Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένα μέτρο της εξάπλωσης των τιμών αυτής της μεταβλητής. Η χαμηλή διακύμανση σημαίνει ότι οι τιμές συγκεντρώνονται κοντά. Η μεγάλη διασπορά υποδηλώνει ισχυρή εξάπλωση των τιμών. Η έννοια της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιείται στη στατιστική. Για παράδειγμα, εάν συγκρίνετε τη διακύμανση δύο τιμών (όπως μεταξύ ανδρών και γυναικών ασθενών), μπορείτε να ελέγξετε τη σημασία μιας μεταβλητής. Η διακύμανση χρησιμοποιείται επίσης κατά τη δημιουργία στατιστικών μοντέλων, καθώς η χαμηλή διακύμανση μπορεί να είναι σημάδι ότι προσαρμόζετε υπερβολικά τις τιμές.

Βήματα

Υπολογισμός διασποράς δείγματος

1. Καταγράψτε τις τιμές του δείγματος.Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι στατιστικολόγοι έχουν πρόσβαση μόνο σε δείγματα συγκεκριμένων πληθυσμών. Για παράδειγμα, κατά κανόνα, οι στατιστικολόγοι δεν αναλύουν το κόστος διατήρησης του συνόλου όλων των αυτοκινήτων στη Ρωσία - αναλύουν ένα τυχαίο δείγμα αρκετών χιλιάδων αυτοκινήτων. Ένα τέτοιο δείγμα θα βοηθήσει στον προσδιορισμό του μέσου κόστους ενός αυτοκινήτου, αλλά, πιθανότατα, η προκύπτουσα αξία θα απέχει πολύ από την πραγματική.

   • Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε τον αριθμό των ψωμιών που πωλήθηκαν σε ένα καφέ σε διάστημα 6 ημερών, με τυχαία σειρά. Το δείγμα μοιάζει με αυτό: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Αυτό είναι δείγμα, όχι πληθυσμός, επειδή δεν έχουμε δεδομένα για ψωμάκια που πωλούνται για κάθε μέρα που είναι ανοιχτό το καφέ.
   • Εάν σας δοθεί ένας πληθυσμός αντί για ένα δείγμα τιμών, συνεχίστε στην επόμενη ενότητα.

2. Γράψτε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος.Η διασπορά είναι ένα μέτρο της διασποράς των τιμών μιας ορισμένης ποσότητας. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή διακύμανσης στο μηδέν, τόσο πιο κοντά ομαδοποιούνται οι τιμές. Όταν εργάζεστε με ένα δείγμα τιμών, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο για να υπολογίσετε τη διακύμανση:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2))– αυτό είναι διασπορά. Η διασπορά μετριέται σε τετράγωνες μονάδες.
   • x i (\displaystyle x_(i))– κάθε τιμή στο δείγμα.
   • x i (\displaystyle x_(i))πρέπει να αφαιρέσετε το x, να το τετραγωνίσετε και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
   • x̅ – μέσος όρος δείγματος (μέσος όρος δείγματος).
   • n – αριθμός τιμών στο δείγμα.

3. Υπολογίστε τη μέση τιμή του δείγματος.Συμβολίζεται ως x̅. Ο μέσος όρος του δείγματος υπολογίζεται ως απλός αριθμητικός μέσος όρος: αθροίστε όλες τις τιμές στο δείγμα και, στη συνέχεια, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο δείγμα.

   • Στο παράδειγμά μας, προσθέστε τις τιμές στο δείγμα: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Τώρα διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στο δείγμα (στο παράδειγμά μας υπάρχουν 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Μέσος όρος δείγματος x = 14.
   • Ο μέσος όρος του δείγματος είναι η κεντρική τιμή γύρω από την οποία κατανέμονται οι τιμές στο δείγμα. Εάν οι τιμές στο δείγμα συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή του δείγματος, τότε η απόκλιση είναι μικρή. διαφορετικά η απόκλιση είναι μεγάλη.

4. Αφαιρέστε τη μέση τιμή του δείγματος από κάθε τιμή στο δείγμα.Τώρα υπολογίστε τη διαφορά x i (\displaystyle x_(i))- x̅, όπου x i (\displaystyle x_(i))– κάθε τιμή στο δείγμα. Κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει υποδεικνύει τον βαθμό απόκλισης μιας συγκεκριμένης τιμής από τη μέση τιμή του δείγματος, δηλαδή πόσο απέχει αυτή η τιμή από τη μέση τιμή του δείγματος.

   • Στο παράδειγμά μας:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Η ορθότητα των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται είναι εύκολο να ελεγχθεί, αφού το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σχετίζεται με τον προσδιορισμό της μέσης τιμής, καθώς οι αρνητικές τιμές (αποστάσεις από τη μέση τιμή σε μικρότερες τιμές) αντισταθμίζονται πλήρως θετικές αξίες(αποστάσεις από μέσες έως μεγάλες τιμές).

5. Όπως σημειώθηκε παραπάνω, το άθροισμα των διαφορών x i (\displaystyle x_(i))- Το x πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μέση διακύμανσηείναι πάντα ίσο με μηδέν, το οποίο δεν δίνει καμία ιδέα για την εξάπλωση των τιμών μιας συγκεκριμένης ποσότητας. Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, τετραγωνίστε κάθε διαφορά x i (\displaystyle x_(i))- Χ. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα να λαμβάνετε μόνο θετικούς αριθμούς, οι οποίοι δεν θα αθροίζονται ποτέ στο 0.

   • Στο παράδειγμά μας:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))- Χ) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))- Χ) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Βρήκατε το τετράγωνο της διαφοράς - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή στο δείγμα.

6. Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών.Δηλαδή, βρείτε εκείνο το μέρος του τύπου που γράφεται ως εξής: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))]. Εδώ το πρόσημο Σ σημαίνει το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών για κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))στο δείγμα. Έχετε ήδη βρει τις τετραγωνισμένες διαφορές (x i (\displaystyle (x_(i))- Χ) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))στο δείγμα? τώρα απλά προσθέστε αυτά τα τετράγωνα.

   • Στο παράδειγμά μας: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Διαιρέστε το αποτέλεσμα με n - 1, όπου n είναι ο αριθμός των τιμών στο δείγμα.Πριν από λίγο καιρό, για να υπολογίσουν τη διακύμανση του δείγματος, οι στατιστικολόγοι απλώς διαίρεσαν το αποτέλεσμα με το n. Σε αυτή την περίπτωση θα λάβετε τον μέσο όρο της τετραγωνικής διακύμανσης, ο οποίος είναι ιδανικός για την περιγραφή της διακύμανσης ενός δεδομένου δείγματος. Αλλά να θυμάστε ότι οποιοδήποτε δείγμα είναι μόνο ένα μικρό μέρος πληθυσμόςαξίες. Εάν πάρετε άλλο δείγμα και κάνετε τους ίδιους υπολογισμούς, θα έχετε διαφορετικό αποτέλεσμα. Όπως αποδεικνύεται, η διαίρεση με το n - 1 (και όχι μόνο με το n) δίνει μια πιο ακριβή εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού, που είναι αυτό που σας ενδιαφέρει. Η διαίρεση με n – 1 έχει γίνει κοινή, επομένως περιλαμβάνεται στον τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος.

   • Στο παράδειγμά μας, το δείγμα περιλαμβάνει 6 τιμές, δηλαδή n = 6.
     Διακύμανση δείγματος = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Η διαφορά μεταξύ διακύμανσης και τυπικής απόκλισης.Σημειώστε ότι ο τύπος περιέχει έναν εκθέτη, επομένως η διασπορά μετράται σε τετραγωνικές μονάδες της τιμής που αναλύεται. Μερικές φορές ένα τέτοιο μέγεθος είναι αρκετά δύσκολο να λειτουργήσει. σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε την τυπική απόκλιση, η οποία είναι ίση με τετραγωνική ρίζααπό τη διασπορά. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η διακύμανση του δείγματος συμβολίζεται ως s 2 (\displaystyle s^(2)), ΕΝΑ τυπική απόκλισηδείγματα - πώς s (\displaystyle s).

   • Στο παράδειγμά μας, η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι: s = √33,2 = 5,76.

   Υπολογισμός Διακύμανσης Πληθυσμού

   1. Αναλύστε κάποιο σύνολο τιμών.Το σετ περιλαμβάνει όλες τις αξίες της υπό εξέταση ποσότητας. Για παράδειγμα, εάν μελετάτε την ηλικία των κατοίκων Περιφέρεια Λένινγκραντ, τότε ο πληθυσμός περιλαμβάνει τις ηλικίες όλων των κατοίκων αυτής της περιοχής. Όταν εργάζεστε με έναν πληθυσμό, συνιστάται να δημιουργήσετε έναν πίνακα και να εισαγάγετε τις τιμές πληθυσμού σε αυτόν. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

      • Σε ένα συγκεκριμένο δωμάτιο υπάρχουν 6 ενυδρεία. Κάθε ενυδρείο περιέχει τον ακόλουθο αριθμό ψαριών:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Γράψτε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.Δεδομένου ότι το σύνολο περιλαμβάνει όλες τις τιμές μιας συγκεκριμένης ποσότητας, ο παρακάτω τύπος μας επιτρέπει να λάβουμε ακριβής αξίαπληθυσμιακές διακυμάνσεις. Για να διακρίνουν τη διακύμανση του πληθυσμού από τη διακύμανση του δείγματος (η οποία είναι μόνο μια εκτίμηση), οι στατιστικολόγοι χρησιμοποιούν διάφορες μεταβλητές:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))– διασπορά πληθυσμού (διαβάζεται ως «Sigma Squared»). Η διασπορά μετράται σε τετράγωνες μονάδες.
      • x i (\displaystyle x_(i))– κάθε αξία στο σύνολό της.
      • Σ – σύμβολο αθροίσματος. Δηλαδή από κάθε τιμή x i (\displaystyle x_(i))πρέπει να αφαιρέσετε το μ, να το τετραγωνίσετε και μετά να προσθέσετε τα αποτελέσματα.
      • μ – μέσος όρος πληθυσμού.
      • n – αριθμός τιμών στον πληθυσμό.

   3. Υπολογίστε τον μέσο πληθυσμό.Όταν εργάζεστε με έναν πληθυσμό, ο μέσος όρος του συμβολίζεται ως μ (mu). Ο μέσος όρος πληθυσμού υπολογίζεται ως ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος: αθροίστε όλες τις τιμές στον πληθυσμό και, στη συνέχεια, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των τιμών στον πληθυσμό.

      • Λάβετε υπόψη ότι οι μέσοι όροι δεν υπολογίζονται πάντα ως αριθμητικός μέσος όρος.
      • Στο παράδειγμά μας, η μέση τιμή πληθυσμού: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Αφαιρέστε τη μέση τιμή του πληθυσμού από κάθε τιμή του πληθυσμού.Όσο πιο κοντά είναι η διαφορά στο μηδέν, τόσο πιο κοντά συγκεκριμένο νόημαστον πληθυσμό μέσο όρο. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ κάθε τιμής στον πληθυσμό και του μέσου όρου της και θα έχετε μια πρώτη ιδέα για την κατανομή των τιμών.

      • Στο παράδειγμά μας:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Τετράγωνο κάθε αποτέλεσμα που προκύπτει.Οι τιμές διαφοράς θα είναι θετικές και αρνητικές. Εάν αυτές οι τιμές απεικονίζονται σε μια αριθμητική γραμμή, θα βρίσκονται δεξιά και αριστερά του μέσου όρου του πληθυσμού. Αυτό δεν είναι καλό για τον υπολογισμό της διακύμανσης επειδή οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί αλληλοεξουδετερώνονται. Τετραγωνίστε λοιπόν κάθε διαφορά για να λάβετε αποκλειστικά θετικούς αριθμούς.

      • Στο παράδειγμά μας:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))για κάθε τιμή πληθυσμού (από i = 1 έως i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), Οπου x n (\displaystyle x_(n))– η τελευταία τιμή στον πληθυσμό.
      • Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους και να το διαιρέσετε με το n:(( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/n
      • Τώρα ας γράψουμε την παραπάνω εξήγηση χρησιμοποιώντας μεταβλητές: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n και λάβετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.

Οι κύριοι γενικευτικοί δείκτες διακύμανσης των στατιστικών είναι οι διασπορές και οι τυπικές αποκλίσεις.

Διασπορά αυτό αριθμητικός μέσος όρος τετράγωνες αποκλίσεις κάθε χαρακτηριστικής τιμής από τον συνολικό μέσο όρο. Η διακύμανση συνήθως ονομάζεται μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων και συμβολίζεται με  2. Ανάλογα με τα δεδομένα πηγής, η απόκλιση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον απλό ή σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:

 μη σταθμισμένη (απλή) διακύμανση.

 σταθμισμένη διακύμανση.

Τυπική απόκλιση αυτό είναι ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό των απόλυτων μεγεθών παραλλαγές σημάδια στο σύνολο. Εκφράζεται στις ίδιες μονάδες μέτρησης με το χαρακτηριστικό (σε μέτρα, τόνους, ποσοστό, εκτάρια κ.λπ.).

Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και συμβολίζεται με :

 τυπική απόκλιση μη σταθμισμένη.

 σταθμισμένη τυπική απόκλιση.

Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο της αξιοπιστίας του μέσου όρου. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο καλύτερα ο αριθμητικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει ολόκληρο τον αντιπροσωπευόμενο πληθυσμό.

Προηγείται ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης από τον υπολογισμό της διακύμανσης.

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της σταθμισμένης διακύμανσης έχει ως εξής:

1) Προσδιορίστε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:

2) Υπολογίστε τις αποκλίσεις των επιλογών από τον μέσο όρο:

3) τετράγωνο της απόκλισης κάθε επιλογής από τον μέσο όρο:

4) πολλαπλασιάστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων με τα βάρη (συχνότητες):

5) συνοψίστε τα προκύπτοντα προϊόντα:

6) το ποσό που προκύπτει διαιρείται με το άθροισμα των βαρών:

Παράδειγμα 2.1

Ας υπολογίσουμε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο:

Οι τιμές των αποκλίσεων από τον μέσο όρο και τα τετράγωνά τους παρουσιάζονται στον πίνακα. Ας ορίσουμε τη διακύμανση:

Η τυπική απόκλιση θα είναι ίση με:

Εάν τα δεδομένα πηγής παρουσιάζονται με τη μορφή διαστήματος σειρά διανομής , τότε πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε τη διακριτή τιμή του χαρακτηριστικού και, στη συνέχεια, να εφαρμόσετε την περιγραφόμενη μέθοδο.

Παράδειγμα 2.2

Ας δείξουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης για μια σειρά διαστημάτων χρησιμοποιώντας δεδομένα για την κατανομή της σπαρμένης έκτασης ενός συλλογικού αγροκτήματος σύμφωνα με την απόδοση σιταριού.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι:

Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση:

6.3. Υπολογισμός διακύμανσης με χρήση τύπου που βασίζεται σε μεμονωμένα δεδομένα

Τεχνική υπολογισμού αποκλίσεις περίπλοκο, αλλά μεγάλες αξίεςοι επιλογές και οι συχνότητες μπορεί να είναι συντριπτικές. Οι υπολογισμοί μπορούν να απλοποιηθούν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της διασποράς.

Η διασπορά έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

1. Η μείωση ή η αύξηση των βαρών (συχνοτήτων) ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού κατά έναν ορισμένο αριθμό φορών δεν αλλάζει τη διασπορά.

2. Μειώστε ή αυξήστε κάθε τιμή ενός χαρακτηριστικού κατά το ίδιο σταθερό ποσό ΕΝΑδεν αλλάζει τη διασπορά.

3. Μειώστε ή αυξήστε κάθε τιμή ενός χαρακτηριστικού κατά ένα συγκεκριμένο αριθμό φορές καντίστοιχα μειώνει ή αυξάνει τη διακύμανση σε κ 2 φορές τυπική απόκλιση  σε κμια φορά.

4. Η διασπορά ενός χαρακτηριστικού σε σχέση με μια αυθαίρετη τιμή είναι πάντα μεγαλύτερη από τη διασπορά σε σχέση με τον αριθμητικό μέσο όρο ανά τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ του μέσου όρου και των αυθαίρετων τιμών:

Αν ΕΝΑ 0, τότε καταλήγουμε στην ακόλουθη ισότητα:

Δηλαδή, η διακύμανση του χαρακτηριστικού είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου των χαρακτηριστικών τιμών και του τετραγώνου του μέσου όρου.

Κάθε ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ανεξάρτητα ή σε συνδυασμό με άλλες κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης.

Η διαδικασία για τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι απλή:

1) καθορίζει αριθμητικός μέσος όρος :

2) τετράγωνο του αριθμητικού μέσου όρου:

3) τετράγωνο της απόκλισης κάθε παραλλαγής της σειράς:

Χ Εγώ 2 .

4) βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των επιλογών:

5) διαιρέστε το άθροισμα των τετραγώνων των επιλογών με τον αριθμό τους, δηλ. προσδιορίστε το μέσο τετράγωνο:

6) προσδιορίστε τη διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου του χαρακτηριστικού και του τετραγώνου του μέσου όρου:

Παράδειγμα 3.1Τα ακόλουθα στοιχεία είναι διαθέσιμα για την παραγωγικότητα των εργαζομένων:

Ας κάνουμε τους παρακάτω υπολογισμούς:

Μαζί με τη μελέτη της παραλλαγής ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο, είναι συχνά απαραίτητο να εντοπιστούν ποσοτικές αλλαγές στο χαρακτηριστικό στις ομάδες στις οποίες χωρίζεται ο πληθυσμός, καθώς και μεταξύ των ομάδων. Αυτή η μελέτη της διακύμανσης επιτυγχάνεται μέσω υπολογισμού και ανάλυσης διάφοροι τύποιαποκλίσεις.
Υπάρχουν συνολικές, διαομαδικές και ενδοομαδικές διακυμάνσεις.
Συνολική διακύμανση σ 2μετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκάλεσαν αυτήν την παραλλαγή.

Η διαομαδική διακύμανση (δ) χαρακτηρίζει τη συστηματική διακύμανση, δηλ. διαφορές στην αξία του υπό μελέτη χαρακτηριστικού που προκύπτουν υπό την επίδραση του χαρακτηριστικού παράγοντα που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:
.

Διακύμανση εντός της ομάδας (σ)αντανακλά τυχαία παραλλαγή, δηλ. μέρος της διακύμανσης που συμβαίνει υπό την επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από τον παράγοντα-ιδιότητα που αποτελεί τη βάση της ομάδας. Υπολογίζεται με τον τύπο:
.

Μέσος όρος διακυμάνσεων εντός της ομάδας: .

Υπάρχει ένας νόμος που συνδέει 3 τύπους διασποράς. Η συνολική διακύμανση είναι ίση με το άθροισμα του μέσου όρου της διακύμανσης εντός και μεταξύ της ομάδας: .
Αυτή η αναλογία ονομάζεται κανόνας για την προσθήκη διακυμάνσεων.

Η ανάλυση χρησιμοποιεί ευρέως έναν δείκτη που αντιπροσωπεύει το μερίδιο της διαομαδικής διακύμανσης συνολική διακύμανση. Λέγεται εμπειρικός συντελεστής προσδιορισμού (η 2): .
Η τετραγωνική ρίζα του εμπειρικού συντελεστή προσδιορισμού ονομάζεται αναλογία εμπειρικής συσχέτισης (η):
.
Χαρακτηρίζει την επιρροή του χαρακτηριστικού που αποτελεί τη βάση της ομάδας στην παραλλαγή του χαρακτηριστικού που προκύπτει. Ο εμπειρικός λόγος συσχέτισης κυμαίνεται από 0 έως 1.
Ας το δείξουμε πρακτική χρήσηχρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα (Πίνακας 1).

Παράδειγμα Νο. 1. Πίνακας 1 - Παραγωγικότητα εργασίας δύο ομάδων εργαζομένων σε ένα από τα συνεργεία της NPO "Cyclone"

Ας υπολογίσουμε τους συνολικούς και ομαδικούς μέσους όρους και διακυμάνσεις:

Τα αρχικά δεδομένα για τον υπολογισμό του μέσου όρου ενδοομαδικής και διαομαδικής διακύμανσης παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.
πίνακας 2
Υπολογισμός και δ 2 για δύο ομάδες εργαζομένων.

Ομάδες εργαζομένων	Αριθμός εργαζομένων, άτομα	Μέσος όρος, παιδιά/βάρδια	Διασπορά
Ολοκληρωμένη τεχνική εκπαίδευση	5	95	42,0
Όσοι δεν έχουν ολοκληρώσει την τεχνική κατάρτιση	5	81	231,2
Όλοι οι εργαζόμενοι	10	88	185,6

Ας υπολογίσουμε τους δείκτες. Μέσος όρος αποκλίσεων εντός της ομάδας:
.
Διαομαδική διακύμανση

Συνολική διακύμανση:
Έτσι, ο εμπειρικός λόγος συσχέτισης: .

Μαζί με τη διακύμανση στα ποσοτικά χαρακτηριστικά, μπορεί επίσης να παρατηρηθεί διακύμανση στα ποιοτικά χαρακτηριστικά. Αυτή η μελέτη διακύμανσης επιτυγχάνεται με υπολογισμό τους παρακάτω τύπουςδιασπορές:

Η διασπορά της μετοχής εντός του ομίλου καθορίζεται από τον τύπο

Οπου n i– αριθμός μονάδων σε ξεχωριστές ομάδες.
Το μερίδιο του μελετημένου χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό, το οποίο καθορίζεται από τον τύπο:
Οι τρεις τύποι διακύμανσης σχετίζονται μεταξύ τους ως εξής:
.

Αυτή η σχέση διακυμάνσεων ονομάζεται θεώρημα της πρόσθεσης διακυμάνσεων της μετοχής του χαρακτηριστικού.

Η διακύμανση είναι ένα μέτρο διασποράς που περιγράφει τη συγκριτική απόκλιση μεταξύ των τιμών δεδομένων και του μέσου όρου. Είναι το πιο χρησιμοποιούμενο μέτρο διασποράς στις στατιστικές, που υπολογίζεται αθροίζοντας και τετραγωνίζοντας την απόκλιση κάθε τιμής δεδομένων από τη μέση τιμή. Ο τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης δίνεται παρακάτω:

s 2 – διακύμανση δείγματος.

x av—μέσος όρος δείγματος;

n — μέγεθος δείγματος (αριθμός τιμών δεδομένων),

(x i – x μέσος όρος) είναι η απόκλιση από τη μέση τιμή για κάθε τιμή του συνόλου δεδομένων.

Για να κατανοήσουμε καλύτερα τον τύπο, ας δούμε ένα παράδειγμα. Δεν μου αρέσει πολύ η μαγειρική, οπότε το κάνω σπάνια. Ωστόσο, για να μην πεινάω, κατά καιρούς πρέπει να πηγαίνω στη σόμπα για να εφαρμόσω το σχέδιο κορεσμού του σώματός μου με πρωτεΐνες, λίπη και υδατάνθρακες. Το παρακάτω σύνολο δεδομένων δείχνει πόσες φορές ο Renat μαγειρεύει κάθε μήνα:

Το πρώτο βήμα για τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι ο προσδιορισμός του μέσου όρου του δείγματος, ο οποίος στο παράδειγμά μας είναι 7,8 φορές το μήνα. Οι υπόλοιποι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν ευκολότεροι χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα.

Η τελική φάση του υπολογισμού της διακύμανσης μοιάζει με αυτό:

Για όσους θέλουν να κάνουν όλους τους υπολογισμούς με μια κίνηση, η εξίσωση θα μοιάζει με αυτό:

Χρήση της μεθόδου ωμής καταμέτρησης (παράδειγμα μαγειρέματος)

Υπάρχουν περισσότερα αποτελεσματική μέθοδοςυπολογισμός της διακύμανσης, γνωστός ως μέθοδος "ακατέργαστης καταμέτρησης". Αν και η εξίσωση μπορεί να φαίνεται αρκετά δυσκίνητη με την πρώτη ματιά, στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο τρομακτική. Μπορείτε να βεβαιωθείτε για αυτό και στη συνέχεια να αποφασίσετε ποια μέθοδος σας αρέσει περισσότερο.

είναι το άθροισμα κάθε τιμής δεδομένων μετά τον τετραγωνισμό,

είναι το τετράγωνο του αθροίσματος όλων των τιμών δεδομένων.

Μη χάσεις το μυαλό σου τώρα. Ας τα βάλουμε όλα σε έναν πίνακα και θα δείτε ότι υπάρχουν λιγότεροι υπολογισμοί εδώ από ό,τι στο προηγούμενο παράδειγμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, το αποτέλεσμα ήταν το ίδιο όπως όταν χρησιμοποιούσατε την προηγούμενη μέθοδο. Πλεονεκτήματα αυτή τη μέθοδογίνονται εμφανείς καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος (n).

Υπολογισμός διακύμανσης στο Excel

Όπως πιθανώς ήδη μαντέψατε, το Excel έχει έναν τύπο που σας επιτρέπει να υπολογίζετε τη διακύμανση. Επιπλέον, ξεκινώντας με το Excel 2010, μπορείτε να βρείτε 4 τύπους τύπων διακύμανσης:

1) VARIANCE.V – Εμφανίζει τη διακύμανση του δείγματος. Οι τιμές Boolean και το κείμενο αγνοούνται.

2) DISP.G - Εμφανίζει τη διακύμανση του πληθυσμού. Οι τιμές Boolean και το κείμενο αγνοούνται.

3) VARIANCE - Επιστρέφει τη διακύμανση του δείγματος, λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές Boolean και κειμένου.

4) VARIANCE - Εμφανίζει τη διακύμανση του πληθυσμού, λαμβάνοντας υπόψη τις λογικές τιμές και τις τιμές κειμένου.

Αρχικά, ας κατανοήσουμε τη διαφορά μεταξύ ενός δείγματος και ενός πληθυσμού. Ο σκοπός των περιγραφικών στατιστικών είναι να συνοψίσει ή να εμφανίσει δεδομένα, ώστε να αποκτήσετε γρήγορα τη μεγάλη εικόνα, μια επισκόπηση, ας πούμε. Τα στατιστικά συμπεράσματα σάς επιτρέπουν να κάνετε συμπεράσματα για έναν πληθυσμό με βάση ένα δείγμα δεδομένων από αυτόν τον πληθυσμό. Ο πληθυσμός αντιπροσωπεύει όλα τα πιθανά αποτελέσματα ή μετρήσεις που μας ενδιαφέρουν. Ένα δείγμα είναι ένα υποσύνολο ενός πληθυσμού.

Για παράδειγμα, μας ενδιαφέρει το σύνολο μιας ομάδας μαθητών από έναν από τους Ρωσικά πανεπιστήμιακαι πρέπει να προσδιορίσουμε τη μέση βαθμολογία της ομάδας. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση επίδοση των μαθητών και τότε ο αριθμός που προκύπτει θα είναι παράμετρος, αφού στους υπολογισμούς μας θα συμμετέχει ολόκληρος ο πληθυσμός. Ωστόσο, αν θέλουμε να υπολογίσουμε το ΣΔΣ όλων των μαθητών στη χώρα μας, τότε αυτή η ομάδα θα είναι το δείγμα μας.

Η διαφορά στον τύπο για τον υπολογισμό της διακύμανσης μεταξύ δείγματος και πληθυσμού είναι ο παρονομαστής. Όπου για το δείγμα θα είναι ίσο με (n-1), και για τον γενικό πληθυσμό μόνο n.

Τώρα ας δούμε τις συναρτήσεις για τον υπολογισμό της διακύμανσης με τις καταλήξεις ΕΝΑ,η περιγραφή του οποίου αναφέρει ότι το κείμενο και οι λογικές τιμές λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό. Σε αυτήν την περίπτωση, κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης ενός συγκεκριμένου πίνακα δεδομένων, όπου δεν υπάρχουν αριθμητικές τιμέςΤο Excel θα ερμηνεύσει το κείμενο και τις ψευδείς τιμές Boolean ως ίσες με 0 και τις αληθινές τιμές Boolean ως ίσες με 1.

Έτσι, εάν έχετε έναν πίνακα δεδομένων, ο υπολογισμός της διακύμανσής του δεν θα είναι δύσκολος χρησιμοποιώντας μία από τις συναρτήσεις του Excel που αναφέρονται παραπάνω.

Διαφορά (σκέδαση) μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Για να υπολογίσετε τη διακύμανση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν ελαφρώς τροποποιημένο τύπο

επειδή M(X), 2 και
- σταθερές τιμές. Ετσι,

4.2.2. Ιδιότητες διασποράς

Ιδιοκτησία 1.Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν. Πράγματι, εξ ορισμού

Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο διασποράς τετραγωνίζοντάς το.

Απόδειξη

Κέντρο μια τυχαία μεταβλητή είναι η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Μια κεντραρισμένη ποσότητα έχει δύο ιδιότητες κατάλληλες για μετασχηματισμό:

Ιδιοκτησία 3.Αν οι τυχαίες μεταβλητές X και Υείναι ανεξάρτητοι, λοιπόν

Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε
. Επειτα.

Στον δεύτερο όρο, λόγω της ανεξαρτησίας των τυχαίων μεταβλητών και των ιδιοτήτων των κεντραρισμένων τυχαίων μεταβλητών

Παράδειγμα 4.5.Αν έναΚαι σι– σταθερές, τότεD (έναX+σι)= ρε(έναX)+ρε(σι)=
.

4.2.3. Τυπική απόκλιση

Η διασπορά, ως χαρακτηριστικό της εξάπλωσης μιας τυχαίας μεταβλητής, έχει ένα μειονέκτημα. Αν, για παράδειγμα, Χ– το σφάλμα μέτρησης έχει διάσταση ΜΜ, τότε η διασπορά έχει τη διάσταση
. Ως εκ τούτου, συχνά προτιμούν να χρησιμοποιούν ένα άλλο χαρακτηριστικό διασποράς - τυπική απόκλιση , που ισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης

Η τυπική απόκλιση έχει την ίδια διάσταση με την ίδια τυχαία τιμή.

Παράδειγμα 4.6.Διακύμανση του αριθμού των περιστατικών ενός συμβάντος σε μια ανεξάρτητη δοκιμαστική σχεδίαση

Παράγεται nανεξάρτητες δοκιμές και η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι R. Ας εκφράσουμε, όπως πριν, τον αριθμό των περιστατικών του γεγονότος Χμέσω του αριθμού των εμφανίσεων του γεγονότος σε μεμονωμένα πειράματα:

Δεδομένου ότι τα πειράματα είναι ανεξάρτητα, οι τυχαίες μεταβλητές που σχετίζονται με τα πειράματα ανεξάρτητος. Και λόγω ανεξαρτησίας έχουμε

Αλλά κάθε μία από τις τυχαίες μεταβλητές έχει έναν νόμο κατανομής (παράδειγμα 3.2)

Και
(παράδειγμα 4.4). Επομένως, εξ ορισμού της διακύμανσης:

Οπου q=1- Π.

Ως αποτέλεσμα έχουμε
,

Τυπική απόκλιση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος μέσα nανεξάρτητα πειράματα ίσα
.

4.3. Στιγμές τυχαίων μεταβλητών

Εκτός από αυτές που έχουν ήδη εξεταστεί, οι τυχαίες μεταβλητές έχουν πολλά άλλα αριθμητικά χαρακτηριστικά.

Η αρχική στιγμή κ Χ (
) ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-η δύναμη αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Κεντρική στιγμή κτυχαία μεταβλητή ης τάξης Χπου ονομάζεται μαθηματική προσδοκία κ-η δύναμη της αντίστοιχης κεντραρισμένης ποσότητας.

Είναι εύκολο να δούμε ότι η κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα ίση με το μηδέν, η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διασπορά, αφού .

Η κεντρική ροπή τρίτης τάξης δίνει μια ιδέα της ασυμμετρίας της κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Στιγμές τάξης υψηλότερες από τη δεύτερη χρησιμοποιούνται σχετικά σπάνια, επομένως θα περιοριστούμε μόνο στις ίδιες τις έννοιες.

4.4. Παραδείγματα εύρεσης νόμων διανομής

Ας εξετάσουμε παραδείγματα εύρεσης των νόμων κατανομής των τυχαίων μεταβλητών και των αριθμητικών χαρακτηριστικών τους.

Παράδειγμα 4.7.

Συντάξτε έναν νόμο για την κατανομή του αριθμού των χτυπημάτων σε έναν στόχο με τρεις βολές σε έναν στόχο, εάν η πιθανότητα χτυπήματος με κάθε βολή είναι 0,4. Βρείτε την ολοκληρωτική συνάρτηση φά(Χ)για την προκύπτουσα κατανομή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χκαι σχεδιάστε μια γραφική παράσταση. Βρείτε την αναμενόμενη τιμή Μ(Χ) , διαφορά ρε(Χ) και τυπική απόκλιση
(Χ) τυχαία μεταβλητή Χ.

Λύση

1) Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ– ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με τρεις βολές – μπορεί να πάρει τέσσερις τιμές: 0, 1, 2, 3 . Η πιθανότητα να δεχτεί καθένα από αυτά βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli με: n=3,Π=0,4,q=1- Π=0,6 και Μ=0, 1, 2, 3:

Ας πάρουμε τις πιθανότητες πιθανών τιμών Χ:;

Ας συνθέσουμε τον επιθυμητό νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Έλεγχος: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Ας κατασκευάσουμε ένα πολύγωνο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που προκύπτει Χ. Για να γίνει αυτό, στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σημειώνουμε τα σημεία (0; 0.216), (1; 0.432), (2; 0.288), (3; 0.064). Ας συνδέσουμε αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, η διακεκομμένη γραμμή που προκύπτει είναι το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής (Εικ. 4.1).

2) Αν x 0, λοιπόν φά(Χ)=0. Πράγματι, για τιμές μικρότερες από το μηδέν, η τιμή Χδεν δέχεται. Επομένως, για όλους Χ0, χρησιμοποιώντας τον ορισμό φά(Χ), παίρνουμε φά(Χ)=Π(Χ< Χ) =0 (ως πιθανότητα αδύνατου γεγονότος).

Αν 0 , Οτι φά(Χ) =0,216. Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση φά(Χ)=Π(Χ< Χ) = =Π(- < Χ 0)+ Π(0< Χ< Χ) =0,216+0=0,216.

Αν πάρουμε, για παράδειγμα, Χ=0,2, λοιπόν φά(0,2)=Π(Χ<0,2) . Αλλά η πιθανότητα ενός γεγονότος Χ<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаΧμόνο σε μία περίπτωση παίρνει τιμή μικρότερη από 0,2, δηλαδή 0 με πιθανότητα 0,216.

Αν 1 , Οτι

Πραγματικά, Χμπορεί να πάρει την τιμή 0 με πιθανότητα 0,216 και την τιμή 1 με πιθανότητα 0,432. Επομένως, μία από αυτές τις έννοιες, ανεξάρτητα από το ποια, Χμπορεί να δεχθεί (σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων) με πιθανότητα 0,648.

Αν 2 , τότε, μαλώνοντας παρόμοια, παίρνουμε φά(Χ)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Πράγματι, ας π.χ. Χ=3. Επειτα φά(3)=Π(Χ<3) εκφράζει την πιθανότητα ενός γεγονότος Χ<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииφά(Χ).

Αν Χ>3, λοιπόν φά(Χ)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Πράγματι, η εκδήλωση Χ
είναι αξιόπιστο και η πιθανότητα του είναι ίση με ένα, και Χ>3 – αδύνατο. Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι

φά(Χ)=Π(Χ< Χ) =Π(Χ 3) + Π(3< Χ< Χ) , παίρνουμε το υποδεικνυόμενο αποτέλεσμα.

Έτσι, προκύπτει η απαιτούμενη συνάρτηση ολοκληρωμένης κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X:

φά(Χ) =

το γράφημα του οποίου φαίνεται στο Σχ. 4.2.

3) Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών Χγια τις πιθανότητες τους:

M(X)=0=1,2.

Δηλαδή, κατά μέσο όρο, υπάρχει ένα χτύπημα στο στόχο με τρεις βολές.

Η διακύμανση μπορεί να υπολογιστεί από τον ορισμό της διακύμανσης ρε(Χ)= Μ(Χ- Μ(Χ)) ή χρησιμοποιήστε τον τύπο ρε(Χ)= Μ(Χ
, που οδηγεί πιο γρήγορα στον στόχο.

Ας γράψουμε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ :

Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία για Χ:

Μ(Χ ) = 04
= 2,16.

Ας υπολογίσουμε την απαιτούμενη διακύμανση:

ρε(Χ) = Μ(Χ ) – (Μ(Χ)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Βρίσκουμε την τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας τον τύπο

(Χ) =
= 0,848.

διάστημα ( Μ- ; Μ+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – διάστημα των πιο πιθανών τιμών της τυχαίας μεταβλητής Χ, περιέχει τις τιμές 1 και 2.

Παράδειγμα 4.8.

Δίνεται συνάρτηση διαφορικής κατανομής (συνάρτηση πυκνότητας) συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ:

φά(Χ) =

1) Προσδιορίστε τη σταθερή παράμετρο ένα.

2) Βρείτε την ολοκληρωτική συνάρτηση φά(Χ) .

3) Δημιουργήστε γραφήματα συναρτήσεων φά(Χ) Και φά(Χ) .

4) Βρείτε την πιθανότητα με δύο τρόπους P(0,5< Χ 1,5) Και Π(1,5< Χ<3,5) .

5). Βρείτε την αναμενόμενη τιμή M(X), διαφορά ρε(Χ)και τυπική απόκλιση
τυχαία μεταβλητή Χ.

Λύση

1) Διαφορική συνάρτηση κατά ιδιότητα φά(Χ) πρέπει να ικανοποιεί την προϋπόθεση
.

Ας υπολογίσουμε αυτό το ακατάλληλο ολοκλήρωμα για αυτή τη συνάρτηση φά(Χ) :

Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, παίρνουμε αυτό ΕΝΑ=1. Στην κατάσταση για φά(Χ) αντικαταστήστε την παράμετρο ΕΝΑπρος 1:

2) Να βρεις φά(Χ) ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

.

Αν x
, Οτι
, ως εκ τούτου,

Αν 1
Οτι

Αν x>2, τότε

Άρα, η απαιτούμενη ολοκληρωτική συνάρτηση φά(Χ) έχει τη μορφή:

3) Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων φά(Χ) Και φά(Χ) (Εικ. 4.3 και 4.4).

4) Πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή σε ένα δεδομένο διάστημα (ΕΝΑ,σι) υπολογίζεται με τον τύπο
, εάν η συνάρτηση είναι γνωστή φά(Χ), και σύμφωνα με τον τύπο Π(ένα < Χ < σι) = φά(σι) – φά(ένα), εάν η συνάρτηση είναι γνωστή φά(Χ).

Θα βρούμε
χρησιμοποιώντας δύο τύπους και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Κατά συνθήκη a=0,5;σι=1,5; λειτουργία φά(Χ) ορίζεται στο σημείο 1). Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα σύμφωνα με τον τύπο είναι ίση με:

Η ίδια πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο β) μέσω της αύξησης που προκύπτει στο βήμα 2). αναπόσπαστη λειτουργία φά(Χ) σε αυτό το διάστημα:

Επειδή φά(0,5)=0.

Παρόμοια βρίσκουμε

επειδή φά(3,5)=1.

5) Να βρεθεί η μαθηματική προσδοκία M(X)ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
Λειτουργία φά(Χ) δίνεται στη λύση του σημείου 1), ισούται με μηδέν εκτός του διαστήματος (1,2]:

Διακύμανση συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ρε(Χ)καθορίζεται από την ισότητα

, ή την ισοδύναμη ισότητα

.

Για εύρεση ρε(Χ) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τελευταίο τύπο και ας λάβουμε υπόψη ότι όλες οι πιθανές τιμές φά(Χ) ανήκουν στο διάστημα (1,2]:

Τυπική απόκλιση
=
=0,276.

Το διάστημα των πιο πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής Χισοδυναμεί

(Μ-
,Μ+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).