικών κλασμάτων:
ΕΝΑ) 
; σι) 
; V) 
.
Λύση.
ΕΝΑ) 
.
Επειδή το ολοκλήρωμα είναι ένα ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα, τότε επιλέγουμε ολόκληρο το μέρος, δηλ. Ας το φανταστούμε ως το άθροισμα ενός πολυωνύμου και ενός σωστού ρητού κλάσματος. Διαιρέστε το πολυώνυμο στον αριθμητή με το πολυώνυμο στον παρονομαστή χρησιμοποιώντας μια γωνία.
Το αρχικό ολοκλήρωμα θα έχει τη μορφή: 
.
Ας αποσυνθέσουμε ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών:
, παίρνουμε:
Λύνοντας το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, λαμβάνουμε τις τιμές των αβέβαιων συντελεστών: ΕΝΑ = 1; ΣΕ = 3.
Τότε η απαιτούμενη επέκταση έχει τη μορφή: 
.
=
.
σι) 
.
.
Ας απορρίψουμε τους παρονομαστές και ας εξισώσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά:
Εξίσωση συντελεστών στις ίδιες μοίρες 
, παίρνουμε το σύστημα:
Λύνοντας ένα σύστημα πέντε γραμμικών εξισώσεων, βρίσκουμε τους απροσδιόριστους συντελεστές:
.
Ας βρούμε το αρχικό ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη την επέκταση που προκύπτει:
.
V) 
.
Ας επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα (σωστό ορθολογικό κλάσμα) σε ένα άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών. Αναζητούμε την αποσύνθεση με τη μορφή:
.
Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή, παίρνουμε:
Ας απορρίψουμε τους παρονομαστές και ας εξισώσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά:
Για να βρούμε αβέβαιους συντελεστές, εφαρμόζουμε τη μέθοδο της μερικής τιμής. Ας προσθέσουμε 
μερικές τιμές, στις οποίες εξαφανίζονται οι παράγοντες, δηλαδή αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην τελευταία έκφραση και παίρνουμε τρεις εξισώσεις:
; 
;
; 
;
; 
.
Τότε η απαιτούμενη επέκταση έχει τη μορφή:
Ας βρούμε το αρχικό ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη την επέκταση που προκύπτει:
Τι είναι η ενσωμάτωση με εξαρτήματα; Για να κυριαρχήσετε αυτόν τον τύπο ολοκλήρωσης, ας θυμηθούμε πρώτα την παράγωγο ενός προϊόντος:
$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$
Τίθεται το ερώτημα: τι σχέση έχουν τα ολοκληρώματα; Τώρα ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης. Ας το γράψουμε λοιπόν:
$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
Τι είναι όμως το αντιπαράγωγο του εγκεφαλικού; Είναι απλώς η ίδια η λειτουργία, η οποία βρίσκεται μέσα στο κτύπημα. Ας το γράψουμε λοιπόν:
$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
ΣΕ δεδομένη εξίσωσηΠροτείνω να εκφράσω τον όρο. Εχουμε:
$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$
Αυτό είναι ενσωμάτωση με τύπο εξαρτημάτων. Έτσι, ουσιαστικά ανταλλάσσουμε την παράγωγο και τη συνάρτηση. Αν αρχικά είχαμε ένα ολοκλήρωμα ενός εγκεφαλικού επεισοδίου πολλαπλασιασμένο με κάτι, τότε παίρνουμε ένα ολοκλήρωμα ενός νέου κάτι πολλαπλασιασμένο με ένα εγκεφαλικό επεισόδιο. Αυτός είναι όλος ο κανόνας. Με την πρώτη ματιά, αυτός ο τύπος μπορεί να φαίνεται περίπλοκος και χωρίς νόημα, αλλά στην πραγματικότητα, μπορεί να απλοποιήσει πολύ τους υπολογισμούς. Ας δούμε.
Παραδείγματα ολοκληρωτικών υπολογισμών
Πρόβλημα 1. Υπολογίστε:
\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]
Ας ξαναγράψουμε την παράσταση προσθέτοντας 1 πριν από τον λογάριθμο:
\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]
Έχουμε το δικαίωμα να το κάνουμε αυτό γιατί ούτε ο αριθμός ούτε η συνάρτηση θα αλλάξει. Τώρα ας συγκρίνουμε αυτήν την έκφραση με αυτό που γράφεται στον τύπο μας. Ο ρόλος του $(f)"$ είναι 1, οπότε γράφουμε:
$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\n x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$
Όλες αυτές οι λειτουργίες βρίσκονται στους πίνακες. Τώρα που περιγράψαμε όλα τα στοιχεία που περιλαμβάνονται στην έκφρασή μας, θα ξαναγράψουμε αυτό το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο για την ενοποίηση ανά μέρη:
\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\n x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)\]
Αυτό ήταν, το ολοκλήρωμα βρέθηκε.
Πρόβλημα 2. Υπολογίστε:
$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$
Αν πάρουμε το $x$ ως παράγωγο, από το οποίο τώρα πρέπει να βρούμε το αντιπαράγωγο, θα λάβουμε $((x)^(2))$ και η τελική έκφραση θα περιέχει $((x)^(2) )( (\κείμενο(ε))^(-x))$.
Προφανώς, το πρόβλημα δεν είναι απλοποιημένο, επομένως ανταλλάσσουμε τους παράγοντες κάτω από το ολοκλήρωμα:
$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$
Τώρα ας εισαγάγουμε τη σημειογραφία:
$(f)"=((\text(e))^(-x))\Δεξί βέλος f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\κείμενο(ε))^(-x))$
Ας διαφοροποιήσουμε το $((\text(e))^(-x))$:
$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ αριστερά(-x \δεξιά))^(\prime ))=-((\κείμενο(ε))^(-x))$
Με άλλα λόγια, προστίθεται πρώτα το μείον και μετά ενσωματώνονται και οι δύο πλευρές:
\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Δεξί βέλος ((\κείμενο(ε))^(-x))=-((\αριστερά((\κείμενο(ε))^(-x)) \δεξιά))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e)))^(- x)) \δεξιά))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]
Τώρα ας δούμε τη συνάρτηση $g$:
$g=x\Δεξί βέλος (g)"=1$
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:
$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x) +1 \δεξιά)+C \\\end(στοίχιση)$
Έτσι, πραγματοποιήσαμε τη δεύτερη ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα.
Πρόβλημα 3. Υπολογίστε:
$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$
Σε αυτήν την περίπτωση, τι πρέπει να λάβουμε για το $(f)"$ και τι για το $g$; Εάν το $x$ λειτουργεί ως παράγωγο, τότε κατά την ολοκλήρωση θα λάβουμε $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, και ο πρώτος παράγοντας δεν θα εξαφανιστεί πουθενά - θα είναι $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Επομένως, ας αλλάξουμε ξανά τους παράγοντες:
$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Δεξί βέλος f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Δεξί βέλος (g)"=1 \\\ τέλος(ευθυγράμμιση)$
Ξαναγράφουμε την αρχική μας έκφραση και την επεκτείνουμε σύμφωνα με τον τύπο ολοκλήρωσης ανά μέρη:
\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(στοίχιση)\]
Αυτό ήταν, το τρίτο πρόβλημα λύθηκε.
Εν κατακλείδι, ας ρίξουμε μια άλλη ματιά ενσωμάτωση με τύπο εξαρτημάτων. Πώς επιλέγουμε ποιος παράγοντας θα είναι η παράγωγος και ποιος η πραγματική συνάρτηση; Υπάρχει μόνο ένα κριτήριο εδώ: το στοιχείο που θα διαφοροποιήσουμε πρέπει είτε να δίνει μια «όμορφη» έκφραση, η οποία στη συνέχεια θα μειωθεί ή θα εξαφανιστεί εντελώς κατά τη διαφοροποίηση. Αυτό ολοκληρώνει το μάθημα.
Παλαιότερα εμείς δεδομένη λειτουργία, με γνώμονα διάφορους τύπους και κανόνες, βρήκε το παράγωγό του. Το παράγωγο έχει πολλές χρήσεις: είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να εξετάσετε μια συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.
Αλλά μαζί με το πρόβλημα της εύρεσης της ταχύτητας σύμφωνα με έναν γνωστό νόμο της κίνησης, υπάρχει επίσης ένα αντίστροφο πρόβλημα - το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης σύμφωνα με μια γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.
Παράδειγμα 1.Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή, η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο v=gt. Βρείτε το νόμο της κίνησης.
Λύση. Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = v(t). Αυτό σημαίνει ότι για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να επιλέξετε μια συνάρτηση s = s(t), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με gt. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψετε ότι \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Στην πραγματικότητα
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Απάντηση: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Ας σημειώσουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Πήραμε \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος του κίνηση, αφού \(\αριστερά (\frac(gt^2)(2) +C \δεξιά)" = gt \)
Για να κάνουμε το πρόβλημα πιο συγκεκριμένο, έπρεπε να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα στο t = 0. Αν, ας πούμε, s(0) = s 0, τότε από το ισότητα s(t) = (gt 2)/2 + C παίρνουμε: s(0) = 0 + C, δηλαδή C = s 0. Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Στα μαθηματικά εκχωρούνται αμοιβαίες πράξεις διαφορετικά ονόματα, βρείτε ειδικούς συμβολισμούς, για παράδειγμα: τετραγωνισμό (x 2) και εξαγωγή τετραγωνική ρίζα(\(\sqrt(x) \)), sine (sin x) και arcsine (arcsin x), κ.λπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση, και η αντίστροφη πράξη, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης μιας συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο, είναι ενσωμάτωση.
Ο ίδιος ο όρος «παράγωγο» μπορεί να δικαιολογηθεί «στην καθημερινή ζωή»: η συνάρτηση y = f(x) «παράγει» νέο χαρακτηριστικό y" = f"(x). Η συνάρτηση y = f(x) λειτουργεί ως "γονέας", αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν την αποκαλούν "γονέα" ή "παραγωγό"· λένε ότι είναι, σε σχέση με τη συνάρτηση y" = f"( x) , κύρια εικόνα ή πρωτόγονη.
Ορισμός.Η συνάρτηση y = F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X αν η ισότητα F"(x) = f(x) ισχύει για \(x \σε X\)
Στην πράξη, το διάστημα X συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης).
Ας δώσουμε παραδείγματα.
1) Η συνάρτηση y = x 2 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 2x, αφού για κάθε x η ισότητα (x 2)" = 2x είναι αληθής
2) Η συνάρτηση y = x 3 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 3x 2, αφού για κάθε x η ισότητα (x 3)" = 3x 2 είναι αληθής
3) Η συνάρτηση y = sin(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = cos(x), αφού για κάθε x η ισότητα (sin(x))" = cos(x) είναι αληθής
Κατά την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι, αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.
Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων του. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 1.Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.
Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.
Κανόνας 2.Εάν το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το f(x), τότε το kF(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το kf(x).
Θεώρημα 1.Αν y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(kx + m) είναι η συνάρτηση \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Θεώρημα 2.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X, τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F(x) + Γ.
Μέθοδοι ολοκλήρωσης
Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής (μέθοδος αντικατάστασης)
Η μέθοδος ολοκλήρωσης με υποκατάσταση περιλαμβάνει την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης (δηλαδή υποκατάστασης). Σε αυτήν την περίπτωση, το δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα νέο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι πίνακας ή αναγώγιμο σε αυτό. Κοινές μέθοδοιδεν υπάρχει επιλογή αντικαταστάσεων. Η ικανότητα ορθού προσδιορισμού της υποκατάστασης αποκτάται μέσω της εξάσκησης.
Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \(\textstyle \int F(x)dx \). Ας κάνουμε την αντικατάσταση \(x= \varphi(t) \) όπου \(\varphi(t) \) είναι μια συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο.
Στη συνέχεια, \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) και με βάση την ιδιότητα αμετάβλητης του τύπου ολοκλήρωσης για το αόριστο ολοκλήρωμα, λαμβάνουμε τον τύπο ολοκλήρωσης με αντικατάσταση:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Ενσωμάτωση εκφράσεων της μορφής \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Αν το m είναι περιττό, m > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση sin x = t.
Αν το n είναι περιττό, n > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση cos x = t.
Αν τα n και m είναι άρτια, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση tg x = t.
Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα
Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα - εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο για ενσωμάτωση:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ή:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Ο τύπος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα μοιάζει με:
.
Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα συνίσταται στην εφαρμογή αυτού του τύπου. Στο Πρακτική εφαρμογηΑξίζει να σημειωθεί ότι το u και το v είναι συναρτήσεις της μεταβλητής ολοκλήρωσης. Ας οριστεί η μεταβλητή ολοκλήρωσης ως x (το σύμβολο μετά το διαφορικό πρόσημο d στο τέλος της ολοκλήρωσης). Τότε το u και το v είναι συναρτήσεις του x: u(x) και v(x) .
Επειτα
, .
Και ο τύπος για την ενσωμάτωση ανά μέρη έχει τη μορφή:
.
Δηλαδή, η συνάρτηση ολοκλήρωσης πρέπει να αποτελείται από το γινόμενο δύο συναρτήσεων:
,
το ένα συμβολίζουμε ως u: g(x) = u, και για το άλλο πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (πιο συγκεκριμένα, πρέπει να βρεθεί η αντιπαράγωγος):
, τότε dv = f(x) dx .
Σε ορισμένες περιπτώσεις f(x) = 1
. Δηλαδή στο ολοκλήρωμα
,
μπορούμε να βάλουμε g(x) = u, x = v .
Περίληψη
Έτσι, μέσα αυτή τη μέθοδο, η φόρμουλα ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα αξίζει να θυμόμαστε και να την εφαρμόζουμε με δύο μορφές:
;
.
Ολοκληρώματα που υπολογίζονται με ολοκλήρωση ανά μέρη
Ολοκληρώματα που περιέχουν λογάριθμους και αντίστροφες τριγωνομετρικές (υπερβολικές) συναρτήσεις
Ολοκληρώματα που περιέχουν λογάριθμους και αντίστροφες τριγωνομετρικές ή υπερβολικές συναρτήσεις συχνά ενσωματώνονται από μέρη. Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα που περιέχει τον λογάριθμο ή τις αντίστροφες τριγωνομετρικές (υπερβολικές) συναρτήσεις συμβολίζεται με u, το υπόλοιπο μέρος με dv.
Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμάτων, τα οποία υπολογίζονται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά μέρη:
, , , , , , .
Ολοκληρώματα που περιέχουν το γινόμενο ενός πολυωνύμου και sin x, cos x ή e x
Χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης ανά μέρη, βρίσκονται ολοκληρώματα της φόρμας:
, , ,
όπου P(x) είναι ένα πολυώνυμο στο x. Κατά την ολοκλήρωση, το πολυώνυμο P(x) συμβολίζεται με u και e ax dx, cos τσεκούρι δχή αμαρτία τσεκούρι δχ- μέσω dv.
Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμάτων:
, , .
Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης ανά μέρη
Παραδείγματα ολοκληρωμάτων που περιέχουν λογάριθμους και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Παράδειγμα
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
Λεπτομερής λύση
Εδώ το ολοκλήρωμα περιέχει έναν λογάριθμο. Κάνοντας αντικαταστάσεις
u = Στο x,
dv = x 2 dx.
Επειτα
,
.
Υπολογίζουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα:
.
Επειτα
.
Στο τέλος των υπολογισμών, είναι απαραίτητο να προστεθεί η σταθερά C, αφού αόριστο ολοκλήρωμα- αυτό είναι το σύνολο όλων των πρωτόγονων. Θα μπορούσε επίσης να προστεθεί σε ενδιάμεσους υπολογισμούς, αλλά αυτό θα ακαταστήσει τους υπολογισμούς.
Συντομότερη λύση
Μπορείτε να παρουσιάσετε τη λύση σε συντομότερη έκδοση. Για να γίνει αυτό, δεν χρειάζεται να κάνετε αντικαταστάσεις με το u και το v, αλλά μπορείτε να ομαδοποιήσετε τους παράγοντες και να εφαρμόσετε τον τύπο ολοκλήρωσης ανά μέρη στη δεύτερη μορφή.
.Απάντηση
Παραδείγματα ολοκληρωμάτων που περιέχουν το γινόμενο ενός πολυωνύμου και sin x, cos x ή ex
Παράδειγμα
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.
Λύση
Ας εισάγουμε τον εκθέτη κάτω από το διαφορικό πρόσημο:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη.
.
Χρησιμοποιούμε επίσης τη μέθοδο ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα.
.
.
.
Επιτέλους έχουμε.