Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα τετράγωνο πρίσμα με παραλληλόγραμμα στη βάση του. Το ύψος ενός παραλληλεπίπεδου είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του. Στο σχήμα, το ύψος φαίνεται από το τμήμα . Υπάρχουν δύο τύποι παραλληλεπίπεδων: ευθεία και κεκλιμένα. Κατά κανόνα, ένας καθηγητής μαθηματικών δίνει πρώτα τους κατάλληλους ορισμούς για ένα πρίσμα και στη συνέχεια τους μεταφέρει σε ένα παραλληλεπίπεδο. Το ίδιο θα κάνουμε.

Να σας υπενθυμίσω ότι ένα πρίσμα λέγεται ευθύ αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις· αν δεν υπάρχει κάθετο, το πρίσμα λέγεται κεκλιμένο. Αυτή η ορολογία κληρονομείται και από το παραλληλεπίπεδο. Το ορθό παραλληλεπίπεδο δεν είναι παρά ένας τύπος ευθύγραμμου πρίσματος, του οποίου η πλευρική ακμή συμπίπτει με το ύψος. Διατηρούνται ορισμοί τέτοιων εννοιών όπως το πρόσωπο, η άκρη και η κορυφή, που είναι κοινοί σε ολόκληρη την οικογένεια των πολύεδρων. Εμφανίζεται η έννοια των αντίθετων προσώπων. Ένα παραλληλεπίπεδο έχει 3 ζεύγη απέναντι όψεις, 8 κορυφές και 12 ακμές.

Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου (η διαγώνιος ενός πρίσματος) είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές ενός πολύεδρου και δεν βρίσκεται σε καμία από τις όψεις του.

Διαγώνιο τμήμα - τμήμα παραλληλεπίπεδου που διέρχεται από τη διαγώνιο του και τη διαγώνιο της βάσης του.

Ιδιότητες κεκλιμένου παραλληλεπίπεδου:
1) Όλες οι όψεις του είναι παραλληλόγραμμες και οι απέναντι όψεις είναι ίσες παραλληλόγραμμες.
2)Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται σε αυτό το σημείο.
3)Κάθε παραλληλεπίπεδο αποτελείται από έξι τριγωνικές πυραμίδες ίσου όγκου. Για να τα δείξει στον μαθητή, ο καθηγητής μαθηματικών πρέπει να κόψει το μισό του παραλληλόγραμμου με το διαγώνιο τμήμα του και να το χωρίσει χωριστά σε 3 πυραμίδες. Οι βάσεις τους πρέπει να βρίσκονται σε διαφορετικές όψεις του αρχικού παραλληλεπιπέδου. Ένας δάσκαλος μαθηματικών θα βρει εφαρμογή αυτής της ιδιότητας στην αναλυτική γεωμετρία. Χρησιμοποιείται για την εξαγωγή του όγκου μιας πυραμίδας μέσω ενός μικτού προϊόντος διανυσμάτων.

Τύποι για τον όγκο ενός παραλληλεπιπέδου:
1) , όπου είναι το εμβαδόν της βάσης, h είναι το ύψος.
2) Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της διατομής και της πλευρικής ακμής.
Καθηγήτρια μαθηματικών: Όπως γνωρίζετε, ο τύπος είναι κοινός σε όλα τα πρίσματα και αν ο δάσκαλος το έχει ήδη αποδείξει, δεν έχει νόημα να επαναλάβουμε το ίδιο πράγμα για ένα παραλληλεπίπεδο. Ωστόσο, όταν εργάζεστε με έναν μαθητή μέσου επιπέδου (ο τύπος δεν είναι χρήσιμος σε έναν αδύναμο μαθητή), συνιστάται ο δάσκαλος να ενεργεί ακριβώς το αντίθετο. Αφήστε το πρίσμα ήσυχο και κάντε μια προσεκτική απόδειξη για το παραλληλεπίπεδο.
3) , πού είναι ο όγκος μιας από τις έξι τριγωνικές πυραμίδες που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.
4) Αν , τότε

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεών του:
Η συνολική επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των επιφανειών του, δηλαδή το εμβαδόν + δύο εμβαδά της βάσης: .

Σχετικά με το έργο ενός δασκάλου με κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο:
Οι καθηγητές μαθηματικών δεν εργάζονται συχνά σε προβλήματα που αφορούν κεκλιμένα παραλληλεπίπεδα. Η πιθανότητα να εμφανιστούν στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους είναι αρκετά χαμηλή και η διδακτική είναι απρεπώς φτωχή. Ένα περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπές πρόβλημα στον όγκο ενός κεκλιμένου παραλληλεπιπέδου εγείρει σοβαρά προβλήματα που σχετίζονται με τον προσδιορισμό της θέσης του σημείου H - της βάσης του ύψους του. Σε αυτή την περίπτωση, ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί να συμβουλευτεί να κόψει το παραλληλεπίπεδο σε μία από τις έξι πυραμίδες του (οι οποίες συζητούνται στην ιδιότητα Νο. 3), να προσπαθήσει να βρει τον όγκο του και να τον πολλαπλασιάσει με το 6.

Εάν η πλευρική ακμή ενός παραλληλεπίπεδου έχει ίσες γωνίες με τις πλευρές της βάσης, τότε το H βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας Α της βάσης ABCD. Και αν, για παράδειγμα, το ABCD είναι ρόμβος, τότε

Εργασίες καθηγητή μαθηματικών:
1) Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσες μεταξύ τους με πλευρά 2 cm και οξεία γωνία. Να βρείτε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
2) Σε κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο, το πλευρικό άκρο είναι 5 cm. Το κάθετο σε αυτό τομή είναι τετράπλευρο με αμοιβαία κάθετες διαγώνιους που έχουν μήκη 6 εκ. και 8 εκ. Να υπολογίσετε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.
3) Σε κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο είναι γνωστό ότι , και στο ABCD η βάση είναι ρόμβος με πλευρά 2 cm και γωνία . Προσδιορίστε τον όγκο του παραλληλεπίπεδου.

Καθηγητής μαθηματικών, Alexander Kolpakov

ή (ισοδύναμα) ένα πολύεδρο με έξι όψεις που είναι παραλληλόγραμμα. Εξάγωνο.

Τα παραλληλόγραμμα που αποτελούν ένα παραλληλεπίπεδο είναι άκρααυτού του παραλληλεπίπεδου, οι πλευρές αυτών των παραλληλογραμμών είναι άκρες παραλληλεπίπεδου, και οι κορυφές των παραλληλογραμμών είναι κορυφές παραλληλεπίπεδο. Σε ένα παραλληλεπίπεδο, κάθε πρόσωπο είναι παραλληλόγραμμο.

Κατά κανόνα, αναγνωρίζονται και καλούνται οποιαδήποτε 2 αντίθετα πρόσωπα βάσεις του παραλληλεπίπεδουκαι τα υπόλοιπα πρόσωπα - πλάγιες όψεις του παραλληλεπιπέδου. Οι ακμές του παραλληλεπίπεδου που δεν ανήκουν στις βάσεις είναι πλευρικές νευρώσεις.

2 όψεις παραλληλεπίπεδου που έχουν κοινή ακμή είναι γειτονικόςκαι αυτά που δεν έχουν κοινά άκρα - απεναντι απο.

Ένα τμήμα που συνδέει 2 κορυφές που δεν ανήκουν στην 1η όψη είναι παραλληλεπίπεδη διαγώνιος.

Τα μήκη των άκρων ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου που δεν είναι παράλληλα είναι γραμμικές διαστάσεις (Μετρήσεις) παραλληλεπίπεδο. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει 3 γραμμικές διαστάσεις.

Τύποι παραλληλεπίπεδων.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι παραλληλεπίπεδων:

Απευθείαςείναι παραλληλεπίπεδο με άκρη κάθετη στο επίπεδο της βάσης.

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στο οποίο και οι 3 διαστάσεις είναι ίσες είναι κύβος. Κάθε μία από τις όψεις του κύβου είναι ίση τετράγωνα .

Οποιοδήποτε παραλληλεπίπεδο.Ο όγκος και οι αναλογίες σε ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο προσδιορίζονται κυρίως χρησιμοποιώντας διανυσματική άλγεβρα. Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου ισούται με την απόλυτη τιμή του μικτού γινομένου 3 διανυσμάτων, τα οποία προσδιορίζονται από τις 3 πλευρές του παραλληλεπίπεδου (που προέρχονται από την ίδια κορυφή). Η σχέση μεταξύ των μηκών των πλευρών του παραλληλεπίπεδου και των γωνιών μεταξύ τους δείχνει τη δήλωση ότι η ορίζουσα Gram των δοθέντων 3 διανυσμάτων είναι ίση με το τετράγωνο του μικτού γινόμενου τους.

Ιδιότητες παραλληλεπίπεδου.

• Το παραλληλεπίπεδο είναι συμμετρικό περίπου στο μέσο της διαγωνίου του.
• Κάθε τμήμα με άκρα που ανήκουν στην επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου και που διέρχεται από το μέσο της διαγώνιας του χωρίζεται από αυτό σε δύο ίσα μέρη. Όλες οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου τέμνονται στο 1ο σημείο και χωρίζονται από αυτό σε δύο ίσα μέρη.
• Οι απέναντι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και έχουν ίσες διαστάσεις.
• Το τετράγωνο του μήκους της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσο με

Σε αυτό το μάθημα, όλοι θα μπορούν να μελετήσουν το θέμα «Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο». Στην αρχή του μαθήματος, θα επαναλάβουμε τι είναι τα αυθαίρετα και ευθύγραμμα παραλληλεπίπεδα, θυμηθείτε τις ιδιότητες των απέναντι όψεών τους και τις διαγώνιες του παραλληλεπίπεδου. Στη συνέχεια θα δούμε τι είναι ένα κυβοειδές και θα συζητήσουμε τις βασικές του ιδιότητες.

Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Κυβοειδές

Μια επιφάνεια που αποτελείται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 και τέσσερα παραλληλόγραμμα ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ονομάζεται παραλληλεπίπεδο(Εικ. 1).

Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο

Δηλαδή: έχουμε δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 (βάσεις), βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε οι πλευρικές ακμές AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 να είναι παράλληλες. Έτσι, μια επιφάνεια που αποτελείται από παραλληλόγραμμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.

Έτσι, η επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα όλων των παραλληλόγραμμων που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.

1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

(τα σχήματα είναι ίσα, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)

Για παράδειγμα:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπίπεδου).

2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από αυτό το σημείο.

Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B τέμνονται σε ένα σημείο O, και κάθε διαγώνιος διαιρείται στο μισό με αυτό το σημείο (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπιπέδου τέμνονται και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.

3. Υπάρχουν τρία τετράπλευρα ίσων και παράλληλων άκρων ενός παραλληλεπίπεδου: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.

Αφήστε το πλευρικό άκρο AA 1 να είναι κάθετο στη βάση (Εικ. 3). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΑ 1 είναι κάθετη στις ευθείες ΑΔ και ΑΒ, που βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης. Αυτό σημαίνει ότι οι πλευρικές όψεις περιέχουν ορθογώνια. Και οι βάσεις περιέχουν αυθαίρετα παραλληλόγραμμα. Ας συμβολίσουμε ∠BAD = φ, η γωνία φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Ρύζι. 3 Δεξί παραλληλεπίπεδο

Άρα, ορθό παραλληλεπίπεδο είναι ένα παραλληλεπίπεδο στο οποίο οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις του παραλληλεπίπεδου.

Ορισμός. Το παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο,αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση. Οι βάσεις είναι ορθογώνιες.

Το παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4), εάν:

1. AA 1 ⊥ ABCD (πλάγιο άκρο κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ευθύγραμμο παραλληλεπίπεδο).

2. ∠BAD = 90°, δηλαδή η βάση είναι ορθογώνιο.

Ρύζι. 4 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό του κυβοειδούς.

Ετσι, κυβοειδέςείναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση. Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο.

1. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.

Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.

2. Οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια.

3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, τη διεδρική γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με ακμή ΑΒ, δηλαδή τη διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC 1 και ABC.

Το AB είναι μια ακμή, το σημείο A 1 βρίσκεται σε ένα επίπεδο - στο επίπεδο ABB 1, και το σημείο D στο άλλο - στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 D 1. Τότε η υπό εξέταση διεδρική γωνία μπορεί επίσης να συμβολιστεί ως εξής: ∠A 1 ABD.

Ας πάρουμε το σημείο Α στην άκρη ΑΒ. Το AA 1 είναι κάθετο στην ακμή AB στο επίπεδο АВВ-1, το AD είναι κάθετο στην ακμή AB στο επίπεδο ABC. Αυτό σημαίνει ότι ∠A 1 AD είναι η γραμμική γωνία μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας. ∠A 1 AD = 90°, που σημαίνει ότι η διεδρική γωνία στο άκρο ΑΒ είναι 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.

Σημείωση. Τα μήκη των τριών άκρων που προέρχονται από μια κορυφή ενός κυβοειδούς είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς. Μερικές φορές ονομάζονται μήκος, πλάτος, ύψος.

Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).

Απόδειξη: .

Ρύζι. 5 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Απόδειξη:

Η ευθεία CC 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ABC και επομένως στην ευθεία AC. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο CC 1 A είναι ορθογώνιο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:

Επειδή , ΕΝΑ , Οτι. Εφόσον CC 1 = AA 1, αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.

Ας υποδηλώσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =