Δωρεάν δονήσειςεκτελούνται υπό την επίδραση εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος αφού το σύστημα έχει απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας του.
Ωστε ναελεύθερες δονήσεις συμβαίνουν σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο, είναι απαραίτητο η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας να είναι ανάλογη με τη μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και να κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση (βλ. §2.1 ):
Οι δυνάμεις οποιασδήποτε άλλης φυσικής φύσης που ικανοποιούν αυτή την προϋπόθεση ονομάζονται σχεδόν ελαστικό .
Έτσι, ένα φορτίο κάποιας μάζας Μ, στερεωμένο στο ενισχυτικό ελατήριο κ, το δεύτερο άκρο του οποίου είναι σταθερά στερεωμένο (Εικ. 2.2.1), αποτελούν ένα σύστημα ικανό να εκτελεί ελεύθερες αρμονικές ταλαντώσεις απουσία τριβής. Το φορτίο σε ένα ελατήριο ονομάζεται γραμμική αρμονική ταλαντωτής.
Η κυκλική συχνότητα ω 0 των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός φορτίου σε ένα ελατήριο βρίσκεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:
Όταν το σύστημα φορτίου ελατηρίου βρίσκεται οριζόντια, η δύναμη της βαρύτητας που εφαρμόζεται στο φορτίο αντισταθμίζεται από τη δύναμη αντίδρασης στήριξης. Εάν το φορτίο αιωρείται σε ένα ελατήριο, τότε η δύναμη της βαρύτητας κατευθύνεται κατά μήκος της γραμμής κίνησης του φορτίου. Στη θέση ισορροπίας, το ελατήριο τεντώνεται κατά ένα ποσό Χ 0 ίσο
Επομένως, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για ένα φορτίο σε ένα ελατήριο μπορεί να γραφτεί ως
Καλείται η εξίσωση (*). εξίσωση ελεύθερων κραδασμών . πρέπει να σημειωθεί ότι φυσικές ιδιότητεςταλαντωτικό σύστημα να προσδιορίσετε μόνο τη φυσική συχνότητα των ταλαντώσεων ω 0 ή την περίοδο Τ . Παράμετροι της διαδικασίας ταλάντωσης όπως το πλάτος Χ m και η αρχική φάση φ 0 προσδιορίζονται από τον τρόπο με τον οποίο το σύστημα βγήκε από την ισορροπία την αρχική χρονική στιγμή.
Αν, για παράδειγμα, το φορτίο μετατοπίστηκε από τη θέση ισορροπίας κατά μια απόσταση Δ μεγάλοκαι μετά σε μια χρονική στιγμή t= 0 απελευθερώθηκε χωρίς αρχική ταχύτητα, λοιπόν Χ m = Δ μεγάλο, φ 0 = 0.
Αν στο φορτίο, που βρισκόταν στη θέση ισορροπίας, δόθηκε αρχική ταχύτητα ± υ 0 με τη βοήθεια μιας απότομης ώθησης, τότε,
Έτσι, το πλάτος ΧΠροσδιορίζονται m ελεύθερες ταλαντώσεις και η αρχική του φάση φ 0 αρχικές συνθήκες .
Υπάρχουν πολλοί τύποι μηχανικών ταλαντωτικών συστημάτων που χρησιμοποιούν δυνάμεις ελαστικής παραμόρφωσης. Στο Σχ. Το σχήμα 2.2.2 δείχνει το γωνιακό ανάλογο ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή. Ένας οριζόντια τοποθετημένος δίσκος κρέμεται σε ένα ελαστικό νήμα προσαρτημένο στο κέντρο μάζας του. Όταν ο δίσκος περιστρέφεται κατά μια γωνία θ, εμφανίζεται μια ροπή δύναμης Μέλεγχος ελαστικής στρεπτικής παραμόρφωσης:
Οπου Εγώ = Εγώ C είναι η ροπή αδράνειας του δίσκου σε σχέση με τον άξονα, που διέρχεται από το κέντρο μάζας, ε είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
Κατ 'αναλογία με ένα φορτίο σε ένα ελατήριο, μπορείτε να πάρετε:
Δωρεάν δονήσεις. Μαθηματικό εκκρεμές
Μαθηματικό εκκρεμέςκαλέστε το σώμα μικρά μεγέθη, αιωρούμενο σε λεπτή μη εκτατή κλωστή, η μάζα της οποίας είναι αμελητέα σε σχέση με τη μάζα του σώματος. Στη θέση ισορροπίας, όταν το εκκρεμές κρέμεται βαρέλι, η δύναμη της βαρύτητας εξισορροπείται από τη δύναμη τάνυσης του νήματος. Όταν το εκκρεμές αποκλίνει από τη θέση ισορροπίας κατά μια ορισμένη γωνία φ, εμφανίζεται μια εφαπτομενική συνιστώσα της βαρύτητας φά τ = - mg sin φ (Εικ. 2.3.1). Το σύμβολο μείον σε αυτόν τον τύπο σημαίνει ότι η εφαπτομενική συνιστώσα κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την εκτροπή του εκκρεμούς.
Αν συμβολίσουμε με Χγραμμική μετατόπιση του εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας κατά μήκος τόξου κύκλου ακτίνας μεγάλο, τότε η γωνιακή του μετατόπιση θα είναι ίση με φ = Χ / μεγάλο. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, που γράφτηκε για τις προβολές της επιτάχυνσης και των διανυσμάτων δύναμης στην κατεύθυνση της εφαπτομένης, δίνει:
 |
Αυτή η σχέση δείχνει ότι ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα σύνθετο μη γραμμικόσύστημα, καθώς η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας δεν είναι ανάλογη με τη μετατόπιση Χ, ΕΝΑ
Μόνο σε περίπτωση μικρές διακυμάνσεις, όταν περίπουμπορεί να αντικατασταθεί από ένα μαθηματικό εκκρεμές είναι ένας αρμονικός ταλαντωτής, δηλαδή ένα σύστημα ικανό να εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις. Στην πράξη, αυτή η προσέγγιση ισχύει για γωνίες της τάξης των 15-20°. σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή διαφέρει από όχι περισσότερο από 2%. Οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς σε μεγάλα πλάτη δεν είναι αρμονικές.
Για μικρές ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα γράφεται με τη μορφή
Αυτός ο τύπος εκφράζει φυσική συχνότητα μικρών ταλαντώσεων ενός μαθηματικού εκκρεμούς .
Ως εκ τούτου,
|
Κάθε σώμα τοποθετημένο σε οριζόντιο άξονα περιστροφής είναι ικανό για ελεύθερες ταλαντώσεις σε ένα βαρυτικό πεδίο και, επομένως, είναι επίσης ένα εκκρεμές. Ένα τέτοιο εκκρεμές συνήθως ονομάζεται φυσικός (Εικ. 2.3.2). Διαφέρει από το μαθηματικό μόνο στην κατανομή των μαζών. Σε σταθερή θέση ισορροπίας, το κέντρο μάζας ντο φυσικό εκκρεμέςβρίσκεται κάτω από τον άξονα περιστροφής O σε κατακόρυφο που διέρχεται από τον άξονα. Όταν το εκκρεμές εκτρέπεται από μια γωνία φ, προκύπτει μια στιγμή βαρύτητας, που τείνει να επαναφέρει το εκκρεμές στη θέση ισορροπίας:
και ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για ένα φυσικό εκκρεμές παίρνει τη μορφή (βλ. §1.23)
Εδώ ω 0 - φυσική συχνότητα μικρών ταλαντώσεων ενός φυσικού εκκρεμούς .
Ως εκ τούτου,
Επομένως, η εξίσωση που εκφράζει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για ένα φυσικό εκκρεμές μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Τέλος, για την κυκλική συχνότητα ω 0 των ελεύθερων ταλαντώσεων ενός φυσικού εκκρεμούς, προκύπτει η ακόλουθη έκφραση:
|
Μετατροπές ενέργειας κατά τη διάρκεια ελεύθερων μηχανικών δονήσεων
Κατά τη διάρκεια των ελεύθερων μηχανικών δονήσεων, η κινητική και η δυνητική ενέργεια αλλάζουν περιοδικά. Στη μέγιστη απόκλιση ενός σώματος από τη θέση ισορροπίας του, η ταχύτητά του, άρα και η κινητική του ενέργεια, εξαφανίζονται. Σε αυτή τη θέση, η δυναμική ενέργεια του ταλαντούμενου σώματος φτάνει τη μέγιστη τιμή της. Για ένα φορτίο σε ένα ελατήριο, δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια της ελαστικής παραμόρφωσης του ελατηρίου. Για ένα μαθηματικό εκκρεμές, αυτή είναι η ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο της Γης.
Όταν ένα σώμα στην κίνησή του διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του είναι μέγιστη. Το σώμα υπερβαίνει τη θέση ισορροπίας σύμφωνα με το νόμο της αδράνειας. Αυτή τη στιγμή έχει μέγιστη κινητική και ελάχιστη δυναμική ενέργεια. Μια αύξηση της κινητικής ενέργειας συμβαίνει λόγω της μείωσης της δυναμικής ενέργειας. Με περαιτέρω κίνηση, η δυναμική ενέργεια αρχίζει να αυξάνεται λόγω μείωσης της κινητικής ενέργειας κ.λπ.
Έτσι, κατά τις αρμονικές ταλαντώσεις, συμβαίνει περιοδικός μετασχηματισμός της κινητικής ενέργειας σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα.
Εάν δεν υπάρχει τριβή στο σύστημα ταλάντωσης, τότε η συνολική μηχανική ενέργεια κατά τις ελεύθερες ταλαντώσεις παραμένει αμετάβλητη.
Για φορτίο ελατηρίου(βλ. §2.2):
Σε πραγματικές συνθήκες, οποιοδήποτε ταλαντευόμενο σύστημα βρίσκεται υπό την επίδραση δυνάμεων τριβής (αντίσταση). Σε αυτή την περίπτωση, μέρος της μηχανικής ενέργειας μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργειαη θερμική κίνηση των ατόμων και των μορίων, και οι δονήσεις γίνονται ξεθώριασμα (Εικ. 2.4.2).
Ο ρυθμός διάσπασης των κραδασμών εξαρτάται από το μέγεθος των δυνάμεων τριβής. Χρονικό διάστημα τ κατά το οποίο μειώνεται το πλάτος των ταλαντώσεων μι≈ 2,7 φορές, κλήθηκε χρόνος φθοράς .
Η συχνότητα των ελεύθερων ταλαντώσεων εξαρτάται από το ρυθμό με τον οποίο αποσυντίθενται οι ταλαντώσεις. Καθώς οι δυνάμεις τριβής αυξάνονται, η φυσική συχνότητα μειώνεται. Ωστόσο, η αλλαγή στη φυσική συχνότητα γίνεται αισθητή μόνο με αρκετά μεγάλες δυνάμεις τριβής, όταν οι φυσικές δονήσεις αποσυντίθενται γρήγορα.
Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός ταλαντευτικού συστήματος που εκτελεί ελεύθερες αποσβεσμένες ταλαντώσεις είναι παράγοντας ποιότητας Q. Αυτή η παράμετρος ορίζεται ως αριθμός Νσυνολικές ταλαντώσεις που εκτελούνται από το σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου απόσβεσης τ, πολλαπλασιαζόμενες επί π:
Έτσι, ο παράγοντας ποιότητας χαρακτηρίζει τη σχετική απώλεια ενέργειας στο ταλαντευόμενο σύστημα λόγω της παρουσίας τριβής σε χρονικό διάστημα ίσο με μία περίοδο ταλάντωσης.
Αναγκαστικοί κραδασμοί. Αντήχηση. Αυτοταλαντώσεις
Οι ταλαντώσεις που συμβαίνουν υπό την επίδραση μιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης ονομάζονται αναγκαστικά.
Εξωτερική δύναμηεκτελεί θετικό έργο και παρέχει ροή ενέργειας στο ταλαντευόμενο σύστημα. Δεν επιτρέπει στους κραδασμούς να εξαφανιστούν, παρά τη δράση των δυνάμεων τριβής.
Μια περιοδική εξωτερική δύναμη μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με διάφορους νόμους. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που μια εξωτερική δύναμη, μεταβαλλόμενη σύμφωνα με έναν αρμονικό νόμο με συχνότητα ω, δρα σε ένα ταλαντευόμενο σύστημα ικανό να εκτελεί τις δικές του ταλαντώσεις σε μια ορισμένη συχνότητα ω 0.
Εάν συμβαίνουν ελεύθερες ταλαντώσεις σε συχνότητα ω 0, η οποία καθορίζεται από τις παραμέτρους του συστήματος, τότε οι σταθερές εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συμβαίνουν πάντα σε συχνότητα ω εξωτερική δύναμη.
Αφού η εξωτερική δύναμη αρχίσει να δρα στο ταλαντευτικό σύστημα, κάποια στιγμή Δ tνα δημιουργήσει εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Ο χρόνος εγκαθίδρυσης είναι, κατά σειρά μεγέθους, ίσος με τον χρόνο απόσβεσης τ των ελεύθερων ταλαντώσεων στο σύστημα ταλάντωσης.
Την αρχική στιγμή, και οι δύο διεργασίες διεγείρονται στο ταλαντωτικό σύστημα - εξαναγκασμένες ταλαντώσεις στη συχνότητα ω και ελεύθερες ταλαντώσεις στη φυσική συχνότητα ω 0. Αλλά οι ελεύθερες δονήσεις μειώνονται λόγω της αναπόφευκτης παρουσίας δυνάμεων τριβής. Επομένως, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, στο σύστημα ταλάντωσης παραμένουν μόνο σταθερές ταλαντώσεις στη συχνότητα ω της εξωτερικής κινητήριας δύναμης.
Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, εξαναγκασμένες ταλαντώσεις σώματος σε ελατήριο (Εικ. 2.5.1). Μια εξωτερική δύναμη εφαρμόζεται στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου. Αναγκάζει το ελεύθερο (αριστερό στο Σχ. 2.5.1) άκρο του ελατηρίου να κινηθεί σύμφωνα με το νόμο
Αν το αριστερό άκρο του ελατηρίου μετατοπιστεί κατά μια απόσταση y, και το σωστό - στην απόσταση Χαπό την αρχική τους θέση, όταν το ελατήριο δεν παραμορφώθηκε, τότε η επιμήκυνση του ελατηρίου Δ μεγάλοισούται με:
Σε αυτή την εξίσωση, η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα αναπαρίσταται ως δύο όροι. Ο πρώτος όρος στη δεξιά πλευρά είναι η ελαστική δύναμη που τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας ( Χ= 0). Ο δεύτερος όρος είναι η εξωτερική περιοδική επίδραση στο σώμα. Αυτός ο όρος ονομάζεται καταναγκαστική δύναμη.
Στην εξίσωση που εκφράζει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για ένα σώμα σε ένα ελατήριο παρουσία εξωτερικής περιοδικής επιρροής μπορεί να δοθεί αυστηρή μαθηματική μορφή εάν λάβουμε υπόψη τη σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης του σώματος και της συντεταγμένης του: Τότε θα γραφτεί στη φόρμα
Η εξίσωση (**) δεν λαμβάνει υπόψη τη δράση των δυνάμεων τριβής. Διαφορετικός εξισώσεις ελεύθερων δονήσεων(*) (βλ. §2.2) εξίσωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης(**) περιέχει δύο συχνότητες - τη συχνότητα ω 0 των ελεύθερων ταλαντώσεων και τη συχνότητα ω της κινητήριας δύναμης.
Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις σταθερής κατάστασης ενός φορτίου σε ένα ελατήριο συμβαίνουν στη συχνότητα εξωτερικής επιρροής σύμφωνα με το νόμο
|
Πλάτος εξαναγκασμένων ταλαντώσεων Χ m και η αρχική φάση θ εξαρτώνται από τον λόγο των συχνοτήτων ω 0 και ω και από το πλάτος y m εξωτερική δύναμη.
Σε πολύ χαμηλές συχνότητες, όταν ω<< ω 0 , движение тела массой Μ, στερεωμένο στο δεξί άκρο του ελατηρίου, επαναλαμβάνει την κίνηση του αριστερού άκρου του ελατηρίου. Εν Χ(t) = y(t), και το ελατήριο παραμένει πρακτικά απαραμόρφωτο. Μια εξωτερική δύναμη που ασκείται στο αριστερό άκρο του ελατηρίου δεν λειτουργεί, αφού ο συντελεστής αυτής της δύναμης στο ω<< ω 0 стремится к нулю.
Εάν η συχνότητα ω της εξωτερικής δύναμης πλησιάζει τη φυσική συχνότητα ω 0, εμφανίζεται μια απότομη αύξηση στο πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται αντήχηση . Εξάρτηση από το πλάτος Χ m εξαναγκασμένες ταλαντώσεις από τη συχνότητα ω της κινητήριας δύναμης λέγονται ηχητικό χαρακτηριστικόή καμπύλη συντονισμού(Εικ. 2.5.2).
Στον συντονισμό, το πλάτος ΧΟι m ταλαντώσεις του φορτίου μπορεί να είναι πολλές φορές μεγαλύτερες από το πλάτος y m δονήσεις του ελεύθερου (αριστερού) άκρου του ελατηρίου που προκαλούνται από εξωτερική επίδραση. Σε περίπτωση απουσίας τριβής, το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων κατά τη διάρκεια του συντονισμού θα πρέπει να αυξάνεται χωρίς όριο. Σε πραγματικές συνθήκες, το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων σταθερής κατάστασης καθορίζεται από την συνθήκη: το έργο μιας εξωτερικής δύναμης κατά τη διάρκεια της περιόδου ταλάντωσης πρέπει να είναι ίσο με την απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά τον ίδιο χρόνο λόγω τριβής. Όσο λιγότερη τριβή (δηλαδή τόσο υψηλότερος είναι ο συντελεστής ποιότητας Qταλαντευτικό σύστημα), τόσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων στον συντονισμό.
Σε ταλαντωτικά συστήματα με όχι πολύ υψηλό συντελεστή ποιότητας (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Το φαινόμενο του συντονισμού μπορεί να προκαλέσει την καταστροφή γεφυρών, κτιρίων και άλλων κατασκευών εάν οι φυσικές συχνότητες των ταλαντώσεων τους συμπίπτουν με τη συχνότητα μιας περιοδικά ενεργού δύναμης, η οποία προκύπτει, για παράδειγμα, λόγω της περιστροφής ενός μη ισορροπημένου κινητήρα.
Οι εξαναγκασμένες δονήσεις είναι χωρίς απόσβεσηδιακυμάνσεις. Οι αναπόφευκτες απώλειες ενέργειας λόγω της τριβής αντισταθμίζονται από την παροχή ενέργειας από μια εξωτερική πηγή περιοδικής ισχύος. Υπάρχουν συστήματα στα οποία οι μη απόσβεση ταλαντώσεις δεν προκύπτουν λόγω περιοδικών εξωτερικών επιρροών, αλλά ως αποτέλεσμα της ικανότητας τέτοιων συστημάτων να ρυθμίζουν την παροχή ενέργειας από μια σταθερή πηγή. Τέτοια συστήματα ονομάζονται αυτοταλαντούμενο, και η διαδικασία των μη απόσβεσης ταλαντώσεων σε τέτοια συστήματα είναι αυτοταλαντώσεις . Σε ένα αυτοταλαντούμενο σύστημα, μπορούν να διακριθούν τρία χαρακτηριστικά στοιχεία - ένα ταλαντευόμενο σύστημα, μια πηγή ενέργειας και μια συσκευή ανάδρασης μεταξύ του ταλαντούμενου συστήματος και της πηγής. Οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα είναι ικανό να εκτελεί τις δικές του αποσβεσμένες ταλαντώσεις (για παράδειγμα, το εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ταλαντευόμενο σύστημα.
Η πηγή ενέργειας μπορεί να είναι η ενέργεια παραμόρφωσης ενός ελατηρίου ή η δυναμική ενέργεια ενός φορτίου σε ένα βαρυτικό πεδίο. Μια συσκευή ανάδρασης είναι ένας μηχανισμός με τον οποίο ένα αυτοταλαντούμενο σύστημα ρυθμίζει τη ροή της ενέργειας από μια πηγή. Στο Σχ. Το 2.5.3 δείχνει ένα διάγραμμα της αλληλεπίδρασης διαφόρων στοιχείων ενός αυτοταλαντούμενου συστήματος.
Ένα παράδειγμα μηχανικού αυτοταλαντούμενου συστήματος είναι ένας μηχανισμός ρολογιού με άγκυραπρόοδος (Εικ. 2.5.4). Ο τροχός κίνησης με λοξά δόντια είναι στερεωμένος άκαμπτα σε ένα οδοντωτό τύμπανο, μέσα από το οποίο εκτοξεύεται μια αλυσίδα με ένα βάρος. Στο άνω άκρο του εκκρεμούς είναι σταθερό άγκυρα(άγκυρα) με δύο πλάκες από συμπαγές υλικό, λυγισμένες σε κυκλικό τόξο με το κέντρο στον άξονα του εκκρεμούς. Στα ρολόγια χειρός, το βάρος αντικαθίσταται από ένα ελατήριο και το εκκρεμές αντικαθίσταται από έναν εξισορροπητή - έναν χειροτροχό που συνδέεται με ένα σπειροειδές ελατήριο. Ο εξισορροπητής εκτελεί στρεπτικές δονήσεις γύρω από τον άξονά του. Το ταλαντωτικό σύστημα σε ένα ρολόι είναι ένα εκκρεμές ή εξισορροπητής.
Η πηγή ενέργειας είναι ένα ανυψωμένο βάρος ή ένα πληγωμένο ελατήριο. Η συσκευή που χρησιμοποιείται για την παροχή ανάδρασης είναι μια άγκυρα, η οποία επιτρέπει στον τροχό να περιστρέφει ένα δόντι σε ένα μισό κύκλο. Η ανατροφοδότηση παρέχεται από την αλληλεπίδραση της άγκυρας με τον τροχό κίνησης. Με κάθε ταλάντωση του εκκρεμούς, ένα δόντι του τροχού κίνησης σπρώχνει το πιρούνι αγκύρωσης προς την κατεύθυνση κίνησης του εκκρεμούς, μεταφέροντας σε αυτό ένα ορισμένο μέρος ενέργειας, το οποίο αντισταθμίζει τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβής. Έτσι, η δυναμική ενέργεια του βάρους (ή του στριμμένου ελατηρίου) μεταφέρεται σταδιακά, σε ξεχωριστά τμήματα, στο εκκρεμές.
Τα μηχανικά αυτοταλαντούμενα συστήματα είναι ευρέως διαδεδομένα στη ζωή γύρω μας και στην τεχνολογία. Αυτοταλαντώσεις συμβαίνουν σε ατμομηχανές, μηχανές εσωτερικής καύσης, ηλεκτρικές καμπάνες, χορδές τοξωτών μουσικών οργάνων, κολώνες αέρα στους σωλήνες πνευστών, φωνητικές χορδές όταν μιλάμε ή τραγουδάμε κ.λπ.
 |
| Εικόνα 2.5.4. Μηχανισμός ρολογιού με εκκρεμές. |
Ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα ταλαντευόμενο σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο μάζας m και ένα ελατήριο. Ας εξετάσουμε ένα οριζόντιο εκκρεμές ελατηρίου (Εικ. 1, α). Αποτελείται από ένα ογκώδες σώμα τρυπημένο στη μέση και τοποθετημένο σε μια οριζόντια ράβδο κατά μήκος της οποίας μπορεί να γλιστρήσει χωρίς τριβές (ιδανικό σύστημα ταλάντωσης). Η ράβδος στερεώνεται ανάμεσα σε δύο κάθετα στηρίγματα.
Ένα αβαρές ελατήριο είναι στερεωμένο στο σώμα στο ένα άκρο. Το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε ένα στήριγμα, το οποίο στην απλούστερη περίπτωση βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με το αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς στο οποίο ταλαντώνεται το εκκρεμές. Στην αρχή, το ελατήριο δεν παραμορφώνεται και το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας C. Εάν, τεντώνοντας ή συμπιέζοντας το ελατήριο, το σώμα βγει από τη θέση ισορροπίας, τότε μια ελαστική δύναμη θα αρχίσει να ασκεί πάνω του από την πλευρά του παραμορφωμένου ελατηρίου, πάντα στραμμένη προς τη θέση ισορροπίας.
Ας συμπιέσουμε το ελατήριο, μετακινώντας το σώμα στη θέση Α, και ας το απελευθερώσουμε. Υπό την επίδραση της ελαστικής δύναμης, θα κινηθεί πιο γρήγορα. Σε αυτή την περίπτωση, στη θέση Α ασκεί η μέγιστη ελαστική δύναμη στο σώμα, αφού εδώ η απόλυτη επιμήκυνση x m του ελατηρίου είναι μεγαλύτερη. Επομένως, σε αυτή τη θέση η επιτάχυνση είναι μέγιστη. Καθώς το σώμα κινείται προς τη θέση ισορροπίας, η απόλυτη επιμήκυνση του ελατηρίου μειώνεται και κατά συνέπεια μειώνεται η επιτάχυνση που προκαλεί η ελαστική δύναμη. Επειδή όμως η επιτάχυνση κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης κίνησης συν-κατευθύνεται με την ταχύτητα, η ταχύτητα του εκκρεμούς αυξάνεται και στη θέση ισορροπίας θα είναι μέγιστη.
Έχοντας φτάσει στη θέση ισορροπίας C, το σώμα δεν θα σταματήσει (αν και σε αυτή τη θέση το ελατήριο δεν παραμορφώνεται και η ελαστική δύναμη είναι μηδέν), αλλά έχοντας ταχύτητα, θα κινηθεί περαιτέρω με αδράνεια, τεντώνοντας το ελατήριο. Η ελαστική δύναμη που προκύπτει τώρα στρέφεται ενάντια στην κίνηση του σώματος και την επιβραδύνει. Στο σημείο D, η ταχύτητα του σώματος θα είναι ίση με μηδέν και η επιτάχυνση θα είναι μέγιστη, το σώμα θα σταματήσει για μια στιγμή, μετά την οποία, υπό την επίδραση της ελαστικής δύναμης, θα αρχίσει να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση , στη θέση ισορροπίας. Έχοντας το ξαναπεράσει με αδράνεια, το σώμα, συμπιέζοντας το ελατήριο και επιβραδύνοντας την κίνηση, θα φτάσει στο σημείο Α (αφού δεν υπάρχει τριβή), δηλ. θα ολοκληρώσει μια πλήρη αιώρηση. Μετά από αυτό, η κίνηση του σώματος θα επαναληφθεί με την περιγραφόμενη σειρά. Έτσι, οι λόγοι για τις ελεύθερες ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου είναι η δράση της ελαστικής δύναμης που προκύπτει όταν το ελατήριο παραμορφώνεται και η αδράνεια του σώματος.
Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, F x = -kx. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, F x = ma x. Επομένως, ma x = -kx. Από εδώ
Δυναμική εξίσωση κίνησης εκκρεμούς ελατηρίου.
Βλέπουμε ότι η επιτάχυνση είναι ευθέως ανάλογη με την ανάμειξη και κατευθύνεται αντίθετα προς αυτήν. Συγκρίνοντας την εξίσωση που προκύπτει με την εξίσωση των αρμονικών δονήσεων 
, βλέπουμε ότι το ελατηριωτό εκκρεμές εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα
Ορισμός
Συχνότητα ταλάντωσης($\nu$) είναι μια από τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν τις ταλαντώσεις. Αυτό είναι το αντίστροφο της περιόδου ταλάντωσης ($T$):
\[\nu =\frac(1)(T)\αριστερά(1\δεξιά).\]
Έτσι, η συχνότητα ταλάντωσης είναι ένα φυσικό μέγεθος ίσο με τον αριθμό των επαναλήψεων των ταλαντώσεων ανά μονάδα χρόνου.
\[\nu =\frac(N)(\Delta t)\αριστερά(2\δεξιά),\]
όπου $N$ είναι ο αριθμός των πλήρων ταλαντευτικών κινήσεων. $\Delta t$ είναι ο χρόνος κατά τον οποίο συνέβησαν αυτές οι ταλαντώσεις.
Η συχνότητα κυκλικής ταλάντωσης ($(\omega )_0$) σχετίζεται με τη συχνότητα $\nu $ από τον τύπο:
\[\nu =\frac((\omega )_0)(2\pi )\αριστερά(3\δεξιά).\]
Η μονάδα συχνότητας στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) είναι το hertz ή το αμοιβαίο δευτερόλεπτο:
\[\αριστερά[\nu \right]=с^(-1)=Hz.\]
Ανοιξιάτικο εκκρεμές
Ορισμός
Ανοιξιάτικο εκκρεμέςονομάζεται σύστημα που αποτελείται από ένα ελαστικό ελατήριο στο οποίο είναι στερεωμένο ένα φορτίο.
Ας υποθέσουμε ότι η μάζα του φορτίου είναι $m$ και ο συντελεστής ελαστικότητας του ελατηρίου είναι $k$. Η μάζα του ελατηρίου σε ένα τέτοιο εκκρεμές συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη. Αν λάβουμε υπόψη τις οριζόντιες κινήσεις του φορτίου (Εικ. 1), τότε κινείται υπό την επίδραση ελαστικής δύναμης εάν το σύστημα βγει από την ισορροπία και αφεθεί στην τύχη του. Σε αυτή την περίπτωση, συχνά πιστεύεται ότι οι δυνάμεις τριβής μπορούν να αγνοηθούν.
Εξισώσεις ταλαντώσεων εκκρεμούς ελατηρίου
Ένα εκκρεμές ελατηρίου που ταλαντώνεται ελεύθερα είναι ένα παράδειγμα αρμονικού ταλαντωτή. Αφήστε τον να ταλαντώνεται κατά μήκος του άξονα Χ. Εάν οι ταλαντώσεις είναι μικρές, ο νόμος του Hooke ικανοποιείται, τότε γράφουμε την εξίσωση κίνησης του φορτίου ως:
\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\αριστερά(4\δεξιά),\]
όπου $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ είναι η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεμούς ελατηρίου. Η λύση της εξίσωσης (4) είναι ημιτονική ή συνημιτονική συνάρτηση της μορφής:
όπου $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ είναι η κυκλική συχνότητα ταλαντώσεων του εκκρεμούς ελατηρίου, $A$ είναι το πλάτος των ταλαντώσεων. $((\omega )_0t+\varphi)$ - φάση ταλάντωσης; Οι $\varphi $ και οι $(\varphi )_1$ είναι οι αρχικές φάσεις των ταλαντώσεων.
Συχνότητα ταλάντωσης εκκρεμούς ελατηρίου
Από τον τύπο (3) και $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, προκύπτει ότι η συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεμούς ελατηρίου είναι ίση με:
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \αριστερά(6\δεξιά).\]
Ο τύπος (6) ισχύει εάν:
- το ελατήριο στο εκκρεμές θεωρείται αβαρές.
- το φορτίο που προσαρτάται στο ελατήριο είναι ένα απολύτως άκαμπτο σώμα.
- δεν υπάρχουν στρεπτικές δονήσεις.
Η έκφραση (6) δείχνει ότι η συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεμούς ελατηρίου αυξάνεται με τη μείωση της μάζας του φορτίου και την αύξηση του συντελεστή ελαστικότητας του ελατηρίου. Η συχνότητα ταλάντωσης ενός εκκρεμούς ελατηρίου δεν εξαρτάται από το πλάτος. Εάν οι ταλαντώσεις δεν είναι μικρές, η ελαστική δύναμη του ελατηρίου δεν υπακούει στο νόμο του Hooke, τότε εμφανίζεται μια εξάρτηση της συχνότητας ταλάντωσης από το πλάτος.
Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις
Παράδειγμα 1
Ασκηση.Η περίοδος ταλάντωσης ενός εκκρεμούς ελατηρίου είναι $T=5\cdot (10)^(-3)s$. Ποια είναι η συχνότητα ταλάντωσης σε αυτή την περίπτωση; Ποια είναι η κυκλική συχνότητα δόνησης αυτής της μάζας;
Λύση.Η συχνότητα ταλάντωσης είναι το αντίστροφο της περιόδου ταλάντωσης, επομένως, για να λυθεί το πρόβλημα αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
\[\nu =\frac(1)(T)\αριστερά(1.1\δεξιά).\]
Ας υπολογίσουμε την απαιτούμενη συχνότητα:
\[\nu =\frac(1)(5\cdot (10)^(-3))=200\ \αριστερά(Hz\δεξιά).\]
Η κυκλική συχνότητα σχετίζεται με τη συχνότητα $\nu $ ως:
\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \αριστερά(1.2\δεξιά).\]
Ας υπολογίσουμε την κυκλική συχνότητα:
\[(\omega )_0=2\pi \cdot 200\περίπου 1256\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]
Απάντηση.$1)\ \nu =200$ Hz. 2) $(\omega )_0=1256\ \frac(rad)(s)$
Παράδειγμα 2
Ασκηση.Η μάζα του φορτίου που κρέμεται σε ένα ελαστικό ελατήριο (Εικ. 2) αυξάνεται κατά $\Delta m$, ενώ η συχνότητα μειώνεται κατά $n$ φορές. Ποια είναι η μάζα του πρώτου φορτίου;
\[\nu =\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \left(2.1\right).\]
Για το πρώτο φορτίο η συχνότητα θα είναι ίση με:
\[(\nu )_1=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\ \αριστερά(2.2\δεξιά).\]
Για το δεύτερο φορτίο:
\[(\nu )_2=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m+\Delta m))\ \αριστερά(2.2\δεξιά).\]
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος $(\nu )_2=\frac((\nu )_1)(n)$, βρίσκουμε τη σχέση $\frac((\nu )_1)(\nu )_2): \frac((\nu )_1)((\nu )_2)=\sqrt(\frac(k)(m)\cdot \frac(m+\Delta m)(k))=\sqrt(1+\frac (\Δέλτα m)( m))=n\ \αριστερά(2.3\δεξιά).$
Ας πάρουμε από την εξίσωση (2.3) την απαιτούμενη μάζα του φορτίου. Για να γίνει αυτό, ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της έκφρασης (2.3) και ας εκφράσουμε $m$:
Απάντηση.$m=\frac(\Delta m)(n^2-1)$
Δονήσεις ενός ογκώδους σώματος που προκαλούνται από τη δράση ελαστικής δύναμηςΚινουμένων σχεδίων
Περιγραφή
Όταν μια ελαστική δύναμη επιδρά σε ένα τεράστιο σώμα, επιστρέφοντάς το σε θέση ισορροπίας, αυτό ταλαντώνεται γύρω από αυτή τη θέση.
Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται εκκρεμές ελατηρίου. Οι ταλαντώσεις συμβαίνουν υπό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης. Ελεύθερες ονομάζονται οι ταλαντώσεις που συνεχίζονται αφού πάψει να ενεργεί η εξωτερική δύναμη. Οι ταλαντώσεις που προκαλούνται από τη δράση μιας εξωτερικής δύναμης ονομάζονται εξαναγκασμένες. Σε αυτή την περίπτωση, η ίδια η δύναμη ονομάζεται εξαναγκασμός.
Στην απλούστερη περίπτωση, ένα εκκρεμές ελατηρίου είναι ένα άκαμπτο σώμα που κινείται κατά μήκος ενός οριζόντιου επιπέδου, που συνδέεται με ένα ελατήριο σε έναν τοίχο (Εικ. 1).
Ανοιξιάτικο εκκρεμές
Ρύζι. 1
Η ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από την εξάρτηση των συντεταγμένων του από το χρόνο:
x = x(t). (1)
Εάν όλες οι δυνάμεις που δρουν στο εν λόγω σώμα είναι γνωστές, τότε αυτή η εξάρτηση μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
όπου m είναι η μάζα σώματος.
Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης (2) είναι το άθροισμα των προβολών στον άξονα x όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα.
Στην περίπτωση που εξετάζουμε, τον κύριο ρόλο παίζει η ελαστική δύναμη, η οποία είναι συντηρητική και μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή:
F (x) = - dU (x)/dx, (3)
όπου U = U (x) είναι η δυναμική ενέργεια του παραμορφωμένου ελατηρίου.
Έστω x η προέκταση του ελατηρίου. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι σε μικρές τιμές της σχετικής επιμήκυνσης του ελατηρίου, δηλ. υπό την προϋπόθεση ότι:
½ x ½<< l ,
όπου l είναι το μήκος του μη παραμορφωμένου ελατηρίου.
Η ακόλουθη σχέση είναι περίπου αληθής:
U (x) = k x 2 /2, (4)
όπου ο συντελεστής k ονομάζεται ακαμψία ελατηρίου.
Από αυτόν τον τύπο ακολουθεί η ακόλουθη έκφραση για την ελαστική δύναμη:
F (x) = - kx. (5)
Αυτή η σχέση ονομάζεται νόμος του Χουκ.
Εκτός από την ελαστική δύναμη, μια δύναμη τριβής μπορεί να δράσει σε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός επιπέδου, η οποία περιγράφεται ικανοποιητικά από τον εμπειρικό τύπο:
F tr = - r dx /dt , (6)
όπου r είναι ο συντελεστής τριβής.
Λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (5) και (6), η εξίσωση (2) μπορεί να γραφτεί ως εξής:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)
όπου F(t) είναι η εξωτερική δύναμη.
Εάν μόνο η δύναμη Hooke (5) δρα στο σώμα, τότε οι ελεύθερες δονήσεις του σώματος θα είναι αρμονικές. Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται αρμονικό εκκρεμές ελατηρίου.
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα σε αυτή την περίπτωση οδηγεί στην εξίσωση:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt(k/m) (9)
Συχνότητα ταλάντωσης.
Η γενική λύση της εξίσωσης (8) έχει τη μορφή:
x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)
όπου το πλάτος Α και η αρχική φάση α προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Όταν το εν λόγω σώμα ασκείται μόνο με ελαστική δύναμη (5), η συνολική μηχανική του ενέργεια δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = σταθερ. (έντεκα)
Αυτή η δήλωση αποτελεί το περιεχόμενο του νόμου της διατήρησης της ενέργειας ενός αρμονικού ελατηρίου εκκρεμούς.
Ας υποθέσουμε ότι εκτός από την ελαστική δύναμη που το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας, μια δύναμη τριβής δρα σε ένα σώμα με μάζα. Σε αυτή την περίπτωση, οι ελεύθερες δονήσεις του σώματος που διεγείρονται σε κάποια χρονική στιγμή θα αποσυντεθούν με την πάροδο του χρόνου και το σώμα θα τείνει σε μια θέση ισορροπίας.
Σε αυτό, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα (7) μπορεί να γραφτεί ως εξής:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
όπου m είναι η μάζα σώματος.
Η γενική λύση της εξίσωσης (12) έχει τη μορφή:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Συχνότητα ταλάντωσης
b = r / 2 m (15)
Ο συντελεστής απόσβεσης ταλάντωσης, το πλάτος α και η αρχική φάση a καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση (13) περιγράφει τις λεγόμενες αποσβεσμένες ταλαντώσεις.
Η συνολική μηχανική ενέργεια του εκκρεμούς ελατηρίου, δηλ. το άθροισμα της κινητικής και της δυνητικής του ενέργειας
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμφωνα με το νόμο:
dE/dt = P, (17)
όπου P = - rv 2 - η ισχύς της δύναμης τριβής, δηλ. ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα ανά μονάδα χρόνου.
Χαρακτηριστικά χρονισμού
Χρόνος έναρξης (καταγραφή σε -3 έως -1).
Διάρκεια ζωής (log tc από 1 έως 15).
Χρόνος υποβάθμισης (log td από -3 έως 3).
Χρόνος βέλτιστης ανάπτυξης (log tk από -3 έως -2).