Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις δεν είναι εύκολο θέμα. Είναι πολύ διαφορετικά.) Για παράδειγμα, αυτά:

αμαρτία 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = κούνια(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Και τα λοιπά...

Όμως αυτά (και όλα τα άλλα) τριγωνομετρικά τέρατα έχουν δύο κοινά και υποχρεωτικά χαρακτηριστικά. Πρώτον - δεν θα το πιστέψετε - υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις στις εξισώσεις.) Δεύτερον: όλες οι εκφράσεις με x βρίσκονται μέσα σε αυτές τις ίδιες λειτουργίες.Και μόνο εκεί! Αν κάπου εμφανίζεται το Χ εξω απο,Για παράδειγμα, sin2x + 3x = 3,αυτό θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις απαιτούν ατομική προσέγγιση. Δεν θα τα εξετάσουμε εδώ.

Δεν θα λύσουμε κακές εξισώσεις ούτε σε αυτό το μάθημα.) Εδώ θα ασχοληθούμε οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις.Γιατί; Ναι γιατί η λύση όποιος τριγωνομετρικές εξισώσειςαποτελείται από δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, η εξίσωση του κακού μειώνεται σε απλή μέσω ποικίλων μετασχηματισμών. Στη δεύτερη, λύνεται αυτή η απλούστερη εξίσωση. Δεν έχει άλλο τρόπο.

Έτσι, εάν έχετε προβλήματα στο δεύτερο στάδιο, το πρώτο στάδιο δεν έχει πολύ νόημα.)

Πώς μοιάζουν οι στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις;

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

Εδώ ΕΝΑ σημαίνει οποιονδήποτε αριθμό. Οποιος.

Παρεμπιπτόντως, μέσα σε μια συνάρτηση μπορεί να μην υπάρχει ένα καθαρό X, αλλά κάποιο είδος έκφρασης, όπως:

cos(3x+π /3) = 1/2

και τα λοιπά. Αυτό περιπλέκει τη ζωή, αλλά δεν επηρεάζει τη μέθοδο επίλυσης μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης.

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος: χρησιμοποιώντας τη λογική και τον τριγωνομετρικό κύκλο. Θα δούμε αυτό το μονοπάτι εδώ. Ο δεύτερος τρόπος - χρησιμοποιώντας μνήμη και τύπους - θα συζητηθεί στο επόμενο μάθημα.

Ο πρώτος τρόπος είναι σαφής, αξιόπιστος και δύσκολος να ξεχαστεί.) Είναι καλός για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, ανισώσεων και όλων των ειδών δύσκολων μη τυπικών παραδειγμάτων. Η λογική είναι πιο δυνατή από τη μνήμη!)

Επίλυση εξισώσεων με χρήση τριγωνομετρικού κύκλου.

Περιλαμβάνουμε τη στοιχειώδη λογική και τη δυνατότητα χρήσης του τριγωνομετρικού κύκλου. Δεν ξέρεις πώς; Ωστόσο... Θα δυσκολευτείτε στην τριγωνομετρία...) Αλλά δεν πειράζει. Ρίξτε μια ματιά στα μαθήματα "Τριγωνομετρικός κύκλος...... Τι είναι;" και "Μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο." Όλα είναι απλά εκεί. Σε αντίθεση με τα σχολικά βιβλία...)

Ω, ξέρεις! Και μάλιστα κατακτήστε την "Πρακτική εργασία με τον τριγωνομετρικό κύκλο"!; Συγχαρητήρια. Αυτό το θέμα θα είναι κοντινό και κατανοητό σε εσάς.) Αυτό που είναι ιδιαίτερα ευχάριστο είναι ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος δεν ενδιαφέρεται για την εξίσωση που θα λύσετε. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη - όλα είναι ίδια γι 'αυτόν. Υπάρχει μόνο μια αρχή λύσης.

Παίρνουμε λοιπόν οποιαδήποτε στοιχειώδη τριγωνομετρική εξίσωση. Τουλάχιστον αυτό:

cosx = 0,5

Πρέπει να βρούμε το Χ. Μιλώντας στην ανθρώπινη γλώσσα, χρειάζεστε Να βρείτε τη γωνία (x) της οποίας το συνημίτονο είναι 0,5.

Πώς χρησιμοποιούσαμε προηγουμένως τον κύκλο; Σχεδιάσαμε μια γωνία πάνω του. Σε μοίρες ή ακτίνια. Και αμέσως είδε τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτής της γωνίας. Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο. Ας σχεδιάσουμε ένα συνημίτονο στον κύκλο ίσο με 0,5 και αμέσως θα δούμε γωνία. Το μόνο που μένει είναι να γράψετε την απάντηση.) Ναι, ναι!

Σχεδιάστε έναν κύκλο και σημειώστε το συνημίτονο ίσο με 0,5. Στον άξονα συνημιτόνου, φυσικά. Σαν αυτό:

Τώρα ας σχεδιάσουμε τη γωνία που μας δίνει αυτό το συνημίτονο. Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας) και θα δείτεαυτή ακριβώς τη γωνιά Χ.

Το συνημίτονο ποιας γωνίας είναι 0,5;

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Κάποιοι θα γελάσουν με σκεπτικισμό, ναι... Όπως, άξιζε να γίνει ένας κύκλος όταν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα... Μπορείτε, φυσικά, να γελάσετε...) Αλλά το γεγονός είναι ότι αυτή είναι μια λανθασμένη απάντηση. Ή μάλλον ανεπαρκής. Οι γνώστες του κύκλου καταλαβαίνουν ότι υπάρχει ένα σωρό άλλες γωνίες εδώ που δίνουν επίσης συνημίτονο 0,5.

Εάν στρίψετε την κινούμενη πλευρά ΟΑ πλήρης στροφή, το σημείο Α θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Με το ίδιο συνημίτονο ίσο με 0,5. Εκείνοι. η γωνία θα αλλάξεικατά 360° ή 2π ακτίνια, και συνημίτονο - όχι.Η νέα γωνία 60° + 360° = 420° θα είναι επίσης μια λύση στην εξίσωσή μας, επειδή

Ένας άπειρος αριθμός τέτοιων πλήρους περιστροφών μπορεί να γίνει... Και όλες αυτές οι νέες γωνίες θα είναι λύσεις στην τριγωνομετρική μας εξίσωση. Και όλα πρέπει να καταγραφούν με κάποιο τρόπο ως απάντηση. Ολα.Διαφορετικά, η απόφαση δεν μετράει, ναι...)

Τα μαθηματικά μπορούν να το κάνουν αυτό απλά και κομψά. Γράψτε σε μια σύντομη απάντηση άπειρο σύνολοαποφάσεις. Εδώ είναι πώς φαίνεται για την εξίσωσή μας:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Θα το αποκρυπτογραφήσω. Γράψε ακόμα με νόημαΕίναι πιο ευχάριστο από το να ζωγραφίζεις ανόητα μερικά μυστηριώδη γράμματα, σωστά;)

π /3 - Αυτή είναι η ίδια γωνιά με εμάς είδεστον κύκλο και προσδιορίζεταισύμφωνα με τον συνημίτονο πίνακα.

2π είναι μια πλήρης περιστροφή σε ακτίνια.

n - αυτός είναι ο αριθμός των πλήρων, δηλ. ολόκληροςσ.α.λ Είναι ξεκάθαρο ότι n μπορεί να είναι ίσο με 0, ±1, ±2, ±3.... και ούτω καθεξής. Όπως αναφέρεται σύντομη σημείωση:

n ∈ Z

n ανήκει ( ∈ ) σύνολο ακεραίων αριθμών ( Ζ ). Παρεμπιπτόντως, αντί για το γράμμα n γράμματα μπορεί κάλλιστα να χρησιμοποιηθούν κ, μ, τ και τα λοιπά.

Αυτή η σημείωση σημαίνει ότι μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε ακέραιο n . Τουλάχιστον -3, τουλάχιστον 0, τουλάχιστον +55. Ο, τι θέλεις. Εάν αντικαταστήσετε αυτόν τον αριθμό στην απάντηση, θα λάβετε μια συγκεκριμένη γωνία, η οποία σίγουρα θα είναι η λύση στην σκληρή μας εξίσωση.)

Ή, με άλλα λόγια, x = π /3 είναι η μόνη ρίζα του άπειρος αριθμός. Για να λάβετε όλες τις άλλες ρίζες, αρκεί να προσθέσετε οποιονδήποτε αριθμό πλήρους περιστροφών στο π /3 ( n ) σε ακτίνια. Εκείνοι. 2π n ακτίνιο.

Ολα? Οχι. Παρατείνω επίτηδες την ευχαρίστηση. Για να θυμόμαστε καλύτερα.) Λάβαμε μόνο μέρος των απαντήσεων στην εξίσωσή μας. Θα γράψω αυτό το πρώτο μέρος της λύσης ως εξής:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - όχι μόνο μία ρίζα, αλλά μια ολόκληρη σειρά από ρίζες, γραμμένες σε σύντομη μορφή.

Υπάρχουν όμως και γωνίες που δίνουν και συνημίτονο 0,5!

Ας επιστρέψουμε στην εικόνα μας από την οποία γράψαμε την απάντηση. Εδώ είναι αυτή:

Τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα και βλέπουμεμια άλλη γωνία που δίνει επίσης συνημίτονο 0,5.Με τι πιστεύετε ότι ισούται; Τα τρίγωνα είναι ίδια... Ναι! Είναι ίσο με τη γωνία Χ , καθυστέρησε μόνο προς την αρνητική κατεύθυνση. Αυτή είναι η γωνία -Χ. Αλλά έχουμε ήδη υπολογίσει το x. π /3 ή 60°. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια:

x 2 = - π /3

Λοιπόν, φυσικά, προσθέτουμε όλες τις γωνίες που λαμβάνονται μέσω πλήρους περιστροφών:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο τώρα.) Στον τριγωνομετρικό κύκλο εμείς είδε(ποιος καταλαβαίνει φυσικά)) Ολαγωνίες που δίνουν συνημίτονο 0,5. Και καταγράψαμε αυτές τις γωνίες σε μια σύντομη μαθηματική μορφή. Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο άπειρες σειρές ριζών:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Ελπίδα, γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνη χρήση ενός κύκλου είναι σαφής. Σημειώνουμε στον κύκλο το συνημίτονο (ημιτονοειδές, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) από δεδομένη εξίσωση, σχεδιάστε τις αντίστοιχες γωνίες και σημειώστε την απάντηση.Φυσικά, πρέπει να καταλάβουμε τι γωνίες είμαστε είδεστον κύκλο. Μερικές φορές δεν είναι τόσο προφανές. Λοιπόν, είπα ότι εδώ απαιτείται λογική.)

Για παράδειγμα, ας δούμε μια άλλη τριγωνομετρική εξίσωση:

Λάβετε υπόψη σας ότι ο αριθμός 0,5 δεν είναι ο μόνος δυνατός αριθμός στις εξισώσεις!) Απλώς είναι πιο βολικό για μένα να τον γράφω από τις ρίζες και τα κλάσματα.

Δουλεύουμε σύμφωνα με τη γενική αρχή. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σημειώνουμε (στον ημιτονοειδή άξονα, φυσικά!) 0,5. Σχεδιάζουμε όλες τις γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτό το ημίτονο ταυτόχρονα. Παίρνουμε αυτή την εικόνα:

Ας ασχοληθούμε πρώτα με τη γωνία Χ στο πρώτο τρίμηνο. Ανακαλούμε τον πίνακα των ημιτόνων και προσδιορίζουμε την τιμή αυτής της γωνίας. Είναι απλό το θέμα:

x = π /6

Θυμόμαστε για πλήρεις επαναστάσεις και, με καθαρή συνείδηση, γράφουμε την πρώτη σειρά απαντήσεων:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Η μισή δουλειά έχει γίνει. Τώρα όμως πρέπει να προσδιορίσουμε δεύτερη γωνία...Είναι πιο δύσκολο από το να χρησιμοποιούμε συνημίτονα, ναι... Αλλά η λογική θα μας σώσει! Πώς να προσδιορίσετε τη δεύτερη γωνία μέσω x; Ναι Εύκολα! Τα τρίγωνα στην εικόνα είναι τα ίδια και η κόκκινη γωνία Χ ίσο με γωνία Χ . Μόνο που μετράται από τη γωνία π στην αρνητική κατεύθυνση. Γι' αυτό είναι κόκκινο.) Και για την απάντηση χρειαζόμαστε μια γωνία, μετρημένη σωστά, από τον θετικό ημιάξονα ΟΧ, δηλ. από γωνία 0 μοιρών.

Περνάμε τον κέρσορα πάνω από το σχέδιο και βλέπουμε τα πάντα. Αφαίρεσα την πρώτη γωνία για να μην περιπλέκω την εικόνα. Η γωνία που μας ενδιαφέρει (με πράσινο χρώμα) θα είναι ίση με:

π - x

Χ το ξέρουμε αυτό π /6 . Επομένως, η δεύτερη γωνία θα είναι:

π - π /6 = 5π /6

Και πάλι θυμόμαστε την προσθήκη πλήρων περιστροφών και γράφουμε τη δεύτερη σειρά απαντήσεων:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αυτό είναι όλο. Μια πλήρης απάντηση αποτελείται από δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Οι εξισώσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μπορούν εύκολα να λυθούν χρησιμοποιώντας την ίδια γενική αρχή για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων. Εάν, φυσικά, ξέρετε πώς να σχεδιάζετε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.

Στα παραπάνω παραδείγματα, χρησιμοποίησα την τιμή του πίνακα του ημιτόνου και του συνημίτονου: 0,5. Εκείνοι. μια από αυτές τις έννοιες που γνωρίζει ο μαθητής πρέπει.Τώρα ας επεκτείνουμε τις δυνατότητές μας σε όλες τις άλλες αξίες.Αποφασίστε, αποφασίστε λοιπόν!)

Λοιπόν, ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση:

Δεν υπάρχει τέτοια τιμή συνημίτονου στους σύντομους πίνακες. Αγνοούμε ψυχρά αυτό το τρομερό γεγονός. Σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώστε τα 2/3 στον άξονα συνημιτόνου και σχεδιάστε τις αντίστοιχες γωνίες. Παίρνουμε αυτή την εικόνα.

Ας δούμε, πρώτα, τη γωνία στο πρώτο τρίμηνο. Αν ξέραμε με τι ισούται το x, θα γράφαμε αμέσως την απάντηση! Δεν ξέρουμε... Αποτυχία!; Ηρεμία! Τα μαθηματικά δεν αφήνουν τους δικούς τους ανθρώπους σε μπελάδες! Βρήκε συνημίτονα τόξου για αυτή την περίπτωση. Δεν ξέρω? Μάταια. Μάθετε, είναι πολύ πιο εύκολο από όσο νομίζετε. Σε αυτόν τον σύνδεσμο δεν υπάρχει ούτε ένα δύσκολο ξόρκι για το «αντίστροφα τριγωνομετρικές συναρτήσεις«Όχι... Αυτό είναι περιττό σε αυτό το θέμα.

Εάν γνωρίζετε, απλώς πείτε στον εαυτό σας: «Το X είναι μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ίσο με 2/3». Και αμέσως, καθαρά με τον ορισμό του συνημιτόνου τόξου, μπορούμε να γράψουμε:

Θυμόμαστε τις πρόσθετες περιστροφές και καταγράφουμε ήρεμα την πρώτη σειρά ριζών της τριγωνομετρικής μας εξίσωσης:

x 1 = τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Η δεύτερη σειρά ριζών για τη δεύτερη γωνία καταγράφεται σχεδόν αυτόματα. Όλα είναι ίδια, μόνο το X (arccos 2/3) θα είναι με ένα μείον:

x 2 = - τόξο 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Και τέλος! Αυτή είναι η σωστή απάντηση. Ακόμα πιο εύκολο από ό,τι με τις τιμές του πίνακα. Δεν χρειάζεται να θυμάστε τίποτα.) Παρεμπιπτόντως, οι πιο προσεκτικοί θα παρατηρήσουν ότι αυτή η εικόνα δείχνει τη λύση μέσω του συνημιτόνου τόξου στην ουσία, δεν διαφέρει από την εικόνα για την εξίσωση cosx = 0,5.

Ακριβώς! Γενική αρχήΓι' αυτό συνηθίζεται! Σχεδίασα επίτηδες δύο σχεδόν ίδιες εικόνες. Ο κύκλος μας δείχνει τη γωνία Χ από το συνημίτονό του. Το αν είναι πίνακας συνημίτονο ή όχι είναι άγνωστο σε όλους. Τι είδους γωνία είναι αυτή, π /3, ή τι συνημίτονο τόξου είναι - αυτό εξαρτάται από εμάς να αποφασίσουμε.

Το ίδιο τραγούδι με το sine. Για παράδειγμα:

Σχεδιάστε ξανά έναν κύκλο, σημειώστε το ημίτονο ίσο με το 1/3, σχεδιάστε τις γωνίες. Αυτή είναι η εικόνα που έχουμε:

Και πάλι η εικόνα είναι σχεδόν ίδια με την εξίσωση sinx = 0,5.Και πάλι ξεκινάμε από τη γωνία στο πρώτο δεκάλεπτο. Τι ισούται με το Χ αν το ημίτονο του είναι 1/3; Κανένα πρόβλημα!

Τώρα το πρώτο πακέτο ριζών είναι έτοιμο:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη γωνία. Στο παράδειγμα με τιμή πίνακα 0,5, ήταν ίση με:

π - x

Ακριβώς το ίδιο θα είναι και εδώ! Μόνο το x είναι διαφορετικό, arcsin 1/3. Και λοιπόν!? Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια το δεύτερο πακέτο ριζών:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Αυτή είναι μια απολύτως σωστή απάντηση. Αν και δεν φαίνεται πολύ οικείο. Αλλά είναι ξεκάθαρο, ελπίζω.)

Έτσι λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Αυτή η διαδρομή είναι ξεκάθαρη και κατανοητή. Είναι αυτός που αποθηκεύει σε τριγωνομετρικές εξισώσεις με επιλογή ριζών σε ένα δεδομένο διάστημα, μέσα τριγωνομετρικές ανισότητες- αυτά επιλύονται γενικά σχεδόν πάντα σε κύκλο. Με λίγα λόγια, σε όποιες εργασίες είναι λίγο πιο δύσκολες από τις τυπικές.

Ας εφαρμόσουμε τη γνώση στην πράξη;)

Λύστε τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Πρώτον, πιο απλό, κατευθείαν από αυτό το μάθημα.

Τώρα είναι πιο περίπλοκο.

Συμβουλή: εδώ θα πρέπει να σκεφτείτε τον κύκλο. Προσωπικά.)

Και τώρα είναι εξωτερικά απλά... Λέγονται και ειδικές περιπτώσεις.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Συμβουλή: εδώ πρέπει να υπολογίσετε σε κύκλο πού υπάρχουν δύο σειρές απαντήσεων και πού μία... Και πώς να γράψετε μία αντί για δύο σειρές απαντήσεων. Ναι, για να μην χαθεί ούτε μια ρίζα από έναν άπειρο αριθμό!)

Λοιπόν, πολύ απλό):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Συμβουλή: εδώ πρέπει να ξέρετε τι είναι το arcsine και το arccosine; Τι είναι arctangent, arccotangent; Οι απλούστεροι ορισμοί. Αλλά δεν χρειάζεται να θυμάστε καμία τιμή πίνακα!)

Οι απαντήσεις είναι, φυσικά, ένα χάος):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Διαβάστε ξανά το μάθημα. Μόνο σκεπτικώς(υπάρχει τέτοια ξεπερασμένη λέξη...) Και ακολουθήστε τους συνδέσμους. Οι κύριοι σύνδεσμοι αφορούν τον κύκλο. Χωρίς αυτό, η τριγωνομετρία είναι σαν να διασχίζεις το δρόμο με δεμένα μάτια. Μερικές φορές λειτουργεί.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων οποιουδήποτε επιπέδου πολυπλοκότητας καταλήγει τελικά στην επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και σε αυτό ο τριγωνομετρικός κύκλος αποδεικνύεται και πάλι ο καλύτερος βοηθός.

Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του συνημιτόνου και του ημιτόνου.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη (δηλαδή η συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα) ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που αντιστοιχεί σε μια περιστροφή μέσω μιας δεδομένης γωνίας.

Η θετική φορά κίνησης στον τριγωνομετρικό κύκλο είναι αριστερόστροφα. Μια περιστροφή 0 μοιρών (ή 0 ακτίνων) αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες (1;0)

Χρησιμοποιούμε αυτούς τους ορισμούς για να λύσουμε απλές τριγωνομετρικές εξισώσεις.

1. Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από όλες τις τιμές της γωνίας περιστροφής που αντιστοιχούν σε σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με .

Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τεταγμένη στον άξονα τεταγμένων:

Σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή παράλληλη στον άξονα x μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Παίρνουμε δύο σημεία που βρίσκονται στον κύκλο και έχουν μια τεταγμένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:

Αν, αφήνοντας το σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο, γυρίσουμε έναν πλήρη κύκλο, τότε θα φτάσουμε σε ένα σημείο που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής ανά ακτίνιο και έχει την ίδια τεταγμένη. Δηλαδή, αυτή η γωνία περιστροφής ικανοποιεί και την εξίσωσή μας. Μπορούμε να κάνουμε όσες «αδρανείς» περιστροφές θέλουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο και όλες αυτές οι τιμές γωνίας θα ικανοποιήσουν την εξίσωσή μας. Ο αριθμός των περιστροφών "αδράνειας" θα υποδηλωθεί με το γράμμα (ή). Εφόσον μπορούμε να κάνουμε αυτές τις περιστροφές τόσο προς θετικές όσο και προς αρνητικές κατευθύνσεις, (ή) μπορούμε να λάβουμε οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές.

Δηλαδή, η πρώτη σειρά λύσεων στην αρχική εξίσωση έχει τη μορφή:

, , - σύνολο ακεραίων αριθμών (1)

Ομοίως, η δεύτερη σειρά λύσεων έχει τη μορφή:

, Οπου , . (2)

Όπως ίσως μαντέψατε, αυτή η σειρά λύσεων βασίζεται στο σημείο του κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής κατά .

Αυτές οι δύο σειρές λύσεων μπορούν να συνδυαστούν σε μία καταχώρηση:

Αν πάρουμε (δηλαδή, ζυγό) σε αυτό το λήμμα, τότε θα πάρουμε την πρώτη σειρά λύσεων.

Αν πάρουμε (δηλαδή, περιττό) σε αυτό το λήμμα, τότε παίρνουμε τη δεύτερη σειρά λύσεων.

2. Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση

Δεδομένου ότι αυτή είναι η τετμημένη ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο που λαμβάνεται με περιστροφή κατά μια γωνία, σημειώνουμε το σημείο με την τετμημένη στον άξονα:

Σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή παράλληλη προς τον άξονα μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Θα πάρουμε δύο πόντους ξαπλωμένοι στον κύκλο και έχοντας μια τετμημένη. Αυτά τα σημεία αντιστοιχούν σε γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια. Θυμηθείτε ότι όταν κινούμαστε δεξιόστροφα έχουμε αρνητική γωνία περιστροφής:

Ας γράψουμε δύο σειρές λύσεων:

,

,

(Φτάνουμε στο επιθυμητό σημείο περνώντας από τον κύριο πλήρη κύκλο, δηλαδή.

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μια καταχώρηση:

3. Λύστε την εξίσωση

Η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1,0) του μοναδιαίου κύκλου παράλληλη προς τον άξονα OY

Ας σημειώσουμε ένα σημείο πάνω του με τεταγμένη ίση με 1 (ψάχνουμε την εφαπτομένη της οποίας οι γωνίες είναι ίση με 1):

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή των συντεταγμένων με μια ευθεία γραμμή και ας σημειώσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τον μοναδιαίο κύκλο. Τα σημεία τομής της ευθείας γραμμής και του κύκλου αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής επί και :

Επειδή τα σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής που ικανοποιούν την εξίσωσή μας βρίσκονται σε απόσταση ακτίνων μεταξύ τους, μπορούμε να γράψουμε τη λύση ως εξής:

4. Λύστε την εξίσωση

Η ευθεία των συνεφαπτομένων διέρχεται από το σημείο με τις συντεταγμένες του μοναδιαίου κύκλου παράλληλες προς τον άξονα.

Ας σημειώσουμε ένα σημείο με τετμημένη -1 στη γραμμή των συνεφαπτομένων:

Ας συνδέσουμε αυτό το σημείο με την αρχή της ευθείας και ας το συνεχίσουμε μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο. Αυτή η ευθεία γραμμή θα τέμνει τον κύκλο σε σημεία που αντιστοιχούν στις γωνίες περιστροφής σε και ακτίνια:

Δεδομένου ότι αυτά τα σημεία χωρίζονται μεταξύ τους με απόσταση ίση με , τότε κοινή απόφασηΜπορούμε να γράψουμε αυτή την εξίσωση ως εξής:

Στα δοσμένα παραδείγματα που απεικονίζουν τη λύση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, χρησιμοποιήθηκαν πινακικές τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ωστόσο, εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης περιέχει μια μη πινακοποιημένη τιμή, τότε αντικαθιστούμε την τιμή στη γενική λύση της εξίσωσης:

ΕΙΔΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ:

Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τεταγμένη είναι 0:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι 1:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με -1:

Δεδομένου ότι είναι συνηθισμένο να υποδεικνύουμε τιμές πλησιέστερες στο μηδέν, γράφουμε τη λύση ως εξής:

Ας σημειώσουμε τα σημεία του κύκλου του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 0:

5.
Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με 1:

Ας σημειώσουμε ένα μόνο σημείο στον κύκλο του οποίου η τετμημένη είναι ίση με -1:

Και κάπως πιο σύνθετα παραδείγματα:

1.

Το ημίτονο είναι ίσο με ένα εάν το όρισμα είναι ίσο με

Το όρισμα του ημιτονοειδούς μας είναι ίσο, οπότε παίρνουμε:

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με το 3:

Απάντηση:

2.

Το συνημίτονο είναι μηδέν αν το όρισμα του συνημίτονου είναι

Το όρισμα του συνημίτονου μας είναι ίσο με , οπότε παίρνουμε:

Ας εκφράσουμε , για να το κάνουμε αυτό κινούμαστε πρώτα προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο:

Ας απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά:

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2:

Σημειώστε ότι το πρόσημο μπροστά από τον όρο δεν αλλάζει, αφού το k μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή.

Απάντηση:

Και τέλος, παρακολουθήστε το μάθημα βίντεο "Επιλογή ριζών σε μια τριγωνομετρική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο"

Αυτό ολοκληρώνει τη συζήτησή μας για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Την επόμενη φορά θα μιλήσουμε για το πώς θα αποφασίσουμε.

Κάποτε είδα μια συνομιλία μεταξύ δύο αιτούντων:

– Πότε πρέπει να προσθέσετε 2πn και πότε πρέπει να προσθέσετε πn; Απλώς δεν μπορώ να θυμηθώ!

– Και εγώ έχω το ίδιο πρόβλημα.

Ήθελα απλώς να τους πω: «Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε, αλλά να καταλάβετε!»

Αυτό το άρθρο απευθύνεται κυρίως σε μαθητές γυμνασίου και, ελπίζω, θα τους βοηθήσει να λύσουν τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις με «κατανόηση»:

Αριθμητικός κύκλος

Μαζί με την έννοια της αριθμητικής γραμμής, υπάρχει και η έννοια του αριθμητικού κύκλου. Οπως γνωρίζουμε, Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο (0;0) και ακτίνα 1 ονομάζεται κύκλος μονάδας.Ας φανταστούμε την αριθμητική γραμμή ως μια λεπτή κλωστή και την τυλίγουμε γύρω από αυτόν τον κύκλο: θα προσαρτήσουμε την αρχή (σημείο 0) στο «δεξιό» σημείο του μοναδιαίου κύκλου, θα τυλίξουμε τον θετικό ημιάξονα αριστερόστροφα και το αρνητικό ημιάξονα -άξονας προς την κατεύθυνση (Εικ. 1). Ένας τέτοιος μοναδιαίος κύκλος ονομάζεται αριθμητικός κύκλος.

Ιδιότητες του κύκλου αριθμών

• Κάθε πραγματικός αριθμός βρίσκεται σε ένα σημείο του κύκλου των αριθμών.
• Υπάρχουν άπειροι πραγματικοί αριθμοί σε κάθε σημείο του κύκλου των αριθμών. Εφόσον το μήκος του μοναδιαίου κύκλου είναι 2π, η διαφορά μεταξύ οποιωνδήποτε δύο αριθμών σε ένα σημείο του κύκλου είναι ίση με έναν από τους αριθμούς ±2π. ±4π ; ±6π ; ...

Ας καταλήξουμε: γνωρίζοντας έναν από τους αριθμούς του σημείου Α, μπορούμε να βρούμε όλους τους αριθμούς του σημείου Α.

Ας σχεδιάσουμε τη διάμετρο του AC (Εικ. 2). Εφόσον το x_0 είναι ένας από τους αριθμούς του σημείου Α, τότε οι αριθμοί x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... και μόνο αυτοί θα είναι οι αριθμοί του σημείου Γ. Ας επιλέξουμε έναν από αυτούς τους αριθμούς, ας πούμε, x_0+π, και ας τον χρησιμοποιήσουμε για να γράψουμε όλους τους αριθμούς του σημείου Γ: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Ζ. Σημειώστε ότι οι αριθμοί στα σημεία Α και Γ μπορούν να συνδυαστούν σε έναν τύπο: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (για k = 0; ±2; ±4; ... λαμβάνουμε τους αριθμούς των σημείο A, και για k = ±1, ±3, ±5, … – αριθμοί του σημείου C).

Ας καταλήξουμε: γνωρίζοντας έναν από τους αριθμούς σε ένα από τα σημεία A ή C της διαμέτρου AC, μπορούμε να βρούμε όλους τους αριθμούς σε αυτά τα σημεία.

• Δύο αντίθετοι αριθμοί βρίσκονται σε σημεία του κύκλου που είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα της τετμημένης.

Ας σχεδιάσουμε μια κάθετη χορδή ΑΒ (Εικ. 2). Εφόσον τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα Ox, ο αριθμός -x_0 βρίσκεται στο σημείο Β και, επομένως, όλοι οι αριθμοί του σημείου Β δίνονται από τον τύπο: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Γράφουμε τους αριθμούς στα σημεία Α και Β χρησιμοποιώντας έναν τύπο: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Ας συμπεράνουμε: γνωρίζοντας έναν από τους αριθμούς σε ένα από τα σημεία Α ή Β της κάθετης χορδής ΑΒ, μπορούμε να βρούμε όλους τους αριθμούς σε αυτά τα σημεία. Ας εξετάσουμε την οριζόντια χορδή ΑΔ και ας βρούμε τους αριθμούς του σημείου Δ (Εικ. 2). Εφόσον το BD είναι διάμετρος και ο αριθμός -x_0 ανήκει στο σημείο Β, τότε το -x_0 + π είναι ένας από τους αριθμούς του σημείου D και, επομένως, όλοι οι αριθμοί αυτού του σημείου δίνονται από τον τύπο x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Οι αριθμοί στα σημεία Α και Δ μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας έναν τύπο: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (για k= 0; ±2; ±4; … παίρνουμε τους αριθμούς του σημείου A και για k = ±1; ±3; ±5; … – τους αριθμούς του σημείου D).

Ας καταλήξουμε: γνωρίζοντας έναν από τους αριθμούς σε ένα από τα σημεία Α ή Δ της οριζόντιας χορδής ΑΔ, μπορούμε να βρούμε όλους τους αριθμούς σε αυτά τα σημεία.

Δεκαέξι κύρια σημεία του κύκλου των αριθμών

Στην πράξη, η επίλυση των περισσότερων από τις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις περιλαμβάνει δεκαέξι σημεία σε έναν κύκλο (Εικ. 3). Τι είναι αυτές οι τελείες; Κόκκινες, μπλε και πράσινες κουκκίδες χωρίζουν τον κύκλο σε 12 ίσα μέρη. Εφόσον το μήκος του ημικυκλίου είναι π, τότε το μήκος του τόξου A1A2 είναι π/2, το μήκος του τόξου A1B1 είναι π/6 και το μήκος του τόξου A1C1 είναι π/3.

Τώρα μπορούμε να υποδείξουμε έναν αριθμό κάθε φορά:

π/3 στο C1 και

Οι κορυφές του πορτοκαλί τετραγώνου είναι τα μέσα των τόξων κάθε τετάρτου, επομένως, το μήκος του τόξου A1D1 είναι ίσο με π/4 και, επομένως, το π/4 είναι ένας από τους αριθμούς του σημείου D1. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του κύκλου αριθμών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τύπους για να σημειώσουμε όλους τους αριθμούς σε όλα τα σημειωμένα σημεία του κύκλου μας. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων σημειώνονται και στο σχήμα (θα παραλείψουμε την περιγραφή της απόκτησής τους).

Έχοντας μάθει τα παραπάνω, έχουμε πλέον επαρκή προετοιμασία για την επίλυση ειδικών περιπτώσεων (για εννέα τιμές του αριθμού ένα)απλούστερες εξισώσεις.

Λύστε εξισώσεις

1)sinx=1⁄(2).

– Τι απαιτείται από εμάς;

– Βρείτε όλους εκείνους τους αριθμούς x των οποίων το ημίτονο είναι 1/2.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του ημιτονοειδούς: sinx – τεταγμένη του σημείου στον αριθμητικό κύκλο στον οποίο βρίσκεται ο αριθμός x. Έχουμε δύο σημεία στον κύκλο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με 1/2. Αυτά είναι τα άκρα της οριζόντιας χορδής Β1Β2. Αυτό σημαίνει ότι η απαίτηση «λύστε την εξίσωση sinx=1⁄2» είναι ισοδύναμη με την απαίτηση «να βρείτε όλους τους αριθμούς στο σημείο B1 και όλους τους αριθμούς στο σημείο B2».

2)sinx=-√3⁄2 .

Πρέπει να βρούμε όλους τους αριθμούς στα σημεία C4 και C3.

3) sinx=1. Στον κύκλο έχουμε μόνο ένα σημείο με τεταγμένη 1 - σημείο Α2 και, επομένως, πρέπει να βρούμε μόνο όλους τους αριθμούς αυτού του σημείου.

Απάντηση: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Μόνο το σημείο A_4 έχει τεταγμένη -1. Όλοι οι αριθμοί αυτού του σημείου θα είναι τα άλογα της εξίσωσης.

Απάντηση: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Στον κύκλο έχουμε δύο σημεία με τεταγμένη 0 - σημεία Α1 και Α3. Μπορείτε να υποδείξετε τους αριθμούς σε καθένα από τα σημεία χωριστά, αλλά δεδομένου ότι αυτά τα σημεία είναι διαμετρικά αντίθετα, είναι καλύτερο να τα συνδυάσετε σε έναν τύπο: x=πk,k∈Z.

Απάντηση: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του συνημιτόνου: cosx είναι η τετμημένη του σημείου στον αριθμητικό κύκλο στον οποίο βρίσκεται ο αριθμός x.Στον κύκλο έχουμε δύο σημεία με την τετμημένη √2⁄2 - τα άκρα της οριζόντιας χορδής D1D4. Πρέπει να βρούμε όλους τους αριθμούς σε αυτά τα σημεία. Ας τα γράψουμε, συνδυάζοντάς τα σε έναν τύπο.

Απάντηση: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Πρέπει να βρούμε τους αριθμούς στα σημεία C_2 και C_3.

Απάντηση: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Μόνο τα σημεία Α2 και Α4 έχουν τετμημένη 0, που σημαίνει ότι όλοι οι αριθμοί σε καθένα από αυτά τα σημεία θα είναι λύσεις της εξίσωσης.
.

Οι λύσεις στην εξίσωση του συστήματος είναι οι αριθμοί στα σημεία B_3 και B_4. Στην ανισότητα cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Απάντηση: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε αποδεκτή τιμή του x, ο δεύτερος παράγοντας είναι θετικός και, επομένως, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα

Οι λύσεις στην εξίσωση του συστήματος είναι ο αριθμός των σημείων D_2 και D_3. Οι αριθμοί του σημείου D_2 δεν ικανοποιούν την ανισότητα sinx≤0,5, αλλά οι αριθμοί του σημείου D_3 ικανοποιούν.

blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγορες λύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις λύνονται, κατά κανόνα, χρησιμοποιώντας τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι:

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις σε αυτές τις απλούστερες εξισώσεις.

Για ημιτονοειδή:

Για το συνημίτονο:

x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Για εφαπτομένη:

x = αρκτάνη a + π n, n ∈ Z

Για συμεφαπτομένη:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιπλέον, τα πάντα!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα είναι απλώς εκτός γραφημάτων. Ειδικά αν το παράδειγμα αποκλίνει ελαφρώς από το πρότυπο. Γιατί;

Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Γράφει με προσοχή, μήπως συμβεί κάτι...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)

Ας το καταλάβουμε;

Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Και πάντα έτσι θα βγαίνει.Για κάθε ΕΝΑ.

Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας.) Άλλαξα τον αριθμό ΕΝΑ σε κάτι αρνητικό. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:

x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Και αυτό είναι όλο. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.

Αν καταλαβαίνετε ότι αυτό δεν είναι κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη έκδοση δύο σειρών απαντήσεων,Θα μπορείτε επίσης να χειρίζεστε εργασίες "C". Με ανισώσεις, με επιλογή ριζών από ένα δεδομένο διάστημα... Εκεί η απάντηση με συν/πλην δεν λειτουργεί. Αλλά αν αντιμετωπίσετε την απάντηση με επιχειρηματικό τρόπο και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα θα επιλυθούν.) Στην πραγματικότητα, γι' αυτό το εξετάζουμε. Τι, πώς και πού.

Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση

sinx = α

παίρνουμε επίσης δύο σειρές ριζών. Πάντα. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν σε μια γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο δύσκολη:

x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z

Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς σχεδίασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο καταχωρήσεις για σειρές ριζών. Αυτό είναι όλο!

Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και ποτέ δεν ξέρεις...)

Στο προηγούμενο μάθημα, συζητήθηκε λεπτομερώς η λύση (χωρίς τύπους) μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:

Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:

x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Αυτό εγείρει ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσω της μοναξιάς Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - είναι το ίδιο πράγμα ή όχι; Θα μάθουμε τώρα.)

Αντικαθιστούμε στην απάντηση με x 1 αξίες n =0; 1; 2; κ.λπ., μετράμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση με x 2 , παίρνουμε:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 και ούτω καθεξής.

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις τιμές n (0; 1; 2; 3; 4...) στον γενικό τύπο για το single Χ . Δηλαδή ανεβάζουμε μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη κ.λπ. Λοιπόν, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. 1; 2 3; 4, κλπ. Και μετράμε. Παίρνουμε τη σειρά:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.

Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαόπως και οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν ξεγελάστηκαν.)

Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά δεν θα το κάνουμε.) Είναι ήδη απλά.

Έγραψα όλη αυτή την αντικατάσταση και τον έλεγχο συγκεκριμένα. Εδώ είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ένα απλό πράγμα: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια σύντομη περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγουμε συν/πλην στο διάλυμα συνημιτόνου και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.

Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτές οι εισαγωγές μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.

Αρα τι πρέπει να κάνω? Ναι, είτε γράψτε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση/ανίσωση χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτές οι παρεμβολές εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)

Μπορούμε να συνοψίσουμε.

Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για να γράφουν αμέσως τη λύση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:

sinx = 0,3

Εύκολα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Εύκολα: x = αρκτάνη 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:

x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z

τότε ήδη λάμπεις, αυτό... εκείνο... από μια λακκούβα.) Σωστή απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι το συνημίτονο τόξου. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακοποιημένες τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και ούτω καθεξής. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.

Και αν συναντήσετε ανισότητα, κάντε like

τότε η απάντηση είναι:

x πn, n ∈ Z

υπάρχουν σπάνιες ανοησίες, ναι...) Εδώ πρέπει να λύσετε χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.

Για όσους διαβάζουν ηρωικά αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. Μπόνους για εσάς.)

Δώρο:

Όταν γράφετε τύπους σε μια ανησυχητική κατάσταση μάχης, ακόμη και οι έμπειροι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται σχετικά με το πού πn, Και που 2π n. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε Ολοιφόρμουλες αξίας πn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δύοοξύ άκρο της σφύρας. Λέξη-κλειδί - δύο.Στην ίδια φόρμουλα υπάρχουν δύουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Εδώ και εκεί - δύο.

Αν έγραψες λοιπόν δύουπογράψτε πριν από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δύοοξύ άκρο της σφύρας. Και συμβαίνει και το αντίστροφο. Το άτομο θα χάσει το σημάδι ± , φτάνει στο τέλος, γράφει σωστά δύο Pien, και θα συνέλθει. Υπάρχει κάτι μπροστά δύοσημάδι! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή και θα διορθώσει το λάθος! Σαν αυτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.