Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας ειδικός κλάδος των μαθηματικών που μελετάται μόνο από φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές εξοικείωσης με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακριτή διασπορά τυχαία μεταβλητή? Τότε αυτό το θέμα θα είναι πολύ ενδιαφέρον για εσάς. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα πιο σημαντικά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣαυτόν τον κλάδο της επιστήμης.
Ας θυμηθούμε τα βασικά
Ακόμα κι αν θυμάστε τις πιο απλές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων, μην παραμελήσετε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το θέμα είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.
Έτσι, συμβαίνει κάποιο τυχαίο γεγονός, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που αναλαμβάνουμε, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά συμβαίνουν πιο συχνά, άλλα λιγότερο συχνά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι η αναλογία του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς συνολικός αριθμόςδυνατόν. Μόνο γνωρίζοντας τον κλασικό ορισμό αυτής της έννοιας μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε μαθηματική προσδοκίακαι διακυμάνσεις συνεχών τυχαίων μεταβλητών.
Μέση τιμή
Πίσω στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το βασικό για εμάς είναι αυτή τη στιγμήείναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής.
Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να συνοψίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Ας έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι ίσο με 45, και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.
Διασπορά
Με επιστημονικούς όρους, η διασπορά είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των λαμβανόμενων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο. Συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του υπάρχοντος αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, αθροίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.
Η διασπορά έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμόμαστε για να χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, όταν αυξάνεται μια τυχαία μεταβλητή κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές στο τετράγωνο (δηλαδή X*X). Δεν συμβαίνει ποτέ λιγότερο από το μηδένκαι δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση τιμών κατά ίση τιμή προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Επιπλέον, για ανεξάρτητες δοκιμές, η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.
Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.
Ας υποθέσουμε ότι εκτελέσαμε 21 πειράματα και πήραμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε καθένα από αυτά 1, 2, 2, 3, 4, 4 και 5 φορές, αντίστοιχα. Με τι θα είναι ίση η διακύμανση;
Αρχικά, ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Διαιρέστε το με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρέστε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίστε κάθε τιμή και προσθέστε τα αποτελέσματα μαζί. Το αποτέλεσμα είναι 12. Τώρα το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Αλλά υπάρχει ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.
Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων
Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να περιέχει έναν από τους δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ή ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία (που είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα). Από τι εξαρτάται αυτό;
Αν ο αριθμός των τεστ μετριέται σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε στον παρονομαστή το Ν. Αν σε μονάδες, τότε το Ν-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν τα σύνορα αρκετά συμβολικά: σήμερα περνάει από τον αριθμό 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε την ποσότητα με N-1 και αν περισσότερο, τότε με N.
Εργο
Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος της διακύμανσης και της μαθηματικής προσδοκίας. Πήραμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με το Ν ή το Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2 = 2.
Αναμενόμενη αξία
Ας περάσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η τιμή που προκύπτει, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρο το πρόβλημα, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα λαμβάνονται υπόψη σε αυτό.
Ο τύπος για τη μαθηματική προσδοκία είναι αρκετά απλός: παίρνουμε το αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια δεν είναι δύσκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των αναμενόμενων τιμών είναι ίσο με την αναμενόμενη τιμή του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Δεν σας επιτρέπει κάθε ποσότητα στη θεωρία πιθανοτήτων να εκτελέσετε τέτοιες απλές πράξεις. Ας πάρουμε το πρόβλημα και ας υπολογίσουμε τη σημασία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Εξάλλου, μας αποσπούσε η θεωρία - ήρθε η ώρα να ασκηθούμε.
Ένα ακόμη παράδειγμα
Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 τύπους αποτελεσμάτων - αριθμούς από το 0 έως το 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστά. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0,1, κλπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.
Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε δημοτικό σχολείο: 50/10 = 5.
Τώρα ας μετατρέψουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων «σε κομμάτια» για να διευκολύνουμε την μέτρηση. Λαμβάνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Από κάθε τιμή που λαμβάνεται, αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο, μετά τον οποίο τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που λαμβάνονται. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό χρησιμοποιώντας το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Επόμενο: (-4) * (-4) = 16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού τα αθροίσετε όλα θα πάρετε 90.
Ας συνεχίσουμε να υπολογίζουμε τη διακύμανση και την αναμενόμενη τιμή διαιρώντας το 90 με το N. Γιατί επιλέγουμε το N αντί του N-1; Σωστό, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10 = 9. Πήραμε τη διακύμανση. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα απλό λάθος στους υπολογισμούς. Τσεκάρετε ξανά αυτό που γράψατε και μάλλον όλα θα μπουν στη θέση τους.
Τέλος, θυμηθείτε τον τύπο για τη μαθηματική προσδοκία. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο μια απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η αναμενόμενη τιμή θα είναι 5,48. Ας θυμηθούμε μόνο τον τρόπο εκτέλεσης λειτουργιών, χρησιμοποιώντας τα πρώτα στοιχεία ως παράδειγμα: 0*0.02 + 1*0.1... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.
Απόκλιση
Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Συμβολίζεται είτε με τα λατινικά γράμματα sd, είτε με το ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η ιδέα δείχνει πόσο κατά μέσο όρο αποκλίνουν οι τιμές από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε Τετραγωνική ρίζααπό τη διασπορά.
Εάν σχεδιάζετε ένα γράφημα κανονικής κατανομής και θέλετε να το δείτε απευθείας σε αυτό τετραγωνική απόκλιση, αυτό μπορεί να γίνει σε διάφορα στάδια. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Το μέγεθος του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα αντιπροσωπεύει την τυπική απόκλιση.
Λογισμικό
Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και της μαθηματικής προσδοκίας δεν είναι η απλούστερη διαδικασία από αριθμητική άποψη. Για να μην χάνουμε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται στην τριτοβάθμια εκπαίδευση Εκπαιδευτικά ιδρύματα- λέγεται "R". Διαθέτει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.
Για παράδειγμα, καθορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Τελικά
Η διασπορά και η μαθηματική προσδοκία είναι χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, συζητούνται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του θέματος. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα λαμβάνουν κακούς βαθμούς στο τέλος της συνεδρίας, γεγονός που τους στερεί υποτροφίες.
Εξασκηθείτε για τουλάχιστον μία εβδομάδα, μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας εργασίες παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ στη θεωρία πιθανοτήτων, θα μπορείτε να αντιμετωπίσετε τα παραδείγματα χωρίς άχρηστες συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.
Ωστόσο, αυτό το χαρακτηριστικό από μόνο του δεν αρκεί για τη μελέτη μιας τυχαίας μεταβλητής. Ας φανταστούμε δύο σκοπευτές να πυροβολούν έναν στόχο. Ο ένας σουτάρει με ακρίβεια και χτυπάει κοντά στο κέντρο, ενώ ο άλλος... διασκεδάζει και δεν στοχεύει καν. Αλλά αυτό που είναι αστείο είναι ότι αυτός μέση τιμήτο αποτέλεσμα θα είναι ακριβώς το ίδιο με τον πρώτο σουτέρ! Αυτή η κατάσταση απεικονίζεται συμβατικά από τις ακόλουθες τυχαίες μεταβλητές:
Η μαθηματική προσδοκία «ελεύθερου σκοπευτή» ισούται με , ωστόσο, για το «ενδιαφέρον άτομο»: – είναι επίσης μηδέν!
Επομένως, υπάρχει ανάγκη να ποσοτικοποιηθεί πόσο μακριά διεσπαρμένοςκουκκίδες (τυχαίες τιμές μεταβλητών) σε σχέση με το κέντρο του στόχου (μαθηματική προσδοκία). καθώς και διασκόρπισημετάφραση από τα λατινικά δεν είναι άλλος τρόπος από το διασπορά .
Ας δούμε πώς προσδιορίζεται αυτό το αριθμητικό χαρακτηριστικό χρησιμοποιώντας ένα από τα παραδείγματα από το 1ο μέρος του μαθήματος: 
Εκεί βρήκαμε μια απογοητευτική μαθηματική προσδοκία αυτού του παιχνιδιού και τώρα πρέπει να υπολογίσουμε τη διακύμανσή του, η οποία συμβολίζεται μεμέσω .
Ας μάθουμε πόσο «σκορπίζονται» οι νίκες/ήττες σε σχέση με τη μέση τιμή. Προφανώς, για αυτό πρέπει να υπολογίσουμε διαφορέςμεταξύ τυχαίες τιμές μεταβλητώνκαι αυτή μαθηματική προσδοκία:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Τώρα φαίνεται ότι πρέπει να συνοψίσετε τα αποτελέσματα, αλλά αυτός ο τρόπος δεν είναι κατάλληλος - για το λόγο ότι οι διακυμάνσεις προς τα αριστερά θα αλληλοεξουδετερωθούν με τις διακυμάνσεις προς τα δεξιά. Έτσι, για παράδειγμα, ένας «ερασιτέχνης» σουτέρ (παράδειγμα παραπάνω)οι διαφορές θα είναι 
, και όταν προστεθούν θα δίνουν μηδέν, οπότε δεν θα πάρουμε καμία εκτίμηση για τη διασπορά της βολής του.
Για να ξεπεράσετε αυτό το πρόβλημα μπορείτε να σκεφτείτε ενότητεςδιαφορές, αλλά για τεχνικούς λόγους η προσέγγιση έχει ριζώσει όταν αυτές τετραγωνίζονται. Είναι πιο βολικό να διαμορφώσετε τη λύση σε έναν πίνακα: 
Και εδώ παρακαλεί να υπολογιστεί σταθμισμένος μέσος όροςτην τιμή των τετραγωνικών αποκλίσεων. Τι είναι αυτό? Είναι δικό τους αναμενόμενη αξία, που είναι ένα μέτρο διασποράς:
– ορισμόςαποκλίσεις. Από τον ορισμό γίνεται αμέσως σαφές ότι η διακύμανση δεν μπορεί να είναι αρνητική– σημειώστε για εξάσκηση!
Ας θυμηθούμε πώς να βρούμε την αναμενόμενη τιμή. Πολλαπλασιάστε τις τετραγωνικές διαφορές με τις αντίστοιχες πιθανότητες (Συνέχεια πίνακα):
– μεταφορικά μιλώντας, πρόκειται για «δύναμη έλξης»,
και συνοψίστε τα αποτελέσματα:
Δεν πιστεύετε ότι σε σύγκριση με τις νίκες, το αποτέλεσμα ήταν πολύ μεγάλο; Αυτό είναι σωστό - το τετραγωνίσαμε και για να επιστρέψουμε στη διάσταση του παιχνιδιού μας, πρέπει να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα. Αυτή η ποσότητα ονομάζεται τυπική απόκλιση
και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα «σίγμα»:
Αυτή η τιμή ονομάζεται μερικές φορές τυπική απόκλιση .
Ποιο είναι το νόημά του; Αν αποκλίνουμε από τη μαθηματική προσδοκία προς τα αριστερά και προς τα δεξιά με την τυπική απόκλιση: 
– τότε οι πιο πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής θα «συγκεντρωθούν» σε αυτό το διάστημα. Τι παρατηρούμε στην πραγματικότητα:
Ωστόσο, συμβαίνει ότι κατά την ανάλυση της διασποράς λειτουργεί σχεδόν πάντα με την έννοια της διασποράς. Ας καταλάβουμε τι σημαίνει σε σχέση με τα παιχνίδια. Εάν στην περίπτωση των βελών μιλάμε για την «ακρίβεια» των χτυπημάτων σε σχέση με το κέντρο του στόχου, τότε εδώ η διασπορά χαρακτηρίζει δύο πράγματα:
Πρώτον, είναι προφανές ότι όσο αυξάνονται τα στοιχήματα, αυξάνεται και η διασπορά. Έτσι, για παράδειγμα, αν αυξήσουμε κατά 10 φορές, τότε η μαθηματική προσδοκία θα αυξηθεί κατά 10 φορές και η διακύμανση θα αυξηθεί κατά 100 φορές (αφού πρόκειται για τετραγωνική ποσότητα). Σημειώστε όμως ότι οι ίδιοι οι κανόνες του παιχνιδιού δεν έχουν αλλάξει! Μόνο οι τιμές έχουν αλλάξει, χοντρικά, πριν ποντάρουμε 10 ρούβλια, τώρα είναι 100.
Το δεύτερο, πιο ενδιαφέρον σημείο είναι ότι η διακύμανση χαρακτηρίζει το στυλ παιχνιδιού. Διορθώστε διανοητικά τα στοιχήματα του παιχνιδιού σε κάποιο ορισμένο επίπεδο, και ας δούμε τι είναι:
Ένα παιχνίδι χαμηλής διακύμανσης είναι ένα προσεκτικό παιχνίδι. Ο παίκτης τείνει να επιλέγει τα πιο αξιόπιστα σχήματα, όπου δεν χάνει/κερδίζει πάρα πολλά ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, το κόκκινο/μαύρο σύστημα στη ρουλέτα (βλ. παράδειγμα 4 του άρθρου Τυχαίες μεταβλητές) .
Παιχνίδι υψηλής διακύμανσης. Την καλούν συχνά διασκορπιστικόςπαιχνίδι. Αυτό είναι ένα περιπετειώδες ή επιθετικό στυλ παιχνιδιού, όπου ο παίκτης επιλέγει σχήματα «αδρεναλίνης». Ας θυμηθούμε τουλάχιστον "Λουρί ίππου", στο οποίο τα ποσά που διακυβεύονται είναι τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από το «ήσυχο» παιχνίδι του προηγούμενου σημείου.
Η κατάσταση στο πόκερ είναι ενδεικτική: υπάρχουν τα λεγόμενα σφιχτόςπαίκτες που τείνουν να είναι προσεκτικοί και «τρεμμένοι» σχετικά με τα κεφάλαιά τους για παιχνίδια (τραπεζική τράπεζα). Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι το bankroll τους δεν παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις (χαμηλή διακύμανση). Αντίθετα, αν ένας παίκτης έχει μεγάλη διακύμανση, τότε είναι επιθετικός. Συχνά παίρνει ρίσκα, κάνει μεγάλα στοιχήματα και μπορεί είτε να σπάσει μια τεράστια τράπεζα είτε να χάσει από smithereens.
Το ίδιο συμβαίνει στο Forex, και ούτω καθεξής - υπάρχουν πολλά παραδείγματα.
Επιπλέον, σε όλες τις περιπτώσεις δεν έχει σημασία αν το παιχνίδι παίζεται για πένες ή χιλιάδες δολάρια. Κάθε επίπεδο έχει τους παίκτες χαμηλής και υψηλής διασποράς. Λοιπόν, όπως θυμόμαστε, η μέση νίκη είναι «υπεύθυνη» αναμενόμενη αξία.
Πιθανότατα έχετε παρατηρήσει ότι η εύρεση της διακύμανσης είναι μια μακρά και επίπονη διαδικασία. Αλλά τα μαθηματικά είναι γενναιόδωρα:
Τύπος εύρεσης διασποράς
Αυτός ο τύπος προέρχεται απευθείας από τον ορισμό της διακύμανσης και τον θέτουμε αμέσως σε χρήση. Θα αντιγράψω την πινακίδα με το παιχνίδι μας παραπάνω: 
και η ευρεθείσα μαθηματική προσδοκία.
Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση με τον δεύτερο τρόπο. Αρχικά, ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία - το τετράγωνο της τυχαίας μεταβλητής. Με προσδιορισμός της μαθηματικής προσδοκίας:
Σε αυτήν την περίπτωση:
Έτσι, σύμφωνα με τον τύπο:
Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά. Και στην πράξη, φυσικά, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε τη φόρμουλα (εκτός αν η συνθήκη απαιτεί διαφορετικά).
Κατακτούμε την τεχνική της επίλυσης και του σχεδιασμού:
Παράδειγμα 6
Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.
Αυτή η εργασία βρίσκεται παντού και, κατά κανόνα, δεν έχει νόημα.
Μπορείτε να φανταστείτε αρκετές λάμπες με αριθμούς που ανάβουν σε ένα τρελοκομείο με συγκεκριμένες πιθανότητες :)
Λύση: Είναι βολικό να συνοψίσετε τους βασικούς υπολογισμούς σε έναν πίνακα. Αρχικά, γράφουμε τα αρχικά δεδομένα στις δύο πρώτες γραμμές. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα γινόμενα, μετά και τέλος τα αθροίσματα στη δεξιά στήλη: 
Στην πραγματικότητα, σχεδόν όλα είναι έτοιμα. Η τρίτη γραμμή δείχνει μια έτοιμη μαθηματική προσδοκία: 
.
Υπολογίζουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Και τέλος, η τυπική απόκλιση:
– Προσωπικά, συνήθως στρογγυλεύω με 2 δεκαδικά ψηφία.
Όλοι οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν σε μια αριθμομηχανή ή ακόμα καλύτερα - στο Excel:
Είναι δύσκολο να κάνεις λάθος εδώ :)
Απάντηση:
Όσοι επιθυμούν μπορούν να απλοποιήσουν ακόμη περισσότερο τη ζωή τους και να εκμεταλλευτούν τη δική μου αριθμομηχανή (διαδήλωση), το οποίο όχι μόνο θα λύσει άμεσα αυτό το πρόβλημα, αλλά και θα δημιουργήσει θεματικά γραφικά (θα φτάσουμε εκεί σύντομα). Το πρόγραμμα μπορεί να είναι κατεβάστε από τη βιβλιοθήκη– εάν έχετε κατεβάσει τουλάχιστον ένα εκπαιδευτικό υλικό ή έχετε λάβει ένας άλλος τρόπος. Ευχαριστούμε για την υποστήριξη του έργου!
Μερικές εργασίες που πρέπει να επιλύσετε μόνοι σας:
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής στο προηγούμενο παράδειγμα εξ ορισμού.
Και παρόμοιο παράδειγμα:
Παράδειγμα 8
Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τον νόμο κατανομής της:
Ναι, οι τιμές τυχαίων μεταβλητών μπορεί να είναι αρκετά μεγάλες (παράδειγμα από πραγματική δουλειά), και εδώ, αν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε το Excel. Όπως, παρεμπιπτόντως, στο Παράδειγμα 7 - είναι πιο γρήγορο, πιο αξιόπιστο και πιο ευχάριστο.
Λύσεις και απαντήσεις στο κάτω μέρος της σελίδας.
Για να ολοκληρώσουμε το 2ο μέρος του μαθήματος, θα δούμε ένα άλλο τυπικό πρόβλημα, θα μπορούσε να πει κανείς ένα μικρό παζλ:
Παράδειγμα 9
Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: και , και . Η πιθανότητα, η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανση είναι γνωστές.
Λύση: Ας ξεκινήσουμε με μια άγνωστη πιθανότητα. Εφόσον μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές, το άθροισμα των πιθανοτήτων των αντίστοιχων γεγονότων είναι:
και απο τοτε .
Το μόνο που μένει είναι να βρούμε..., είναι εύκολο να το πούμε :) Αλλά ω, λοιπόν, ορίστε. Εξ ορισμού της μαθηματικής προσδοκίας: 
– αντικατάσταση γνωστών ποσοτήτων:
– και τίποτα περισσότερο δεν μπορεί να αποσπαστεί από αυτήν την εξίσωση, εκτός από το ότι μπορείτε να την ξαναγράψετε στη συνήθη κατεύθυνση: 
ή: 
Νομίζω ότι μπορείτε να μαντέψετε τα επόμενα βήματα. Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα: 
Τα δεκαδικά είναι, φυσικά, μια πλήρης ντροπή. πολλαπλασιάζουμε και τις δύο εξισώσεις επί 10: 
και διαιρέστε με το 2: 
Αυτό είναι καλύτερο. Από την 1η εξίσωση εκφράζουμε: 
(αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος)– αντικαταστήστε στη 2η εξίσωση:
Χτίζουμε εις το τετραγωνοκαι κάντε απλοποιήσεις: 
Πολλαπλασιασμός με: 
Το αποτέλεσμα ήταν τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε τη διάκρισή του:
- Εξαιρετική!
και έχουμε δύο λύσεις:
1) εάν 
, Οτι 
;
2) αν 
, Οτι .
Η συνθήκη ικανοποιείται από το πρώτο ζεύγος τιμών. Με μεγάλη πιθανότητα όλα είναι σωστά, αλλά, ωστόσο, ας γράψουμε τον νόμο διανομής: 
και εκτελέστε έναν έλεγχο, δηλαδή βρείτε την προσδοκία:
Η μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) μιας τυχαίας μεταβλητής X που δίνεται σε ένα διακριτό χώρο πιθανοτήτων είναι ο αριθμός m =M[X]=∑x i p i εάν η σειρά συγκλίνει απόλυτα.
Σκοπός της υπηρεσίας. Χρήση της διαδικτυακής υπηρεσίας υπολογίζονται οι μαθηματικές προσδοκίες, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση(βλ. παράδειγμα). Επιπλέον, σχεδιάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής F(X).
Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας μιας τυχαίας μεταβλητής
- Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθερής τιμής είναι ίση με τον εαυτό της: M[C]=C, C – σταθερά.
- M=C M[X]
- Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X]+M[Y]
- Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: M=M[X] M[Y] , αν τα X και Y είναι ανεξάρτητα.
Ιδιότητες διασποράς
- Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν: D(c)=0.
- Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το πρόσημο της διασποράς τετραγωνίζοντας το: D(k*X)= k 2 D(X).
- Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε η διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Εάν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y εξαρτώνται: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Ο ακόλουθος υπολογιστικός τύπος ισχύει για τη διασπορά:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Παράδειγμα. Οι μαθηματικές προσδοκίες και οι διακυμάνσεις δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι γνωστές: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Z=9X-8Y+7.
Λύση. Με βάση τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Με βάση τις ιδιότητες της διασποράς: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Αλγόριθμος για τον υπολογισμό της μαθηματικής προσδοκίας
Ιδιότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών: όλες οι τιμές τους μπορούν να επαναριθμηθούν με φυσικούς αριθμούς. κάθε τιμή σχετίζεται με μη μηδενική πιθανότητα.- Πολλαπλασιάζουμε τα ζεύγη ένα προς ένα: x i επί p i .
- Προσθέστε το γινόμενο κάθε ζεύγους x i p i .
Για παράδειγμα, για n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Παράδειγμα Νο. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| πι | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο m = ∑x i p i .
Προσδοκία M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Βρίσκουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Διακύμανση D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Τυπική απόκλιση σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Παράδειγμα Νο. 2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει την ακόλουθη σειρά διανομής:
| Χ | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | ΕΝΑ | 0,32 | 2ένα | 0,41 | 0,03 |
Λύση. Η τιμή του a βρίσκεται από τη σχέση: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ή 0,24=3 a , από όπου a = 0,08
Παράδειγμα Νο. 3. Προσδιορίστε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής εάν η διακύμανσή της είναι γνωστή και x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Λύση.
Εδώ πρέπει να δημιουργήσετε έναν τύπο για την εύρεση της διακύμανσης d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
όπου η προσδοκία m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Για τα δεδομένα μας
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ή -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Αντίστοιχα, πρέπει να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης και θα υπάρχουν δύο από αυτές.
x 3 =8, x 3 =12
Επιλέξτε αυτό που ικανοποιεί τη συνθήκη x 1
Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Αυτή η σελίδα περιγράφει ένα τυπικό παράδειγμα εύρεσης διακύμανσης, μπορείτε επίσης να εξετάσετε άλλα προβλήματα για την εύρεση της
Παράδειγμα 1. Προσδιορισμός ομάδας, μέσου όρου ομάδας, διαομαδικής και συνολικής διακύμανσης
Παράδειγμα 2. Εύρεση της διακύμανσης και του συντελεστή διακύμανσης σε έναν πίνακα ομαδοποίησης
Παράδειγμα 3. Εύρεση διασποράς σε διακριτή σειρά
Παράδειγμα 4. Τα ακόλουθα δεδομένα είναι διαθέσιμα για μια ομάδα 20 φοιτητών αλληλογραφίας. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια σειρά διαστημάτων της κατανομής του χαρακτηριστικού, να υπολογιστεί η μέση τιμή του χαρακτηριστικού και να μελετηθεί η διασπορά του
Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων. Ας προσδιορίσουμε το εύρος του διαστήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο:
όπου X max είναι η μέγιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.
X min – ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.
n – αριθμός διαστημάτων:
Δεχόμαστε n=5. Το βήμα είναι: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6
Ας δημιουργήσουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων
Για περαιτέρω υπολογισμούς, θα φτιάξουμε έναν βοηθητικό πίνακα:
X"i – το μέσο του διαστήματος. (για παράδειγμα, το μέσο του διαστήματος 159 – 165,6 = 162,3)
Καθορίζουμε το μέσο ύψος των μαθητών χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:
Ας προσδιορίσουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ο τύπος μπορεί να μεταμορφωθεί ως εξής:
Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων των επιλογών και του τετραγώνου και του μέσου όρου.
Διασπορά σε σειρές παραλλαγήςμε ίσα διαστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τρόπο χρησιμοποιώντας τη δεύτερη ιδιότητα της διασποράς (διαιρώντας όλες τις επιλογές με την τιμή του διαστήματος). Προσδιορισμός διακύμανσης, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ροπών, η χρήση του ακόλουθου τύπου είναι λιγότερο επίπονη:
όπου i είναι η τιμή του διαστήματος.
Το Α είναι ένα συμβατικό μηδέν, για το οποίο είναι βολικό να χρησιμοποιείται το μέσο του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα.
m1 είναι το τετράγωνο της ροπής πρώτης τάξης.
m2 - στιγμή δεύτερης παραγγελίας
Εναλλακτική διακύμανση χαρακτηριστικών (εάν σε έναν στατιστικό πληθυσμό ένα χαρακτηριστικό αλλάζει με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές, τότε αυτή η μεταβλητότητα ονομάζεται εναλλακτική) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Αντικαθιστώντας q = 1- p σε αυτόν τον τύπο διασποράς, λαμβάνουμε:
Τύποι διακύμανσης
Ολική διακύμανσημετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκαλούν αυτή τη διακύμανση. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού x από τη συνολική μέση τιμή του x και μπορεί να οριστεί ως απλή διακύμανση ή σταθμισμένη διακύμανση.
Διακύμανση εντός της ομάδας χαρακτηρίζει την τυχαία παραλλαγή, δηλ. μέρος της διακύμανσης που οφείλεται στην επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από τον παράγοντα-ιδιότητα που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Αυτή η διασπορά είναι ίση με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο της ομάδας και μπορεί να υπολογιστεί ως απλή διασπορά ή ως σταθμισμένη διασπορά.
Ετσι, μέτρα διακύμανσης εντός της ομάδαςπαραλλαγή ενός χαρακτηριστικού μέσα σε μια ομάδα και καθορίζεται από τον τύπο:
όπου xi είναι ο μέσος όρος της ομάδας.
ni είναι ο αριθμός των μονάδων στην ομάδα.
Για παράδειγμα, οι ενδοομαδικές διακυμάνσεις που πρέπει να προσδιοριστούν στο έργο της μελέτης της επίδρασης των προσόντων των εργαζομένων στο επίπεδο παραγωγικότητας της εργασίας σε ένα εργαστήριο δείχνουν διακυμάνσεις στην παραγωγή σε κάθε ομάδα που προκαλούνται από όλους τους πιθανούς παράγοντες (τεχνική κατάσταση εξοπλισμού, διαθεσιμότητα εργαλεία και υλικά, ηλικία εργαζομένων, ένταση εργασίας κ.λπ. .), εκτός από τις διαφορές στην κατηγορία προσόντων (σε μια ομάδα όλοι οι εργαζόμενοι έχουν τα ίδια προσόντα).
Ας υπολογίσουμε μέσαΚυρίαΠΡΟΕΧΩδιακύμανση δείγματος και τυπική απόκλιση. Θα υπολογίσουμε επίσης τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής εάν η κατανομή της είναι γνωστή.
Ας εξετάσουμε πρώτα διασπορά, έπειτα τυπική απόκλιση.
Διακύμανση δείγματος
Διακύμανση δείγματος (διακύμανση δείγματος,δείγμαδιαφορά) χαρακτηρίζει την εξάπλωση των τιμών στον πίνακα σε σχέση με το .
Και οι 3 τύποι είναι μαθηματικά ισοδύναμοι.
Από τον πρώτο τύπο είναι σαφές ότι διακύμανση δείγματοςείναι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων κάθε τιμής στον πίνακα από το μέσο όρο, διαιρούμενο με το μέγεθος του δείγματος μείον 1.
αποκλίσεις δείγματαχρησιμοποιείται η συνάρτηση DISP(), Αγγλικά. το όνομα VAR, δηλ. Διαφορά. Από την έκδοση MS EXCEL 2010, συνιστάται η χρήση του αναλογικού του DISP.V(), Αγγλικά. το όνομα VARS, δηλ. Δείγμα διακύμανσης. Επιπλέον, ξεκινώντας από την έκδοση του MS EXCEL 2010, υπάρχει μια συνάρτηση DISP.Г(), Αγγλικά. όνομα VARP, δηλ. Μεταβλητή πληθυσμού, η οποία υπολογίζει διασποράΓια πληθυσμός. Η όλη διαφορά καταλήγει στον παρονομαστή: αντί για n-1 όπως το DISP.V(), το DISP.G() έχει μόλις n στον παρονομαστή. Πριν από το MS EXCEL 2010, η συνάρτηση VAR() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.
Διακύμανση δείγματος
=QUADROTCL(Δείγμα)/(COUNT(Δείγμα)-1)
=(SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/ (COUNT(Sample)-1)– συνήθης φόρμουλα
=SUM((Δείγμα -AVERAGE(Δείγμα))^2)/ (COUNT(Δείγμα)-1) –
Διακύμανση δείγματοςείναι ίσο με 0, μόνο εάν όλες οι τιμές είναι ίσες μεταξύ τους και, κατά συνέπεια, ίσες μέση αξία. Συνήθως, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή αποκλίσεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξάπλωση των τιμών στον πίνακα.
Διακύμανση δείγματοςείναι μια βαθμολογική εκτίμηση αποκλίσειςκατανομή της τυχαίας μεταβλητής από την οποία δημιουργήθηκε δείγμα. Περί κατασκευής διαστήματα εμπιστοσύνηςκατά την αξιολόγηση αποκλίσειςμπορεί να διαβαστεί στο άρθρο.
Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής
Να υπολογίσω διασποράτυχαία μεταβλητή, πρέπει να τη γνωρίζετε.
Για αποκλίσειςΗ τυχαία μεταβλητή X συχνά συμβολίζεται Var(X). Διασποράίσο με το τετράγωνο της απόκλισης από τη μέση E(X): Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]
διασποράυπολογίζεται με τον τύπο:
όπου x i είναι η τιμή που μπορεί να πάρει μια τυχαία μεταβλητή και μ είναι η μέση τιμή (), p(x) είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή x.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή έχει , τότε διασποράυπολογίζεται με τον τύπο:
Διάσταση αποκλίσειςαντιστοιχεί στο τετράγωνο της μονάδας μέτρησης των αρχικών τιμών. Για παράδειγμα, εάν οι τιμές στο δείγμα αντιπροσωπεύουν μετρήσεις μερικού βάρους (σε kg), τότε η διάσταση διακύμανσης θα είναι kg 2. Αυτό μπορεί να είναι δύσκολο να ερμηνευτεί, επομένως για να χαρακτηριστεί η εξάπλωση των τιμών, μια τιμή ίση με την τετραγωνική ρίζα του αποκλίσεις – τυπική απόκλιση.
Μερικές ιδιότητες αποκλίσεις:
Var(X+a)=Var(X), όπου το X είναι μια τυχαία μεταβλητή και η a είναι μια σταθερά.
Var(aΧ)=a 2 Var(X)
Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Αυτή η ιδιότητα διασποράς χρησιμοποιείται σε άρθρο για τη γραμμική παλινδρόμηση.
Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), όπου X και Y είναι τυχαίες μεταβλητές, Cov(X;Y) είναι η συνδιακύμανση αυτών των τυχαίων μεταβλητών.
Εάν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε αυτές συνδιακύμανσηισούται με 0, και επομένως Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Αυτή η ιδιότητα της διασποράς χρησιμοποιείται στην παραγωγή.
Ας δείξουμε ότι για ανεξάρτητα μεγέθη Var(X-Y)=Var(X+Y). Πράγματι, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). Αυτή η ιδιότητα διασποράς χρησιμοποιείται για την κατασκευή .
Δείγμα τυπικής απόκλισης
Δείγμα τυπικής απόκλισηςείναι ένα μέτρο του πόσο ευρέως διασκορπισμένες είναι οι τιμές σε ένα δείγμα σε σχέση με τις τιμές τους.
Α-προπατορικό, τυπική απόκλισηίσο με την τετραγωνική ρίζα του αποκλίσεις:
Τυπική απόκλισηδεν λαμβάνει υπόψη το μέγεθος των τιμών σε δείγμα, αλλά μόνο ο βαθμός διασποράς των τιμών γύρω τους μέση τιμή. Για να το διευκρινίσουμε αυτό, ας δώσουμε ένα παράδειγμα.
Ας υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση για 2 δείγματα: (1; 5; 9) και (1001; 1005; 1009). Και στις δύο περιπτώσεις, s=4. Είναι προφανές ότι ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τις τιμές του πίνακα διαφέρει σημαντικά μεταξύ των δειγμάτων. Για τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται Ο συντελεστής διακύμανσης(Συντελεστής Διακύμανσης, CV) - αναλογία Τυπική απόκλισηστο μέσο όρο αριθμητική, εκφρασμένο ως ποσοστό.
Σε MS EXCEL 2007 και παλαιότερες εκδόσεις για υπολογισμό Δείγμα τυπικής απόκλισηςχρησιμοποιείται η συνάρτηση =STDEVAL(), Αγγλικά. όνομα STDEV, δηλ. Τυπική απόκλιση. Από την έκδοση του MS EXCEL 2010, συνιστάται η χρήση του αναλογικού του =STDEV.B() , Αγγλικά. όνομα STDEV.S, δηλ. Δείγμα Τυπικής απόκλισης.
Επιπλέον, ξεκινώντας από την έκδοση του MS EXCEL 2010, υπάρχει μια συνάρτηση STANDARDEV.G(), Αγγλικά. όνομα STDEV.P, δηλ. Πληθυσμός Standard Deviation, που υπολογίζει τυπική απόκλισηΓια πληθυσμός. Η όλη διαφορά καταλήγει στον παρονομαστή: αντί για n-1 όπως στο STANDARDEV.V(), το STANDARDEVAL.G() έχει μόλις n στον παρονομαστή.
Τυπική απόκλισημπορεί επίσης να υπολογιστεί απευθείας χρησιμοποιώντας τους παρακάτω τύπους (δείτε παράδειγμα αρχείου)
=ROOT(QUADROTCL(Δείγμα)/(COUNT(Δείγμα)-1))
=ROOT((SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/(COUNT(Sample)-1))
Άλλα μέτρα διασποράς
Η συνάρτηση SQUADROTCL() υπολογίζει με ένα άθροισμα τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών από τους μέση τιμή. Αυτή η συνάρτηση θα επιστρέψει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο =DISP.G( Δείγμα)*ΕΛΕΓΧΟΣ( Δείγμα) , Οπου Δείγμα- μια αναφορά σε μια περιοχή που περιέχει μια σειρά από τιμές δείγματος (). Οι υπολογισμοί στη συνάρτηση QUADROCL() γίνονται σύμφωνα με τον τύπο:
Η συνάρτηση SROTCL() είναι επίσης ένα μέτρο της εξάπλωσης ενός συνόλου δεδομένων. Η συνάρτηση SROTCL() υπολογίζει τον μέσο όρο των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων των τιμών από μέση τιμή. Αυτή η συνάρτηση θα επιστρέψει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο =SUMPRODUCT(ABS(Sample-AVERAGE(Sample)))/COUNT(Sample), Οπου Δείγμα- μια σύνδεση σε μια περιοχή που περιέχει μια σειρά από τιμές δείγματος.
Οι υπολογισμοί στη συνάρτηση SROTCL () γίνονται σύμφωνα με τον τύπο:
