Στη θεωρία των συναρτησιακών σειρών, την κεντρική θέση καταλαμβάνει το τμήμα που είναι αφιερωμένο στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά.

Έτσι, ορίζεται η εργασία: για μια δεδομένη συνάρτηση πρέπει να βρούμε μια τέτοια σειρά ισχύος

που συνέκλινε σε ένα ορισμένο διάστημα και το άθροισμά του ήταν ίσο με
, εκείνοι.

= ..

Αυτή η εργασία ονομάζεται το πρόβλημα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος.

Απαραίτητη προϋπόθεση για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύοςείναι η διαφορικότητά του άπειρες φορές - αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες της συγκλίνουσας σειράς ισχύος. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, κατά κανόνα, για στοιχειώδεις συναρτήσεις στον τομέα ορισμού τους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση
έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης. Είναι δυνατόν να το επεκτείνουμε σε σειρά ισχύος;Αν ναι, πώς μπορούμε να βρούμε αυτήν τη σειρά; Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι πιο εύκολο να λυθεί, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας σειράς ισχύος που συγκλίνει στο διάστημα που περιέχει το σημείο Χ 0 :

= .. (*)

Οπου ΕΝΑ 0 ,ΕΝΑ 1 ,ΕΝΑ 2 ,...,ΕΝΑ Π ,... – άγνωστοι (ακόμα) συντελεστές.

Ας βάλουμε στην ισότητα (*) την τιμή x = x 0 , τότε παίρνουμε

.

Ας διαφοροποιήσουμε τη σειρά ισχύος (*) ανά όρο

= ..

και πιστεύοντας εδώ x = x 0 , παίρνουμε

.

Με την επόμενη διαφοροποίηση παίρνουμε τη σειρά

= ..

πιστεύοντας x = x 0 , παίρνουμε
, που
.

Μετά Π-πολλαπλή διαφοροποίηση παίρνουμε

Υποθέτοντας στην τελευταία ισότητα x = x 0 , παίρνουμε
, που

Βρίσκονται λοιπόν οι συντελεστές

,
,
, …,
,….,

αντικαθιστώντας το οποίο στη σειρά (*), παίρνουμε

Η σειρά που προκύπτει ονομάζεται δίπλα στον Τέιλοργια λειτουργία
.

Έτσι, το έχουμε διαπιστώσει εάν η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος σε ισχύ (x - x 0 ), τότε αυτή η επέκταση είναι μοναδική και η σειρά που προκύπτει είναι απαραίτητα μια σειρά Taylor.

Σημειώστε ότι η σειρά Taylor μπορεί να ληφθεί για οποιαδήποτε συνάρτηση έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στο σημείο x = x 0 . Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι μπορεί να τοποθετηθεί ένα σύμβολο ίσου μεταξύ της συνάρτησης και της σειράς που προκύπτει, δηλ. ότι το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση. Πρώτον, μια τέτοια ισότητα μπορεί να έχει νόημα μόνο στην περιοχή σύγκλισης και η σειρά Taylor που λαμβάνεται για τη συνάρτηση μπορεί να αποκλίνει, και δεύτερον, εάν η σειρά Taylor συγκλίνει, τότε το άθροισμά της μπορεί να μην συμπίπτει με την αρχική συνάρτηση.

Ας διατυπώσουμε μια δήλωση με τη βοήθεια της οποίας θα λυθεί η εργασία.

Εάν η συνάρτηση
σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 έχει παράγωγα μέχρι (n+ 1) της τάξης συμπεριλαμβανομένου, τότε σε αυτή τη γειτονιά έχουμετύποςΤέιλορ

ΟπουR n (Χ)-ο υπόλοιπος όρος του τύπου Taylor - έχει τη μορφή (μορφή Lagrange)

Οπου τελείαξ βρίσκεται μεταξύ x και x 0 .

Σημειώστε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ της σειράς Taylor και του τύπου Taylor: ο τύπος Taylor είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα, δηλ. Π -σταθερό αριθμό.

Θυμηθείτε ότι το άθροισμα της σειράς μικρό(Χ) μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας συναρτησιακής ακολουθίας μερικών αθροισμάτων μικρό Π (Χ) σε κάποιο διάστημα Χ:

.

Σύμφωνα με αυτό, για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να βρείτε μια σειρά τέτοια ώστε για οποιαδήποτε ΧΧ

Ας γράψουμε τον τύπο του Taylor με τη μορφή όπου

σημειώσε ότι
ορίζει το σφάλμα που λαμβάνουμε, αντικαταστήστε τη συνάρτηση φά(Χ) πολυώνυμος μικρό n (Χ).

Αν
, Οτι
,εκείνοι. η λειτουργία επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor. Αντίστροφα, αν
, Οτι
.

Έτσι αποδείξαμε κριτήριο για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Για τη συνάρτησηφά(x) επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι σε αυτό το διάστημα
, ΟπουR n (Χ) είναι ο υπόλοιπος όρος της σειράς Taylor.

Χρησιμοποιώντας το διατυπωμένο κριτήριο, μπορεί κανείς να αποκτήσει επαρκήςσυνθήκες για τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Αν μέσακάποια γειτονιά του σημείου x 0 οι απόλυτες τιμές όλων των παραγώγων της συνάρτησης περιορίζονται στον ίδιο αριθμό M≥ 0, δηλ.

, Τo σε αυτή τη γειτονιά η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor.

Από τα παραπάνω προκύπτει αλγόριθμοςεπέκταση λειτουργίαςφά(Χ) στη σειρά Taylorκοντά σε ένα σημείο Χ 0 :

1. Εύρεση παραγώγων συναρτήσεων φά(Χ):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (Χ),…

2. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης και τις τιμές των παραγώγων της στο σημείο Χ 0

f(x 0 ), στ’(χ 0 ), f”(x 0 ), στ» (χ 0 ), στ (n) (Χ 0 ),…

3. Γράφουμε τυπικά τη σειρά Taylor και βρίσκουμε την περιοχή σύγκλισης της σειράς ισχύος που προκύπτει.

4. Ελέγχουμε την εκπλήρωση επαρκών προϋποθέσεων, π.χ. καθιερώνουμε για το οποίο Χαπό την περιοχή σύγκλισης, υπόλοιπος όρος R n (Χ) τείνει στο μηδέν στο
ή
.

Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο ονομάζεται επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor εξ ορισμούή άμεση αποσύνθεση.

Οι μαθητές ανώτερων μαθηματικών θα πρέπει να γνωρίζουν ότι το άθροισμα ενός ορισμένου σειρά ισχύος, που ανήκει στο διάστημα σύγκλισης της σειράς που μας δίνεται, αποδεικνύεται ότι είναι μια συνεχής και άπειρη διαφοροποιημένη συνάρτηση. Τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν να πούμε ότι μια δεδομένη αυθαίρετη συνάρτηση f(x) είναι το άθροισμα μιας συγκεκριμένης σειράς ισχύος; Δηλαδή, υπό ποιες συνθήκες η συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί με μια σειρά ισχύος; Η σημασία αυτής της ερώτησης έγκειται στο γεγονός ότι είναι δυνατή η κατά προσέγγιση αντικατάσταση της συνάρτησης f(x) με το άθροισμα των πρώτων όρων μιας σειράς ισχύος, δηλαδή ενός πολυωνύμου. Αυτή η αντικατάσταση μιας συνάρτησης με μια μάλλον απλή έκφραση - ένα πολυώνυμο - είναι επίσης βολική κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, συγκεκριμένα: κατά την επίλυση ολοκληρωμάτων, κατά τον υπολογισμό κ.λπ.

Έχει αποδειχθεί ότι για μια συγκεκριμένη συνάρτηση f(x), στην οποία είναι δυνατός ο υπολογισμός παραγώγων μέχρι την (n+1)η τάξη, συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας, στη γειτονιά του (α - R; x 0 + R ) κάποιο σημείο x = α, είναι αλήθεια ότι ο τύπος:

Αυτή η φόρμουλα πήρε το όνομά της από τη διάσημη επιστήμονα Brooke Taylor. Η σειρά που λαμβάνεται από την προηγούμενη ονομάζεται σειρά Maclaurin:

Ο κανόνας που καθιστά δυνατή την εκτέλεση μιας επέκτασης σε μια σειρά Maclaurin:

R n (x) -> 0 στο n -> άπειρο. Εάν υπάρχει, η συνάρτηση f(x) σε αυτήν πρέπει να συμπίπτει με το άθροισμα της σειράς Maclaurin.

Ας εξετάσουμε τώρα τη σειρά Maclaurin για μεμονωμένες λειτουργίες.

1. Άρα, το πρώτο θα είναι f(x) = e x. Φυσικά, από τα χαρακτηριστικά της, μια τέτοια συνάρτηση έχει παραγώγους πολύ διαφορετικών τάξεων και f (k) (x) = e x , όπου k ισούται με όλα. Αντικαταστήστε το x = 0. Παίρνουμε f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Με βάση τα παραπάνω, η σειρά e x θα μοιάζει με αυτό:

2. Σειρά Maclaurin για τη συνάρτηση f(x) = sin x. Ας διευκρινίσουμε αμέσως ότι η συνάρτηση για όλους τους αγνώστους θα έχει παραγώγους, επιπλέον, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), όπου k ισούται με οποιοδήποτε φυσικός αριθμός. Δηλαδή, έχοντας κάνει απλούς υπολογισμούς, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η σειρά για f(x) = sin x θα έχει την εξής μορφή:

3. Τώρα ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τη συνάρτηση f(x) = cos x. Για όλα τα άγνωστα έχει παράγωγα αυθαίρετης τάξης και |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|