Αρκετά συχνά εν γνώσει μαθηματική ανάλυσηΜπορείτε να βρείτε μια εργασία με την ακόλουθη διατύπωση: "εξετάστε μια συνάρτηση και σχεδιάστε ένα γράφημα". Αυτή η διατύπωση μιλάει από μόνη της και χωρίζει την εργασία σε δύο στάδια:
- Στάδιο 1: μελέτη της λειτουργίας.
- Στάδιο 2: σχεδίαση της γραφικής παράστασης της υπό μελέτη συνάρτησης.
Το πρώτο στάδιο είναι το πιο εκτεταμένο και περιλαμβάνει εύρεση περιοχών ορισμού και τιμών, άκρων της συνάρτησης, σημεία καμπής του γραφήματος κ.λπ.
Ένα πλήρες ερευνητικό σχέδιο για τη συνάρτηση $y=f(x)$, που προηγείται του στόχου της γραφικής παράστασης, έχει τα ακόλουθα σημεία:
- Αναζητήστε τον τομέα ορισμού της συνάρτησης $D_(y) $ και τον τομέα των επιτρεπόμενων τιμών $E_(y) $ της συνάρτησης.
- Προσδιορισμός του τύπου συνάρτησης: άρτιος, περιττός, γενική εικόνα.
- Προσδιορισμός των σημείων τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων.
- Εύρεση ασύμπτωτων της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης (κάθετη, κεκλιμένη, οριζόντια).
- Εύρεση διαστημάτων μονοτονίας συνάρτησης και ακραίων σημείων.
- Εύρεση των διαστημάτων κυρτότητας, κοιλότητας της γραφικής παράστασης και σημείων καμπής.
Η εύρεση του τομέα ορισμού της συνάρτησης $D_(y) $ συνεπάγεται την εύρεση των διαστημάτων στα οποία υπάρχει (ορίζεται) αυτή η συνάρτηση. Κατά κανόνα, αυτή η εργασία καταλήγει στην εύρεση της VA (περιοχή επιτρεπόμενων τιμών), βάσει της οποίας σχηματίζεται το $D_(y) $.
Παράδειγμα 1
Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $y=\frac(x)(x-1) $.
Ας βρούμε το ODZ της υπό εξέταση συνάρτησης, δηλ. τιμές μιας μεταβλητής στην οποία ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται.
ODZ: $x-1\ne 0\Δεξί βέλος x\ne 1$
Ας γράψουμε τον τομέα ορισμού: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.
Ορισμός 1
Η συνάρτηση $y=f(x)$ είναι ακόμα και αν ισχύει την παρακάτω ισότητα$f(-x)=f(x)$ $\για όλα τα x\σε D_(y) $.
Ορισμός 2
Η συνάρτηση $y=f(x)$ είναι περιττή αν ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.
Ορισμός 3
Μια συνάρτηση που δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή ονομάζεται συνάρτηση γενικής μορφής.
Παράδειγμα 2
Προσδιορίστε τον τύπο των συναρτήσεων: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
1) $y=\frac(x)(x-1) $
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, επομένως, έχουμε μια συνάρτηση γενικής μορφής.
2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $
$f(-x)=f(x)$, επομένως, έχουμε μια άρτια συνάρτηση.
3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
$f(-x)\ne -f(x)$, επομένως, έχουμε μια περιττή συνάρτηση.
Ο προσδιορισμός των σημείων τομής του γραφήματος συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων περιλαμβάνει την εύρεση των σημείων τομής: με τον άξονα OX ($y=0$), με τον άξονα OY ($x=0$).
Παράδειγμα 3
Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων της συνάρτησης $y=\frac(x+2)(x-1) $.
- με άξονα OX ($y=0$)
$\frac(x+2)(x-1) =0\Δεξί βέλος x+2=0\Δεξί βέλος x=-2$; παίρνουμε το σημείο (-2;0)
- με άξονα OY ($x=0$)
$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, παίρνουμε το σημείο (0;-2)
Με βάση τα αποτελέσματα που προέκυψαν στο στάδιο της έρευνας συναρτήσεων, κατασκευάζεται ένα γράφημα. Μερικές φορές τα σημεία που λαμβάνονται στο πρώτο στάδιο δεν είναι αρκετά για την κατασκευή γραφήματος μιας συνάρτησης· τότε είναι απαραίτητο να βρεθούν επιπλέον σημεία.
Παράδειγμα 4
Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε το γράφημά της: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.
- Τομέας: $D_(y) =\( x|x\σε R\) $.
- Εύρος τιμών: $E_(y) =\( y|y\σε R\) $.
- Ζυγή, περιττή συνάρτηση :\ \
Μια γενική συνάρτηση, δηλ. δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός.
4) Διασταύρωση με άξονες συντεταγμένων:
με τον άξονα OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, επομένως, η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (0;1).
με τον άξονα OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ (χωρίς ορθολογικές ρίζες)
5) Ασύμπτωτες του γραφήματος:
Δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες, αφού $D_(y) =\( x|x\in R\) $
Θα αναζητήσουμε πλάγιες ασύμπτωτες με τη μορφή $y=kx+b$.
$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Επομένως, δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.
6) Αύξηση, μείωση συναρτήσεων. άκρα:
\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Δεξί βέλος 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(πίνακας)\]
Ας σημειώσουμε τα σημεία στον άξονα των αριθμών, ας τακτοποιήσουμε τα πρόσημα της πρώτης παραγώγου και σημειώσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης:
Εικόνα 1.
Η συνάρτηση αυξάνεται κατά $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ και $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, μειώνεται κατά $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.
$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - μέγιστο σημείο; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1.172$
$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - ελάχιστος βαθμός; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23.172$
7) Κυρτότητα, κοιλότητα του γραφήματος:
\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Δεξί βέλος 6x-12=0\Δεξί βέλος x=2) \end(πίνακας)\]
Ας σημειωθούν τα σημεία στον άξονα των αριθμών, ας τακτοποιήσουμε τα σημάδια της δεύτερης παραγώγου και σημειώστε τη συμπεριφορά του γραφήματος συνάρτησης:
Σχήμα 2.
Το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω κατά $(-\infty ;2]$, προς τα κάτω κατά $
8) Γράφημα συνάρτησης:
Εικόνα 3.
Η διαδικασία έρευνας λειτουργιών αποτελείται από διάφορα στάδια. Για την πληρέστερη κατανόηση της συμπεριφοράς της συνάρτησης και της φύσης του γραφήματος της, είναι απαραίτητο να βρούμε:
Το πεδίο ύπαρξης μιας συνάρτησης.
Αυτή η έννοια περιλαμβάνει τόσο τον τομέα των τιμών όσο και τον τομέα ορισμού μιας συνάρτησης.
Σημεία ρήξης. (Εάν είναι διαθέσιμο).
Διαστήματα αύξησης και μείωσης.
Μέγιστα και ελάχιστα μόρια.
Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της.
Περιοχές κυρτότητας και κοιλότητας.
Σημεία καμπής (αν υπάρχουν).
Ασύμπτωτες (αν υπάρχουν).
Κατασκευή γραφήματος.
Ας δούμε την εφαρμογή αυτού του σχήματος χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα.Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.
Βρίσκουμε το πεδίο ύπαρξης της συνάρτησης. Είναι προφανές ότι τομέα ορισμούσυνάρτηση είναι η περιοχή (-; -1) (-1; 1) (1; ).
Με τη σειρά του, είναι σαφές ότι οι ευθείες x = 1, x = -1 είναι κάθετες ασύμπτωτεςανέντιμος.
Εύρος τιμώναυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα (-; ).
Ορια ΑΝΤΟΧΗΣΟι συναρτήσεις είναι σημεία x = 1, x = -1.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης
Κρίσιμα σημεία: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης
Ας προσδιορίσουμε την κυρτότητα και την κοιλότητα της καμπύλης κατά διαστήματα.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
>0, κοίλη καμπύλη 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
>0, κοίλη καμπύλη < x
< ,
y
>0, κοίλη καμπύλη Βρίσκοντας τα κενά αυξανόμενηΚαι φθίνωνλειτουργίες. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης σε διαστήματα. -
< x
< -,y
>0, η συνάρτηση αυξάνεται - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
>0, η συνάρτηση αυξάνεται Μπορεί να φανεί ότι το σημείο x = - είναι ένα σημείο ανώτατο όριο, και το σημείο x = είναι ένα σημείο ελάχιστο. Οι τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι ίσες με 3/2 και -3/2, αντίστοιχα. Σχετικά με την κατακόρυφη ασύμπτωτοιέχει ήδη ειπωθεί παραπάνω. Τώρα ας βρούμε λοξοί ασύμπτωτοι. Συνολικά, η εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης είναι y = x. Ας χτίσουμε πρόγραμμαΧαρακτηριστικά: Παρακάτω θα εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα μελέτης διαφόρων τύπων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας μεθόδους διαφορικού λογισμού. Παράδειγμα:Μέθοδοι διαφορικού λογισμού 1. Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί (-; ). 3. Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: με άξονα Oy: x = 0; y = 1; με τον άξονα Ox: y = 0; x = 1; 4. Σημεία διακοπής και ασύμπτωτες: Δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. Κεκλιμένες ασύμπτωτες: γενική εξίσωση y = kx + b; Σύνολο: y = -x – λοξή ασύμπτωτη. 5. Αύξηση και φθίνουσα συνάρτηση, ακραία σημεία. Μπορεί να φανεί ότι y 0 για οποιοδήποτε x 0, επομένως, η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού και δεν έχει άκρα. Στο σημείο x = 0, η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, αλλά σε αυτό το σημείο η μείωση δεν αλλάζει σε αύξηση, επομένως, στο σημείο x = 0 η συνάρτηση πιθανότατα έχει καμπή. Για να βρούμε σημεία καμπής, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης. y = 0 για x =0 και y = για x = 1. Τα σημεία (0,1) και (1,0) είναι σημεία καμπής, επειδή y(1-h)< 0; y(1+h)
>0; y(-h) > 0; y(η)< 0 для любого h
> 0. 6. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. Παράδειγμα:Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της. 1. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι όλες οι τιμές του x εκτός από το x = 0. 2. Η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής με την έννοια του άρτιου και του περιττού. 3. Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: με τον άξονα Ox: y = 0; x = με άξονα Oy: x = 0; y – δεν υπάρχει. 4. Το σημείο x = 0 είναι σημείο ασυνέχειας, επομένως, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Αναζητούμε πλάγιες ασύμπτωτες με τη μορφή: y = kx + b. Πλάγια ασύμπτωτη y = x. 5. Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης. ; y = 0 για x = 2, y = για x = 0. y > 0 για x (-, 0) – η συνάρτηση αυξάνεται, y< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, y > 0 για x (2, ) – η συνάρτηση αυξάνεται. Έτσι, το σημείο (2, 3) είναι ένα ελάχιστο σημείο. Για να προσδιορίσουμε τη φύση της κυρτότητας/κοιλότητας μιας συνάρτησης, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο. > 0 για οποιοδήποτε x 0, επομένως, η συνάρτηση είναι κοίλη σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. 6. Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. Παράδειγμα:Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της. Το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης είναι το διάστημα x (-, ). Με την έννοια του άρτιου και του περιττού, η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής. Σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων: με τον άξονα Oy: x = 0, y = 0; με τον άξονα Ox: y = 0, x = 0, x = 1. Ασύμπτωτες της καμπύλης. Δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες. Ας προσπαθήσουμε να βρούμε πλάγιες ασύμπτωτες με τη μορφή y = kx + b. Εύρεση ακραίων σημείων. Να βρω κρίσιμα σημείαθα πρέπει να λύσετε την εξίσωση 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0. Για να γίνει αυτό, ας παραγοντοποιήσουμε αυτό το πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Με επιλογή μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι μία από τις ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός x = 1. Τότε: 4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1 Τότε μπορούμε να γράψουμε (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. Τέλος, λαμβάνουμε δύο κρίσιμα σημεία: x = 1 και x = ¼. Σημείωση. Η λειτουργία της διαίρεσης πολυωνύμων θα μπορούσε να αποφευχθεί εάν, κατά την εύρεση της παραγώγου, χρησιμοποιούσαμε τον τύπο για την παράγωγο ενός προϊόντος: Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης: 12x 2 – 18x + 6. Εξισώνοντας με το μηδέν, βρίσκουμε: Ας συστηματοποιήσουμε τις πληροφορίες που λαμβάνονται στον πίνακα: θέμα κάτω αυξάνει θέμα κάτω αυξάνει έκδοση αυξάνει θέμα κάτω Ας φτιάξουμε ένα γράφημα της συνάρτησης. Προσφέρουμε στην προσοχή σας μια υπηρεσία για την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων στο Διαδίκτυο, των οποίων όλα τα δικαιώματα ανήκουν στην εταιρεία Δεσμός. Χρησιμοποιήστε την αριστερή στήλη για να εισαγάγετε συναρτήσεις. Μπορείτε να εισαγάγετε χειροκίνητα ή χρησιμοποιώντας το εικονικό πληκτρολόγιο στο κάτω μέρος του παραθύρου. Για να μεγεθύνετε το παράθυρο με το γράφημα, μπορείτε να αποκρύψετε τόσο την αριστερή στήλη όσο και το εικονικό πληκτρολόγιο. Μαζί μας είναι εύκολο να δημιουργήσετε γραφήματα διαφορετικής πολυπλοκότητας στο διαδίκτυο. Η κατασκευή γίνεται άμεσα. Η υπηρεσία είναι περιζήτητη για την εύρεση σημείων τομής συναρτήσεων, για την απεικόνιση γραφημάτων για περαιτέρω μεταφορά τους σε ένα έγγραφο του Word ως εικονογραφήσεις κατά την επίλυση προβλημάτων και για την ανάλυση των χαρακτηριστικών συμπεριφοράς των γραφημάτων συναρτήσεων. Το βέλτιστο πρόγραμμα περιήγησης για εργασία με γραφήματα σε αυτήν τη σελίδα ιστότοπου είναι το Google Chrome. Η σωστή λειτουργία δεν είναι εγγυημένη όταν χρησιμοποιείτε άλλα προγράμματα περιήγησης.
- Δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.
Λειτουργία κατασκευής
Οφέλη από τη διαδικτυακή χαρτογράφηση